1、學(xué)習(xí)-好資料解三角形一.正弦定理：a b csin A = sin B = sin C =2R,其中R是三角形外接圓半徑正弦定理的如下變形常在解題中用到(1) 1) a=2RsinA(2) b=2RsinB(3) c=2RsinC2.(1) sinA=a/2R(2) sinB=b/2R(3) sinC=c/2R3.a : b： c=sinA : sinB:sinC余弦定理:1.aA2 =bA2 + cA2 - 2, b ,c -cosA2.bA2 =aA2 + cA2 - 2 a ,c ,cosB3.cA2 =aA2 + bA2 - 2 a ,b ,cosC余弦定理的如下變形常在解題中用到1.

2、 cosC = (aA2 + bA2 - cA2) / (2a-b)2. cosB = (aA2 + cA2 - bA2) / (2ac)3. cosA = ©2 + bA2 - aA2) / (2bc)三.余弦定理和正弦定理的面積公式111S；aabc= 2 absinC= 2 bcsinA= 2 acsinB(常用類型：已知三角形兩邊及其夾角)圖形3 也-A jBii -BjzLX*CXABC 卜 AB¥五# a=bsinA甘bsinA<a<bKbsinAa>ba<b解的個(gè)數(shù)黑兩解無(wú)解一解無(wú)解，為銳角上為鈍角或直角判斷三角形的形狀有兩種途徑：(1

3、)將已知的條件統(tǒng)一化成邊的關(guān)系，用代數(shù)求和法求解(2)將已知的條件統(tǒng)一化成角的關(guān)系，用三角函數(shù)法求解三.解三角形的實(shí)際應(yīng)用測(cè)量中相關(guān)的名稱術(shù)語(yǔ)仰角：視線在水平線以上時(shí)，在視線所在的垂直平面內(nèi)，視線與水平線所成的角叫做仰角。俯角： 視線在水平線以下時(shí)，在視線所在的垂直平面內(nèi)，視線與水平線所成的角叫俯角 方向角：從指定方向線到目標(biāo)方向的水平角（一）已知兩角及一邊解三角形例 1 已知在 ABC 中，c= 10, A=45°, C=30°,求 a、b和 B.（二）已知兩邊和其中一邊對(duì)角解三角形例2 在4ABC中，已知角A, B, C所對(duì)的邊分別為a, b, C,若a=2，3, b=

4、 V6, A=45 ° ,求邊長(zhǎng) C（三）已知兩邊及夾角，解三角形例3 ABC中，已知 b= 3, c= 3® B=30 ,求角 A,角C和邊a.例四：在 ABC中，若/ B=30° , AB=2, AC=2, 則 ABC的面積是例五.判斷三角形的形狀（1）正弦定理判斷在AABC中，若a2tanB = b2tanA,試判斷 ABC的形狀.(2)余弦定理判斷在 ABC中，若b2sin2C+c2sin2B= 2bccoSBcosC,試判斷三角形的形狀.例六判斷解得個(gè)數(shù)不解三角形，判斷下列三角形的解的個(gè)數(shù):(1) a=5,b=4,A=120 度(2) a=7,b=14,

5、A=150 度(3) a=9,b=10,A=60 度(4) c=50,b=72,C=135 度考試類型、求解斜三角形中的基本元素指已知兩邊一角(或二角一邊或三邊)，求其它三個(gè)元素問(wèn)題，進(jìn)而求出三角形的三 線(高線、角平分線、中線)及周長(zhǎng)等基本問(wèn)題.1、AABC 中，A = ,BC 3,則 &ABC 的周長(zhǎng)為（）3C. 6sin B+- i + 3<3jnr . J廠.,冗、人A - 4V3sin B+ |+3 b . 4V3sin B+ | + 3<3 J<6 JD. 6sin B +-j+3<6）2、在A ABC3,已知4,60.6AB 二,cos B 二,A

6、C邊上的中線 BD=J5,求sin A的值.3、在 ABC中，角A,B, C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為 a, b,c,若/ C=120° , c=、2 a,則A.a > bB.a< b C. a = bD.a與b的大小關(guān)系不能確定4、在 ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c-b2=T3bc, sin C = 273 sin B ,則A=(A) 3000(B) 60(C)1200(D) 15005、在 AABC 中,a=15,b=10,A=60cosB =2 二6、在 ABC 中，若 b = 1 , c = V3 , /C=-,則 a =7、在 ABC中，已知 B=45&#

7、176; ,D是BC邊上的一點(diǎn)，AD=10,AC=14,DC=6求AB的長(zhǎng).AC 8、在銳角 MBC中，BC = 1,B = 2A,則 qC 的值等于 cosA,AC的取值范圍9、 ABC中，A, B, C所對(duì)的邊分別為a,b,c,sin A sinBtanC =, sin( B - A) = cosC .cosA cosB(1)求 A,C ；(2)若 S&BC =3+J3,求 a,c.二、判斷三角形的形狀：給出三角形中的三角關(guān)系式，判斷此三角形的形狀.1、在 &ABC 中，已知 2sinAcosB=sinC,那么 MBC一定是（）A.直角三角形 B .等腰三角形 C .等腰直

8、角三角形D .正三角形2、18.若 ABC 的三個(gè)內(nèi)角滿足 sin A:sin B:sin C =5:11:13 ,則4 ABC（A） 一定是銳角三角形.（B） 一定是直角三角形.（C） 一定是鈍角三角形.（D）可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形.三、 解決與面積有關(guān)問(wèn)題：主要是利用正、余弦定理，并結(jié)合三角形的面積公式來(lái)解題.1、在 &ABC 中，若 NA =120，, AB=5, BC =7 ,則 &ABC 的面積 S=,四、求值問(wèn)題1、在 MBC中，/A、/B、/C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為 a、b、c, c 1設(shè)a、b、c滿足條件b +c bc =a和一 =一十，3 ,求/ A和

9、tanB的值.b 2b a _2、在銳角二角形 ABC, A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c, - +- =6cosC ,則 a btanC taC+=。tanA taB3、 在 ABC中，a, b, c 分別為內(nèi)角 A, B, C的對(duì)邊，且2asin A =(2a c)sin B (2c b)sin C.(I )求A的大小；(n)求sin B十sin C的最大值.五、正余弦定理解三角形的實(shí)際應(yīng)用利用正余弦定理解斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測(cè)量、航海、幾何等 方面都要用到解三角形的知識(shí)，例析如下：圖1（一.）測(cè)量問(wèn)題1、如圖1所示，為了測(cè)河的寬度，在一岸邊選定 A、B兩點(diǎn), 望對(duì)岸標(biāo)記物 C,測(cè)彳導(dǎo)/ CAB=30 , / CBA=75 , AB=120cm求河 的寬度。（二.）遇險(xiǎn)問(wèn)題圖22、某艦艇測(cè)得燈塔在它的東15°北的方向，此艦艇以 30海里/小時(shí)的速度向正東前進(jìn)，30分鐘后又測(cè)得燈塔在它的東30°北。若此燈塔周圍10海里內(nèi)有暗礁，問(wèn)此艦艇