1、典型例題一例1在二項式i 1的展開式中，前三項的系數成等差數列，求展開式中所I 2如丿有有理項.分析：本題是典型的特定項問題，涉及到前三項的系數及有理項，可以通過抓通項公 式解決.解：二項式的展開式的通項公式為：前三項的r =0,1,2.得系數為：t1 = 1, t2 = C； = n,上3 = C：二一n(n -1),22481 由已知：2t2 =匕 t3 n=1 n(n-1),8n = 8通項公式為彳 16 J3r人1二=0,1,28,Tr 1為有理項，故16-3r是4的倍數,2.r = 0,4,8.依次得到有理項為= x4,T5= C；丄4 x=色x,Tg=c8斗x，一x2.248282

2、56說明：本題通過抓特定項滿足的條件， 利用通項公式求出了 r的取值，得到了有理項.類 似地，C，2 33)100的展開式中有多少項是有理項？可以通過抓通項中r的取值，得到共有17項.典型例題二求v'x>1023：的展開式中，系數絕對值最大的項以及系數最大的項.分析：本題仍然屬于抓通項公式解決特定項的問題，但是系數的絕對值的最大值或系 數的最大值，需要對所有項的系數的變化規律進行研究.由于系數的絕對值都是正數，我們可以用作商來研究系數絕對值的變化情況，另外各項系數正負交替， 又便于用系數絕對值的大小變化抓系數的最大值.30-5r解：展開式的通項公式為：Tr ! =C；0(-1)r

3、 2”系數的絕對值為 C；o 2 -，記為tr d .用前后兩項系數的絕對值作商得：tr羊I C；F 2徇10!j!(10_r)! 10_r口_ Cl。2_藥 _(r+1)!(9_r)!2 10! 一2("1)令_12(r1)得：心3即r = 0、1、2時，上述不等式成立.所以，系數的絕對值從第系數絕對值最大的項為第1項到第4項增加，以后逐項減小.554項，T4=c40(1)32xW=15x。.從系數絕對值的變化情況及系數的正負交替，只要比較第3項與第5項的系數,t32102,2101052 =16 85所以，系數最大的項為第5項,+105 3t5x8典型例題三727例 3 已知(1

4、 -2x)=a°-a2X亠 a?x，求：(1)a1a2a' - a7；(2) a1 a3 a5 a7 ；( 3) a0 a2 a4 a6.分析：本題是有關展開式系數和的問題，通過對等式中字母的賦值，往往會得到此類問題的結果字母經常取的值有0、1、一 1等.解：(1)取x = 0可得a0 =1,取 X -1 得 a0 ' a' a - (-1) - 1.二 a1 a2 a3 a7 = -2.(2)取 x = -1 得 a0 _ a1 a2 _ aa6 _ a - 3 ,記 A 二 a0 a2 a4 a6, B = a1 a3 a5 a7 . A B =T, A-

5、B =37 .11可得 A(37 -1) =1093, B (1 37) - -10942 2從而 a1 a3 a5 a7 = -1094 .(3)從(2)的計算已知 a0 a2 a4 a6 =1093 .說明：賦值法不僅可以用來求二項展開式的系數和，對于展開式為多項式的代數式的系數和大多數也能用此方法解決，女口： (1 x)5 (1-2x)6的展開式中各項的系數和為多少？可以看到(1 x)5(1 -2x)6的展開式仍是多項式，令x = 1，即得各項系數和為 25(-1)6 =32 . 再 比如：(1 x x2)n = a。 a/ a?x2 出卷a2nX2n , 則 a0 a2 a 亠a2n等

6、于多少？本題可以由取 x=1得到各項系數和，取 x=-1得到奇數1項系數和減去偶數項系數和，兩式相加可得a0 - a2川川-a2n =丄(3n 1).此外，為了賦2值的需要，有時需要用一個新的二項式替換原來二項式，只要它們的系數等同即可如：(x 2log2x)n的展開式中各項的系數和是多少？我們可以用一個更簡單的二項式 (1 2x)n代替原來的二項式，它們的系數并不改變，令x=1便得各項系數和為3n.典型例題四1例4( 1 )求(1 -x)3(1 - x)10展開式中x5的系數；(2)求(X 2)6展開式中的常x數項.分析：本題的兩小題都不是二項式展開，但可以轉化為二項式展開的問題，(1)可以

7、視為兩個二項展開式相乘；(2)可以經過代數式變形轉化為二項式.解：(1 ) (1-X)3(1 - x)10展開式中的x5可以看成下列幾種方式得到，然后合并同類項：310c55用(1 -X)3展開式中的常數項乘以 (1 X)展開式中的x5項，可以得到 C10X ;用3104445(1-x)展開式中的一次項乘以(1 x)展開式中的X4項可得到(-3x)(C1°x ) = -3Cwx ；3210323335X 可得到 3x C10X 7C10X ；用3(1 -X)中的X3項乘以(1X)10展開式中的X2項可得到-3x3 C0X2 =-C20X5，合并同類項得x5項為:用(1 -x)中的X乘

8、以(1 X)展開式中的(C10(x 1 2)5x_C：0 - 3C；0 _U0)X5 二 _63x5 .= C；2x6_c，可得展開式( 1 丫由 Jx+ 展開式的通項公式<Jx丿的常數項為C；2二924 .說明：問題(2)中將非二項式通過因式分解轉化為二項式解決這時我們還可以通過 合并項轉化為二項式展開的問題來解決.典型例題五例5 求(1 x-x2)Q展開式中X5的系數.分析：(1X-X2)6不是二項式，我們可以通過 1 X-X2 = (1 x) -x2或1 (x-x2) 把它看成二項式展開.解:方法一：(1 x -X2)6 = (1 x) -X2 6=(1 X6) -6(1 x)5x

9、2 15(1 x)4x4 一其中含 x5 的項為 c6x5 -6C；x5 15C4X5 =6x5.含x5項的系數為6.方法二：(1 xx2)6 二 1 (XX2)F=1 6(x - x2) 15(x -x2 )220(x - x2 )315(x - x2 )46(x - x2)5 (x - x2)6其中含 X5 的項為 20(-3)x515(-4)x5 6x5 =6x5 .二x5項的系數為6.方法3 :本題還可通過把(1 x - X2)6看成6個1 * x - X2相乘，每個因式各取一項相乘555可得到乘積的一項， x項可由下列幾種可能得到.5個因式中取X, 個取1得到C6X .231323個

10、因式中取x, 個取-X2，兩個取1得到C6 C3XX).1個因式中取X,兩個取-X2，三個取1得到C6 C5X (-x ).合并同類項為(C； -clc； dd)x6x5, x5項的系數為6 .典型例題六例 6 求證：（1） C1n - 2C： ncn = n -2n ；（2）cn 丄cn （2ni -i）.23n +1n +1分析：二項式系數的性質實際上是組合數的性質，我們可以用二項式系數的性質來證 明一些組合數的等式或者求一些組合數式子的值.解決這兩個小題的關鍵是通過組合數公式將等式左邊各項變化的等數固定下來，從而使用二項式系數性質 cn c； -cn-cn =2n.解:（1）, n!n!

11、=k -k!(n -k)! (k -1)!(n -k)!(n-1)!(k -1)!( n k)!nCkJn_1左邊=nC0+ nC；十+ncni=n(C0。爲 C® = n 2nJk=：右邊.(2)11 n!n!R n _ k!(n -k)! 一(k -1)!(n - k)!丄，亠=丄常n 1 (k 1)!(n -k)! n 1左邊n 11 1 （C；1 C：1 cn1）（2n1-1）=右邊.n 1n 1說明：本題的兩個小題都是通過變換轉化成二項式系數之和，再用二項式系數的性質求解.此外，有些組合數的式子可以直接作為某個二項式的展開式，但這需要逆用二項式定理才能完成，所以需仔細觀察，

12、我們可以看下面的例子：求29C；0 - 28C9o 27C：o 2C2。 10的結果.仔細觀察可以發現該組合數的式與10(12)的展開式接近，但要注意：(1 - 2)10 =C；o - C1o 2 Co 22 Co 29 - C10 -210=1 2 10 22c2o 29c9o 210C10=1 2(10 2Co 28C：o 29C；0)1從而可以得到：10 2C2028C；o 29c10 二一(310-1).2典型例題七例7利用二項式定理證明： 322 一8n -9是64的倍數.分析：64是8的平方，問題相當于證明 322 8n - 9是82的倍數，為了使問題向二項式定理貼近，變形 32n

13、 2 =9n (8 1)n 1，將其展開后各項含有8k，與82的倍數聯系起來.解：/ 32n 2 -8n_9=9n 1 _8n _9 =(8 1)n 1 _8n _9=8n 1 C；8n Cn? 82 Cn.i 8 1-8n _9=8n1 -Cn ,8nCn；828(n1) 1 -8n-98n亠亠Cn 1解法1： i 2x二 C?(2x)5C；(2x)20I +C5(2x)4323左C5 (2x)匚丄丫 飛2丿芻 C5(2x)-承2x2-(8n 1 C1 1 8n， Cn；) 64 是 64 的倍數.說明：利用本題的方法和技巧不僅可以用來證明整除問題，而且可以用此方程求一些 復雜的指數式除以一

14、個數的余數.典型例題八展開2xj 52x2 丿-分析1：用二項式定理展開式.分析解法2：= 32x5 -120x2180 135 405 _ 243x x4 8x732x102：對較繁雜的式子，先化簡再用二項式定理展開.占農(4/)5 +C5(4x3)4(-3) +C；(4x3)3(-3)2C；(4x3)2(3)3 CZx3)13)4 C；(3)5頑榮-沁八 576。432。62。2437)= 32x5 -120x2180 135 405V8/24332x10 '說明：記準、記熟二項式(a，b)n的展開式，是解答好與二項式定理有關問題的前提條 件對較復雜的二項式，有時先化簡再展開會更簡

15、便.典型例題九例9 若將(x y z)10展開為多項式，經過合并同類項后它的項數為()A 11B 33 C. 55 D 66分析：(x y z)10看作二項式(x y) z10展開.解:我們把x y亠z看成(x y) z，按二項式展開，共有 11 “項”，即10(x y z)10 二(x - y) - z10C；°(x y)10上 zk kz0這時，由于“和”中各項 z的指數各不相同，因此再將各個二項式(xy)10“展開,不同的乘積G0(x y)10zk ( k =0,1，10 )展開后，都不會出現同類項下面，再分別考慮每一個乘積G0(x y)10zk ( k=0,1,10)其中每一

16、個乘積展開后的項數由(x y)10°決定，而且各項中x和y的指數都不相同，也不會出現同類項故原式展開后的總項數為 111066,應選D 典型例題十rn1 例10x 2 的展開式的常數項為 -20,求n x題中x = 0 , 當x 0時，把項式 x+丄2 i轉化I x丿2n11 I/；當x <0時，同理x + -2 丨=(-1),丿I x丿I后寫出通項，令含 x的幕指數為零，進而解出n解：當x >0時X +丄2x其通項為人 1 =C；nCX）2n（-1 ）r 十1）（2；（沐）2心,<X令 2n -2r =0 ,得 n =r ,展開式的常數項為（-。七打；當x : 0

17、時,同理可得，展開式的常數項為（-1）nC；n無論哪一種情況，常數項均為（_1）nC2n令（-1）nc2n = 20，以 n =1,2,3，逐個代入，得 n = 3 典型例題十例11的展開式的第3項小于第4項，則x的取值范圍是分析：首先運用通項公式寫出展開式的第3項和第4項，再根據題設列出不等式即可.解:使有意義,必須依題意，有 t3 : t4，即 g2,c、x）C10 (、X)313 2 13 x解得 0 ： x ： 8 5 648 9 x的取值范圍是 儀 0£xv8V6489應填：0：x 95648 典型例題十二例12已知(xlog2X 1)n的展開式中有連續三項的系數之比為1：

18、2：3，這三項是第幾項？若展開式的倒數第二項為112，求x的值.解：設連續三項是第k、 k 1、 k 2項(k N 且k 1),則有T：c：c=1： 2：3,n!(k -1)(n -k 1)!n !k ! (n - k)!n!(k 1)(n -k -1)!=1： 2： 3.1(n -k)(n -k 1)1k (n -k)= 1：2：3.k(n k)1k1(n _k)(n _k +1)一2n k +1-2k(k+1)2(k+1)21Ik (nk)3k (nk)3k(k 1)=14 , k=5所求連續三項為第 5、6、7三項.又由已知，c£xlog2X =112 .即 xlog2X =8

19、 .兩邊取以2為底的對數，(log2x)2=3 , log2x = -3 ,x = 23，或 x = 2 ".說明：當題目中已知二項展開式的某些項或某幾項之間的關系時，常利用二項式通項, 根據已知條件列出某些等式或不等式進行求解.典型例題十三例13(12x)n的展開式中第6項與第7項的系數相等，求展開式中二項式系數最大的項和系數最大的項.分析：根據已知條件可求出 n,再根據n的奇偶性；確定二項式系數最大的項.解：T6 二C；(2x)5 , T7 二 C：(2x)6，依題意有C；25 =C；26 二 n =8 .- (1 2x)8的展開式中，二項式系數最大的項為TCs(2x)1120x

20、4 .設第r 1項系數最大，則有c8 -2 >c8Ac8 -2r * r =5或 r =6 (v r 二 0,1,2 , 8).系婁最大的項為：T6 =1792x5, T7 -1792x6.說明：(1)求二項式系數最大的項，根據二項式系數的性質，n為奇數時中間兩項的二項式系數最大，n為偶數時，中間一項的二項式系數最大.(2)求展開式中系數最大項與求二項式系數最大項是不同的，需根據各項系數的正、負 變化情況，一般采用列不等式，解不等式的方法求得.典型例題十四例14設f (x(1 x)m (1 x)n(m, nN .),若其展開式中關于 x的一次項的系數2和為11,問m,n為何值時，含x項的

21、系數取最小值？并求這個最小值.分析：根據已知條件得到x2的系數關于n的二次表達式，然后利用二次函數性質探討 最小值問題.解：cm ' C； - n m =11.2 2cm c1/22、 m n -11(m -m - n _n)=2 2110-2m n2n2-11 n 55 =(n - 匕)229942 n =5或6 , m=6或5時，x項系數最小，最小值為 25 .119911說明：二次函數y = (x )2的對稱軸方程為 x ，即x = 5.5，由于5、6距11 2995.5等距離，且對n，N ., 5、6距5.5最近，所以(n )的最小值在n=5或n=624處取得.典型例題十五例

22、15 若(3x -1) a7x7 a6xa1x a0,求(1)a1a2a7 ； (2)a1a3asa7 ； (3)a°a?a4.解：令x =0，則a0 = -1,令 x =1，則 a7 aa1 a 27 =128 . ai a2 腫-川6 =129 .令 x - -1，則一a7 a§ -5 8483 a a1 a。= (4) 由得：印 a3 a5 a?=丄128_( 一4)7=82562 2由得:a°a2a4 ' a6(a7 a6 a5 a4 a3 a2 aa0)2'(-a? a6 - a5 a4 - a3 a2 - a1 a。)1 128(乂)7

23、 = -8128 .說明：(1)本解法根據問題恒等式特點來用“特殊值”法.這是一種重要的方法，它適 用于恒等式.(2)一般地，對于多項式 g(x) =(px - qT =a。- a/ - a?x2亠'亠axn , g(x)的各項的系數和為g(1):1g(x)的奇數項的系數和為 -g(1) - g(-1).1g(x)的偶數項的系數和為 ?g(1) -g(-1).典型例題十六例16填空：(1) 230 3除以7的余數; (2) 5555 +15除以8的余數是分析(1):將230分解成含7的因數，然后用二項式定理展開，不含7的項就是余數.解: 230 -3 =(23)10-3=(8)10 -

24、3=(7 - 1)1。一3Cio710 - Ci1q7' Cio7 - Cw -3=7 Ci°79 Ci。?*«一2又余數不能為負數，需轉化為正數30- 2-3除以7的余數為5應填：5分析(2):將5555寫成(56 -1)55，然后利用二項式定理展開.解：5555 - 15 =(56 _1)55 15= C55655 _C555654C£56 心 155555容易看出該式只有 -C55 *15=14不能被8整除，因此5515除以8的余數，即14除以8的余數，故余數為6 .應填：6 .典型例題十七例171 +丄甘.n丿<丄1n 1證明:展開式的通項r

25、Pn1 n(n -1)(n -2) (n -r 1)rr!r112r -1苛(1 一利呼"T)-1+丄：展開式的通項< n +1 丿1(n 1)rAr!( n 1)r1 12r _1(1 )(1 ) (1 ) r ! n 1 n 1n 1由二項式展開式的通項明顯看出Tr , :：: Tr / ,f 1、 f 1 、所以1 +丄丨_< 1 +丄|.I n.丿 i n +1.丿說明：本題的兩個二項式中的兩項為正項，且有一項相同，證明時，根據題設特點，采 用比較通項大小的方法完成本題證明.典型例題十八2 5例18在(x 3x 2)的展開式中x的系數為( ).A. 160 B.

26、240 C. 360 D. 800分析：本題考查二項式定理的通項公式的運用應想辦法將三項式轉化為二項式求解.解法 1：由(x2 3x 2)5 =(x2 3x) 25,得TkCx23x)5A 2k-C,k 2k (x2 - 3x)5A .再一次使用通項公式得，T二C； <2k C；上3rx10'k,這里 0_k_5, 0_r_5-k .令 10 2k r =1,即卩 2k r =9 .所以r =1 , k = 4，由此得到x的系數為C54 24240 .解法2：由(x2 3x 2)5二(x 1)5(x 2)5，知(x T)5的展開式中x的系數為C；,常數項為1, (x 2)5的展開

27、式中x的系數為C； 24，常數項為25 .因此原式中x的系數為C54 25 - C-4 2240 .解法3：將(x2 3x 2)5看作5個三項式相乘，展開式中x的系數就是從其中一個三項式中取3x的系數3 ,從另外4個三項式中取常數項相乘所得的積，即C5 3 C：，24 =240 .應選B .典型例題十九例佃 已知 -I- 的展開式中X3的系數為9，常數a的值為<x "丿4分析：利用二項式的通項公式.解：在a X 的展開式中，(x 2 I9、r3通項公式為.=<9 - , X二 C；(-1)ra9-2 xyJxjI 2 9遼丿3 9根據題設，一r 一9 = 3，所以r =8

28、 .代入通項公式，得 T9ax3.216Q Q根據題意，- ，所以a =4.164應填：4 .典型例題二十例 20 (1)求證：1-3C： 32 C； -33 C；(-1)n3n =(-2)n若(2x .3)4 =a° qx - a2x2 a3x3 aqX4，求(a。 a? a4)2 -佝 a?)2 的值.分析：(1)注意觀察(1x)1 cnx C'xC；xn的系數、指數特征，即可通過賦值法得到證明.注意到(a0 -a2a4)(a1a3)2=(a0a1a2a3 a4)(a -a1 a2 -3 a4)，再用賦值法求之.解：(1)在公式(1 x)n =1 Cnx Cn2x'

29、; C>n 中令 X - -3，即有(1 3)n =1+C：(3)1 +C：(3)2 + +cn(-3)n= 1-3 C 32 C： -(-1)n 3n等式得證.在展開式(2x 3)4 =兔 a1x a2x2 a3x3 a4x4 中，令 x =1，得 a0 印 a2 a3 a4 二(2x . 3)4 ；令 x - -1，得a0-a1a2a3 a4 = (2. 3)4.原式 =(a0a1a2a3a4)(a0 _a1 a2 _a3 a4)=(2；3)4 (-2、3)4 =1 .說明：注意“賦值法”在證明或求值中的應用賦值法的模式是，在某二項展開式，如(a +bx)n =a° +4x

30、 +a2x2 + +anxn 或(a +b)n = C：an +cnanJLb +C：a2b2+C：bn中，對任意的xA( a,b A)該式恒成立，那么對A中的特殊值，該工也一定成立.特殊值x如何選取，沒有一成不變的規律，需視具體情況而定，其靈活性較強.一 般取x = 0,1, -1較多一般地，多項式 f (x)的各項系數和為f(1)，奇數項系數和為1 1-f (1) - f(-1),偶次項系數和為 f(1) f(-1) 二項式系數的性質C； +C： +C： +C： =2n 及 C： +C； +C：+C； +C； + =2n* 的證明就是 賦值法應用的范例.典型例題二一例21若N ，求證明：3

31、2n3-24n 37能被64整除.分析：考慮先將32n 3拆成與8的倍數有關的和式，再用二項式定理展開.解：32n 3 -24n 37=3 32n 2 -24n 37=3 9n 1 -24n 37=3 (8 1)n 24n 37=3 擴卅 8耐 +C：+ 8n +略 8n+ +C；+ 8 +C： -24n +37-3 8n1Cn18n W(n 1) 8 1 -24n 37=3 8n1'Cn18n ' Cn2, 8n 一C；82 (8n - 9)-24n- 37=3 828n+Cn十 8n，+C：十 8n，+ +C：；+3(8n+9)24n +37=3 648n°+ch

32、 8n'+C；十 8心+64 ,- 8n_1, 4十8心，8心，均為自然數，上式各項均為64的整數倍.原式能被64整除.說明：用二項式定理證明整除問題，大體上就是這一模式，先將某項湊成與除數有關的和式，再展開證之該類題也可用數學歸納法證明，但不如用二項式定理證明簡捷.典型例題二十二2例22已知(x3 3x2)n的展開式各項系數和比它的二項式系數和大992(1) 求展開式中二項式系數最大的項；(2) 求展開式中系數最大的項.分析：先由條件列方程求出 n (1)需考慮二項式系數的性質；(2)需列不等式確定r 解：令x =1得展開式的各項系數之和為(1 3)n =22n，而展開式的二項式系數的和為=2n.有 22n _2n =992 n = 5 (1) n =5,故展開式共有6，其中二項式系數最大的項為第三、第四兩項.2 T3 二C；(xE)3 (3x2)2 =90x6 ,2 22T4 -Cf(x')2 (3x2)3 =270x瓦設展開式中第r 1項的系數最大.210 4rr , 3、5 _t2 . rr r 3 Tr 1 C5 (x )(3x )C5 3 x<3r f 3rc5 3c5+ 3r+頭丄，即 <r 6-r，丄亠-5 -r r +179解得 r v r N ,22r =4，即展開