1、1反函數(shù)反函數(shù)2 如果在某個變化過程中有兩個變量如果在某個變化過程中有兩個變量X X和和Y,Y,并且對于并且對于X X在某個范圍內(nèi)的每一個確在某個范圍內(nèi)的每一個確定的值，按照某個對應(yīng)法則定的值，按照某個對應(yīng)法則,Y,Y都有唯一確定的值和它對應(yīng)都有唯一確定的值和它對應(yīng), ,那么那么Y Y就是就是X X的的函數(shù)函數(shù)，X X就就叫做叫做自變量自變量，X X的取值范圍稱為函數(shù)的的取值范圍稱為函數(shù)的定義域定義域，和，和X X的值對應(yīng)的的值對應(yīng)的Y Y的值叫做的值叫做函數(shù)值函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域值域。函數(shù)的定義函數(shù)的定義記為記為： y=f(x)3（1）函數(shù)y=2x的定義域

2、是_,值域是_。如果由y=2x解出x=_,這樣對于y在R上任一個值，通過式子x=y21，x在R上有_的值和它對應(yīng)，故x是_的函數(shù)。RRy21唯一確定y這個新函數(shù)的自變量是_，對應(yīng)的函數(shù)值是_。xy乘以2RR12:x24:y原函數(shù): y=2x24:y12:xRR除以2新函數(shù)：yx21完成下列填空完成下列填空：4如果由（2）函數(shù)1xy的定義域是_，值域是_。1xy解出x=_,則對于y在的任一個值，通過式子x=_,x在-1,+)上有_的值和它對應(yīng)，故x是_的函數(shù)。0，+)上-1,+)0,+)12y12y唯一確定y原函數(shù)：1xy表達式：定義域：值域：-1,)0,+)新函數(shù)：12 yx-1,+)0,+)

3、5反函數(shù)反函數(shù),記為：反函數(shù)的一般定義參見課本P.60第二段。. 1)(21yygx同樣，在(2)中，也把新函數(shù)12 yx稱為原函數(shù), 1)(xxgy的反函數(shù)反函數(shù)，記為：在(1)中，我們稱新函數(shù)yx21為原函數(shù)y=f(x)=2x的.21)(1yyfx改寫為：改寫為：).(21)(1Rxxxfy改寫為：改寫為：).0( 1)(21xxxgy6反函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系：反函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系：原函數(shù)原函數(shù)表達式表達式：定義域定義域：值域：值域：y=f(x)AC反函數(shù)反函數(shù)y=f 1(x)CA7例例.求下列函數(shù)的反函數(shù)：求下列函數(shù)的反函數(shù)：) 1,(132)4();0( 1) 3();( 1)2();(

4、 13) 1 (3xRxxxyxxyRxxyRxxy且解：解：（1）,3113yxxy解得：由).(31,Rxxyyx得反函數(shù)為：互換經(jīng)(2), 1133yxxy解得：由).(1,3Rxxyyx得反函數(shù)為：互換8(3),)1(12yxxy解得：由2) 1(, xyyx得反函數(shù)為：互換).1(x(4),23132yyxxxy解得：由23,xxyyx得反函數(shù)為：互換).2,(xRx且92.求反函數(shù)的步驟求反函數(shù)的步驟概念表明也就是說也就是說,反函數(shù)定義是一種生成性定義，體現(xiàn)了反函數(shù)的獲得的過程反函數(shù)定義是一種生成性定義，體現(xiàn)了反函數(shù)的獲得的過程y = f(x) (xA)x=)(y(yC)反解用用

5、y 把把 x 表示出來表示出來如果如果那么那么判斷x= (yC)(1yf對調(diào)字母對調(diào)字母 x ， y 對調(diào)y= (xC)(1xf知識應(yīng)用與解題研究10反函數(shù)的練習(xí)：反函數(shù)的練習(xí)：21211 .( )1,0 1 ,( ) , .12( )(),2 (2) . fxxxfxfxxx xf （ ） 已 知 ：且，則 其 反 函 數(shù)其 定 義 域 為（ ） 若則1)x0( x-12 1,02-11 例例2：求函數(shù)：求函數(shù)211xy （ 1 x 0）的反函數(shù)的反函數(shù). 1 x 021x 211xy 22yyx211xy 22xxy解：解： 0 10 y 1解得( 1 x 0 )由( 1 x 0)的反函數(shù)

6、的反函數(shù)是：( 0 x 1 )0 x2 101 x2 1.12 1) x (0 xxxxf)01(1)(1221(01)3.( 10)xxyxx 例 求函數(shù)的反函數(shù).135、是否任何一個函數(shù)都有反函數(shù)？、是否任何一個函數(shù)都有反函數(shù)？2yx,xy 2yx（1）函數(shù) 的定義域是_，值域是_。如果由 解出x=_,對于y在0,+)上任一個值，通過式子 x在R上有_值和它對應(yīng)，故x_y的函數(shù)。這表明函數(shù)2yx沒有反函。并非所有的函數(shù)都有反函數(shù)！并非所有的函數(shù)都有反函數(shù)！14問：怎樣的函數(shù)才具有反函數(shù)呢？ 連續(xù)的單調(diào)函數(shù)一定有反函數(shù)1516例例1. 求函數(shù)求函數(shù)y=3x-2的反函數(shù)的反函數(shù),并畫出原函數(shù)和

7、反函數(shù)的圖象并畫出原函數(shù)和反函數(shù)的圖象.解解 y=3x-2 函數(shù)函數(shù)y=3x-2(xR） 的反函數(shù)為的反函數(shù)為 y=32x x=32y1-2-11-1-2xyy=3x-232xyxy xRR二、新授課二、新授課（一）例題講解（一）例題講解17 已知函數(shù)的圖像利用對稱性可以畫出它的反函數(shù)的圖像。已知函數(shù)的圖像利用對稱性可以畫出它的反函數(shù)的圖像。應(yīng)用思路：應(yīng)用思路： 原函數(shù)和反函數(shù)的關(guān)系原函數(shù)和反函數(shù)的關(guān)系 原函數(shù)和其反函數(shù)的圖象關(guān)于直線原函數(shù)和其反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=xy=x對稱，對稱， 若兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線若兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=xy=x對稱，則它們互為反函數(shù)對稱，則它們互為反函數(shù).

8、 .182A ( ,0)31-2-11-1-2xyy=3x-232xyxy B (0, 2)2 (0, ) A3B ( 2,0) 原函數(shù)過原函數(shù)過M(a,b), 則則 y=f-1(x)過過M (b,a).總結(jié)：總結(jié)：M(a,b),與與M (b,a)兩點關(guān)于直線兩點關(guān)于直線y=x對稱對稱.注意：注意：19例例2.求函數(shù)求函數(shù)y=x3(xR)的反函數(shù)的反函數(shù),并畫出原來的函數(shù)和它的反函數(shù)的圖象并畫出原來的函數(shù)和它的反函數(shù)的圖象.解：解：33yxxy )(3Rxxy 3xy 3xy xy xy1120-13.( )( ) (-1,3).,.axbf xxafxa b例 已知函數(shù)的圖像與其反函數(shù)的圖像

9、都經(jīng)過點 求實數(shù)的值a0b-3212( 1,)1xyxx 函數(shù)的圖象與其反函數(shù)的交點坐標(biāo)為22-1( )(3)0,(1)( )(2,0)( )(0,2)( )(3,-1)()(-1,3)yf xffxABCD已知函數(shù)存在反函數(shù)且則函數(shù)的圖象必經(jīng)過點 23（二）反函數(shù)中應(yīng)注意的幾個問題（二）反函數(shù)中應(yīng)注意的幾個問題 y=f(x)y=f(x)與與x=fx=f-1-1(y)(y)是定義上的反函數(shù)，是定義上的反函數(shù)， 它們的圖像相同。它們的圖像相同。 y=f(x) y=f(x)與與y=fy=f-1-1(x)(x)是應(yīng)用上的反函數(shù)，是應(yīng)用上的反函數(shù)， 它們的圖像關(guān)于直線它們的圖像關(guān)于直線y=xy=x對稱

10、。對稱。辨清辨清y=f(x)y=f(x)、y=fy=f-1-1(x)(x)、x=f(y)x=f(y)、x=fx=f-1-1(y)(y)間的關(guān)系間的關(guān)系兩圖像關(guān)于直線兩圖像關(guān)于直線y=xy=x對稱，不一定是互為反函數(shù)的圖像。對稱，不一定是互為反函數(shù)的圖像。互為反函數(shù)在各自的定義域內(nèi)單調(diào)性一致。互為反函數(shù)在各自的定義域內(nèi)單調(diào)性一致。 y=f(x+1)y=f(x+1)的反函數(shù)不是的反函數(shù)不是y=fy=f-1-1(x+1),(x+1),而是而是y=fy=f-1-1(x)-1(x)-1 y=f(x)y=f(x)存在反函數(shù)，則存在反函數(shù)，則f f-1-1f(x)=x,fff(x)=x,ff-1-1(x)=

11、x(x)=x2411( )(1,2),( ),(4)0.(4)f xfxff設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱且存在反函數(shù)則251-11.( )(-)1 .axf xxaxayxa若函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則-1232.( ),( )-1(1).(3) .xyf xyg xxyfxyxg設(shè)的圖像與的圖像關(guān)于直線對稱則26-1( ), ( )(1)(2),(15)2000,(16)( )1999( )2000( )2001()2002Rf x g xf xgxyxgfABCD4.定義在 上的函數(shù)都有反函數(shù)且和的圖像關(guān)于直線對稱 若則的值為 21-1-1123.( )3-,( )3- ( )( ), .xf

12、xxxfxxf xfxxx已知 是方程的根是方程的根，和互為反函數(shù) 則27為研究“原函數(shù)圖象與其反函數(shù)圖象的交點是否在直線y=x上”這個課題,我們可以分為三步進行研究.(1),1yx 2x首先選取如下函數(shù):y=2x+1,y=x+1求出以上函數(shù)圖象與其反函數(shù)圖象的交點坐標(biāo);(2)觀察分析上述結(jié)果得到研究結(jié)論;(3)對得到的結(jié)論進行證明.28證明:設(shè)點(a,b)是f(x)的圖象與其反函數(shù)的任一交點,由于原函數(shù)與反函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對稱,則點(b,a)也是f(x)的圖象與其反函數(shù)圖象的交點,且有b=f(a),a=f(b)若a=b時,交點顯然在直線y=x上.若ab且f(x)是增函數(shù)時,有f(b)f(a),從而有ba,矛盾;若ba且f(x)是增函數(shù)時,有f(a)f(b),從而有ab矛盾.故有a=b.若ab且f(x)是減函數(shù)時,有f(b)f(a),從而有ab,成立，此時交點不在直