試題試題2024北京廣渠門中學(xué)高二9月月考數(shù)學(xué)一、選擇題(每小題4分，共40分)1．已知直線l經(jīng)過點（﹣3，﹣2），（1，2），則下列不在直線l上的點是（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（2，1）2．直線ax+by+c＝0同時要經(jīng)過第一、二、四象限，則a，b，c應(yīng)滿足（）A．a(chǎn)b＞0，bc＜0 B．a(chǎn)b＜0，bc＞0 C．a(chǎn)b＞0，bc＞0 D．a(chǎn)b＜0，bc＜03．已知＝（2，1，﹣3），＝（﹣1，2，3），＝（7，6，λ），若，，共面，則λ等于（）A．﹣3 B．3 C．﹣9 D．94．若關(guān)于x，y的方程組（a∈R）無解，則a＝（）A．2 B． C．1 D．5．如圖底面為平行四邊形的四棱錐P﹣ABCD，EC＝2PE，若，則x+y+z＝（）A．1 B．2 C． D．6．“m＝2”是“直線l1：（m﹣3）x+my+1＝0與直線l2：mx+（m﹣1）y﹣2＝0互相垂直”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．設(shè)直線l的方程為x﹣ysinθ﹣2＝0，則直線l的傾斜角α的范圍是（）A．[0，π] B． C． D．8．在平面直角坐標系中，記d為點P（cosθ，sinθ）到直線x﹣my﹣2＝0的距離．當θ、m變化時，d的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．49．如圖，三棱錐A﹣BCD中，AB＝BC＝AC＝DB＝DC，且平面ABC與底面BCD垂直，E為BC中點，EF∥AD，則平面ADB與平面ABF夾角的余弦值為（）A． B． C． D．10．“十字貫穿體”是學(xué)習(xí)素描時常用的幾何體實物模型，圖①是某同學(xué)繪制“十字貫穿體”的素描作品．“十字貫穿體”是由兩個完全相同的正四棱柱“垂直貫穿”構(gòu)成的多面體，其中一個四棱柱的每一條側(cè)棱分別垂直于另一個四棱柱的每一條側(cè)棱，兩個四棱柱分別有兩條相對的側(cè)棱交于兩點，另外兩條相對的側(cè)棱交于一點（該點為所在棱的中點）．若該同學(xué)繪制的“十字貫穿體”有兩個底面邊長為2，高為的正四棱柱構(gòu)成，在其直觀圖中建立如圖②所示的空間直角坐標系，則（）A． B．點C的坐標為（﹣2，2，2） C．O，E，F(xiàn)，A四點共面 D．直線CE與直線DG所成角的余弦值為二、填空題(每小題5分，共30分)11．（5分）已知＝（2，﹣1，3），＝（﹣4，2，x），且∥，則x＝．12．（5分）過點（﹣1，3）且平行于直線x﹣2y+3的直線方程為．13．（5分）若，，則以為鄰邊的平行四邊形面積為．14．（5分）已知A（2，1，3），B（2，﹣2，6），C（3，3，6），則向量在上的投影向量坐標為．15．（5分）若直線l：+＝1（a＞0，b＞0）經(jīng)過點（1，2），則直線l在x軸和y軸的截距之和的最小值是．16．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝1，點P滿足，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，則下列說法中，正確的有.（請?zhí)钊胨姓_說法的序號）①當λ＝1時，△AB1P的周長為定值；②當μ＝1時，三棱錐P﹣A1BC的體積為定值；③當時，有且僅有一個點P，使得A1P⊥BP；④當時，有且僅有一個點P，使得A1B⊥平面AB1P．三、解答題（共50分）17．（12分）已知△ABC的頂點分別為A（2，4），B（7，﹣1），C（﹣6，1）．（Ⅰ）求BC邊的中線AD所在直線的方程；（Ⅱ）求BC邊的垂直平分線DE的方程．18．（12分）在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°．（Ⅰ）求BD1的長；（Ⅱ）求A1到直線BC的距離；（Ⅲ）動點P在線段CD1上運動，求的最小值．19．（12分）如圖，正方形AMDE的邊長為2，B，C分別為AM，MD的中點．在五棱錐P﹣ABCDE中，F(xiàn)為棱PE上一點，平面ABF與棱PD，PC分別交于點G，H．（Ⅰ）求證：AB∥FG；（Ⅱ）若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE，直線BC與平面ABF所成角為．（i）確定點F的位置，并說明理由；（ii）求線段PH的長．20．（14分）設(shè)正整數(shù)n≥3，集合A＝{a|a＝（x1，x2，…，xn），xk∈R，k＝1，2，…，n}，對應(yīng)集合A中的任意元素a＝（x1，x2，...xn）和b＝（y1，y2，...yn），及實數(shù)λ，定義：當且僅當xk＝y(tǒng)k（k＝1，2，…，n）時a＝b；a+b＝（x1+y1，x2+y2，...xn+yn）；λa＝（λx1，λx2，...λxn）．若A的子集B＝{a1，a2，a3}滿足：當且僅當λ1＝λ2＝λ3＝0時，λ1a1+λ2a2+λ3a3＝（0，0，…，0），則稱B為A的完美子集．（Ⅰ）當n＝3時，已知集合B1＝{（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）}，B2＝{（1，2，3），（2，3，4），（4，5，6）}，分別判斷這兩個集合是否為A的完美子集，并說明理由；（Ⅱ）當n＝3時，已知集合B＝{（2m，m，m﹣1），（m，2m，m﹣1），（m，m﹣1，2m）}．若B不是A的完美子集，求m的值；（Ⅲ）已知集合B＝{a1，a2，a3}?A，其中ai＝（xi1，xi2，...xin）（i＝1，2，3）．若2|xii|＞|x1i|+|x2i|+|x3i|對任意i＝1，2，3都成立，判斷B是否一定為A的完美子集．若是，請說明理由；若不是，請給出反例．

參考答案一、選擇題(每小題4分，共40分)1．【答案】D【解答】解：由直線的兩點式方程，得直線l的方程為，即x﹣y+1＝0，將各個選項中的坐標代入直線方程，可知點（﹣2，﹣1），（﹣1，0），（0，1）都在直線l上，點（2，1）不在直線l上．故選：D．2．【答案】A【解答】解：由于直線ax+by+c＝0同時要經(jīng)過第一、二、四象限，故斜率小于0，在y軸上的截距大于0，故，故ab＞0，bc＜0，故選：A．3．【答案】C【解答】解：＝（2，1，﹣3），＝（﹣1，2，3），＝（7，6，λ），∵，，共面，∴設(shè)＝m，則（2，1，﹣3）＝（﹣m+7n，2m+6n，3m+λn），∴，解得m＝﹣，n＝，解得λ＝﹣9．故選：C．4．【答案】C【解答】解：∵關(guān)于x，y的方程組（a∈R）無解，∴直線4x+2y+1＝0與直線2x+ay+1＝0平行，∴，解得a＝1．故選：C．5．【答案】A【解答】解：由題意，＝++＝﹣++＝＝，又因為，所以x＝1，，，所以x+y+z＝1．故選：A．6．【答案】A【解答】解：由題意兩條直線垂直時，則m（m﹣3）+m（m﹣1）＝0，即2m2﹣4m＝0，解得m＝0或m＝2，所以“m＝2”是“直線l1：（m﹣3）x+my+1＝0與直線l2：mx+（m﹣1）y﹣2＝0互相垂直”的充分不必要條件．故選：A．7．【答案】C【解答】解：當sinθ＝0時，則直線的斜率不存在，這時直線的傾斜角為，當sinθ≠0時，則直線的斜率k＝，當0＜sinθ≤1時，則k∈[1，+∞），這時直線的傾斜角為[，），當﹣1≤sinθ＜0，則k∈（﹣∞，﹣1]，這時直線的傾斜角為（，]，綜上所述：直線的傾斜角的范圍為[，]．故選：C．8．【答案】C【解答】解：由題意d＝＝，∴當sin（θ﹣α）＝﹣1時，dmax＝1+≤3．∴d的最大值為3．故選：C．9．【答案】B【解答】解：如圖，連接AE，DE，因為AB＝BC＝AC＝DB＝DC，E為BC中點，所以AE⊥BC，DE⊥BC，又平面ABC⊥底面BCD，平面ABC∩底面BCD＝BC，AE?平面ABC，所以AE⊥平面BCD，故ED，EB，EA兩兩垂直，以E為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)AB＝2，由EF∥AD，可得，，B（0，1，0），，則，，，設(shè)平面ABD的一個法向量為，則有，令x＝1，得，z＝1，則，設(shè)平面ABF的一個法向量為，則有，令c＝1，得a＝0，b＝，得，則，則平面ADB與平面ABF夾角的余弦值為．故選：B．10．【答案】C【解答】解：由題意正方形ABCD的對角線，則，，則，故A錯誤；因為，則，故B錯誤；對于C，，，則，，，所以，又O為三個向量的公共起點，所以O(shè)，E，F(xiàn)，A四點共面，故C正確；由，得，則，，則，所以直線CE與直線DG所成角的余弦值為，故D錯誤．故選：C．二、填空題(每小題5分，共30分)11．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：因為，且，所以存在實數(shù)λ使得即解得x＝﹣6．故答案為﹣6．12．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：設(shè)要求的直線方程為：x﹣2y+m＝0，把點（﹣1，3）代入上述方程可得：﹣1﹣2×3+m＝0，解得m＝7．∴要求的直線方程為：x﹣2y+7＝0，故答案為：x﹣2y+7＝0．13．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：設(shè)向量的夾角為θ，∵，，∴cosθ＝＝＝﹣，由同角三角函數(shù)的關(guān)系，得sinθ＝＝，∴以為鄰邊的平行四邊形面積為S＝?sinθ＝××＝6，故答案為：6．14．【答案】（0，﹣，）．【解答】解：因為A（2，1，3），B（2，﹣2，6），C（3，3，6），所以＝（1，2，3），＝（0，﹣3，3），所以?＝﹣6+9＝3，所以向量在上的投影向量坐標為?＝?＝（0，﹣，）．故答案為：（0，﹣，）．15．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵直線l：（a＞0，b＞0）經(jīng)過點（1，2）∴＝1，∴a+b＝（a+b）（）＝3+≥3+2，當且僅當b＝a時上式等號成立．∴直線在x軸，y軸上的截距之和的最小值為3+2．故答案為：3+2．16．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由題意得：，λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，所以P為正方形BCC1B1內(nèi)一點，①當λ＝1時，，即＝，μ∈[0，1]，所以P在線段CC1上，所以△AB1P周長為AB1+AP+B1P，如圖1所示，當點P在P1，P2處時，B1P1+AP1≠B1P2+AP2，故①錯誤；②如圖2，當μ＝1時，即＝λ+，即，λ∈[0，1]，所以P在B1C1上，VP﹣A1BC＝S△A1BC?h，因為B1C1∥BC，B1C1?平面A1BC?，BC?平面A1BC，所以點P到平面A1BC距離不變，即h不變，故②正確；③當λ＝時，即＝+，如圖3，M為B1C1中點，N為BC的中點，P是MN上一動點，易知當μ＝0時，點P與點N重合時，由于△ABC為等邊三角形，N為BC中點，所以AN⊥BC，又AA1⊥BC，AA1∩AN＝A，所以BN⊥平面ANMA1，因為A1P?平面ANMA1，則BP⊥A1P，當μ＝1時，點P與點M重合時，可證明出A1M⊥平面BCC1B1，而BM?平面BCC1B1，則A1M⊥BM，即A1P⊥BP，故③錯誤；④，當μ＝時，即＝+，如圖4所示，D為BB1的中點，E為CC1的中點，則P為DE上一動點，易知A1B⊥AB1，若A1B⊥平面AB1P，只需A1B⊥B1P即可，取B1C1的中點F，連接A1F，BF，又因為A1F⊥平面BCC1B1，所以A1F⊥PB1，若A1B⊥PB1，只需B1P⊥平面A1FB，即B1P⊥FB即可，如圖5，易知當且僅當點P與點E重合時，B1P⊥FB故只有一個點P符合要求，使得A1B⊥平面AB1P，故④正確．故答案為：②④．三、解答題（共50分）17．【答案】（Ⅰ）8x﹣3y﹣4＝0；（Ⅱ）26x﹣4y﹣13＝0．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)BC中點D的坐標為（x0，y0），則x0＝＝，y0＝＝0，∵BC邊的中線AD過點A（2，4），D（，0）兩點，∴AD所在直線方程為y﹣0＝（x﹣），即8x﹣3y﹣4＝0；（Ⅱ）∵BC的斜率k＝＝﹣，∴BC的垂直平分線DE的斜率k1＝，∴直線DE的方程為y﹣0＝（x﹣），即26x﹣4y﹣13＝0．18．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）2；（Ⅲ）﹣．【解答】解：（Ⅰ）AB＝AA1＝2，AD＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，因為＝++＝﹣++，所以||＝＝而?＝||?|cos60°＝2×1×＝1，?＝||?|cos60°＝2×2×＝2，?＝||?|cos60°＝1×2×＝1，所以||＝＝，即BD1的長度為；（Ⅱ）因為AD＝AA1cos60°＝2×＝1，所以A1D⊥AD，AD∥BC，所以A1D⊥BC，在△ABD中，BD＝＝＝，所以AD2+BD2＝AB2，即BD⊥BC，又因為A1D∩BD＝D，所以BC⊥平面A1BD，而A1B?平面A1BD，所以A1B⊥BC，即A1B為A1到直線BC的距離，而AA1＝AB＝2，∠A1AB＝60°，所以三角形AA1B為等邊三角形，即A1B＝2，即A1到直線BC的距離為2；（Ⅲ）設(shè)＝λ，則?＝＝＝＝[（λ﹣1）﹣λ﹣]?λ（﹣）＝λ[（λ﹣1）2﹣（λ﹣1）?﹣λ?+λ2﹣?+?]＝λ[（λ﹣1）×22﹣（2λ﹣1）||?||cos60°+λ×22﹣||?||cos60°+||?||cos60°]＝λ[4（λ﹣1）﹣（2λ﹣1）×2×2×+4λ﹣1×2×+1×2×]＝4λ2﹣2λ＝4（λ﹣）2﹣，當λ＝時，這時的最小值為．19．【答案】（Ⅰ）證明見解答；（Ⅱ）（i）F為PE中點；（ii）2．【解答】（Ⅰ）證明：在正方形AMDE中，AB∥DE，又AB?平面PDE，DE?平面PDE，所以AB∥平面PDE，又AB?平面ABFG，平面ABFG∩平面PDE＝FG，則AB∥FG；（Ⅱ）解：（i）當F為PE中點時，有直線BC與平面ABF所成角為，證明如下：由PA⊥平面ABCDE，可得PA⊥AB，PA⊥AE，建立空間直角坐標系A(chǔ)﹣xyz，如圖所示：則A（0，0，0），B（1，0，0），C（2，1，0），P（0，0，2），又F為PE中點，則F（0，1，1），，，，設(shè)平面ABF的一個法向量為，則有，即，令z＝1，則y＝﹣1，則平面ABF的一個法向量為，設(shè)直線BC與平面ABF所成角為α，則＝＝，故當F為PE中點時，直線BC與平面ABF所成角的大小為．（ii）設(shè)點H的坐標為（u，v，w），因為點H在棱PC上，所以可設(shè)（0＜λ＜1），即（u，v，w﹣2）＝λ（2，1，﹣2），所以u＝2λ，v＝λ，w＝2﹣2λ，因為是平面ABFGH的法向量，所以，即（0，﹣1，1）?（2λ，λ，2﹣2λ）＝0，解得，故H，則，所以．20．【答案】（Ⅰ）B1是A的