1、6 / 6圓壓軸題八大模型題（五）瀘州市七中佳德學校易建洪引言：與圓有關的證明與計算的綜合解答題，往往位于許多省市中考題中的倒數第二題的位置上，是試卷中綜合性與難度都比較大的習題。一般都會在固定習題模型的基礎上變化與括展，本文結合近年來各省市中考題，整理了這些習題的常見的結論，破題的要點，常用技巧。把握了這些方法與技巧，就能臺階性地幫助考生解決問題。類型5三切線組合直角梯形 ABCD中，AD/BC,O與CD相切于點E./B=90° ,以AB為直徑的半圓。圖(1) AD= 4(2)求證：BC= 9,求 AB; 4AD BC= AB.(3)求證：CO- CB- CD(4)求證：CO/ A

2、E DO/ BE【分析】（1）法一：如圖（a）過點D 作 DF，BC, AB= DF = 7(92_4) =12.法二：如圖（b）由aOBCs DAO或 COEsODE 得:r2=4X9=36, r = 6,AB = 12.(2)由OBCsDAO,或 COEsODE 得：r2 = AD BC,(4AD - BC= AB2(3)由 RtACBORtACOD 得:(4) / CFE = Z COG = / EGD =(94)圖圖圖（6）求證：EP=FP.(6)求證：DG=AG.求證：EP=FP.(8)若 AB=2<'5 , AD=2,求BC和EF的長.【分析】(5)由 CB / EF

3、 / DA, CB = CE, DA= DE 得空DAt 空空，EP=FP.CA BD DA(6)由 CB=CE, / CBE=Z CEB=Z DEG; CB/ DA 得/ CBE = Z D, . . / DEG = / D.DG= EG,又 EG = GA, DG = AG. EF/DA,得空 史 FP,又 DG=GA,得 EP=FP. DG BG GA(8)由 AB2=4AD BC 得：(2#) 2=4X 2BC,，BC=2. 5, CF= BC=2. 5, BF = 5.在 RtABF 中，AF =&2庖 52 = 3 J5 .由 AD / BF 得普ADCF .EF= 5AF

4、 = 5 *3指=5疾【典例】（2018 湖南婁底）如圖，已知半圓O與四邊形ABCD的邊AD、AB、BC都相切，切點分別為 D、E、C,半徑 OC=1,貝U AE BE.【分析】連接OE,由切線長定理可得/ AOE=1/DOE,2/BOE=1/EOC,再根據/ DOE + Z EOC= 180° ,可 2得/AOB=90° ,繼而可證 AEOAOEB,根據相似三角形對應邊成比例即可得 解：如圖，連接 OE, AD、AB與半圓 O相切， OEXAB, OA 平分/ DOE , ./AOE= 1 / DOE ,同理/ BOE= - Z EOC,22,. Z DOE + Z EO

5、C=180° , AOE+Z BOE = 90° ,即/AOB = 90° , . ABO + Z BAO= 90° , . Z BAO + Z AOE= 90° , . . / ABO = /AOE,. / OEA=/BEO= 90° , AEOA OEB,.AE: OE=OE: BE, . AE?BE= OE2= 1,答案：1.【點撥】由切線長定理引出的四個母子相似三角形中，含直角三角形、等腰三角形、全等三角形及相似三角形。除開由切線長所在的特殊四邊形的特殊結論以外，往往借助切線長定理中的邊等角等和比例線段證明線段相等，或運用局部

6、占總體的比例求線段長。善于分解圖形，構建基本的圖形模型，綜合運用解決問題?！咀兪竭\用】1.（2016大慶）如圖，在RtAABC中，/ C = 90°,以BC為直徑的。O交斜邊 AB于點M,若H是AC的中點，連接 MH.求證：MH為OO的切線.若MH = 3 , tan/ ABC = 3 ,求。O的半徑.24在（2）的條件下分別過點 A、B作。O的切線，兩切線交于點D , AD與。O相切于N點，過N點作NQXBC,垂足為E,且交。O于Q點，求線段 卜解：(1)連接 OH、OM ,. H是AC的中點，O是BC的中點， .OH 是 AABC 的中位線，. OH II AB, / COH =

7、 / ABC , / MOH = / OMB ,又. OBmOM, ./ OMB = / MBO , ./ COH =/ MOH ,在ACOH與AMOH中，gOM NCOH=/MOH, . COHA MOH (SAS), tOH=OH ./ HCO =/ HMO = 90°, .MH是。O的切線；(2) MH、AC 是。O 的切線，3.-.HC = MH =y, AC=2HC = 3,JQ的長度.AvZJ7圖5-2.4.&考圖b. tan/ABC= 4 , BC = 4 , .BC=4, .-.O O 的半徑為 2.(3)連接OA、CN、ON, OA與CN相交于點I, . A

8、C與AN都是。O的切線， .AC=AN, AO 平分 / CAD,.-.AOXCN,. AC=3, OC = 2,由勾股定理可求得：圖cAO=/l3, AC?OC=AO?CI, .CI='H, .由垂徑定理可求得：CN=13H2f 21313設OE = x,由勾股定理可得：CN2 CE2=ON2 OE2,( 2+x) 2=4-x2,13110：1024 x = 號，.CE= 詈，由勾股定理可求得：EN=*,48 由垂徑定理可知：NQ = 2EN=二.2.( 2016廣西梧州)如圖，AB、BC、CD分別與。O切于E、F、G,且AB / CD .連接OB、OC,延長 CO交。O于點 M,過

9、點 M作MN / OB交CD于N.(1)求證：MN是。的切線；(2)當OB = 6cm, OC = 8cm時，求。O的半徑及 MN的長.(1)如圖所示，連接 OE、OF、OG.OE、OF、OG都是。的半徑，.OE=OG = OG.AB、BC、CD分別與。O相切于點E、F、G,/ OEB = / OFB = / OFC = / OGC = 90.在 RtOEB 和 RtAOFB 中，fOB = OBOE = OFRtAOEBRtAOFB ,圖5-2D NC則/ OBE = Z OBF.同理可證 RtAOFCRtAOGC, 則/ OCF = Z OCG. AB / CD, ./ OBE + Z O

10、BF + Z OCF + Z OCG = 180,即/ OBF + Z OCF = 90°,則/ BOC = 180°-Z OBF-Z OCF=90°. . MN / OB, ./ NMC = Z MOB = 180°-Z BOC = 90°,即OM，MN,又 OM是。O的半徑，.MN是。O的切線。(2)如圖所示，由(1)可得，在 RtOBC 中，OFBC, /BOC = 90°。由勾股定理得，BC 一 /。用+d出斗群=10,則“權即 10OF= 48，故 OF = 4. 8. ; OM =OF = 4. 8,.MC = OM +

11、OC= 12. 8。由(1)知，/ OCB=Z MCN , / NMCZ BOC=90°,MN _ MG MN _ 12.8則nmcsboc,因此7n記，即 一=國，Ei 故''=叫綜上所述，O O的半徑為4.8cm, MN的長為9.6cm.E為。O3. （2018 湖北襄陽）如圖， AB是。O的直徑，AM和BN是。O的兩條切線,上一點，過點 E作直線DC分別交AM, BN于點D, C,且CB=CE.圖5-3(1)求證：DA=DE;(2)若AB=6, CD = 4，3,求圖中陰影部分的面積.解：(1)證明：連結OE, OC. BN 切。O 于點 B, ./ OBN = 90°. . OE=OB, OC=OC, CE=CB, /. OECAOBC. ./ OEC = Z OBC=90°. .CD是。O的切線. AD 切。O 于點 A,，DA = DE.(2)過點D作DF，BC于點F,則四邊形 ABFD是矩形.，AD = BF, DF = AB = 6. .DC = BC + AD=4p.FC= DC=DF2