1、1第四節第四節兩類問題(wnt):在收斂(shulin)域內和函數)(xS求 和展 開本節內容(nirng):一、泰勒 ( Taylor ) 級數 二、函數展開成冪級數 函數展開成冪級數 第十二章 第1頁/共27頁第一頁，共28頁。2一、泰勒一、泰勒(ti l) ( Taylor ) 級數級數 其中(qzhng)( 在 x 與 x0 之間)稱為(chn wi)拉格朗日余項 .則在若函數的某鄰域內具有 n + 1 階導數, 此式稱為 f (x) 的 n 階泰勒公式 ,該鄰域內有 :第2頁/共27頁第二頁，共28頁。3)(00 xxxf200)(!2)(xxxf 為f (x) 的泰勒(ti l)級

2、數 . 則稱當x0 = 0 時, 泰勒級數(j sh)又稱為麥克勞林級數(j sh) .1) 對此級數(j sh), 它的收斂域是什么 ？2) 在收斂域上 , 和函數是否為 f (x) ?待解決的問題待解決的問題 :若函數的某鄰域內具有任意階導數, 0)(xxf在第3頁/共27頁第三頁，共28頁。4定理定理(dngl)1 .各階導數(do sh), 則 f (x) 在該鄰域內能展開(zhn ki)成泰勒級數的充要條件是 f (x) 的泰勒公式中的余項滿足:證明:令)(0 xx設函數 f (x) 在點 x0 的某一鄰域 內具有第4頁/共27頁第四頁，共28頁。5定理定理(dngl)2.若 f (

3、x) 能展成 x 的冪級數, 則這種展開式是唯一(wi y)的 , 且與它的麥克勞林級數相同.證: 設 f (x) 所展成的冪級數為則顯然(xinrn)結論成立 .第5頁/共27頁第五頁，共28頁。6二、函數二、函數(hnsh)展開展開成冪級數成冪級數 1. 直接(zhji)展開法由泰勒級數(j sh)理論可知, 第一步 求函數及其各階導數在 x = 0 處的值 ;第二步 寫出麥克勞林級數 , 并求出其收斂半徑 R ; 第三步 判別在收斂區間(R, R) 內是否為0. 驟如下 :展開方法直接展開法 利用泰勒公式間接展開法 利用已知其級數展開式的函數展開第6頁/共27頁第六頁，共28頁。7例例1

4、. 將函數將函數(hnsh)展開(zhn ki)成 x 的冪級數. 解解: 其收斂(shulin)半徑為 對任何有限數 x , 其余項滿足故( 在0與x 之間)故得級數 第7頁/共27頁第七頁，共28頁。8例例2. 將將展開(zhn ki)成 x 的冪級數.解: 得級數(j sh):其收斂(shulin)半徑為 對任何有限數 x , 其余項滿足! ) 1( nn0第8頁/共27頁第八頁，共28頁。9類似(li s)可推出:),(x),(x(P281 ) 第9頁/共27頁第九頁，共28頁。10例例3. 將函數將函數(hnsh)展開(zhn ki)成 x 的冪級數, 其中m為任意(rny)常數 .

5、(P 283)解: 易求出 于是得 級數由于級數在開區間 (1, 1) 內收斂. 因此對任意常數 m, 第10頁/共27頁第十頁，共28頁。112!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(推導(tudo)則為避免(bmin)研究余項 , 設此級數的和函數為第11頁/共27頁第十一頁，共28頁。12)()1 (xFx例例3 附注附注(fzh) P284第12頁/共27頁第十二頁，共28頁。132!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(稱為(chn wi)二項展開式 .說明(shumng)：(1) 在 x1 處的收斂性與 m 有關(yugun) .(2) 當 m 為正整數時, 級

6、數為 x 的 m 次多項式, 上式 就是代數學中的二項式定理.由此得 第13頁/共27頁第十三頁，共28頁。14對應(duyng)的二項展開式分別(fnbi)為 (P285)第14頁/共27頁第十四頁，共28頁。152. 間接間接(jin ji)展開法展開法利用(lyng)一些已知的函數展開式及冪級數的運算性質, 例1 將函數(hnsh)展開成 x 的冪級數.解: 因為把 x 換成)11(x, 得將所給函數展開成 冪級數. 第15頁/共27頁第十五頁，共28頁。16例例2第16頁/共27頁第十六頁，共28頁。17例例3. 將將展成(zhn chn) x1 的冪級數. 解: 第17頁/共27頁第

7、十七頁，共28頁。18例例4將下列函數(hnsh)展開成 x 的冪級數解:211xx1 時, 此級數(j sh)條件收斂,因此(ync) 第18頁/共27頁第十八頁，共28頁。19例例5. 將函數將函數(hnsh)展開(zhn ki)成 x 的冪級數.解: 從 0 到 x 積分(jfn), 得定義且連續, 區間為利用此題可得上式右端的冪級數在 x 1 收斂 ,所以展開式對 x 1 也是成立的,于是收斂第19頁/共27頁第十九頁，共28頁。20)1 (lnxx1, 1(x221x331x441x11) 1(nnxn例例6. 將將展開(zhn ki)為 x 的冪級數.解:)(3232x因此(ync

8、)第20頁/共27頁第二十頁，共28頁。21例例7. 將將展成(zhn chn)解: 的冪級數. 第21頁/共27頁第二十一頁，共28頁。22:解,! )2(2) 1(21121nnnnxn),(x例例8第22頁/共27頁第二十二頁，共28頁。23內容內容(nirng)小結小結1. 函數(hnsh)的冪級數展開法(1) 直接(zhji)展開法 利用泰勒公式 ;(2) 間接展開法 利用冪級數的性質及已知展開2. 常用函數的冪級數展開式(以后可直接引用)1x2!21x式的函數 .第23頁/共27頁第二十三頁，共28頁。24x11nxnnmmm!) 1() 1(當 m = 1 時),(x),(x)

9、1, 1(x x11 21nxxx 1x第24頁/共27頁第二十四頁，共28頁。25思考思考(sko)與練習與練習 函數(hnsh)處 “有泰勒(ti l)級數” 與 “能展成泰勒(ti l)級數” 有何不同 ?提示: 后者必需證明前者無此要求.第25頁/共27頁第二十五頁，共28頁。26 P285 2 (3) , (5) , (6) ; 3 (2) ; 5 ; 6 作業作業(zuy)第26頁/共27頁第二十六頁，共28頁。27感謝您的觀看(gunkn)！第27頁/共27頁第二十七頁，共28頁。NoImage內容(nirng)總結1。第1頁/共27頁。為f (x) 的泰勒級數 .。1) 對此級數, 它的收斂域是什么。則 f (x) 在該鄰域內能展開(zhn ki)成泰勒級數的充要。展開(zhn ki)成 x 的冪級數.。對任何有限數 x