1、第三講正方形的性質與判定、知識要點1. 正方形的定義：有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.2. 正方形的性質正方形是特殊的平行四邊形、矩形、菱形.它具有前三者的所有性質:1邊的性質：對邊平行，四條邊都相等.2角的性質：四個角都是直角.對角.3對角線性質：兩條對角線互相垂直平分且相等，？每條對角線平分一組4對稱性：正方形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形.平行四邊形、矩形、菱形和正方形的關系：（如圖）3. 正方形的判定1:對角線相等的菱形是正方形2:對角線互相垂直的矩形是正方形，正方形是一種特殊的矩形3:四邊相等，有一個角是直角的四邊形是正方形4： 一組鄰邊相等的矩形是正方形5

2、: 組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形典型例題例1 如圖12-2-14，已知過正方形 ABC%角線BD上一點P，作PE± BC于E，作PF丄CD于F.試說明AP= EF.甘 E.V 12-2U4分析：由PE丄BC, PF丄CD知，四邊形PECF為矩形，故有 EF= PC,這時只需證 AP= CP, 由正方形對角線互相垂直平分知AP= CP解：連結AC PC,四邊形ABCD為正方形， BD垂直平分 AC AP= CP./ PE丄BC, PF丄CD / BCD= 90°,四邊形PECF為矩形， PC= EF, AP= EF.注意：在正方形中，常利用對角線互相垂直平分

3、證明線段相等.無論是正方形還是矩形經常通過連結對角線證題，這樣可以使分散條件集中.思考：由上述條件是否可以得到 API EF.提示：可以，延長 AP交EF于N,由PE/ AB,有/ NPE=Z BAN又/ BAN=Z BCP 而/ BCP=Z PFE 故/ NPE=Z PFE而/ PFE+Z PEF= 90°，所以/ NPEFZ PEF= 90°，貝U API EF.例 2 如圖 12-2-15 , ABC中，Z ABC= 90°, BD平分Z ABC DEI BC, DF丄AB 試說 明四邊形BEDF是正方形.解：I/ ABC= 90°, DEL BC

4、, DE/ AB,同理，DF/ BC BEDF是平行四邊形./ BD平分/ ABC DEL BC, DFL AB, DE= DF.又/ ABC= 90°, BEDF是平行四邊形，四邊形BEDF是正方形.思考：還有沒有其他方法？提示：（有一種方法可以證四邊形 DFBE為矩形，然后證 BE= DE可得.另一種方法, 可證四邊形DFBE為菱形，后證一個角為 90°可得）注意：靈活選擇正方形的識別方法.例3 如圖12-2-16所示，四邊形 ABCD是正方形， ADE是等邊三角形，求/ BEC的大小.分析：等邊三角形和正方形都能提供大量的線段相等和角相等，常能產生一些等腰三角形，十分

5、便于計算.在本題中，必須注意等邊三角形與正方形不同的位置關系在（1）圖中, ABE和厶DCE都是等腰三角形， 頂角都是150°,可得底角/ AEB與/ DEC都是15°,貝 BEC為30°.而在 圖中，等邊三角形在正方形內部，ABE和厶DCE是等腰三角形，頂角是30°,可得底角/ AEB和/ DEC為75°,再利用周角可求得/ BEC= 150° .解： 當等邊 ADE在正方形 ABCD外部時，AB= AE,/ BAE= 90°+ 60°= 150°,所 以/ AEB= 15° .同理可得/ D

6、EC= 15°，則/ BEC= 60° 15° 15°= 30 ° .(2)當等邊 ADE在正方形 ABCD內部時，AB= AE,/ BAE= 90° 60 ° = 30°，所以/AEB= 75° .同理可得/ DEC= 75°，則/ BEC= 360° 75° 75° 60°= 150° .【中考考點】會用正方形的性質來解決有關問題，并能用正方形的定義來判斷四邊形是否為正方形.【命題方向】本節出題比較靈活，填空題、選擇題、證明題均可出現.正方形

7、是特殊的平行四邊形，考查正方形的內容，實質上是對平行四邊形知識的綜合, 涉及正方形知識的題型較多，多以證明題形式出現.【常見錯誤分析】已知如圖12-2-18 , ABC中，/ C= 90°，分別以 AC和BC為邊向外作正方形 ACFH和 正方形BCED HML BA的延長線于 M, DK AB的延長線于 K 試說明 AB= DK+ HM錯解：延長DK到S,使KS= HM連結SB./ 2=Z 3,Z 2+Z 4= 90°,/ 3+Z 4= 90°.在厶ABC SDB中，/ ACB=Z SBD= 90°,BC= BD，/ 2= 90°/ 4=Z 5

8、 ABC SDB重合， AB= SD= SKDK,即 AB= HM DK.分析指導：由于S、B C三點共線未經證明，所以/ 2 =/ 3的理由是不充足的，因此又犯了思維不嚴密的錯誤.正解：如圖12-2-18，延長DK交CB延長線于S,下面證 KS= MH在厶 ACB SBD中,/ BD= BC, / SBD=/ ACB= 90 ° ,又/ 2=/ 3=/ 5, ACB與 SBD重 合， AB= DS, BS= AC= AH.在厶 BKS和 AMH中,/ 1=/ 2=/ 3,/ AM=/ SKB= 90°, BS= AH, BKS與 AMHt 合， KS= HM， AB= D

9、K HM.【學習方法指導】正方形是最特殊的平行四邊形，它既是一組鄰邊相等的矩形，又是有一個角為直角的菱形，所以它的性質最多，易混淆.故最好把平行四邊形、矩形、菱形、正方形列表寫出它們的定義、性質、判定，這樣更容易記憶和區分三、作業正方形的判定選擇題（共 8 小題） 1已知四邊形 ABCD是平行四邊形，再從AB=BC/ ABC=90，AC=BDACLBD 四個條件中，選兩個作為補充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，現有下列四種選法，其中錯誤的是（ ）A. 選 B .選 C .選D .選2下列說法中，正確的是（）A. 相等的角一定是對頂角B. 四個角都相等的四邊形一定是正方形C. 平行四邊形的對

10、角線互相平分D. 矩形的對角線一定垂直3. 下列命題中是假命題的是（）A. 組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形B. 組對邊相等且有一個角是直角的四邊形是矩形C. 一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形D. 組鄰邊相等的矩形是正方形4. 已知四邊形 ABCD是平行四邊形，下列結論中不正確的有（）當AB=BC時，它是菱形；當 ACL BD時，它是菱形；當/ ABC=90時，它是矩形； 當AC=BD寸，它是正方形.A. 1組B . 2 組C . 3組 D . 4組5. 四邊形ABCD勺對角線AC=BD ACLBD分別過 A B、C、D作對角線的平行線，所成的 四邊形EFMh（）A.正方形 B .菱形 C

11、.矩形 D .任意四邊形6如果要證明平行四邊形 ABCD為正方形，那么我們需要在四邊形ABCD是平行四邊形的基礎上，進一步證明（）A. AB=AD且 ACL BD B. AB=AD且 AC=BD C . Z A=/B 且 AC=BD D. AC和 BD互相垂直 平分7.下列命題中，真命題是（）A. 對角線相等的四邊形是矩形B. 對角線互相垂直的四邊形是菱形C. 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形D. 對角線互相垂直平分的四邊形是正方形&如圖，在厶ABC中，Z ACB=90 , BC的垂直平分線 EF交BC于點D,交AB于點E,且BE=BF 添加一個條件，仍不能證明四邊形BECF為正方形

12、的是（）A. BC=AC B. CFL BF C. BD=DFD. AC=BF二.填空題（共6小題）9.能使平行四邊形 ABCD為正方形的條件是 （填上一個符合題目要求的條件即可）.10 .如圖，在Rt ABC中，Z C=90 , DE垂直平分 AC, DFL BC當厶ABC滿足條件 時，四邊形DECF是正方形.（要求：不再添加任何輔助線，只需填一個符合要求的條件）11. 如圖，菱形 ABCD的對角線相交于點 0,請你添加一個條件：_ ，使得該菱形為正方形.12. 如圖，在四邊形 ABCD中, AB=BC=CD=DA對角線AC與BD相交于點0,若不增加任何字 母與輔助線，要使四邊形 ABCD是

13、正方形，則還需增加一個條件是_.13. 已知四邊形ABCD中, / A=Z B=Z C=90 ,若添加一個條件即可判定該四邊形是正方形， 那么這個條件可以是.14要使一個菱形成為正方形，需添加一個條件為 .三.解答題（共8小題）15. 已知：如圖， ABC中，/ ABC=90 , BD是/ ABC的平分線，DEL AB于點E, DF丄BC于點F.求證：四邊形 DEBF是正方形.16. 如圖，在四邊形 ABCD中, AB=BC對角線 BD平分/ ABC P是BD上一點，過點P作PMLAD, PNL CD垂足分別為 M N.(1 )求證：/ ADBM CDB(2)若/ ADC=90，求證：四邊形

14、MPND正方形.17. 如圖，在 Rt ABC中，/ ACB=90，過點 C的直線 MN/ AB D為AB邊上一點，過點 D 作DEIBC交直線 MN于E,垂足為F,連接CD BE(1) 求證：CE=AD(2) 當D在AB中點時，四邊形 BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由；(3) 若D為AB中點，則當/A的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？請說明你 的理由.18. 如圖，在 ABC中，點 D E分別是邊 AB AC的中點，將 ADE繞點E旋轉180°得到 CFE(1) 求證：四邊形 ADCF是平行四邊形.(2) 當厶ABC滿足什么條件時，四邊形 ADCF是正方形？請說明

15、理由.A19如圖，分別以線段 AB的兩個端點為圓心，大于 AB的長為半徑作弧，兩弧交于 M N兩 點，連接 MN交AB于點 D C是直線 MN上任意一點，連接 CA CB過點D作DEL AC于點 E, DFL BC 于點 F.(1) 求證： AEDA BFD(2) 若AB=2當CD的值為時，四邊形 DECF是正方形.20 .如圖，AB是CD的垂直平分線，交 CD于點M過點 M作MEL A C, MFL AD垂足分別為E、F.(1 )求證：/ CABM DAB(2)若/ CAD=90，求證：四邊形 AEMF是正方形.21. 如圖， ABC中，點 0是邊AC上一個動點，過 0作直線 MN/ BQ

16、設 MN交/ACB的平分 線于點E,交/ ACB的外角平分線于點 F.(1) 探究：線段 0E與OF的數量關系并加以證明；(2) 當點0運動到何處時，且 ABC滿足什么條件時，四邊形 AECF是正方形？(3) 當點0在邊AC上運動時，四邊形 BCF 是菱形嗎？(填“可能”或“不 可能”)3CD22. 已知：如圖， ABC中，點0是AC上的一動點，過點 0作直線 MN/ AC設 MN交/ BCA 的平分線于點E,交/ BCA的外角/ACG的平分線于點F,連接AE、AF.(1 )求證：/ ECF=90 ;(2)當點0運動到何處時，四邊形 AECF是矩形？請說明理由;(3) 在(2)的條件下， AB

17、C應該滿足條件：_ ，就能使矩形 AECF變為正方形.(直接添加條件，無需證明)參考答案與試題解析一選擇題（共 8 小題）1已知四邊形 ABCD是平行四邊形，再從AB=BC/ ABC=90，AC=BDACLBD 四個條件中，選兩個作為補充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，現有下列四種選法，其中錯誤的是（ ）A. 選B.選C.選D.選考點：正方形的判定；平行四邊形的性質分析：要判定是正方形，則需能判定它既是菱形又是矩形.解答：解：A、由得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由得有一個角是直角的平行四邊形是矩形，所以平行四邊形 ABCD是正方形，正確，故本選項不符合題意;B由得有一個角是直角的平行

18、四邊形是矩形，由得對角線相等的平行四邊形是矩形， 所以不能得出平行四邊形 ABCD是正方形，錯誤，故本選項符合題意；C由得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由得對角線相等的平行四邊形是矩形，所以平行四邊形 ABCD是正方形，正確，故本選項不符合題意；D由得有一個角是直角的平行四邊形是矩形，由得對角線互相垂直的平行四邊形是菱 形，所以平行四邊形 ABCD是正方形，正確，故本選項不符合題意.故選： B.點評：本題考查了正方形的判定方法： 先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形有一組鄰邊相等； 先判定四邊形是菱形，再判定這個矩形有一個角為直角. 還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進行判定.2.

19、下列說法中，正確的是（）A. 相等的角一定是對頂角B 四個角都相等的四邊形一定是正方形C 平行四邊形的對角線互相平分D 矩形的對角線一定垂直考點：正方形的判定；對頂角、鄰補角；平行四邊形的性質；矩形的性質分析：根據對頂角的定義，正方形的判定，平行四邊形的性質，矩形的性質對各選項分析判斷利用排除法求解解答：解：A、相等的角一定是對頂角錯誤，例如，角平分線分成的兩個角相等，但不是對頂角，故本選項錯誤；B四個角都相等的四邊形一定是矩形，不一定是正方形，故本選項錯誤；C平行四邊形的對角線互相平分正確，故本選項正確；D矩形的對角線一定相等，但不一定垂直，故本選項錯誤.故選： C點評：本題考查了正方形的判

20、定， 平行四邊形的性質， 矩形的性質， 對頂角的定義，熟記各性質與判定方法是解題的關鍵.3. 下列命題中是假命題的是（）A. 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形B. 一組對邊相等且有一個角是直角的四邊形是矩形C. 一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形D. 一組鄰邊相等的矩形是正方形考點：正方形的判定；平行四邊形的判定；菱形的判定；矩形的判定.專題：證明題.分析：做題時首先熟悉各種四邊形的判定方法，然后作答.解答：解：A、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，（平行四邊形判定定理）；正確B 組對邊相等且有一個角是直角的四邊形是矩形，不一定是矩形，還可能是不規則四邊 形，錯誤C 一組鄰邊相等的平行

21、四邊形是菱形，正確；D 組鄰邊相等的矩形是正方形，正確.故選 B點評：本題主要考查各種四邊形的判定，基礎題要細心.4. 已知四邊形 ABCD是平行四邊形，下列結論中不正確的有（） 當AB=BC寸，它是菱形；當 ACL BD時，它是菱形；當/ ABC=90時，它是矩形； 當AC=BD寸，它是正方形.A.1 組B. 2 組C. 3組D. 4組考點：正方形的判定；平行四邊形的性質；菱形的判定；矩形的判定.分析：根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形可判斷正確； 根據所給條件可以證出鄰邊相等，可判斷正確；根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形可判斷正確；根據 對角線相等的平行四邊形是矩形可以判斷出錯誤.解答：解

22、：根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形可知：四邊形ABCD是平行四邊形,當AB=BC寸，它是菱形正確； 四邊形ABCD是平行四邊形， BO=OP/ ACL BD AB2=BO2+AO2P AD2=DO2+AO2P AB=ADP四邊形ABCD是菱形，故正確； 根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形可知正確； 根據對角線相等的平行四邊形是矩形可知當AC=BD寸，它是矩形，不是正方形，故錯誤;故不正確的有1個.故選：A.點評：此題主要考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定，關鍵是熟練掌握三種特殊平行四邊形的判定定理.5. 四邊形ABCD勺對角線AC=BD ACLBD,分別過 A B、C、D作對角線的平行

23、線，所成的 四邊形EFMN()A.正方形B.菱形C.矩形D.任意四邊形考點：正方形的判定.分析：根據平行線的性質和判定得出/ NAOM AODM N=90 ,EN=NM=FM=ERS而判斷即可.解答：證明：如圖所示：分別過A B C D作對角線的平行線， AC/ MN EF, EN/ BD/ MF對角線 AC=BD ACL BD/ NAOM AODM N=90 , EN=NM=FM=EF四邊形EFMN是正方形.故選：A.V點評：此題主要考查了正方形的判定以及平行線的性質和判定等知識，熟練掌握正方形的判定定理是解題關鍵.6 如果要證明平行四邊形ABCD為正方形，那么我們需要在四邊形ABCD是平行

24、四邊形的基礎上，進一步證明（）A.AB=AD且 ACL BD B.AB=AD且 AC=BD C ./ A=/B 且 AC=BD D AC 和 BD互相垂直平分考點：正方形的判定.分析：根據正方形的判定對各個選項進行分析從而得到最后的答案.解答：解：A、根據有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，或者對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以不能判斷平行四邊形ABCD是正方形；B根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，對角線相等的平行四邊形為矩形，所以能判斷四邊形ABCD是正方形；C 一組鄰角相等的平行四邊形是矩形，對角線相等的平行四邊形也是矩形，即只能證明四邊形ABCD是矩形，不能判斷四邊形 ABCD是正

25、方形；D對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，所以不 能判斷四邊形ABCD是正方形.故選B.點評：本題是考查正方形的判別方法，判別一個四邊形為正方形主要根據正方形的概念，途經有兩種： 先說明它是矩形，再說明有一組鄰邊相等;先說明它是菱形，再說明它有一個角為直角.7下列命題中，真命題是（）A. 對角線相等的四邊形是矩形B. 對角線互相垂直的四邊形是菱形C. 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形D. 對角線互相垂直平分的四邊形是正方形考點：正方形的判定； 平行四邊形的判定； 菱形的判定； 矩形的判定； 命題與定理.分析：A、根據矩形的定義作出判斷；B根據菱形的性質作出

26、判斷；C根據平行四邊形的判定定理作出判斷;D根據正方形的判定定理作出判斷.解答：解：A、兩條對角線相等且相互平分的四邊形為矩形；故本選項錯誤；B對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；故本選項錯誤；C對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；故本選項正確；D對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；故本選項錯誤;故選 C.點評：本題綜合考查了正方形、矩形、菱形及平行四邊形的判定.解答此題時，必須理清矩形、正方形、菱形與平行四邊形間的關系.&如圖，在厶ABC中，/ ACB=90 , BC的垂直平分線 EF交BC于點D,交AB于點E,且BE=BF, 添加一個條件，仍不能證明四邊形BECF為正方形的是（

27、）A.BC=ACB. CF丄 BFC. BD=DFD. AC=BF考點：正方形的判定；線段垂直平分線的性質.分析：根據中垂線的性質：中垂線上的點到線段兩個端點的距離相等，有BE=ECBF=FC進而得出四邊形 BECF是菱形；由菱形的性質知，以及菱形與正方形的關系，進而分 別分析得出即可.解答：解： EF垂直平分BC BE=EC BF=CF/ BF=BE BE=EC=CF=BF四邊形BECF是菱形；當BC=AC寸，/ ACB=90 ,則/A=45°時，菱形 BECF是正方形./ A=45°,Z ACB=90 , / EBC=45 / EBF=2/ EBC=2< 45&#

28、176; =90°菱形BECF是正方形.故選項A正確，但不符合題意；當CF丄BF時，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故選項B正確，但不符合題意;當BD=DF寸，禾U用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故選項 C正確，但不符合題意；當AC=BF時，無法得出菱形 BECF是正方形，故選項 D錯誤，符合題意.故選：D.點評：本題考查了菱形的判定和性質及中垂線的性質、直角三角形的性質、正方形的判定等知識，熟練掌握正方形的相關的定理是解題關鍵.二.填空題（共6小題）9. 能使平行四邊形 ABCD為正方形的條件是AC=BD且ACLBD （填上一個符合題目要求的條件即可）.考點：

29、正方形的判定；平行四邊形的性質.專題：開放型.分析：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，對角線相等的平行四邊形是矩形，矩形和菱形的結合體是正方形.解答：解：可添加對角線相等且對角線垂直或對角線相等，且一組鄰邊相等；或對角線垂直，有一個內角是 90°.答案不唯一，此處填：AC=BEfi ACLBD點評：本題考查正方形的判定，需注意它是菱形和矩形的結合.10. 如圖，在 Rt ABC中，/ C=9C° , DE垂直平分 AC, DF丄BC當厶ABC滿足條件 AC=BC 時，四邊形DECF是正方形.（要求：不再添加任何輔助線，只需填一個符合要求的條件）考點:正方形的判定.專題:計算

30、題；開放型.分析：由已知可得四邊形的四個角都為直角，因此再有四邊相等即是正方形添加條件.此題可從四邊形 DECF是正方形推出.解答：解：設AC=BC即厶ABC為等腰直角三角形，/ C=90 , DE垂直平分 AC DF丄 BC/ C=Z CEDM EDF2 DFC=90 ,DF=AC=CE2DE=BC=CF2 DF=CE=DE=CF四邊形DECF是正方形，故答案為：AC=BC點評：此題考查的知識點是正方形的判定，解題的關鍵是可從四邊形DECF是正方形推出 ABC滿足的條件.11. 如圖，菱形 ABCD勺對角線相交于點 0,請你添加一個條件：AC=BD或AB丄BC ，使得該菱形為正方形.考點：正

31、方形的判定；菱形的性質.專題：壓軸題.分析：根據正方形判定定理進行分析.解答：解：根據對角線相等的菱形是正方形，可添加： AC=BD根據有一個角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB丄BC故添加的條件為： AC=BD或 AB! BC點評：本題答案不唯一，根據菱形與正方形的關系求解.12. 如圖，在四邊形 ABCD中，AB=BC=CD=DA寸角線AC與BD相交于點0,若不增加任何字 母與輔助線，要使四邊形 ABCD是正方形，則還需增加一個條件是AC=BD或AB丄BC .考點：正方形的判定；菱形的判定.專題：開放型.分析：根據菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答.解答：解：在四邊形 ABCD中,

32、AB=BC=CD=DA四邊形ABCD是菱形要使四邊形 ABCD是正方形，則還需增加一個條件是：AC=BD或 AB丄BC點評：解答此題的關鍵是熟練掌握正方形的判定定理，即有一個角是直角的菱形是正方形.13. 已知四邊形ABCD中, / A=Z B=Z C=90 ,若添加一個條件即可判定該四邊形是正方形, 那么這個條件可以是AB=AD或ACL BD等 .考點：正方形的判定；矩形的判定與性質.專題：開放型.分析：由已知可得四邊形 ABCD是矩形，則可根據有一組鄰邊相等或對角線互相垂直的矩形是正方形添加條件.解答：解：由/A=Z B=Z C=90可知四邊形 ABCD是矩形，根據根據有一組鄰邊相等或對角

33、線互相垂直的矩形是正方形，得到應該添加的條件為：AB=AD或ACL BD等.故答案為：AB=AD或 ACL BD等.點評：本題是考查正方形的判別方法，判別一個四邊形為正方形主要根據正方形的概念，途經有兩種： 先說明它是矩形，再說明有一組鄰邊相等； 先說明它是菱形，再說明它有一個角為直角.14. 要使一個菱形成為正方形，需添加一個條件為有一個角是直角或對角線相等.考點：正方形的判定；菱形的性質.專題：開放型.分析：根據菱形的性質及正方形的判定進行分析，從而得到最后答案.解答：解：要使一個菱形成為正方形，需添加一個條件為：有一個角是直角或對角線相等.點評：解答此題的關鍵是熟練掌握正方形的判定定理：

34、(1) 有一個角是直角的菱形是正方形；(2 )對角線相等的菱形是正方形.三.解答題(共8小題)15. 已知：如圖， ABC中，/ ABC=90 , BD是/ ABC的平分線，DEL AB于點E, DF丄BC 于點F.求證：四邊形 DEBF是正方形.考點：正方形的判定.專題：證明題.分析：由DEL AB DF丄BC / ABC=90，先證明四邊形DEBF是矩形，再由 BD是/ ABC的平分線，DEL AB于點E, DFL BC于點F得出DE=DF判定四邊形 DEBF是正方形.解答：解：T DEL AB DFL BC/ DEBM DFB=90 ,又/ ABC=90 ,四邊形BEDF為矩形，/ BD

35、是/ABC 的平分線，且 DEL AB DFL BC DE=DF矩形BEDF為正方形.點評：本題考查正方形的判定、角平分線的性質和矩形的判定.要注意判定一個四邊形是正方形，必須先證明這個四邊形為矩形或菱形.16. 如圖，在四邊形 ABCD中, AB=BC對角線 BD平分/ ABC P是BD上一點，過點P作PMLAD PNL CD垂足分別為 M N.(1 )求證：/ ADBM CDB(2) 若/ ADC=90，求證：四邊形 MPN是正方形.專題:證明題.分析：（1）根據角平分線的性質和全等三角形的判定方法證明厶 ABDA CBD由全等三角形的性質即可得到：/ ADB=/ CDB（2）若/ ADC

36、=90，由（1）中的條件可得四邊形 MPND!矩形，再根據兩邊相等的四邊形 是正方形即可證明四邊形 MPND!正方形.解答：證明：（1）V對角線BD平分/ ABC / ABDM CBD 在厶ABD和厶CBD中,AB=CB一,-,BD=BD ABDA CBD( SAS , / ADBM CDB(2)TPMLAD PNL CD/ PMDWPND=90 ,/ ADC=90 ,四邊形MPND!矩形，/ ADBM CDB/ ADB=45 PM=MD四邊形MPND!正方形.點評：本題考查了全等三角形的判定和性質、角平分線的性質、矩形的判定和性質以及正方形的判定，解題的關鍵是熟記各種幾何圖形的性質和判定.1

37、7. 如圖，在 Rt ABC中，/ ACB=90，過點 C的直線 MN/ AB, D為AB邊上一點，過點 D 作DEL BC交直線 MN于E,垂足為F,連接CD BE(1) 求證：CE=AD(2) 當D在AB中點時，四邊形 BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由；(3) 若D為AB中點，則當/A的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？請說明你 的理由.考點：正方形的判定；平行四邊形的判定與性質；菱形的判定.專題：幾何綜合題.分析：(1)先求出四邊形 ADEC是平行四邊形，根據平行四邊形的性質推出即可;(2) 求出四邊形 BECD是平行四邊形，求出 CD=B D根據菱形的判定推出即可；(3

38、) 求出/ CDB=90，再根據正方形的判定推出即可.解答：(1)證明：T DEL BC/ DFB=90 ,/ ACB=90 ,/ ACBM DFB AC/ DE/ MN/ AB 即 CE/ AD四邊形ADEC是平行四邊形， CE=AD(2) 解：四邊形 BECD是菱形，理由是：TD為AB中點， AD=BD/ CE=AD BD=CE/ BD/ CE四邊形BECD是平行四邊形，/ ACB=90 , D 為 AB 中點， CD=B，D四邊形BECD是菱形；(3) 當/A=45時，四邊形 BECD是正方形，理由是：解：/ ACB=90，/ A=45, / ABCM A=45, AC=BC，D為BA中

39、點， CDL ABM CDB=90 ，四邊形BECD是菱形，四邊形BECD是正方形，即當/ A=45時，四邊形 BECD是正方形.點評：本題考查了正方形的判定、平行四邊形的性質和判定，菱形的判定，直角三角形的性質的應用，主要考查學生運用定理進行推理的能力.18. 如圖，在 ABC中，點 D E分別是邊 AB AC的中點，將 ADE繞點E旋轉180°得到 CFE(1) 求證：四邊形 ADCF是平行四邊形.(2) 當厶ABC滿足什么條件時，四邊形 ADCF是正方形？請說明理由.考點：正方形的判定；平行四邊形的判定.分析：(1 )利用旋轉的性質得出點A E、C三點共線，點D、E、F三點共線

40、，且AE=CD DE=FE即可得出答案；(2)首先得出CDLAB即/ADC=90，由(1)知，四邊形 ADCF是平行四邊形，故四邊形 ADCF是矩形.進而求出 CD=AD即可得出答案.解答：(1)證明： CFE是由 ADE繞點E旋轉180°得到，點A、E、C三點共線，點 D、E、F三點共線，且 AE=CE DE=FE故四邊形ADCF是平行四邊形.(2 )解：當/ ACB=90 , AC=BC寸，四邊形 ADCF是正方形.理由如下：在厶ABC中，T AC=BC AD=BD CDL AB 即/ ADC=90 .而由(1)知，四邊形 ADCF是平行四邊形， 四邊形ADCF是矩形.又/ AC

41、B=90 , CD冷紀二AD，故四邊形ADCF是正方形.點評：此題主要考查了平行四邊形的判定以及正方形的判定等知識，得出四邊形ADCF是矩形是解題關鍵.19如圖，分別以線段 AB的兩個端點為圓心，大于 AB的長為半徑作弧，兩弧交于 M N兩 點，連接 MN交AB于點 D C是直線 MN上任意一點，連接 CA CB,過點D作DEL AC于點 E, DFL BC 于點 F.(1) 求證： AEDA BFD(2) 若AB=2當CD的值為 1 時，四邊形 DECF是正方形.考點：正方形的判定；全等三角形的判定.分析：(1)先由作圖知 MN是線段AB的垂直平分線，根據垂直平分線的性質得出CA=CB AD

42、=BD由等邊對等角得到/ A=Z B,然后利用 AAS即可證明厶AEDA BFD(2)若AB=2,當CD的值為1時，四邊形 DECF是正方形.先由 CD=AD=BD=1 MNLAB得出 ACD與 BCD都是等腰直角三角形，則/ ACDM BCD=45，/ ECF=90，根據有三個角是 直角的四邊形是矩形證明四邊形DECF是矩形，再由等角對等邊得出ED=CE從而得出矩形DECF是正方形.解答：(1)證明：由作圖知， MN是線段AB的垂直平分線，C是直線 MN上任意一點，MN交AB于點D, CA=CB AD=BD/ A=Z B.在厶AED與厶BFD中，上 AED 二 ZBFD 二Za=Z&

43、，AD=BD AEDA BFD( AAS ；(2)解：若AB=2,當CD的值為1時，四邊形DECF是正方形.理由如下: / AB=2 AD=BD=AB=1./ CD=AD=BD=1MNL AB ACD與厶BCD都是等腰直角三角形，/ ACDM BCD=45 ,/ ECF=/ ACD# BCD=90 ,/ DEC# DFC=90 ,四邊形 DECF是矩形，/ CDE=90 - 45° =45°,# ECD# CDE=45 , ED=CE矩形DECF是正方形.故答案為1.點評：本題考查了線段垂直平分線的性質，全等三角形的判定，正方形的判定，等腰直角三角形的判定與性質，難度適中.

44、20 .如圖，AB是CD的垂直平分線，交 CD于點M過點 M作MEI A C, MH AD垂足分別為E、F.(1 )求證：/ CAB=/ DAB(2)若/ CAD=90，求證：四邊形 AEMF是正方形.考點：正方形的判定；線段垂直平分線的性質；等腰三角形的判定與性質.專題：證明題.分析：(1)根據AB是CD的垂直平分線，得到 AC=AD然后利用三線合一的性質得到/ CABd DAB即可；(2 )首先判定四邊形 AEMF是矩形，然后證得 ME=MF利用鄰邊相等的矩形 AEMF是正方形 進行判定即可.解答：(1)證明：T AB是CD的垂直平分線， AC=AD又 AB丄 CD/ CABd DAB(等

45、腰三角形的三線合一)；(2)證明：T MEL A C, MFL AD / CAD=90 ,即/ CADd AEMdAFM=90 , 四邊形AEMF是矩形,又/ CABd DAB MEI A C, MH AD ME=M,F矩形AEMF是正方形.點評：本題考查正方形的判定，線段的垂直平分線的性質及等腰三角形的判定與性質的知識，綜合性較強，難度不大.21. 如圖， ABC中，點 0是邊AC上一個動點，過 0作直線 MN/ BC 設 MN交/ACB的平分 線于點E,交/ ACB的外角平分線于點 F.(1) 探究：線段 0E與OF的數量關系并加以證明；(2) 當點0運動到何處時，且 ABC滿足什么條件時，四邊形 AECF是正方形？(3) 當點0在邊AC上運動時，四邊形 BCFE不可能 是菱形嗎？(填“可能”或“不可 能”)考點：正方形的判定；菱形的判定.分析：(1)由直線 MN/ BC MN交d BCA的平分線于點 E,交/ BCA的外角平分線于點F,易證得 0EC與A0FC是等腰三角形，則可證得0E=0F=QC(2)正方形的判定問題，AECF若是正方形，則必有對角線0A=0C所以0為AC的中點，同樣在 ABC中，當/ACB=90時，可滿足其為正方形；(3 )菱形的判定問題，若使菱形，則必有四條邊相等，對角線互相垂直.解答：解：(1) 0E=0F理由如下：/ CE是/ACB的角平