1、返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021-10-111第八節第八節 多元函數的極值及其求法多元函數的極值及其求法 第七章第七章 (Absolute maximum and minimum values)一、多元函數的極值一、多元函數的極值二、條件極值二、條件極值 拉格朗日乘數法拉格朗日乘數法三、小結與思考練習三、小結與思考練習返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021-10-112xyz一、一、 多元函數的極值及最大值、最小值多元函數的極值及最大值、最小值 定義定義 若函數則稱函數在該點取得極大值(極小值).例如例如 :在點 (0,0) 有極小值;在點 (0,0) 有極大值;在點 (0,0) 無

2、極值.極大值和極小值統稱為極值, 使函數取得極值的點稱為極值點.),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf或2243yxz22zxy yxz ),(),(00yxyxfz在點的某鄰域內有xyzxyz返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021-10-113說明說明: 使偏導數都為 0 的點稱為駐點 . 例如例如,函數偏導數,證證:據一元函數極值的必要條件可知定理結論成立.0),(,0),(0000yxfyxfyx取得極值 ,取得極值取得極值 但駐點不一定是極值點.有駐點( 0, 0 ), 但在該點不取極值.且在該點取得極值 , 則有),(),(00yxyxfz在點存在),(),(00

3、yxyxfz在點因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxfz 0yy yxz 定理定理1 (必要條件必要條件)返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021-10-114時, 具有極值的某鄰域內具有一階和二階連續偏導數, 且令則: 1) 當A0 時取極小值.2) 當3) 當這個定理不加證明這個定理不加證明. 時, 沒有極值.時, 不能確定 , 需另行討論.若函數的在點),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02BAC02 BAC02BAC定理定理2 (充分條件充分條件)返回返回上頁上頁下

4、頁下頁目錄目錄2021-10-115, 0),(yxfx0),(yxfy返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021-10-116提示提示: 第一步 求駐點.第二步 判別.時, 具有極值 1) 當A0 時取極小值.2) 當3) 當時, 沒有極值.時, 不能確定 , 需另行討論.02BAC02 BAC02BAC返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021-10-117提示提示:首先考察函數z在三角形區域D內的極值其次，考察函數在三角形區域 的邊界上的最大值和最小值.返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021-10-118 從上例可以看出，計算函數f(x, y)在有界閉區域D的邊界上的最大值和最小值有時是相

5、當復雜. 在通常遇到的實際問題中，根據問題的實際背景往往可以斷定函數的最大值與最小值一定在區域 D的內部取得，這時就可以不考慮函數在區域邊界上的取值情況了.如果又求得函數在區域內只有一個駐點，那么則可直接斷定該點處的函數值就是函數在區域上的最大值或最小值.說明說明:返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021-10-119把它折起來做成解解: 設折起來的邊長為 x cm,則斷面面積x24一個斷面為等腰梯形的水槽,傾角為 ,Acos2224xx x224(21sin) xsincossin2sin2422xxxx224x積最大. （課本（課本 例例6）)0,120:(2 xD為問怎樣折法才能使斷面面

6、例例3 有一寬為 24cm 的長方形鐵板 ,返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021-10-1110cos24xcos22x0)sin(cos222x令xAsin24sin4x0cossin2xA解得:由題意知,最大值在定義域D 內達到,而在域D 內只有一個駐點, 故此點即為所求.,0sin0 xsincossin2sin2422xxxA)0,120:(2 xD0cos212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021-10-1111二、條件極值二、條件極值 拉格朗日乘數法拉格朗日乘數法極值問題無條件極值:條 件 極 值 :條件極

7、值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函數的無條件極值問題對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如 ,轉化,0),(下在條件yx的極值求函數),(yxfz )(0),(xyyx 中解出從條件)(,(xxfz返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021-10-1112,0),(下在條件yx如方法 1 所述 ,則問題等價于一元函數可確定隱函數的極值問題,極值點必滿足設 記.),(的極值求函數yxfz 0),(yx, )(xy)(,(xxfz例如例如,故 0ddddxyffxzyx,ddyxxy因0yxyxffyyxxff故有方法方法2 拉格朗日乘數法拉格朗日乘數法.返回

8、返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021-10-1113引入輔助函數輔助函數F 稱為拉格朗日( Lagrange )函數.0 xxxfF0yyyfF0F利用拉格極值點必滿足0 xxf0yyf0),(yx則極值點滿足:朗日函數求極值的方法稱為拉格朗日乘數法拉格朗日乘數法.),(),(yxyxfF返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021-10-1114拉格朗日乘數法可推廣到多個自變量和多個約束條件的情形. 設解方程組可得到條件極值的可疑點 . 例如例如, 求函數下的極值.在條件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF021xxxxfF021yyyyf

9、F021zzzzfF01F01F推廣推廣返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021-10-1115要設計一個容量為0V則問題為求x , y ,令解方程組解解: 設 x , y , z 分別表示長、寬、高,下水箱表面積最小.z 使在條件xF02zyyzyF02zxxzzF0)(2yxyxF00Vzyx水箱長、寬、高等于多少時所用材料最省？的長方體開口水箱, 試問 0VzyxyxzyzxS)(2)()(20VzyxyxzyzxFxyz例例4返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021-10-1116得唯一駐點,2230Vzyx3024V由題意可知合理的設計是存在的,長、寬為高的 2 倍時，所用材料最省.

10、因此 , 當高為,340Vxyz思考思考:1) 當水箱封閉時, 長、寬、高的尺寸如何?（課本（課本 例例7）提示提示: 利用對稱性可知,30Vzyx2) 當開口水箱底部的造價為側面的二倍時, 欲使造價最省, 應如何設拉格朗日函數? 長、寬、高尺寸如何? 提示提示:)()(20VzyxyxzyzxF2長、寬、高尺寸相等 .返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021-10-1117提示：提示：目標函數：目標函數：約束條件：約束條件：構造拉格朗日函數：構造拉格朗日函數：返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021-10-1118內容小結內容小結1. 函數的極值問題函數的極值問題第一步 利用必要條件在定義域

11、內找駐點.即解方程組第二步 利用充分條件 判別駐點是否為極值點 .2. 函數的條件極值問題函數的條件極值問題(1) 簡單問題用代入法, ),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如對二元函數(2) 一般問題用拉格朗日乘數法返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021-10-1119設拉格朗日函數如求二元函數下的極值,解方程組在條件求駐點 . ),(yxfz 0),(yx),(),(yxyxfF0 xxxfF0yyyfF0F3. 函數的最值問題第二步第二步 判別判別 比較駐點及邊界點上函數值的大小 根據問題的實際意義確定最值第一步第一步 找目標函數, 確定定義域 ( 及約束條件)返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2021-10-1120習題習題78 1； 3； 7課外練習課外練習已知平面上兩定點 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),試在橢圓圓周上求一點 C, 使ABC 面積 S最大.思考練習思考練習)0, 0(14922yxyxCBAoyxED解答提示解答提示:設 C 點坐標為 (x , y), 21則 ACABS21031013yxkji)103