1、 畢 業 設 計（論文）2014 屆 題 目 剛體轉動慣量測定研究 專 業 物理學 學生姓名 俞騰 學 號 10071320 指導教師 應雄純 論文字數 7072字 完成日期 2014年3月25日 湖 州 師 范 學 院 教 務 處 印 制19剛體轉動慣量測定研究俞騰摘 要：轉動慣量是用來表示剛體轉動的特性的一個重要的物理量。對形狀均勻，規則簡單的一般剛體，一般可直接用公式計算出它繞特定轉軸轉動的轉動慣量.而對非均質，形狀比較復雜的特殊剛體，一般要通過實驗來測定。在大學物理實驗中，三線擺法和擋光片法是兩種常用的測量剛體轉動慣量方法。但是，三線擺法和擋光片法都有一定的實驗缺陷，數據的處理都不是非

2、常精確。本文在原三線擺法和擋光片法的基礎上，分別對剛體轉動慣量的測量方法和實驗的裝置進行了改進，提出了“長擺線三線擺大擺角擺動法”和“雙擋片法”，大大提高了數據處理的精度和效率。關鍵詞：剛體轉動慣量；長擺線三線擺大擺角擺動法；雙擋片法；數據處理Determination of Moment of InertiaTeng YuAbstract: Inertia is the characterization of rigid body rotation is an important physical characteristics. Uniform shape rigid rules, it

3、can be calculated directly around the shaft of a particular moment of inertia of the complex shape of the non-homogeneous rigid, often used to measure experimentally. In college physics experiment, three-wire pendulum method and light barrier method are two commonly used methods to measure the momen

4、t of inertia of rigid body. However, three-wire pendulum method and light barrier method has some flaws experiments, data processing is not very accurate. Based on the original three-wire pendulum method and block-based ray method on each of the rigid body inertia measurement methods and experimenta

5、l apparatus has been proposed to improve the "long cycloid three wire swing big swing angle swing Law" and "double flap method "greatly improves the accuracy and efficiency of data processing. Keywords: rigid body inertia; cycloid three lines long pendulum swinging big swing angl

6、e method; double flap method; data processing目 錄前言1第一章 三線擺方法已及改進31.1 三線擺剛體轉動慣量的測量原理31.2 長擺線三線擺大擺角擺動測量轉動慣量的原理6第二章 雙擋光片測量剛體轉動慣量實驗裝置的實驗原理102.1 傳統的單擋光片測量原理102.2 雙擋光片剛體轉動實驗裝置的實驗測量原理10第三章 實驗數據處理和結果分析123.1 長擺線三線擺大擺角擺動對轉動慣量的測定和分析123.2 雙擋光片法實驗數據處理和分析13第四章 結論15參考文獻15致謝17前言1、 轉動慣量簡介在經典力學中，轉動慣量是剛體關于測量的軸的轉動慣量，該值

7、是，該式表示剛性體的粒子的質量，表示從粒子之間的垂直距離的軸線旋轉時，總和號碼（或點的數目）在整個剛性。規則形狀的均勻體，轉動慣量可以直接計算。這樣的分析可以用來打開的問題上來看能量的點，但不一定連接到從純粹的旋轉運動的角度分析問題。不規則或不均勻的剛體時刻的剛體的慣性，一般用實驗的方法。僅依賴于剛性的形狀，質量分布，以及該軸的位置，并繞剛體的狀態（如角速度的大小）無關的軸線的轉動慣量。在一個軸的轉動慣量的對象越大，則繞軸線轉動，角速度就越難改變1。在旋轉的線性動力學等效質量的動態慣性的作用，可以理解為對旋轉運動的慣性，對于關系的角速度，扭矩和角加速度和幾個量之間建立角動量形式的對象。轉動慣量

8、（Momento de inercia）是一個剛體繞慣性軸（旋轉物體保持其勻速圓周運動的或靜止的特性）轉動測量，用字母I或者J表示。它于軸的位置，質量分布和物體的形狀決定。剛體轉動慣量具有重要的物理和實際意義，在工程，科學實驗，電子，航空航天，儀表，機械等工業領域中同樣是一個重要的參數。比如在電磁系統儀表指示系統中，由于線圈在不同時刻的轉動慣量可以用來間接的測量小電流，分別為電（電流計的影響）或者磁（檢流計）。人造衛星，葉發動機飛輪和陀螺儀等的整體設計，轉動慣量的精確值，都是必要的2。轉動慣量僅依賴于剛性的形狀，質量分布，以及軸的位置的轉動慣量，和周圍的剛體與狀態（如角速度的大小）無關的軸線轉

9、動。均質剛性調節的轉動慣量，可以直接使用公式來計算。為剛體的慣性不規則或不均勻的，通常是通過實驗方法來確定的，因此是非常重要的實驗方法。剛性體在多方面的慣性，有三種常用的擺絲扭擺，擺錘和構成，使得確定的。三線擺判定通過慣性扭轉運動的物體的物理圖像清晰，操作簡單，適用于各種對象，如旋轉機械部件的形狀，其特征在于電機轉子，獵槍，電動風扇葉片等三個擺錘慣性確定可用的線程。2、研究現狀轉動慣量是物體的自有屬性，描繪物體的質量特性。在實際的計算中，通過質量和密度兩個參數確定其值的大小。在平時的運算中，轉動慣量的求解有兩種方法：計算法和測量法。計算法主要是指通過公式進行計算，要求被測物體質量均勻，因而適用

10、范圍較窄3。在實際的實驗中，較多都是復雜物體，因而計算法不再適用。這時就需通過測量法來計算轉動慣量。實驗法又分為在線和離線兩種測量方法。在線主要是指當物體處于工作狀態時，對其直接進行測量的方法。主要參數包括瞬時轉速、功率等。在線法的主要測量對象為內燃機、發電機等，在工作時需要旋轉的物體。但是，測量環境對實驗結果又一定的影響，從而導致誤差較大，精度較低。而離線方法，是指當物體處于靜止狀態時對其進行測量的方法。這也是在轉動慣量的測定過程中最常用的方法。其精度較高，適用范圍頁較廣。離線測量的主要分類有：線擺法、扭矩法、復擺法等。離線方法比在線方法的誤差小，是實驗室教學和實驗中普遍運用的方法。隨著科技

11、的不斷進步和學術水平的不斷提高，全球多個國家的實驗人員都對轉動慣量的測定方法進行了研究。其中包括數字仿真、實驗模擬等。當被研究物體的體積極小，或者所受空氣阻力較小時，我們一般可以認為其空氣阻力力矩可以忽略，即在運算的過程中，不考慮空氣阻尼作用的影響，這就大大簡化了轉動慣量的求解過程，使實驗的運算過程更加順利4。在國內一些高等院校的教學課程中，塔輪測量(落體法)是一種較普遍的使用方法。大量的實驗結果表明，如果在實驗過程中，選用合適的測量儀器可以減少塔輪式阻力矩，從而提高角動慣量測量的精度，有利于實驗的進行。由于在實驗時，空氣阻力所占總外力的比重非常小，因而一般不考慮空氣阻力的影響。在具體的實驗過

12、程中，可通過計算或經驗，忽略空氣阻力的影響，這樣可以大大減小計算量，提高試驗進度。3、轉動慣量測量設備到目前為止，隨著科技的迅速發展，針對角動慣量的測量，國內外已經形成了一套較為完整的體系。比較典型的有加拿大太空局(Canadian Space Agency)的大衛·佛羅里達實驗室(David Florida Laboratory)發明的精密空氣軸承技術和美國的戈達德航天中心(Goddard Space Flight Center)對于航空領域角動慣量的測量。其中美國空間電子公司(Space Electronics Inc.)是世界上最先進的質量特性測量設備公司，其測量種類已經超過2

13、5種，質量也達到非常高的要求。這些設備的研制，為國家航空領域的進步貢獻了巨大的力量。但是其精度之高，帶來了高成本的代價。同時，目前尚未研制出阻尼條件下，對轉動慣量的測量儀器5。這也是未來努力的一大方向。如下圖1為空間電子公司系列的轉動慣量測量設備。圖1 空間電子公司系列轉動慣量測量設備第一章 三線擺方法及改進1.1 三線擺剛體轉動慣量的測量原理三線擺的結構如下圖1-1所示。如前言所述，實驗過程中，當空氣阻尼力矩較小時，可以忽略。此時，三線擺符合能量守恒定律。從分析來看，此時質量具有一定的周期性。暫停螺旋是用來扭轉懸架板和墊的連接運動的中心軸。當從平衡向任一方向旋轉一定角度時，整個磁盤連同高架懸

14、掛位置掛盤。在運算的過程中，通常認為平衡位置，其勢能為零。由此可計算出懸盤升高h，其勢能的大小為：EP=mgh (1-1)圖1-1 三線擺結構示意圖此時，總動能Ek: Ek=Em+Ed=I22+mv22 (1-2)式中: 為懸盤旋轉時的角速度；v為懸盤轉動的平均速度；I為懸盤轉動時的轉動慣量。由圖1-1、圖1-2可得圖1-2 A1C1、R、r關系圖h=4Rrsin2(t)/2)l2-R-r2+l2-R-r2-4Rrsin(t)2 （1-3）懸盤扭轉的角速度=ddt t (1-4)懸盤平動速度v=dhdt=ddtBC-BC1=-ddtBC1=-ddtl2-R2+r2-2Rrcost=Rrsint

15、l2-R-r2-4Rrsint2 (1-5)則懸盤的勢能為EP=mg4Rrsin2(t)/2)l2-R-r2+l2-R-r2-4Rrsin(t)2(1-6)懸盤的動能為EK=Em+Ed=12I2+12m(Rr)2sin2(t)l2-R-r2-4Rrsin(t)22(1-7)擺角較小的情況下系統的動能7在式(1-7)中，我們可以得到，在保守系統如三線擺中，只要平動動能Ed足夠的小于轉動動能Em,就可以完全忽略Ed對轉動慣量測量數值的影響，則EP和Em相互轉換。設l=nR,R=r，I=12mR2,則EdEm=2sin2(t)n2-4sin(t)2在短擺線三線擺中，若n>3,t=05°

16、;(0為擺角的幅度值)時，EdEm的值非常小，大概為10-4，我們可以認為，在懸盤的擺角比較小時，且平均動能Ed也非常小時，而在計算的過程中，可以省略平均動能。這樣可以將式(1-7)進行簡化，結果如下： EKEm=12I2（1-8）既是0增加到010°，EdEm的值仍然不大，大概為10-3。此時，如果將擺角的值增大，為了計算的簡便，我們可以通過增加擺長l或者增加n值得大小，將平均動能Ed計算值減小，這樣也可以不考慮其對轉動慣量大小的作用。另外，若Rr，此時需要通過調整擺長l的值，也可以達到減小R-r的影響，從而在計算時，可以將其忽略。擺角較小情況下系統的勢能設l>3R、R=(0

17、.81.2)r,由于l2-R-r2=H，在微擺角的情況下，sin22，式（1-6）可簡化為EPmgRrt2l2-R-r2+l2-R-r2-4Rrsint2mgRrt22H(1-9)三線擺微擺角運動的微分方程在上面兩式(1-8)、式(1-9)中，進行了必要的簡化過程。由于三線擺是一個能量守恒系統，可以選取擺動角度作為廣義坐標，運算時，空氣阻力非常小，可以不計。將式(1-8)和式(1-9)代入拉格朗日方程，計算結果如下：ddtEK-EP-EK-EP=0(1-10)得到三線擺微擺角擺動的微分方程Id2dt2t+mgRrHt=0 (1-11)式（1-11）顯然是簡諧振動的微分方程，其解為t=0sinm

18、gRrIHt=0sint (1-12)式中：=mgRrIH=2T懸盤的轉動慣量為I=mgRr42HT2 (1-13)1.2 長擺線三線擺大擺角擺動測量轉動慣量的原理設三線擺擺角幅值為0、擺線l20R，懸盤與墊盤的半徑R=(0.81.2)r。式(1-6)仍能近似為8EP=mg4Rrsin2(t)/2)H+H2-4Rrsin(t)22mgRrsin2(t)/2)H (1-14)式（1-7）仍可近似為式（1-8）EK=Em+Ed12I2。式（1-8）、式（1-14）代入式（1-10），并進行整理，可得：Id2dt2t+mgRrHsint=0 （1-15）在式(1-15)中，我們發現，在擺角較大時，三

19、線擺的擺動會復雜起來，簡諧振動規律已經不再適用于此，擺動規律為非線性方程。需要將式(1-15)進行一系列變換，結果為：Idtdtddtdtdt=-mgRrHsint，積分可得：(dtdt)2=2mgRrIHcost+c (1-16)令02=mgRrIH=(2T0)2、T0為諧振周期，懸盤擺動到最高位置時擺角為幅值0，懸盤轉動角速度dtdt=0,則式（1-16）中的常數項9c=-2mgRrIHcos0=-20cos0。所以有 (dtdt)2=402(sin202t-sin2t2)令k2=sin202,式（1-16）化簡為(dtdt)2=402sin202t-sin2t2=402(k2-sin2t

20、2) （1-17）令sint2=ksin,(-0 t0,-22),并對其等式兩邊微分得12cost2dt=kcosd (1-18)又因為cost2=1-sin2t2=1-k2sin2，代入式（1-18）得1-k2sin2dt=2 kcosd所以有dtdt=2 kcos1-k2sin2ddt (1-19)將sint2=ksin和式（1-19）代入式（1-17）并做變量變換，并積分，從而可以得到長擺線三線擺大擺角的擺動周期T為T14=1002d1-k2sin2 (1-20)式（1-20）為第一類橢圓積分方程式，k2<1，當k比較小時，級數展開得 T=4002d1-k2sin2=T01+122

21、sin202+13242sin402+則TT0隨著擺角幅值0變化的圖像如圖1-3實線所示。隨著擺角幅值0的不斷增大，k值得變化范圍為0.10.9，為了計算過程的方便，可以將式（1-20）中的積分方程進行簡化。此時，可采用算術幾何平均法進行計算。這種方法與第一類橢圓積分方程的計算更加貼合，因而更精確。此時，可將周期性橢圓積分方程T進行修正，結果如下：T=4002d1-k2sin2=201an式中：a0=1，b0=1-k2，ai=(ai-1+bi-1)2，bi=(ai-1bi-1)12，TT0隨著擺動角讀幅值0變化的圖像如圖1-3虛線所示。當然，如果搖擺角度的幅值0被進一步的增大，式（1-20）還

22、可以轉化的遞歸方法蘭登變換遞推法等近似計算公式來處理，這里不再一一贅述。圖1-3我們可以看出：當0<3時，圖線的顯示結果與式（1-20）的運算結果大致相同，誤差較小。因而，對于三線擺測量剛體的轉動慣量，我們可以進行適當的簡化：要求擺動幅度0不超過3。大量的實驗表明，如果動幅度0超過3，那么不止運算非常的復雜，整個系統的穩定性也會大大下降。圖1-3 三線擺長擺線大擺角周期修正曲線圖與之相對的轉動慣量I為I=mgRr42HT2K2 (1-21)式中：K為修正系數，K2=1+122sin202+13242sin402+2隨著擺動角度0的增大，K也相應會增加更多的修正項，所以轉動慣量I的修正曲線

23、圖為圖1-4所示。圖1-4 轉動慣量修正曲線圖第二章 雙擋光片測量剛體轉動實驗裝置的實驗原理2.1 傳統的單擋光片測量原理圖2-1光電門、單擋光片轉盤示意圖(K為放開起始點)在大學物理相關實驗教學中，我們通常在剛體轉動實驗儀上來驗證轉動定律和測量物體的轉動慣量。傳統的實驗裝置固定的一個擋光板上的一個轉盤片(見圖1-3)，懸掛一定質量祛碼，從同一起始點釋放轉盤2次，分別測量單片機光電屏障的第一圈測量時間t1，并通過所述第1和第2環的累計時間t2，就可以測得此外力矩作用下該轉盤的角加速度:=4t2-2t1t22-t12=42t2-1t1t2-t1(2-1)由剛體轉動定律得知，M合=M外-M阻=I,

24、而M外=mgR，其中I為轉軸的轉動慣量，R為繞線軸的半徑，g為重力加速度，m為祛碼的質量， M阻主要來源于接觸摩擦，是恒定的。所以，我們可以利用對角加速度的測量來間接的測量轉動慣量.但單擋光片測量角加速度需在外力矩相同的情況下重復轉動轉盤兩次，操作過程過于頻繁復雜，容易產生實驗誤差。所以我們在實驗中使用雙擋光片代替單擋光片，簡化操作的同時提高了實驗測量的精確度10。2.2 雙擋光片剛體轉動實驗裝置的實驗測量原理當我們用雙擋光片代替單擋光片后，光電門、轉盤與擋光片之間的關系如下圖3所示.假設雙擋光片2個前沿之間的距離(擋光寬度)為s，轉軸中心和擋光片的距離為R0。角加速度為，轉盤轉動的角速度為，

25、根據角速度和角加速度的定義，則與的關系為11: =ddt (2-2)=ddt=ddddt (2-3)即=ddd=d （2-4）對上式積分得：2-1=22-122 （2-5）因為轉盤旋轉一圈，所以1=0，2=2。因此：=22-124 （2-6）其中，1 2分別為擋光片第一次和第二次通過光電門時的角速度12。圖2-2雙擋光板、光電門和轉盤結構示意圖我們可以把圓形轉盤的運動看成圓周運動，因此，建立如下圖2-3所示的直角坐標系.以x軸和y軸圓軌跡的交點為零點O，A點在弧長s上，s增加的方向為面對z軸逆時針旋轉的方向，所以 s=r (2-7)將(2-7)式左右對時間進行導數，得 dsdt=rddt(2-

26、8)其中，ddt=是整個剛體的角速度，故limt0st=r(2-9) (2-9)式中的s是擋光寬度，t1、t2分別為擋光片第一次通過光電門和第二次通過光電門（即轉了一圈后）顯示的時間, r即R0，是轉軸中心到光電門的距離，從而可求得此時的瞬時角速度，為1=sR0t1, 2=sR0t2。因此，可由(2-6)式求出13。圖2-3 轉盤運動軌跡與選取坐標系示意圖第三章 實驗數據處理和結果分析3.1 長擺線三線擺大擺角擺動對轉動慣量的測定和分析用天平和質心儀分別測定構件的精確質量和精確的質心位置。之后把構件安裝在三線擺的懸盤上，以此來測量被測構件組合(構件+夾具+掛盤)在擺動較大時的周期T。再用相減法

27、測量計算被測構件的轉動慣量 14I=(M+m)gRr42HT2K2-I0式中， K是大擺角周期修正系數；I0是懸盤的轉動慣量；M為構件質量。 例如，擺線l=H=1.8000m，懸盤半徑R=r=6.000cm、質量m=1.401kg、其轉動慣量I0=4.136×10-3kg/m2,徑向夾具質量m'=1.106kg、其轉動慣量I0'=8.317×10-4 kg/m2,被測構件長l'=60.00cm、直徑=4.972cm、質量為3.268 kg，其轉動慣量的理論計算值為：I=MR24+Ml212=9.854×10-2kg/m2取擺角0=30

28、76;時，K2=1+122sin202+13242sin402+21.035測得周期T=6.17s，則在、測得被測構件的徑向慣量為：I實= (M+m+m')gRr42HT2K2-I0-I0'=3.268+1.401+1.106×9.8×6.000×10-224×3.142×1.80×6.1721.0352-4.136×10-3-8.317×10-4 =0.0977kg/m2則相對誤差為：=|I-I實|I=|9.854-9.77|9.854=0.8%實踐證明，這種方法穩定，讀數簡單，不易產生較大誤差，

29、測量結果準確，特別適用于長軸類構件剛體轉動慣量的測定。3.2 雙擋光片法實驗數據處理和分析實驗測量載物臺空載時的轉動慣量I0當加載不同質量的祛碼時，以測量空載時的轉動慣量.先實驗測量轉軸中心到光電門的距離R0=167.375 mm，擋光寬度s = 12. 20 mm,測得1組數據見表3-1。表3-1 加不同質量砝碼各量測得值及計算值mgt1ms t2ms1(rads-1)2(rads-1)(rads-2)10017.19 9.44 4.2377 7.71323.30549018.2910.063.98307.23852.90708019.7810.873.68706.71192.5032702

30、1.4611.863.39516.15122.09386023.9013.203.05125.51791.6821用最小二乘法處理得：a=0.0013Nm，b=0.0057kg/m2，r=0.9999，所以載物臺空載時的轉動慣量為I0=0.005702 kg/m2。計算圓環轉動慣量的理論值通過剛體轉動慣量理論可知，均勻環的質心且垂直于圓環截面軸的轉動慣量為:I=18m(d212+d222)其中，m是圓環質量，d21是圓環的內直徑，d22是圓環外直徑，經測量得到圓環的質量m=2886g，外直徑d21=253.70mm，內直徑d22=233.10mm，因此，可求得圓環轉動慣量的理論值為：I理論=0

31、.04282 kgm2。結果討論分析 如果以圓環理論值作為標準值，測量剛體轉動慣量和光柵雙光柵法的寬度的轉動慣量的變化有關漸變光柵寬度的情況下，選擇最佳的光柵片寬度，減小測量誤差會和理論計算和測量雙擋光片的方法比較表明，在實際測量值和理論測量值計算吻合良好的情況下，控制一下的相對偏差(見圖3-1,圖3-2)。圖3-1 圓環轉動慣量的理論計算值與實驗測得值比較圖3-2圓環轉動慣量實驗測定值的相對偏差圖當s的范圍在916 mm之間時，轉動慣量實驗值與理論值比較接近，且一定；當在9 mm以內，或者16 mm以外時，實驗值會脫離理論值，所以在取值范圍是在916 mm 內可以確定數值(見圖3-1)；當s

32、<9mm時，可認為其取值越小越好，但因為數字計時器靈敏度影響的偏差，s太小會影響測量時間，所以，容易造成較大的實驗誤差，所以其取值不能過小；當s>16mm時，s所對應的角度偏大，即角度所對應的弧長ss，理論上不成立，所以，會引起較大的誤差。在剛體轉動慣量測量的實驗中，除了擋光片寬度引起計時會產生誤差之外，還會有其他的途徑會引入實驗誤差，比如:操做者在剛體轉動的起始點引入的誤差，吊砝碼的線繩經滑輪時滑輪引起的誤差，剛體轉動時轉軸引起的誤差，等等.因此，在最佳擋光寬度時可以減少雙擋光片方法實驗的誤差.因此，擋光寬度的最佳取值范圍是916 mm。第四章 結論長擺線三線擺大擺角擺動測量剛體轉動慣量的方法，可以減少某些潛在誤差對整體實驗測量結果的影響，提高實驗的可信度和精確度。但在實驗和實際工程測量當中，還有許多其他因素值得研究:比如，空氣阻