1、機械能守恒定律典型例題剖析例 1、如圖示，長為l的輕質硬棒的底端和中點各固定一個質量為m的小球，為使輕質硬棒能繞轉軸O轉到最高點，則底端小球在如圖示位置應具有的最小速度v=。解：系統的機械能守恒，EP +EK=0因為小球轉到最高點的最小速度可以為0 ，所以，22411vv4 .8 gl2mg 2lgl2mvmmg l522例 2.如圖所示，一固定的楔形木塊，其斜面的傾角=30°，另一邊與地面垂直，頂上有一定滑輪。一柔軟的細線跨過定滑輪，兩端分別與物塊A 和 B 連結， A的質量為m，B 的質量4為 m，開始時將 B 按在地面上不動，然后放開手，讓 A 沿斜面下滑而 B 上升。物塊 A

2、 與斜面間無摩擦。設當 A 沿斜面下滑 S 距離后，細線突然斷了。求物塊 B 上升離地的最大高度 H.解：對系統由機械能守恒定律4mgSsin mgS = 1/2 × 5 mv 2 v 2=2gS/5細線斷后， B 做豎直上拋運動，由機械能守恒定律mgH= mgS+1/2× mv2 H = 1.2 S例 3. 如圖所示，半徑為 R、圓心為 O 的大圓環固定在豎直平面內，兩個輕質小圓環套在大圓環上一根輕質長繩穿過兩個小圓環，它的兩端都系上質量為 m的重物，忽略小圓環的大小。（1）將兩個小圓環固定在大圓環豎直對稱軸的兩側 =30°的位置上 ( 如圖 ) 在兩個小圓環間

3、繩子的中點C 處，掛上一個質量 M= m2的重物，使兩個小圓環間的繩子水平，然后無初速釋放重物M設繩子與大、小圓環間的摩擦均可忽略，求重物M下降的最大距離（2）若不掛重物 M小圓環可以在大圓環上自由移動，且繩子與大、小圓環間及大、小圓環之間的摩擦均可以忽略，問兩個小圓環分別在哪些位置時，系統可處于平衡狀態?解： (1) 重物向下先做加速運動，后做減速運動，當重物速度為零時，下降的距離最大設下降的最大距離為h ，由機械能守恒定律得Mgh2mgh 2 Rsin 2 Rsin 解得h2R（另解 h=0 舍去）(2) 系統處于平衡狀態時，兩小環的可能位置為a 兩小環同時位于大圓環的底端b兩小環同時位于

4、大圓環的頂端c兩小環一個位于大圓環的頂端，另一個位于大圓環的底端d除上述三種情況外， 根據對稱性可知， 系統如能平衡， 則兩小圓環的位置一定關于大圓環豎直對稱軸對稱設平衡時，兩小圓環在大圓環豎直對稱軸兩側角的位置上 ( 如圖所示 ) 對于重物，受繩子拉力與重力作用，有 T=mg對于小圓環，受到三個力的作用，水平繩的拉力T、 豎直繩子的拉力T、大圓環的支持力N.兩繩子的拉力沿大圓環切向的分力大小相等，方向相反得 = ,而 + =90°，所以 =45 °例 4.如圖質量為 m1 的物體 A 經一輕質彈簧與下方地面上的質量為m2 的物體 B相連，彈簧的勁度系數為k， A、B 都處

5、于靜止狀態。一條不可伸長的輕繩繞過輕滑輪，一端連物體A，另一端連一輕掛鉤。開始時各段繩都牌伸直狀態，A 上方的一段沿豎直方向。現在掛鉤上掛一質量為m3 的物體 C 上升。若將 C 換成另一個質量為(m m物體 D，仍從上述初始位置由靜止狀態釋放，則這次B 則離A m11+ )3地時 D的速度的大小是多少？已知重力加速度為g。解: 開始時， B 靜止平衡，設彈簧的壓縮量為x1,kx1m1gB掛 C 后，當 B 剛要離地時，設彈簧伸長量為x2，有kx2m2 g此時， A 和 C 速度均為零。從掛 C 到此時，根據機械能守恒定律彈簧彈性勢能的改變量為E m3 g( x1x2 )m1 g( x1 x2

6、 )將 C換成 D后，有 E1 ( mmm )v 2(mm)g( xx )m g (xx立以上各式可以解得 v2m1( m1m2 ) g 2k (2m1m3 )直擊機車啟動問題一、機車的兩種啟動問題當機車從靜止開始沿水平面加速運動時，有兩種不同的加速過程，但分析時采用的基本公式都是 P=Fv和 F-f=ma. 為使問題簡化，假定機車所受阻力大小恒定.1恒定功率的加速問題由公式 P=Fv和 F-f=ma 知，由于 P 恒定，隨著 v 的增大， F 必將減小， a 也必將減小，機車做加速度不斷減小的加速運動，直到恒定功率的加速運動一定不是勻加速運動F=f ，a=0，這時

7、v 達到最大值. 這種加速過程發動機做的功只能用可見W=Pt計算，不能用 W=Fs計算（因為 F 為變力） .2恒定牽引力的加速問題由公式 P=Fv和 F-f=ma 知，由于 F 恒定，所以 a 恒定，機車做勻加速運動，而隨著v 的增大，功率也將不斷增大，直到功率達到額定功率P，功率不能再增大了 . 這時勻加速運動結束，其最大速度為，此后機車要想繼續加速就只能做恒定功率的變加速運動了. 可見當機車做恒定牽引力的加速運動時功率一定不恒定 . 這種加速過程發動機做的功只能用 W=F· s 計算，不能用 W=P·t 計算（因為 P 為變功率） .以上機車的兩種啟動過程可用如圖所示

8、的 v-t 圖像來概括說明 .0t 1 時間內，機車從靜止開始勻加速運動，牽引力 F 恒定，機車的輸出功率 P=Fv不斷變大， t 1 時刻達到額定功率（勻加速階段結束）； t 1t 2 時間內，機車以恒定功率繼續加速，牽引力和加速度不斷減小（加速度減小的加速運動），對應圖像中曲線部分； t 2 時刻加速度減為零， F=f ，機車勻速前進（對應圖像中水平直線部分），此時達到最大速度典例1 （2011·天津卷）一新型賽車在水平專用測試道上進行測試，該車總質量為m=1×103kg，由靜止開始沿水平測試道運動，用傳感設備記錄其運動的v-t圖像如圖所示.該車運動中受到的摩擦阻力（含

9、空氣阻力）恒定，且摩擦阻力跟車的重力的比值為0.2.賽車在 05 s 的 v-t圖像為直線， 5 s 末該車發動機達到額定功率并保持該功率行駛，2（ 1）該車的額定功率；（ 2）該車的最大速度v m.在 5【分析】（1）05s 賽車做勻加速運動，其加速度：所以發動機牽引力的額定功率P=Fv1=1.2 ×105 W（ 2）由 P=fv m，解得： v m=60 m/s.點評 弄清楚 v-t 圖像中各段圖線所表示的運動過程，然后畫出運動草圖，合理運用牛頓運動定律和運動學公式是解決此類問題的基本思路和方法 .拓展訓練 1 一輛電動汽車的質量為 1×103 kg ，額定功率為 2&

10、#215; 104 W，在水平路面上由靜止開始做直線運動，最大速度為 v2，運動中汽車所受阻力恒定 . 發動機的最大牽引力為 3 ×103 N ，其行駛過程中牽引力 F 與車速的倒數 1/v 的關系如圖所示 . 試求：（ 1） v2 的大小；（ 2）整個運動中的最大加速度；（ 3）當汽車的速度為 10 m/s 時，發動機的功率 .二、機車啟動問題中的位移分析方法在機車啟動過程中， 計算機車的位移是一個難點 . 由于機車一般會經歷多個運動過程， 在勻變速運動過程中可以利用運動學公式直接求解，但在變加速運動階段，只能借助動能定理來計算 . 在機車啟動問題中，要注意區別“兩個速度”，即勻加

11、速階段的最大速度（圖像中的v1 ）和最終勻速運動的速度（圖像中的v m）. 求勻加速階段的位移可運用勻變速直線運動的位移公式計算變加速運動階段的位移則不能用上述公式，但由于該階段功率 P 不變，故可以用動能定理P(t2-t1)-fx2=計算如在調研 1 中，計算賽車出發后前20 s內的位移，分析如下：代入數據解得 x2=100 m總位移 x=x1+x2=150 m.典例 2（ 2011·浙江卷）節能混合動力車是一種可以利用汽油及所儲存電能作為動力來源的汽車 . 有一質量 m=1 000 kg的混合動力轎車，在平直公路上以速度v1=90 km/h 勻速行駛，發動機的輸出功率為P=50

12、kW. 當駕駛員看到前方有80 km/h 的限速標志時，保持發動機功率不變，立即啟動利用電磁阻尼帶動的發電機工作給電池充電，使轎車做減速運動，運動 L=72 m后，速度變為 v2=72km/h. 此過程中發動機功率的1/5 用于轎車的牽引， 4/5 用于供給發電機工作，發動機輸送給發電機的能量最后有50%轉化為電池的電能 . 假設轎車在上述運動過程中所受阻力保持不變. 求：（ 1）轎車以 90 km/h在平直公路上勻速行駛時，所受阻力f 的大小；（ 2）轎車從 90 km/h減速到 72 km/h 過程中，獲得的電能E 電 ；（ 3）轎車僅用其在上述減速過程中獲得的電能E 電 維持 72 km

13、/h 勻速運動的距離 L.【分析】（1）轎車牽引力與輸出功率的關系P=Fv1將 P=50 kW， v1=90 km/h=25 m/s 代入得當轎車勻速行駛時，牽引力與阻力大小相等，有f=2 ×103 N.（ 2）在減速過程中，發動機只有P/5 用于轎車的牽引，根據動能定理有（ 3）根據題設，轎車在平直公路上勻速行駛時受到的阻力仍為f=2 ×103N. 此過程中，由能量轉化及守恒定律可知，僅有電能用于克服阻力做功E 電=fL ，代入數據得L=31.5m.拓展訓練 2某興趣小組對一輛自制遙控小車的性能進行研究，他們讓這輛小車在水平的直軌道上由靜止開始運動，并將小車運動的全過程記錄下來，通過處理轉化為v-t圖像，如圖所示（除 210s 時間段內的圖像為曲線外，其余時間段圖像均為直線）已知小車運動的過程中， 214s 時間段內小車的功率保持不變，在 14s 末停止遙控而讓小車自由滑行小車的質量為 1 kg ，可認為在整個過程中小車所受到的阻力大小不變求：（ 1）小車所受到的阻力大小及 02 s 時間內電動機