1、幾何概型的教學設計              教學內容本節課選自普通高中課程標準實驗教科書數學（人教版）必修3第3章概率第3節內容.教材的地位與作用概率的初步知識在初中已經介紹，在選修模塊的系列2中還將繼續學習概率的其他內容，因此，本章在高中階段概率的學習中，起了承前啟后的作用.本章的核心是運用數學方法去研究不確定現象的規律，讓學生初步形成用科學的態度、辯證的思想、隨機的觀念去觀察、分析研究客觀世界的態度，并獲取認識世界的初步知識和科學方法.本小節是在學生

2、已經掌握一般性的隨機事件即概率的統計定義的基礎上，繼古典概型后對另一常見概型的學習，這對全面系統地掌握概率知識，對于學生辯證思想的進一步形成具有促進的作用.三維目標知識與技能了解幾何概型的意義，會求簡單的幾何概型事件的概率.過程與方法通過學習運用幾何概型的過程，初步體會幾何概型的含義，體驗幾何概型與古典概型的聯系與區別.情感、態度與價值觀通過對幾何概型的教學，幫助學生樹立科學的世界觀和辯證的思想，養成合作交流的習慣.教學重點幾何概型的基本特點及“測度”的尋找.教學難點從實際背景中找測度.課時安排    1課時教學過程一、創設情境，導入新課問題情境一：取一

3、根長度為的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長都不小于1m的概率有多大？（教師演示繩子）問題情境二：射箭比賽的箭靶涂有五個彩色得分環？從外向內為白色、黑色、藍色、紅色，靶星是金色.金色靶心叫“黃心”.奧運會的比賽靶面直徑為，靶心直徑為.運動員在外射箭.假設射箭都能射中靶面內任何一點都是等可能的，那么射中黃心的概率為多少？（播放flash動畫）設置意圖：這兩個問題都來自于日常生活中，特別是當第二個問題提出時，學生們會躍躍欲試.根據心理學，情境具有暗示作用，在暗示作用下，學生自覺不自覺地參與了情境中的角色，這樣他們的學習積極性和思維活動就會被極大的調動起來.二、師生互動，意義建構經過分析，

4、在這兩個問題中，基本事件有無限多個，雖然類似于古典概型的“等可能性”，但是顯然不能用古典概型的方法求解.通過學生的討論，解決以上兩個問題并不困難，解決之后，教師向學生介紹“測度”這一新名詞（不必深究）.學生只需要知道第一個問題中的測度是指（線段的）長度，第二個問題中的測度是指（圓的）面積.教師提問：由以上兩個問題，你覺得此類問題與古典概型相比有何特點？如何求此類問題的概率？讓學生分組討論，教師適當點撥.引出幾何概型的概念、基本特點、概率計算公式，之后要加以說明，以便學生理解與記憶.幫助學生弄清其形式和本質，明確其內涵和外延.幾何概型的概念及概率計算公式對于一個隨機試驗，如果我們將每個基本事件理

5、解為從某個特定的幾何區域內隨機地抽取一點，而該區域內每一點被取到的機會都一樣；而一個隨機事件的發生則理解為恰好取到上述區域內的某個指定區域內的點.這樣就可以把隨機事件與幾何區域聯系在一起.這里的區域可以是線段、平面圖形、立體圖形等.用這種方法處理隨機試驗，稱為幾何概型（geometric probability model）.一般地，在幾何區域D中隨機地取一點，記事件“該點落在其內部一個區域d內”為事件A，則事件A發生的概率.說明以下兩點：（1）的測度不為；（2）區域為“開區域”，不包含邊界點.接著教師提問：（1）當d內只有一個點時，d的測度是    &

6、#160;？（2）當D分別是線段、平面圖形時，相應的測度分別是長度、面積，那么，當D是立體圖形時，測度應該是什么呢？（3）完成下表 古典概型幾何概型所有的基本事件（是否有限）  每個基本事件的發生（是否等可能）  每個基本事件的發生的概率  概率的計算公式  設置意圖：設置表格是讓學生明確幾何概型與古典概型的區別與聯系，進一步理解與掌握幾何概型.三、數學應用（一）例題教學例1  取一個邊長為2a的正方形及其內切圓，隨機向正方形內丟一粒豆子，求豆子落入圓內的概率.分析 

7、0;由于是隨機丟豆子，故可認為豆子落入正方形內任一點的機會都是均等的（符合幾何概型），于是豆子落入圓中的概率應等于圓面積與正方形面積的比.解  記“豆子落入圓內”為事件A，則答  豆子落入圓內的概率為.拓展引申  向正方形內撒n顆豆子，其中落在圓內的豆子數為m，你會估算的值嗎？（在課堂上師生共同推導出“”，然后則由教師給出網址：點評  解題時先判斷是否符合幾何概型的條件，再找出測度，本題中的測度是面積.例2  在1L高產小麥種子中混入了一粒帶麥銹病的種子，從中隨機取出10mL，含有麥銹病種子的概

8、率是多少？分析  病種子在這1L種子中的分布可以看做是隨機的（符合幾何概型），取得10mL種子可視作區域d，所有種子可視為區域D.解  取出10mL麥種，其中“含有麥銹病種子”這一事件記為A，則答  含有麥銹病種子的概率是.點評  經過分析本題符合幾何概型的條件，測度是體積，注意書寫的規范性.例3  在等腰直角三角形中中，在斜邊AB上任取一點M，求小于的概率.分析  點M隨機地落在線段AB上（符合幾何概型），故線段AB為區域D.當點M位于右下圖中線段內時，故線段即為區域.解&

9、#160; 在上截取于是.答  小于的概率為.變式  在等腰直角三角形中中，過直角頂點C在內部任作一條射線CM，與線段AB交于點M，求小于的概率.解析  由題意，射線CM在內等可能分布的（符合幾何概型），在AB上取，則，故滿足條件的概率為.點評  例3也符合幾何概型，測度是線段的長度，變式的難道稍大一些，關鍵是找測度.（二）形成性練習1在500ml的水中有一個草履蟲，現從中隨機取出2ml水樣放到顯微鏡下觀察，則發現草履蟲的概率是      

10、60;     .2某商場為了吸引顧客，設立了一個可以自由轉動的轉盤（如圖），并規定:顧客每購買100元的商品，就能獲得一次轉動轉盤的機會.如果轉盤停止時，指針正好對準紅、黃或綠的區域，顧客就可以獲得100元、50元、20元的購物券（轉盤等分成20份）.甲顧客購物120元，他獲得購物券的概率是多少？他得到100元、50元、20元的購物券的概率分別是多少？        3平面上畫了一些彼此相距2a的平行線，把一枚半徑r<a的硬幣任意擲在這個平面上，求硬幣不與任

11、何一條平行線相碰的概率.參考答案：10004  2P（獲得購物券）=； P（獲得100元購物券）=；P（獲得50購物券）=；P（獲得20購物券）=3學生練習時，教師巡查，觀察學情，及時從中獲取反饋信息.對學生練習中出現的獨到解法提出表揚和鼓勵，對其中偶發性錯誤進行辨析、指正.通過形成性練習，培養學生的應變和舉一反三的能力，逐步形成技能.四、小結反思本節課的小結反思從以下幾個方面進行：（1）幾何概型的概念及基本特點；（2）幾何概型中概率的計算公式；（3）背景相似的問題，當等可能的角度不同時，其概率是不一樣的.（4）區域內隨機取點是指：該點落在區域內任何一處都是等可能

12、的，落在任何部分的可能性大小只與該部分的測度成正比而與其形狀位置無關.通過師生的共同小結，發揮學生的主體作用，有利于學生鞏固所學知識，也能培養學生的歸納和概括能力；進一步完成教學目標.五、布置作業（1）課本第頁習題3.3 第1，2，3題；（2）請解釋為什么隨機事件A發生的概率0P（A）1，分別何時取到0，1？（3）上網下載課件，用Excel來模擬撒豆子試驗；（4）上網搜索閱讀“貝特朗（Bertrand）問題”，談談閱讀之后的感想.這一組作業符合新課程的理念，作為本節課的的升華.設計感想由于幾何概型是在學習了古典概型之后，將等可能事件的概念從有限向無限的延伸，因此，在引出幾何概型之后，

13、將幾何概型的特點與古典概型的特點進行比較，總結它們的相同的地方和不同的地方.根據幾何概型中測度最常見的三種形式：長度、面積、體積，設置三個典型例題，課本上的前三個例題恰好符合以上要求，就直接拿過來用.例題本身屬于幾何概型及概率計算公式的直接應用、簡單應用，目的是加強對幾何概型的理解；幫助學生明確解題步驟，規范解題格式.因此，三個例題的講解都設置了：分析、解答、點評三個步驟.其中分析過程主要強調判斷是否符合幾何概型，解答過程強調書寫的規范性，點評主要強調如何將實際背景轉化為測度以及測度是什么.例1的拓展引申在課堂師生推導出“”，然后則由教師給出網址，“用Excel來模擬撒豆子試驗”留給學生課后去探究.這樣一來，既激發了學生學習數學的興趣，調動了他們的積極性，又為下一節課中用隨機模擬方法計算封閉曲線圍成圖形的面積作好了鋪墊.絕大部分學生在單獨處理例3時是不用費多大勁的，但是當面對例3變式時，大部分學生很有可能感覺無從下手，原因何在？在于學生找不到本題中的測度是什么這恰好是本節課的難點，因此本題的教學對本節課的難點的突破至關重要.課堂上，教師不要急于講解，可以讓學生討論，哪怕是爭論，讓學生參與進來，另外，本題的點評也留給學生完成.如此