1、1第第4 4章章 數學的巧妙應用 應用數學解決一些簡單問題，初步嘗試怎樣把數學應用于解決問題的過程中，通過這些問題展示數學的奇妙作用，體會將數學用來解決各類實際問題時如何培養和發揮創造性思維能力，經常性地聯想和積累，開拓思路，更好和更靈活地應用數學去解決問題。21. 鋪瓷磚問題鋪瓷磚問題2. 相識問題相識問題3. 人、狼、羊、菜渡河問題人、狼、羊、菜渡河問題4. 棋子顏色的變化棋子顏色的變化5. 椅子的穩定性椅子的穩定性6. 包餃子問題包餃子問題7. 七橋問題七橋問題8. 雙層玻璃的功效雙層玻璃的功效9. 席位分配方案席位分配方案10. 人口預報問題的初等模型人口預報問題的初等模型31. 1.

2、 鋪瓷磚問題鋪瓷磚問題 要用40塊方形瓷磚鋪如下圖所示形狀的地面,但當時市場上只有長方形瓷磚,每塊大小等于方形的兩塊。一人買了20塊長方形瓷磚，試著鋪地面,結果弄來弄去始終無法鋪好.試問是這人的功夫不到家還是這個問題根本無解呢?4我們首先必須解決可能性問題我們首先必須解決可能性問題 在圖上黑白相間地染色.然后仔細觀察,發現共有19個白格和21個黑格.一塊長方形瓷磚可以蓋住一黑一白兩個方格。所以鋪上19塊長方形瓷磚后,總要剩下2個黑格無法鋪,因一塊長方形瓷磚是無法蓋住兩個黑格的。唯一的解決辦法是把最后一塊瓷磚分為兩個正方形瓷磚去蓋住兩個黑格. 5 解決這一問題時所用的方法在數學上稱為奇偶校驗奇偶

3、校驗。如果兩個數具有都是奇數或偶數，則稱具有相同的奇偶性；如果一個是奇數，另一個是偶數，則稱具有相反的奇偶性。在鋪瓷磚問題中，即可認為涂黑色的格子是偶數，涂白色的格子是奇數，同色的格子有相同的奇偶性。一塊長方形瓷磚顯然只能復蓋奇偶性相反的一對方格，因此把19塊瓷磚在地面上鋪好后，只有在剩下的兩個方格具有相反的奇偶性時，才可能把最后一塊長方形瓷磚鋪上。由于剩下的兩個方格具有相同的奇偶性，因此無法鋪上最后一塊瓷磚。這就從理論上證明了用20塊長方形瓷磚鋪如圖42所示地面是不可能的。任何改變鋪設方式的努力都是徒勞的。6討論題討論題：（1）. 傳說中有一所監獄有64間囚室，按88型排列，所有相鄰的囚室都

4、有門相通。典獄長告訴關押在一個角落里的囚犯，只要他能夠不重復地通過每間到達對角的囚室，他將被釋放，問此囚犯能夠獲得自由嗎？AB78(2) 擬將一批尺寸為124的商品裝入尺寸為666的正方體包裝箱中，問最多能裝入多少個商品？9 將正方體剖分成27個222的小正方體，并黑白相間地染色。再將每一222的小正方體剖分成122的2個小正方體。 由于27個222的正方體中，有14個是黑的，13個是白的（或13黑14白），故經兩次剖分，共計有28個122的黑色小正方體和26個122的白色小正方體。 雖然包裝箱的體積恰好是商品體積的27倍，但容易看到，不論將商品放置在何處，每個尺寸為124的商品都將占據1個黑

5、色和1個白色的122小正方體的位置，由min26,28=26知道，最多可以裝入26個商品。故商品不可能充滿包裝箱故商品不可能充滿包裝箱。102. 相識問題（拉姆齊相識問題）相識問題（拉姆齊相識問題） 1958年，美國的數學月刊上登載著這樣一個有趣的問題：“任何6個人的聚會，其中總會有3個人相互認識，或3個人相互不認識”。2.1 2.1 建立模型建立模型 用6個點u1，u2，u3，u4，u5，u6表示6個人，若兩人認識，就在相應的兩個點之間連一條邊，則此圖的補圖的一條邊就表示對應于它的關聯頂點的人互相不認識。112.2 2.2 問題轉化問題轉化于是, 問題化為下述命題： 對一個任意的含6頂點的簡

6、單圖G，要么該圖本身，要么它的補圖含有一個三角形（即具有三個頂點的完全圖K3）。證明：不妨考慮u1，則它與其余的5個頂點不是在G中相鄰，就是在中相鄰，因此在G中或中，至少與3個點相鄰，不妨假定在G中，有邊u1u2，u1u3，u1u4如右圖。u1u2u3u4u5u612 (1) 若u2，u3，u4這3個點有兩個點在G中相連，比如說u2u3，則三角形u1u2u3即為所求。 (2) 若u2，u3，u4這3個點中任意兩點都不在G中相連，則它們必在中兩兩相連，從而三角形u2u3u4即為所求。證畢。13相識問題也可以用圖的染色來解決：仍用六個頂點表示6個人，作6階完全圖，如果這兩個人互相認識，連接相應兩個

7、定點的邊染成紅色，否則染成藍色，于是問題轉化為：在G中存在一個同色三角形。請大家一起畫圖證明請大家一起畫圖證明14 關于拉姆齊相識問題拉姆齊相識問題，有更一般的結論：給定任意正整數a和b，總存在一個最小整數 r(a,b)，使得r(a,b) 個人中或者有 a 個人互相認識，或者有 b 個人互相不認識。稱 r(a,b) 為Ramsey數數。對拉姆齊問題的認識不能僅對拉姆齊問題的認識不能僅僅停留在僅停留在6人相識問題的水平人相識問題的水平上。利用圖論和邏輯推理方上。利用圖論和邏輯推理方法，實際上還可獲得一大批法，實際上還可獲得一大批結果。結果。15 1717位學者中每人都和其他人通信討論位學者中每人

8、都和其他人通信討論3 3個個方向的課題。任意兩人間只討論其中一個方向方向的課題。任意兩人間只討論其中一個方向的課題，則其中必可找出的課題，則其中必可找出3 3位學者，他們之間位學者，他們之間討論的是同一方向的課題。討論的是同一方向的課題。 課堂練習：請以圖的染色方法證明命題：16 一個擺渡人F希望用一條小船把一只狼 W，一頭羊 G 和一籃白菜 C 從一條河的左岸渡到右岸去，而船小只能容納 F、W、G、C中的兩個，決不能在無人看守的情況下，留下狼和羊在一起，羊和白菜在一起，應怎樣渡河才能將狼、羊、白菜都運過去?3. 人、狼、羊、菜人、狼、羊、菜 渡河問題渡河問題17建模：建模：將人、狼、羊、菜的

9、位置依次用一個四維向量表示:當一物在左岸時,記相應的分量為1,否則記為0,如A(1,0,1,0)表示人和羊在左岸,稱為一個狀態。智力游戲智力游戲 狀態轉移狀態轉移 算法算法 編程編程（左岸）可取狀態（左岸）可取狀態： (1,1,1,1)， (0,0,0,0)， (1,1,1,0)， (0,0,0,1)， (1,1,0,1)， (0,0,1,0)， (1,0,1,1)， (0,1,0,0)， (1,0,1,0)， (0,1,0,1)。18（船上）可取運載船上）可取運載： B共4個 (1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)。 在上述規定下，問題轉化為：從

10、初始狀態(1,1,1,1)經過多少次可取運算才能轉化為化為(0,0,0,0)渡河過程：可取運算渡河過程：可取運算 可取狀態向量與一個可取運載向量相加，相加時每一分量按二進制法則二進制法則進行計算。例如 (1,1,1,1)+ (1,0,1,0)= (0,1,0,1)19不合題意第一次渡河第一次渡河第二次渡河第二次渡河 (1,1,0,0) (0,0,1,1) N(1,1,1,1) + (1,0,1,0) = (0,1,0,1) Y (1,0,0,1) (0,1,1,0) N (1,0,0,0) (0,1,1,1) N (1,1,0,0) (1,0,1,1) N(0,1,0,1) + (1,0,1,

11、0) = (1,1,1,1) R (1,0,0,1) (1,1,0,0) N (1,0,0,0) (1,1,0,1) Y 不合題意20 (1, 1, 0, 0) (0, 0, 0, 1) Y (1, 1, 0, 1) + (1 , 0, 1, 0) = (0, 1, 1, 1) N (1, 0, 0, 1) (0, 1, 0, 0) Y (1, 0, 0, 0) (0, 1, 0, 1) R . 繼續上面窮舉過程，經過7次運算就可從(1,1,1,1)轉化為(0,0,0,0)，最后將整個運算過程“翻譯”回去，就可以得到結果。第三次渡河第三次渡河21 用S表示所有可取狀態的集合；用 B44 表示運

12、載行向量組成的矩陣；用向量A14表示可取狀態；用S1表示運算過程中第一次出現的可取狀態集合，則執行如下步驟：1） 可取狀態初始化: ；2） 把可取狀態A和運載矩陣B的每一行相加，得到中間矩陣C；顯示每次的運算結果，即矩陣C=（C1，C2，C3，C4）；3）若存在Ci= (0,0,0,0)則停止；否則繼續；4）判斷Ci (i=1，2，3，4) 是否屬于集合S和集合S1 ；若Ci屬于集合S，但不屬于S1，則令 ，返回2）；算法步驟算法步驟：1, 1, 1, 1AiCA上述窮舉過程也可通過計算機編程實現22夫妻過河問題夫妻過河問題：這是一個古老的阿拉伯數學問題。有三對這是一個古老的阿拉伯數學問題。有

13、三對夫妻要過河，船最多可載兩人，約束條件是根據阿拉伯法夫妻要過河，船最多可載兩人，約束條件是根據阿拉伯法律，任一女子不得在其丈夫不場的情況下與其他男子在一律，任一女子不得在其丈夫不場的情況下與其他男子在一起，問此時這三對夫妻能否過河？起，問此時這三對夫妻能否過河？這兩個問題與前一問題類似，這兩個問題與前一問題類似，但要復雜一些，狀態變量的但要復雜一些，狀態變量的選取和運算與前一題有所不選取和運算與前一題有所不同。同。 商人過河問題：商人過河問題：三個商人三個商人各帶一名隨從渡河。隨從各帶一名隨從渡河。隨從們密約們密約, 在河的任一岸在河的任一岸, 一一旦隨從的人數比商人多旦隨從的人數比商人多,

14、 就殺人越貨。但是乘船渡就殺人越貨。但是乘船渡河的方案由商人決定河的方案由商人決定.商人商人們怎樣才能安全過河們怎樣才能安全過河?河河小船小船(至多至多2人人)234. 棋子顏色的變化棋子顏色的變化 任意拿出黑白兩種顏色的棋子共八個，排成如圖4-1所示的一個圓圈。然后在兩顆顏色相同的棋子中間放一顆黑色棋子，在兩顆顏色不同的棋子中間放一顆白色棋子，放完后撤掉原來所放的棋子。再重復以上的過程，這樣放下一圈后就拿走前次的一圈棋子，問這樣重復進行下去各棋子的顏色會怎樣變化呢?2425方法方法1 1： 窮舉法驗證28=256初始情況； （請大家動手試試，看規律如何?）方法方法2 2： 借助于計算機的窮舉

15、法驗證怎樣編程? 黑黑得黑，白白得黑，黑白得白 （ 正正得正，負負得正，正負得負 有理數符號規則） 26方法方法3：楊輝三角形法楊輝三角形法27問題的推廣問題的推廣練習： 對任意 n n 顆棋子討論顏色變化的情況，嘗試給出一些結論。28關于關于n n顆棋子的一些結論或猜想：顆棋子的一些結論或猜想：1）n=2m時， 最多經過2m變換后全部變黑；2）任意n， 至少有2種情況變換后全部變黑；3）n=2m+1時， 至少有些情況不會全變黑；4）對所有n， 棋子顏色變化是周期的；295）n=3時： 2種全黑，(-1, -1, -1), (1, 1, 1) 2黑1白：以后不會再出現， (-1, 1, 1),

16、 (1, -1, 1), (1, 1, -1) 2白1黑：進入循環，周期3 (-1, 1, -1), (1, -1,-1), (-1,-1,1) 30 5. 椅子的穩定性問題椅子的穩定性問題 一把四條腿一樣長正方形椅子放在起伏不平的地面上, 問4條腿能否同時著地而放穩? 此問題看來似乎與數學無關。能用數學語言來描述并證明嗎？試試看。 315.1 模型假設模型假設 為了能用數學語言描述，對椅子和地面需作一些必要的假設。(1).對椅子的假設：椅子四只腳一樣長，椅腳與地面接觸處視為一個點，四只腳位于同一平面內，其連線呈正方形；(2).對地面的假設：地面的高度是連續變化的，即可視為數學上的連續曲面；(

17、3).對兩者關系的假設：地面是比較平坦的，使椅子在任何時候都同時有三只腳同時著地，而且當椅子轉動時，它的四只腳總在同一個平面內。32 主要問題是如何用數學語言把椅子四條腿同時著地的條件表達出來。5.2 模型建立模型建立5.2.1 5.2.1 引入函數引入函數 以椅腳正方形的中心為原點，所在平面為坐標平面建立坐標系。 用表示椅子轉動的角度，從而確定椅子的位置。椅腳著地，即椅腳與地面距離為0，這就是椅子與地面的數量關系。因此，我們可用的函數表示椅腳與地面距離，因為圖形具有對稱性，故不必用4個函數，而只用2個函數即可。33A0AB0BC0CD0DOxy椅子穩定性問題的坐標系.34 （1）由假設2，函

18、數 與 是的非負連續函數，02； (2) 由假設3，對任意0,2, 不妨設 ； (3) 當把椅子轉動/2時，則AC與BD互換了位置，由假設(1)，( )f( )g( ) ( )0,fg(0)0,(0)0fg( )(0),( )(0).22fggf5.2.2 函數的性質函數的性質 設 表示椅腳A與C兩腳到地面距離之和；表示椅腳B與D兩腳到地面距離之和。 ( )f( )g35椅子四只腳同時著地等價于存在一點 0,使00()()0fg5.2.3 把問題化作數學命題把問題化作數學命題 因此，原問題等價于以下命題： 命題命題 已知函數 與 是的非負連續函數，0 2，且滿足： (1) ; (2)對任意 0

19、，2, 且則必存在一點0， 使( )f( )g(0)0,(0)0fg( ) ( )0,fg( /2)(0),( /2)(0).fggf00()()0.fg365.3 5.3 模型求解模型求解證明： 將椅子轉動 ，對角線互換，由2, 0)0(, 0)0(fg可得,0)2(,0)2(gf令 , 0)0()0()0( ),()()(gfhgfh則 ,0)2()2()2( gfh而由 的連續性， 根據介值定理，在 中至少存在一點 ,使得 ,即)(h0)(0h)2,0(0)()(00gf0)()(00gf又0)()(00gf所以5.4 結論：能放穩。 37連續函數的介值定理連續函數的介值定理. 0)(,

20、),( 0,)()(,)(fbabfafbaxf使內至少存在一點則在開區間上連續，在閉區間若數學的作用真是奇妙數學的作用真是奇妙！思考：如果椅子是長方形的，上面的建模過程又該如何？386. 6. 包餃子問題包餃子問題 設在包餃子時通常1kg面和1kg餡包100個餃子，又一次餡多了0.4kg，問能否將餃子包大一些或包小一些將這些餡仍用1kg面用完？并計算此時的餃子個數。39模型假設模型假設: 餃子的體積由餃子餡決定，即與餃子餡的重量成正比餃子的面積由餃子皮決定，即與餃子皮的重量成正比建模與求解建模與求解：設大餃子的半徑為R，小餃子的半徑為r, 則可設每個大餃子和小餃子的餃皮面積分別為S=cR2，

21、 s=cr2，體積為V=dR3, v=dr3。由此得23VSvs 由此可知，餃子越大，它所包的餡越多，它所用的面粉也越多，但所包的餡量的增加快于所用的面粉量的增加。所以在面粉一定的情況下，餡多了，我們應該把餃子包大些，少包一些餃子。（1）40 對于本題，我們設要包m個大餃子，則由面粉重量相同有 mS=100s, （2）由餡的重量之比得 mV/100v=1.4 （3）上面三式聯立解得 (140/m)2=(100/m)3所以m大約為51。41 18世紀，哥尼斯堡（現今即俄羅斯的加里寧格勒，在波羅的海南岸）城上，普勒格爾河的兩條支流，把整座城市分割成4個區域：河的兩岸、河中的島、和兩條支流之間的半島

22、。當時有七座橋橫跨普勒格爾河及其支流，把河岸、半島和河心島連接起來。有趣的橋群和4個城區的迷人景色吸引了眾多的游客，居民們在游覽時提出這樣的問題：能否從某個地方出發，穿過所有的橋各一次后再回到出發點？7. 七橋問題七橋問題42當地的居民開始沉迷于這個問題，在橋上來來回回不知走了多少回，然而卻始終不得其解。七橋問題很快就傳遍了歐洲，成了知名的難題。43大數學家歐拉(Euler)此時正值二十幾歲，受俄國之邀，正在聖彼得堡(現名列寧格勒)的科學院作研究。他的德國朋友告訴了他七橋問題，也引起了尤拉的高度興趣。他想：經過這麼多人的努力都找不到能不重複地一次走完七座橋的路徑，會不會是這樣的走法根本不存在？

23、 於是他開始著手證明自己的猜想。他最先想到的是用窮舉法- 把所有可能的走法詳細列出，然後一一檢查是否可行。但是他馬上發現這樣做太煩了，因為七座橋排列起來共有7！=5040條路線，逐一檢查實在太耗時了。況且，這樣的方法沒有通用性，背景知識簡介背景知識簡介44 橋的位置或數量一旦改變，就得再重新檢查一次；萬 一 橋 增 加 為 1 0 座 ， 那 豈 不 是 要 檢 查 1 0 ！=362880條路線？！接著，他又想到：島的形狀、大小及橋的長短並不影響結果，相對位置才是重點。於是他聯想到了萊布尼茲(Leibniz)的位置幾何學；他將圖形簡化，小島化為點，橋則用線表示，於是就畫出了如下之圖形，七橋問

24、題就相當於能不能一筆畫出此圖形的問題。 45 7.1 7.1 建立模型建立模型 把圖中被河隔開的陸地抽象成A、B、C、D 4個點，7座橋抽象成7條連接這4個點的邊a、b、c、d、e、f、g ，如圖所示。467 .2 問題轉化問題轉化： 于是, “七橋問題”就等價于圖中所畫圖形的一筆畫問題了。 歐拉集中精力研究了這個圖形，發現中間每經過一點，總有畫到那一點的一條線和從那一點畫出來的一條線。這就是說, 除了起點和終點外，每個點如果有進去的邊就必須有出來的邊，從而連接每個點的邊必須為偶數個才能完成一筆畫。圖的四個點都連接著奇數條邊，因此不可能一筆畫出，這就說明不存在一次走遍7座橋，而每座橋只許通過一

25、次的走法。 抓住關鍵好重要！抓住關鍵好重要！47注：歐拉對“七橋問題”的研究是圖論研究的開始，同時也為拓撲學的研究提供了一個初等的例子 。他證明了一個圖形可以“一筆畫”當且僅當其奇點個數為0或2。48 寒冷的北方, 許多住房都是通過安裝雙層玻璃窗保暖，即在窗戶上裝兩層玻璃，且中間留有一定的空隙，試比較雙層玻璃窗與同樣厚度的單層玻璃窗的熱量流失？8. 8. 雙層玻璃的功效雙層玻璃的功效492d墻墻室室內內 T1室室外外 T2dd墻墻l室室內內 T1室室外外 T2假假設設（2）熱量傳播只有傳導，沒有對流，）熱量傳播只有傳導，沒有對流，即假定窗戶密封性好，兩層玻璃之間的即假定窗戶密封性好，兩層玻璃之

26、間的空氣是不流動的；空氣是不流動的；熱傳導定律熱傳導定律dTkQQ1Q2（3）室內室外溫度）室內室外溫度T1, T2不變不變，熱傳熱傳導過程處于穩態，并且導過程處于穩態，并且Q 單位時間單位時間單位面積通過的熱量是常數單位面積通過的熱量是常數 T溫差溫差, d材料厚度材料厚度, k熱傳導系數熱傳導系數建模依據建模依據（1）雙層玻璃窗的兩玻璃的厚）雙層玻璃窗的兩玻璃的厚度都為度都為d，兩玻璃的間距為，兩玻璃的間距為l；單層玻璃窗的玻璃厚度為單層玻璃窗的玻璃厚度為2d，所用玻璃材料相同；所用玻璃材料相同；2d墻墻室室內內 T1室室外外 T2墻50dd墻墻l室室內內 T1室室外外 T2Q1TaTb記

27、雙層玻璃窗傳導的熱量記雙層玻璃窗傳導的熱量Q1Ta內層玻璃的外側溫度內層玻璃的外側溫度Tb外層玻璃的內側溫度外層玻璃的內側溫度k1玻璃的熱傳導系數玻璃的熱傳導系數k2空氣空氣的熱傳導系數的熱傳導系數dTTklTTkdTTkQbbaa212111dlhkkhssdTTkQ,)2(212111建模建模51記同樣厚度的單層玻璃窗傳記同樣厚度的單層玻璃窗傳導的熱量導的熱量Q2dTTkQ221122d墻墻室室內內 T1室室外外 T2Q2雙層與單層窗傳導的熱量之比雙層與單層窗傳導的熱量之比dlhkkhssQQ,22212121QQ k1=4 10-3 8 10-3, k2=2.5 10-4, k1/k2=

28、16 32對對Q1比比Q2的減少量的減少量作最保守的估計，作最保守的估計，取取k1/k2 =16dlhhQQ,18121)2(2111sdTTkQ建模建模52hQ1/Q24200.060.030.026模型應用模型應用取取 h=l/d=4, 則則 Q1/Q2=0.03即雙層玻璃窗與同樣多即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，材料的單層玻璃窗相比，可減少可減少97%的熱量損失。的熱量損失。結果分析結果分析Q1/Q2所以如此小，是由于房間間空氣極低的熱傳導所以如此小，是由于房間間空氣極低的熱傳導系數系數 k2 2, , 而這要求空氣非常干燥、不流通。而這要求空氣非常干燥、不流通。實際上，房間通

29、過天花板、墻壁實際上，房間通過天花板、墻壁 損失的熱量更損失的熱量更多。多。雙層窗的功效不會如此之大。雙層窗的功效不會如此之大。dlhhQQ,1812153 在n個單位組成的團體中，經常涉及到一些代表名額分配問題,每個單位都希望自己的代表名額多一些，以便在委員會中能更好地反應自己單位的意圖。試設計一種公平的代表名額分配方案，并針對下面三種情況就方案的公平合理性進行說明。9. 9. 席位分配方案席位分配方案 例例 一個團體有甲、乙、丙三個單位, 開始時甲、乙、丙三單位的人數分別是100、60、40, 一年以后，由于人事調動，三單位的人數分別是103、63、34。 就 20名代表和21名代表名額給

30、出分配方案。54情形 1 (20席）單位單位 人數人數 所占比例所占比例 應得席位數應得席位數 實際席位數實際席位數甲甲 100 50% 20100 50% 2050%=10 1050%=10 10乙乙 60 30% 2060 30% 2030%=6 630%=6 6丙丙 40 20% 2040 20% 2020%=4 420%=4 4按比例分配55單位單位 人數人數 所占比例所占比例 應得席位數應得席位數 實際席位數實際席位數A 103 51.5% 20A 103 51.5% 2051.5%=10.3 1051.5%=10.3 10B 63 31.5% 20B 63 31.5% 2031.5

31、%=6.3 631.5%=6.3 6C 34 17.0% 20C 34 17.0% 2017.0%=3.4 317.0%=3.4 3情形情形(20(20席）席）剩余一個席位該分給哪一方呢？56最大余數準則最大余數準則單位 人數 所占比例 應得席位數 實際席位數甲 103 51.5% 2051.5%=10.3 10乙 63 31.5% 2031.5%=6.3 6丙 34 17.0% 2017.0%=3.4 3+1比例加慣例法比例加慣例法57單位單位 人數人數 所占比例所占比例 應得席位數應得席位數 實際席位數實際席位數甲甲 103 51.5% 21103 51.5% 2151.5%=10.815

32、 1051.5%=10.815 10乙乙 63 31.5% 2163 31.5% 2131.5%=6.615 631.5%=6.615 6丙丙 34 17.0% 2134 17.0% 2117.0%=3.570 317.0%=3.570 3情形情形3 (213 (21席）席）58最大余數準則最大余數準則單位單位 人數人數 所占比例所占比例 應得席位數應得席位數 實際席位數實際席位數甲甲 103 51.5% 21103 51.5% 2151.5%=10.815 10+151.5%=10.815 10+1乙乙 63 31.5% 2163 31.5% 2131.5%=6.615 6+131.5%=6

33、.615 6+1丙丙 34 17.0% 2134 17.0% 2117.0%=3.570 3+017.0%=3.570 3+059系別系別 學生學生 比例比例 20席的分配席的分配 人數人數 （%） 比例比例 結果結果 甲甲 103 51.5 乙乙 63 31.5 丙丙 34 17.0總和總和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 結果結果10.815 6.615 3.570 21.000 21比比例例加加慣慣例例對對丙丙系系公公平平嗎嗎系別系別 學生學生 比例比例 20席的分配席的分配 人數人數 （%） 比例比例 結果結果 甲甲 103 51.5 10.3 乙乙

34、63 31.5 6.3 丙丙 34 17.0 3.4 總和總和 200 100.0 20.0 20系別系別 學生學生 比例比例 20席的分配席的分配 人數人數 （%） 比例比例 結果結果 甲甲 103 51.5 10.3 10 乙乙 63 31.5 6.3 6 丙丙 34 17.0 3.4 4總和總和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 結果結果10.815 11 6.615 7 3.570 321.000 21席位的公平分配問題席位的公平分配問題60“公平公平”分配方分配方法法衡量公平分配的數量指標衡量公平分配的數量指標 人數人數 席位席位 A方方 p1 a1B

35、方方 p2 a2當當p1/a1= p2/a2 時，分配公平時，分配公平 p1/a1 p2/a2 對對A的的絕對不公平度絕對不公平度p1=150, a1=10, p1/a1=15p2=100, a2=10, p2/a2=10p1=1050, a1=10, p1/a1=105p2=1000, a2=10, p2/a2=100p1/a1 p2/a2=5但后者對但后者對A的不公平的不公平程度已大大降低程度已大大降低! !雖二者雖二者的的絕對不絕對不公平度相同公平度相同若若 p1/a1 p2/a2 ，對，對 不公平不公平A p1/a1 p2/a2=561公平分配方案應使公平分配方案應使 rA , rB

36、盡量小盡量小設設A, B已分別有已分別有a1, a2 席，若增加席，若增加1席，問應分給席，問應分給A, 還還是是B ?11221222/(,)/Apapar a apa 對對A的的相對不公平度相對不公平度將絕對度量改為相對度量將絕對度量改為相對度量類似地定義類似地定義 rB(a1,a2) 將一次性的席位分配轉化為動態的席位分配將一次性的席位分配轉化為動態的席位分配, 即即“公平公平”分配方分配方法法若若 p1/a1 p2/a2 ，定義，定義不妨設分配開始時不妨設分配開始時 p1/n1 p2/n2, A相對不公平相對不公平622）若 p1/(n1+1) p2/(n2+1)，應計算rA(n1,

37、n2+1).若若rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 則這席應給則這席應給B 由于公平的席位分配方法應該是使相對不公平度由于公平的席位分配方法應該是使相對不公平度盡量地小，所以我們比較盡量地小，所以我們比較rB(n1+1, n2) 與與rA(n1, n2+1)，1）若 p1/(n1+1) p2/n2 ，則這席應給 A；否則否則問：問：p1/n1 0，人口增長率r ( x ) b xM 。現在，人口演化方程(1)應該改寫為 x k+1 = x k 1+ r (x k) = x k 1+ b(x M - x k )阻滯增長模型阻滯增長模型 建立建立86 現在，人口演化方程(1)應該

38、改 寫為 x k+1 = x k 1+ b(x M - x k ) (6)由于方程(6)考慮 到了自然資源和環境條件對人口增長的阻滯作用，它所對應的模型稱為阻滯增長模型。 你能不能說說公式中系數 b 的實際意義，并根據它的意義給它起一個適當的名字嗎？ 系數 b 反映了人口增加對增長率的阻滯作用，可以稱為人口增長率的阻滯系數。 到此，我們的數學建模工作完成了嗎？阻滯增長模型阻滯增長模型 建立建立87 公式（6）給出了阻滯增長情況下，人口變化的規律。從理論上來說，模型已經完成。然而，公式（6）中除了變量 x 之外，還有b 和 xM 兩個參數沒有確定，因此從應用的角度來說，模型還沒有完成。 那么，應

39、該如何確定這兩個參數呢？ 從原則上說，這兩個參數可以根據人口的統計數據來確定。阻滯增長模型阻滯增長模型 參數參數88 假定我們已經得到了初始的人口統計數據x0、x1 和 x2 ，將它們代入到方程（6）中，我們得到 x 1 = x 0 1+ b (x M - x 0 ) x 2 = x 1 1+ b (x M - x 1 ) 由上面兩個式子，很容易求出參數 b 和 xM 的值。 以美國19世紀末、20世紀初的人口演化為例，應用統計表中的數據，代入上面的方程，我們可以解出參數的值分別為xM = 1042.7，b = 0.36032 阻滯增長模型阻滯增長模型 參數確定參數確定89阻滯增長模型阻滯增長

40、模型 求解求解 阻滯增長模型的人口增長方程為 x k+1 = x k 1+ b(x M - x k ) (6)由于上面的遞推關系右邊出現了自變量的平方項，因此(6)式是一個非線性的遞推方程。 一般來說，非線性方程(6)式求不出通項公式，這下怎么辦？沒關系，我們可以用迭代法來求問題的近似解。90先把已知的初始數據 x0 代入到（6）式的右邊，我們得到 x1 ；再把所得到的數據 x1 代入到（6）式的右邊，我們又得到 x2 ；經過這樣反復的代入，我們不難算出所要求的所有xk 。這種通過反復代入來進行求解的方法，稱為迭代迭代法法。迭代法是數值計算中非常常用的方法。阻滯增長模型阻滯增長模型 的的迭代求

41、解迭代求解91 為了確保人口預報的可靠性，我們同樣必須對上面的阻滯增長模型進行檢驗。 下表列出了美國19世紀、20世紀的實際人口統計數據與阻滯增長模型的比較結果。 實際人口統計數據與理論模型計算結果的比實際人口統計數據與理論模型計算結果的比 較：較： 兩種理論模型與實際的相對誤差的比較兩種理論模型與實際的相對誤差的比較： 由表中的數據容易看出阻滯增長模型的結果比等比數列模型的有了很大的改進。 但是預報的人口數和人口增長率與實際情況的誤差仍然相當大，最高誤差還超過100%。阻滯增長模型阻滯增長模型 檢驗檢驗92實際人口與兩種模型計算結果的比較93兩種模型計算的增長率的相對誤差94 阻滯增長模型已

42、經考慮到了增長率變化的因素，為什么還有這么大的誤差？ 從實際數據與理論數據的比較，我們容易看出無論是人口數還是增長率的誤差都隨著時間而迅速增加，這又是為什么？ 我們回顧一下模型的建立過程，在模型中我們把參數近似地當成了常數。然而，我們對這些參數的具體取值的確定卻存在著問題。 在確定參數的時候，我們用了1790年、1800年和1810年的實際人口數據。雖然這些數據是準確的，但由此得到的參數值卻不一定是適當的。阻滯增長模型阻滯增長模型 誤差分析誤差分析95 阻滯增長模型阻滯增長模型 誤差分析誤差分析 隨著時間的推移，誤差就會逐漸顯現。如果不能及時地調整，時間相隔的越久，由于積累效應，誤差就越大。

43、這就很好地說明了實際數據與理論數據的差異。 那么，應該如何來對參數的誤差進行調整呢？ “實踐是檢驗真理的唯一標準”。誤差是對實際情況的偏離，調整的標準和方法是充分利用最新的實際數據。 除了參數之外，對模型在理論上是否也要修正？ “飯要一口一口地吃，事要一件一件地做”，先調整了參數再看下一步。96 通過上面的分析，我們發現誤差的出現和增加與通過上面的分析，我們發現誤差的出現和增加與確定參數值僅僅用到幾個初始數據有關。確定參數值僅僅用到幾個初始數據有關。 如果我們利用不同年份的數據，將得到不同的參如果我們利用不同年份的數據，將得到不同的參數值。數值。 按照模型的假設，參數應當取為常數，怎么取？按照模型的假設，參數應當取為常數，怎么取？ 最簡單的辦法是對所有可能的參數值求平均數，最簡單的辦法是對所有可能的參數值求平均數，一般來說，這樣做比較適當。一般來說，這樣做比較適當。 對于前面的例子，我們可以算出參數的平均值為對于前面的例子，我們可以算