1、專題四高考中的立體幾何問(wèn)題1.如圖，四棱錐P ABCD 中， PA底面 ABCD ， AB AD，點(diǎn) E 在線段 AD 上，且 CEAB (1)求證： CE平面 PAD ；(2)若 PA AB 1， AD 3， CD 2， CDA 45°，求四棱錐P ABCD 的體積解析 (1)PA底面 ABCD ，CE平面 ABCDCEPA，又ABAD ，CEAB CEAD 又PA ADA，CE平面 PAD (2)由 (1) 可知 CEAD 在 RtECD 中， DE CD ·cos45 ° 1，CE CD ·sin45 ° 1.又AB CE 1，ABCE，

2、所以四邊形ABCE 為矩形1S 四邊形 ABCD S 矩形 ABCE SCDE AB·AE 2CE·DE 1× 2 1× 1× 1 5.22又 PA底面 ABCD ， PA 11155所以 V 四棱錐 p ABCD S 四邊形 ABCD × PA××1 .33262 (2015 ·坊模擬濰)如圖，在四棱錐PABCD 中，平面 PAD 平面 ABCD ， ABAD ，BAD 60°， E、 F 分別是 AP、 AD 的中點(diǎn)求證： (1)直線 EF平面 PCD；(2)平面 BEF 平面 PAD證明

3、(1)在PAD 中，因?yàn)镋、F 分別為 AP、 AD 的中點(diǎn)，所以EF PD 又因?yàn)?EF 平面 PCD ， PD平面 PCD所以直線 EF 平面PCD (2)連結(jié) BD因?yàn)?AB AD，BAD 60°，所以ABD 為正三角形因?yàn)镕 是 AD 的中點(diǎn)，所以 BF AD 因?yàn)槠矫?PAD 平面 ABCD ，BF平面 ABCD ，平面 PAD 平面 ABCD AD ，所以 BF 平面 PAD 又因?yàn)?BF平面 BEF ，所以平面BEF 平面 PAD 3如圖，在四棱錐P ABCD 中，ABCD ，AB AD ，CD 2AB，平面 PAD底面 ABCD ，PA AD，E 和 F 分別是 CD

4、 、 PC 的中點(diǎn)，求證：(1)PA底面 ABCD ；(2)BE平面 PAD；(3)平面 BEF 平面 PCD 解析 (1)因?yàn)槠矫鍼AD底面 ABCD ，且 PA 垂直于這兩個(gè)平面的交線AD ，所以 PA底面 ABCD (2)因?yàn)?ABCD ，CD 2AB， E 為 CD 的中點(diǎn)，所以 AB DE ，且 AB DE.所以四邊形ABED 為平行四邊形所以 BE AD 又因?yàn)?BE 平面 PAD， AD平面 PAD ，所以 BE 平面PAD (3)因?yàn)?ABAD，而且四邊形ABED 為平行四邊形，所以 BE CD ， ADCD 由 (1)知 PA底面 ABCD 所以 PACD所以 CD 平面 P

5、AD所以 CDPD 因?yàn)?E和 F分別是 CD和 PC的中點(diǎn)，所以 PD EF .所以 CD EF，又因?yàn)?CD BE， BE EF E，所以 CD 平面 BEF .所以平面 BEF 平面 PCD4如圖，在幾何體P ABCD 中，四邊形ABCD 為矩形， PA平面 ABCD ， AB PA2.(1)當(dāng) AD 2 時(shí)，求證：平面PBD 平面 PAC；(2)若 PC 與 AD 所成的角為45°，求幾何求P ABCD 的體積解析 (1)證明：當(dāng)AD 2 時(shí)，四邊形ABCD 是正方形，則BDACPA平面 ABCD ， BD平面 ABCD ，PABD 又PA AC A，BD平面 PAC BD平

6、面 PBD ，平面 PBD 平面 PAC(2)解： PC 與 AD 成 45°角， ADBC，則PCB 45°.BCAB， BCPA， ABPAA，BC平面 PAB， PB平面 PABBCPBCPB 90°45° 45°.BC PB 22.幾何體 P ABCD 的體積為 1× (2× 22)× 2 82.331.(2014 四·川高考 )在如圖所示的多面體中，四邊形ABB1A1 和 ACC1A1 都為矩形(1)若 AC BC，證明：直線BC平面 ACC1A1；(2)設(shè) D ，E 分別是線段 BC，CC1

7、的中點(diǎn)，在線段AB 上是否存在一點(diǎn)M，使直線 DE 平面 A1MC ？請(qǐng)證明你的結(jié)論解析 (1)因?yàn)樗倪呅?ABB11和 ACC 1 1 都是矩形，AA所以 AA 1AB， AA1AC因?yàn)?AB ， AC 為平面 ABC 內(nèi)兩條相交直線，所以 AA 1平面 ABC因?yàn)橹本€ BC平面 ABC，所以 AA1BC又由已知， ACBC， AA1， AC 為平面 ACC 1A1 內(nèi)兩條相交直線，所以 BC 平面 ACC1A1 .(2)取線段 AB 的中點(diǎn) M，連接 A1M， MC ，A1C， AC1，設(shè) O 為 A1C， AC1 的交點(diǎn)由已知， O 為 AC1 的中點(diǎn)連接 MD ， OE，則 MD ，

8、OE 分別為ABC，ACC1 的中位線，所以， MD1綊2AC，OE1綊 2AC，因此MD綊OE.連接OM ，從而四邊形MDEO為平行四邊形，則DE MO .因?yàn)橹本€DE平面A1MC， MO平面A1MC所以直線DE 平面A1MC 即線段 AB 上存在一點(diǎn)M(線段 AB 的中點(diǎn) )，使直線DE 平面A1MC 2如圖，在四棱臺(tái) ABCD A1B1C1D 1 中， D 1D平面 ABCD ，底面 ABCD 是平行四邊形， AB 2AD， AD A1B1， BAD 60°.(1)證明： AA1 BD ；(2)證明： CC1平面 A1BD 解析 (1)DD 1平面 ABCD ， BD平面 ABCDDD 1BD，又AB 2AD 且BAD 60°由余弦定理得 BD 2AB 2