1、1.21.2余弦定理余弦定理問題提出在三角形中,兩邊及其夾角,怎樣求出此角的對邊?三條邊,怎樣求出它的三個角呢?分析了解222cosbbcAc如圖,根據向量的數量積,可以得到2aBCBCABCabc()()ACABACAB222ACACABAB222 | cos AACACABAB2222cosabcbcA即余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍, , 即即2222cosbcacaB同理可證2222coscababC2222cosabcbcA2222cosbca

2、caB2222coscababC 利用余弦定理，可以處置以下兩類有關三角形的問題：1三邊，求三個角；2兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角。延伸變形222c o s2bcaAb c222c o s2acbBb c222c o s2abcCa b中，在ABC推推 論論:為直角；，則若Ccba222為銳角；，則若Ccba222為鈍角；，則若Ccba222例4：如圖,有兩條直線AB和CD相交成80O角,交點是O.甲乙兩人同時從點O分別沿OA,OC方向動身,速度分別為4km/h和4.5km/h.3時后兩人相距多遠結果準確到0.1km? 分析分析 經過經過3 3時時, ,甲到達點甲到達點P,OP=4P

3、,OP=43=123=12kmkm, ,乙到達點乙到達點Q,OQ=4.5Q,OQ=4.53=13.53=13.5kmkm, ,問題轉化為在問題轉化為在OPQOPQ中中,OP=12km, ,OP=12km, OQ=13.5km,POQ= 80O,OQ=13.5km,POQ= 80O,求求PQPQ的長的長. .ABODCQP80O解 經過3時后,甲到達點P,OP=43=12km,乙到達點Q,OQ=4.53=13.5km.依余弦定理,知222cosPQOPOQOPOQPOQ221213.521213.5 cos8016.4(km)答 3時后兩人相距約16.4km.例5：如圖是公元前約400年古希臘數

4、學家泰特托斯用來構造無理數 的圖形.試計算圖中線段BD的長度及DAB的大小長度準確到0.1,角度準確到1O? 2, 3, 5,.ABCD11123解解. .在在BCDBCD中中,BC=1,CD=1,BCD=O.,BC=1,CD=1,BCD=O.由于2222cosBDBCCDBC CDBCD22112 1 1cos135 22所以1.8BD 22,3BDAD在ABD中,AB=1,由于222cos2ABADBDDABABAD221( 3)(22)2 13 0.1691所以80DAB1. 1. 在在ABCABC中，中，a a7 7，b b1010， c c6 6，求，求A A、B B和和C.C.解： cosAb2c2a22bc A44 cosCa2b2c22ab C36 B180AC100.0.725，0.8071，2. ABC中，中，a=2，b=2 ，C=15，解此三角形，解此三角形.2Cabbaccos2222