1、第6章 有限長單位脈沖響應 第6章 有限長單位脈沖響應 6.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點 6.2 用窗函數法設計用窗函數法設計FIR濾波器濾波器 6.3 用頻率采樣法設計用頻率采樣法設計FIR濾波器濾波器 6.4 等波紋線性相位濾波器等波紋線性相位濾波器6.5 FIR濾波器和濾波器和IIR濾波器的比較濾波器的比較6.6 數字濾波器的應用數字濾波器的應用第6章 有限長單位脈沖響應 IIR數字濾波器在設計中只考慮了幅度特性，而相位特性一般是非線性的，為得到線性相位特性，需要增相位校正網絡，從而使濾波器設計變得復雜，成本增高 FIR濾波器在保證幅度特性滿足要求的同時，很容易做到

2、有嚴格的線性相位特性。且為穩定濾波器，因此得到了廣泛應用 FIR濾波器的設計任務是選擇有限長度的h(n)，使系統頻響H(ej)滿足技術要求第6章 有限長單位脈沖響應 6.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點 線性相位的條件長度為N的線性相位FIR濾波器, 系統頻響可表示為1()0()( )( )Njj njnH eh n eHe H()為幅度特性()為相位特性H(ej)線性相位是指()是的線性函數，滿足( )()jgrd H e 群延遲函數即()= -C , C為常數()=0 - C, 0是起始相位 ( )dCd 第6章 有限長單位脈沖響應 滿足第一個公式的條件為：FIR濾波器單

3、位脈沖響應h(n)是實數序列，且對(N-1)/2偶對稱，即 h(n)=h(N-1-n)()= -C , C為常數()=0 - C, 0是起始相位 滿足第二個公式的條件為： FIR濾波器單位脈沖響應h(n)是實數序列，且對(N-1)/2奇對稱，即 h(n)=-h(N-1-n)第6章 有限長單位脈沖響應 6.1.1 線性相位特性線性相位特性10( )( )NnnH zh n z將m=N-1-n代入上式，進行整理 1(1)0( )( )NNmmH zh m z 1. 當當h(n)為偶對稱為偶對稱: h(n)=h(N-1-n) 0nN-1 h(n)的系統函數為1(1)0( )NNmmzh m z(1)

4、1()NzH z10(1)Nnnh Nn z 第6章 有限長單位脈沖響應 將上式改寫為 (1)11( )( )()2NH zH zzH z1(1)01( )2NnNnnh n zzz11122120( )2NNnnNNnzzzh n1(1)(1)10( )( )()NNmNmH zzh m zzH z 將z=e j代入上式，即得到濾波器的頻率響應 第6章 有限長單位脈沖響應 濾波器的頻率響應為 11201()( )|( )cos2jNNjjz enNH eH zeh nn將上式頻率響應用相位函數()及幅度函數H()表示 )()()(jjeHeH11122120( )( )2NNnnNNnzzH

5、 zzh n第6章 有限長單位脈沖響應 幅度函數H()是標量函數，且是的偶對稱函數和周期函數; 相位函數()具有嚴格的線性相位于是有 21)(21cos)()(10NnNnhHNn2o()(N1)h(n)偶對稱時線性相位特性 第6章 有限長單位脈沖響應 2. 當當h(n)為奇對稱為奇對稱: h(n)=-h(N-1-n) 0nN-1 h(n)的系統函數為10( )( )NnnH zh n z1(1)0( )NNmmzh m z 10(1)Nnnh Nn z 1(1)0( )NNmmh m z (1)1()NzH z 上式同樣改寫成 (1)11( )( )()2NH zH zzH z第6章 有限長

6、單位脈沖響應 N-1(1)n 01( )2nNnh nzzz(1)11( )( )()2NH zH zzH z11122120( )2NNnnNNnzzzh n 將z=e j代入上式，得到濾波器的頻率響應 ()( )|jjz eH eH z11201( )sin2NNjnNjeh nn第6章 有限長單位脈沖響應 11201()( )sin2NNjjnNH ejeh nn11/2201( )sin2NNjjnNeh nn于是相位函數()及幅度函數H()為 221)(21sin)()(10NnNnhHNn第6章 有限長單位脈沖響應 幅度函數H()是的奇對稱函數和周期函數 相位函數既是線性相位，又包

7、括/2的相移221)(21sin)()(10NnNnhHNn2o()223 N第6章 有限長單位脈沖響應 6.1.2 幅度響應特性幅度響應特性 1. 第一種類型：第一種類型： h(n)為偶對稱，為偶對稱，N為奇數為奇數式中h(n)與 對(N-1)/2 呈偶對稱nN21cos( )(1)h nh Nn 101( )( )cos2NnNHh nnh(n)偶對稱的幅度函數式 1cos(1)2NNn 1cos2Nn1cos2Nn將內相等項合并，即 n=0 項與n=N-1項，n=1 項與n=N-2 項等第6章 有限長單位脈沖響應 由于N是奇數，因此n=(N-1)/2項是單項，幅度函數表示為 2/ )3(

8、021cos)(221)(NnnNnhNhH再進行一次換元，令 mNn212/ )1(1)cos(21221)(NmmmNhNhH101( )( )cos2NnNHh nnh(n)偶對稱的幅度函數式 第6章 有限長單位脈沖響應 可表示為 2/ )1(0)cos()()(NnnnaH式中: H()對=0,2呈偶對稱cos(n)對=0,2為偶對稱）2/ )1(1)cos(21221)(NmmmNhNhHn=1,2,3,(N-1)/2 21)0(NhanNhna212)(第6章 有限長單位脈沖響應 第6章 有限長單位脈沖響應 推導過程與N為奇數相似nNnhHNn21cos)(2)(12/0令，代入上

9、式可得 mNn221cos22)(2/1mmNhHNm/211( )cos2Nnb nn 2. 第二種類型：h(n)為偶對稱，N為偶數101( )( )cos2NnNHh nnh(n)偶對稱的幅度函數式 nNhnb22)(n=1,2, 3, , N/2 第6章 有限長單位脈沖響應 21cos22)(2/1mmNhHNm/211( )cos2Nnb nn 當=0或2時， ，余弦項對=0, 2為偶對稱 ，幅度函數H()對于=0, 2也呈偶對稱1cos12n 當=時， ，余弦項對=呈奇對稱，因而 H()=0，且H()對=呈奇對稱021cosn 此類數字濾波器不能用來設計高通、帶阻濾波器第6章 有限長

10、單位脈沖響應 第6章 有限長單位脈沖響應 h(n)奇對稱的幅度函數式為 1021sin)()(NnnNnhH由于h(n)=-h(N-1-n)，當n=(N-1)/2時， 11122NNhh N 此外， 也對(N-1)/2 呈奇對稱nN21sin3. 第三種類型：第三種類型： h(n)為奇對稱，為奇對稱，N為奇數為奇數012Nh 即h(n)奇對稱時，中間項一定為零111sin(1)sinsin222NNNNnnn 第6章 有限長單位脈沖響應 因此中第n項和第(N-1-n)項相等，可將其合并nNnhHNn21sin)(2)(2/ )3(0h(n)奇對稱的幅度函數式為 1021sin)()(NnnNn

11、hH令 ，上式改寫為 mNn21(1)/211( )2sin()2NmNHhmm第6章 有限長單位脈沖響應 即 (1)/21( )( )sin()NnHc nn式中: nNhnc212)(n=1, 2, 3, , (N-1)/2 (1)/211( )2sin()2NmNHhmm 由于sin(n)在=0, , 2處為零，并呈奇對稱， 因此幅度函數H()在=0,2處為零，且對=0,2呈奇對稱 低通、高通、帶阻濾波器不能用這類數字濾波器來設計第6章 有限長單位脈沖響應 第6章 有限長單位脈沖響應 與情況3推導類似，合并后，幅度函數式為 /2 101( )2 ( )sin2NnNHh nn令， 則有

12、mNn221sin22)(2/1mmNhHNm 4. 第四種類型：h(n)為奇對稱，N為偶數h(n)奇對稱的幅度函數式為 1021sin)()(NnnNnhH第6章 有限長單位脈沖響應 因而 21sin)()(2/1nndHNm 當=0, 2時， ，且對=0, 2呈奇對稱，因此H()在=0, 2處為零，且對=0, 2也呈奇對稱 021sinn2/, 3 , 2 , 122)(NnnNhnd式中: 當=時， ，對=呈偶對稱，幅度函數 H()對=也呈偶對稱1sin12n 低通、 帶阻濾波器不能用這類數字濾波器來設計第6章 有限長單位脈沖響應 第6章 有限長單位脈沖響應 當h(n)偶(奇)對稱時,

13、線性相位FIR濾波器的系統函數有如下關系式6.1.3 線性相位線性相位FIR濾波器的零點位置濾波器的零點位置 若z=zi是H(z)的零點，即H(zi)=0，則倒數zi-1也一定是H(z)的零點 由于h(n)為實序列，H(z)的零點必共軛成對出現，即z=zi*及z=(z*i)-1也是H(z)的零點 線性相位FIR濾波器的零點必是互為倒數的共軛對，確定其中一定即可確定其它三個零點(1)1( )()NH zzH z 第6章 有限長單位脈沖響應 線性相位FIR濾波器的零點位置分布情況零點互為倒數的兩組共軛對只有一個零點，或位于z=1， 或位于z=-1零點是一組共軛對零點只有倒數部分第6章 有限長單位脈

14、沖響應 第二種類型的FIR濾波器有H()=0， 因此有單根z=-1 第四種類型的線性相位濾波器有H(0)=0, 因此有單根z=1第6章 有限長單位脈沖響應 第三種類型的線性相位濾波器有H(0)=H()=0， 因此有z=1選擇FIR濾波器類型時,需要考慮上述線性相位FIR濾波器的特點第6章 有限長單位脈沖響應 6.1.4 舉例舉例線性相位線性相位FIR數字濾波器的類型數字濾波器的類型40()jj nnH ee由上式可畫出該系統的振幅、相位和群延遲01)(nh0n4 其他n 例例1 系統的單位脈沖響應為系統的單位脈沖響應為 該系統的頻率響應為 第一種類型511jjee2()sin(5/2)sin(

15、/2)jjjeee （）第6章 有限長單位脈沖響應 01)(nh0n4 其他n 第6章 有限長單位脈沖響應 例例2 系統的單位脈沖響應為系統的單位脈沖響應為 01)(nh0n5 其他n )2/sin()3sin(11)(25506jnjjnjjeeeeeH線性相位線性相位FIR數字濾波器的類型數字濾波器的類型第二種類型該系統的頻率響應為 由上式可畫出該系統的振幅、相位和群延遲第6章 有限長單位脈沖響應 01)(nh0n5 其他n 第6章 有限長單位脈沖響應 例例3 系統的單位脈沖響應為系統的單位脈沖響應為 h(n)=(n)-(n-2)sin(2)sin(2)(1)(22jjjjjjjjejee

16、eeeeH h(n)為奇對稱且長度N=3系統的頻率響應為 第三種類型的線性相位FIR數字濾波器由上式可畫出該系統的振幅、相位和群延遲第6章 有限長單位脈沖響應 0223202232022322 .41 .60 .803 .01 .50 1 .5 3 .02 .01 .51 .00 .50( a)( b)( c)()(ejH()0223202232022303.01.50 1.5 3.02.01.51.00.50( a )( b )( c )()(ejH()0223202232022303.01.50 1.5 3.02.01.51.00.50( a )(

17、b )( c )()(ejH() h(n)=(n)-(n-2)第6章 有限長單位脈沖響應 例例4 系統的單位脈沖響應為系統的單位脈沖響應為 h(n)=(n)-(n-1)h(n)為奇對稱且N=2 第四種類型的線性相位FIR數字濾波器0223202232022323 .22 .41 .60 .803 .01 .50 1 .5 3 .02 .01 .51 .00 .50 ()()(ejH0223202232022323 .22 .41 .60 .803 .01 .50 1 .5 3 .02 .01 .51 .00 .50 ()()(ejH0223202232022323 .22 .41 .60 .8

18、03 .01 .50 1 .5 3 .02 .01 .51 .00 .50 ()()(ejH第6章 有限長單位脈沖響應 例例5 一個一個FIR線性相位濾波器的單位脈沖響應是實數的，線性相位濾波器的單位脈沖響應是實數的， 且且n6 時時h(n)=0。 如果如果h(0)=1且系統函數在且系統函數在z=0.5ej/3和和z=3 各有各有一個零點，一個零點，H(z)的表達式是什么？的表達式是什么？H1(z) =(1-0.5ej/3 z-1)(1-0.5e-j/3z-1) =1-0.5z-1+0.25z-2 解 因為n6 時h(n)=0，且h(n)是實值，所以當H(z)在z=0.5ej/3 有一個復零點

19、時，則在它的共軛位置z=0.5e-j/3 處一定有另一個零點。這個零點共軛對產生如下的二階因子： 第6章 有限長單位脈沖響應 線性相位的約束條件需要在這兩個零點的倒數位置上有零點，所以H(z)同樣必須包括如下的有關因子： 21113/113/2421)5 . 0(1)5 . 0(1 )(zzzezezHjj系統函數還包含一個z=3 的零點，同樣線性相位的約束條件需要在z=1/3 也有一個零點。 于是，H(z)還具有如下因子： 113311)31 ()(zzzH第6章 有限長單位脈沖響應 由此有 112121311)31)(421)(16. 04 . 01 ()(zzzzzzAzH最后，多項式中

20、零階項的系數為A，為使h(0)=1，必定有：A=1。 第6章 有限長單位脈沖響應 6.2 用窗函數法設計用窗函數法設計FIR濾波器濾波器 給定要求的理想濾波器的頻率響應Hd(ej)，設計一個FIR濾波器頻率響應, 逼近理想的頻率響應Hd(ej)10)()(NnnjjenheHdeeHnhnjjdd)(21)(6.2.1 設計方法設計方法 首先由理想濾波器的頻率響應Hd(ej)求出單位脈沖響應hd(n) （窗函數法在時域中進行）第6章 有限長單位脈沖響應 用有限長的h(n)來逼近無限長的hd(n)，即截斷hd (n) 0)()(nhnhd0nN-1 其他 或 h(n)=hd(n)w(n) h(n

21、)為單位脈沖響應與有限長的窗口函數序列w(n)的乘積 01)()(nRnwN0nN-1 其他 第6章 有限長單位脈沖響應 例 設計一FIR低通數字濾波器，設理想低通的頻率響應為 0)(jjdeeH|c cc+2/N 時卷積值隨著WR(-)的旁瓣在Hd()的通帶內面積的變化而變化，H()將圍繞著零值波動Hd()occWR() 2/ N2/ NoHd()Hd()Hd()H( )oooocWR()cWR()N2cN2cWR()N2cN2c0 .0 8 9 50 .50 .0 4 6 8c 0 .0 8 9 50 .0 4 6 80 .5c( a)( b)( c)( d )( e)( f )Hd()o

22、ccWR() 2/ N2/ NoHd()Hd()Hd()H()oooocWR()cWR()N2cN2cWR()N2cN2c0.08950.50.0468c 0.08950.04680.5c(a)(b)(c)(d )(e)( f ) 復卷積過程dWHHRd)()(21)(第6章 有限長單位脈沖響應 H()將Hd()在截止頻率處形成一個過渡帶，其寬度等于窗的頻率響應WR()的主瓣寬度4/N。主瓣越寬，過渡帶也越寬。 在c的兩邊=c(2/N)處，H()出現最大肩峰值，肩峰的兩側形成振蕩，振蕩幅度取決于旁瓣的相對幅度，而振蕩的多少，則取決于旁瓣的多少。 加窗函數處理對理想頻率響應的影響Hd()occW

23、R() 2/ N2/ NoHd()Hd()Hd()H( )oooocWR()cWR()N2cN2cWR()N2cN2c0 .0 8 9 50 .50 .0 4 6 8c 0 .0 8 9 50 .0 4 6 80 .5c( a)( b)( c)( d )( e)( f )第6章 有限長單位脈沖響應 改變N，只能改變窗譜函數的主瓣寬度，改變的坐標比例以及改變WR()的絕對值大小，而不能改變肩峰值增加截取長度N時，可減小過渡帶寬度，但不改變主瓣與旁瓣幅值的相對比例; 也不會改變肩峰的相對值。相對比例是由窗函數形狀決定的，與N無關，肩峰值將影響通帶特性和阻帶衰減，對濾波器的性能影響較大 加窗函數處理

24、對理想頻率響應的影響Hd()occWR() 2/ N2/ NoHd()Hd()Hd()H( )oooocWR()cWR()N2cN2cWR()N2cN2c0 .0 8 9 50 .50 .0 4 6 8c 0 .0 8 9 50 .0 4 6 80 .5c( a)( b)( c)( d )( e)( f )第6章 有限長單位脈沖響應 窗函數序列的形狀及長度的選擇很關鍵，一般應滿足以下要求： 6.2.2 各種窗函數各種窗函數 窗譜主瓣盡可能地窄，以獲取較陡的過渡帶。 盡量減少窗譜的最大旁瓣的相對幅度。即能量盡量集中于主瓣， 使肩峰和波紋減小，從而增大阻帶的衰減 從改善幅頻特性的角度講，選用窗函數

25、時，在保證主瓣寬度達到一定要求的前提下，適當犧牲主瓣寬度以換取相對旁瓣的抑制 FIR濾波器常要求具有線性相位，因此除了要求hd(n)滿足線性相位條件外，要求w(n)長度N有限，且以(N-1)/2為對稱中心第6章 有限長單位脈沖響應 FIR濾波器常用的窗函數 1. 矩形窗矩形窗 01)()(nRnwN0nN-1 其他 )2/sin()2/sin()()()(21NWeWeWRNjRjR主瓣寬度為4/N, 最大旁瓣值比主瓣值約低13dB第6章 有限長單位脈沖響應 2. 三角形三角形Bartlett窗窗 12112221012)(NnNNnNnNnnww(n)的傅里葉變換為 主瓣寬度為8/N, 最大

26、旁瓣值比主瓣值約低25dB2122sin(/4)()sin(/2)NjjNW eeN （ N1）第6章 有限長單位脈沖響應 3. 漢寧漢寧Hanning窗窗（升余弦窗）（升余弦窗）2( )sin( )1121cos( )21NNnw nRnNnRnNw(n)的傅里葉變換為 121222()0.5( )0.25( )NjjRRRNjW eWWWeNNWe（ N1）主瓣寬度為8/N, 最大旁瓣值比主瓣值約低31dB第6章 有限長單位脈沖響應 4. 海明海明Hamming窗窗（改進的升余弦窗）（改進的升余弦窗）)(12cos46. 054. 0)(nRNnnwNw(n)的頻率響應的幅度特性為 22(

27、 )0.54( )0.23RRRWWWWNN主瓣寬度為8/N, 最大旁瓣值比主瓣值約低41dB第6章 有限長單位脈沖響應 5. 布拉克曼布拉克曼Blackman窗窗 （二階升余弦窗）（二階升余弦窗）)(14cos08. 012cos5 . 042. 0)(nRNnNnnwN為了進一步抑制旁瓣，對升余弦窗函數再加上二次諧波的余弦分量， 變成布拉克曼窗主瓣寬度為12/N, 最大旁瓣值比主瓣值約低57dB第6章 有限長單位脈沖響應 )()1/(21 1()(020INnInw0nN-1 I0(x)是第一類變形零階貝塞爾函數，是一個可自由選擇的參數6. 凱塞凱塞Kaiser窗窗改變可在主瓣寬度與衰減間

28、進行選擇第6章 有限長單位脈沖響應 六種窗函數基本參數的比較六種窗函數基本參數的比較第6章 有限長單位脈沖響應 窗函數法的設計步驟deeHnhnjjdd)(21)( 給定希望逼近的頻率響應函數Hd(ej) 求單位脈沖響應hd(n) 根據過渡帶寬及阻帶最小衰減的要求選定窗形狀，并估計窗口長度N。選擇原則是在滿足阻帶衰減情況下，使主瓣最窄 計算FIR濾波器的單位脈沖響應 h(n)=hd(n)w(n) 由h(n)求FIR濾波器的系統函數H(z)10)()(NnnznhzH第6章 有限長單位脈沖響應 例例 用矩形窗設計一個線性相位帶通濾波器用矩形窗設計一個線性相位帶通濾波器 0)(ajjdeeH-c-

29、0c 0-c, 0+c （1） 設計N為奇數時的h(n)。 （2） 設計N為偶數時的h(n)。 （3） 若改用海明窗設計，求以上兩種形式的h(n)表達式。 第6章 有限長單位脈沖響應 解解 根據該線性相位帶通濾波器的相位根據該線性相位帶通濾波器的相位 21)(N可知該濾波器只能是h(n)=h(N-1-n)即h(n)偶對稱的情況，h(n)偶對稱時，可為第一類和第二類濾波器，其頻響 21)()(NjjHeH0)(ajjdeeH-c-0c 0-c, 0+c 第6章 有限長單位脈沖響應 1N為奇數時，可知H(ej)為第一類線性相位濾波器，H()關于=0, , 2偶對稱。題目給出了Hd(ej)在 0上的

30、取值，但求hd(n)時， 需要Hd(ej)在一個周期的值，因而, 將Hd(ej) 擴展，擴展結果為 0-c0+c, -0-c-0+c -0+c0-c, -0-c, 0+c 0)(ajjdeeH0sin()1( )()2cos()2()jj ncddnhnHeednn于是 h(n)=hd(n)R(n) 第6章 有限長單位脈沖響應 2) N 為偶數時，H(ej)為第二類線性相位濾波器，H()關于=0 呈偶對稱。 Hd(ej)在-,之間的擴展同上，hd(n)(cos2)()(sin)(nnnnhccd)()()(nRnhnhNd于是第6章 有限長單位脈沖響應 )(12cos46. 054. 0)(n

31、RNnnwNN為奇數，偶數時 )()(cos2)()(sin)(0nwnnnnhc3) 若改用海明窗 ，其設計步驟相同由于N在奇數和偶數情況下，濾波器的單位脈沖響應的對稱中心不同， 因此在 0nN-1 上的取值也完全不同。 第6章 有限長單位脈沖響應 例 根據下列技術指標，設計一個FIR低通濾波器。 通帶截止頻率p=0.2，通帶允許波動Ap=0.25dB； 阻帶截止頻率s=0.3，阻帶衰減As=50dBdeeHnhnjjdd)(21)( 求單位脈沖響應hd(n) 根據過渡帶寬及阻帶最小衰減的要求選定窗形狀，并估計窗口長度N。選擇原則是在滿足阻帶衰減情況下，使主瓣最窄 計算FIR濾波器的單位脈沖

32、響應 h(n)=hd(n)w(n) 由h(n)求FIR濾波器的系統函數H(z)解題步驟：第6章 有限長單位脈沖響應 例 根據下列技術指標，設計一個FIR低通濾波器。 通帶截止頻率p=0.2，通帶允許波動Ap=0.25dB； 阻帶截止頻率s=0.3，阻帶衰減As=50dB理想低通濾波器的單位脈沖響應為P201） )()(sin)(nnnhcd21N 查表6-3可知，海明窗和布拉克曼窗均可提供大于 50dB的衰減但海明窗具有較小的過渡帶從而具有較小的長度N0.1sp 根據題意，所要設計的濾波器的過渡帶為 而海明窗設計的濾波器的過渡帶寬=8/N第6章 有限長單位脈沖響應 3 dB通帶截止頻率為 25

33、. 02psc海明窗為 )(12cos46. 054. 0)(nRNnnwN801 . 088N所以低通濾波器單位脈沖響應的長度為 第6章 有限長單位脈沖響應 濾波器的單位脈沖響應為 )(12cos46. 054. 0)()(sin)(nRNnnnnhNcN=80 頻率響應為 10)()(NnnjjenheH窗口法設計簡單方便。但通帶和阻帶的截止頻率不易控制 第6章 有限長單位脈沖響應 例用矩形窗、漢寧窗和布萊克曼窗設計例用矩形窗、漢寧窗和布萊克曼窗設計FIR低通濾波器，設低通濾波器，設N=11,c=0.2rad第6章 有限長單位脈沖響應 6.3 用頻率采樣法設計用頻率采樣法設計FIR濾波器濾

34、波器 第6章 有限長單位脈沖響應 對給定的理想頻率響應Hd(ej)等間隔采樣 22/()( )jkjNdddk NHeHeHk 將Hd(k)作為實際FIR濾波器頻響的采樣值H(k) 設計步驟H(k)=Hd(k)=Hd(ej)|=2k/N k=0, 1, 2, , N-1 根據頻域內插公式，由H(k)得到FIR濾波器系統函數H(z) (P96) 1011)(1)(NkkNNzWkHNzzH頻率采樣結構第6章 有限長單位脈沖響應 10)(1)(NknkNWkHNnhn=0, 1, 2, , N-1 或根據IDFT定義, 由H(k)確定有限長序列h(n) 對給定的理想頻率響應Hd(ej)等間隔采樣

35、將Hd(k)作為實際FIR濾波器頻響的采樣值H(k) 設計步驟H(k)=Hd(k)=Hd(ej)|=2k/N k=0, 1, 2, , N-110)()(NnnznhzH從而得到系統函數H(z) 直接型結構第6章 有限長單位脈沖響應 當設計線性相位的FIR濾波器時，采樣值H(k)的幅度和相位應滿足四類線性相位濾波器的約束條件21)(N6.3.1 線性相位的約束線性相位的約束1 第一類線性相位濾波器，第一類線性相位濾波器， h(n)偶對稱，偶對稱，N為奇數為奇數)()()(jjeHeH式中：)2()( HHH()關于=0, , 2為偶對稱第6章 有限長單位脈沖響應 將H(k) 寫成幅度與相位的形

36、式kjkNkjeHeHkH)()(/2對H(ej)在=02之間進行N點等間隔采樣，得到H(k) 2( )()jkNH kH ek=0, 1, 2, , N-1 21)(N)2()( HH與方程組比較,得到H(k)滿足的條件kN kHH21112kNkkNN Hk要滿足偶對稱要求第6章 有限長單位脈沖響應 H(k)滿足的條件2 第二類線性相位濾波器，第二類線性相位濾波器， h(n)偶對稱，偶對稱，N為偶數為偶數21)(N)()()(jjeHeH( )(2)HH 關于=0, 2偶對稱，奇對稱kN kHH 21112kNkkNN Hk要滿足奇對稱要求式中：第6章 有限長單位脈沖響應 3 第三類線性相位濾波器，第三類線性相位濾波器， h(n)奇對稱，奇對稱，N為奇數為奇數)()()(jjeHeHH(k)滿足的條件kN kHH Hk要滿足奇對稱要求關于=0, ， 2奇對稱221)(N)2()(HH2112212NkNkNk式中：第6章 有限長單位脈沖響應 4 第四類線性相位濾波器，第四類線性相位濾波器， h(n)奇對稱，奇對稱，N為偶數為偶數H(k)滿足的條件2112212NkNkNk221)(N)2()( HH關于=0, 2奇