1、會計學1材料力學扭轉概要材料力學扭轉概要3-1 概 述 工程上有一些直桿，在外力作用下，其變形是橫截面繞著桿軸線轉動，這種變形稱為扭轉。以扭轉為主要變形的桿件稱為軸（shaft）。第1頁/共59頁外力特點：外力是一平衡力偶系，作用在垂直于桿軸線的平面內。變形特點：所有橫截面繞桿軸線作相對轉動，任意兩橫截面之間產生相對角位移，稱為扭轉角，用j表示；縱向線也隨之轉過一角度g。TT第2頁/共59頁1. 扭矩用Mx表示，單位：Nm, kNm。2. 符號規定：按右手螺旋法則，以拇指代表橫截面外法線方向，與其余4指轉向相同的扭矩為正，反之為負。第3頁/共59頁3. 計算方法：截面法 扭矩圖 以平行于桿軸線

2、的坐標為x坐標，表示橫截面的位置；以垂直于桿軸線的坐標為Mx坐標，表示各橫截面扭矩Mx的大小，畫出的圖形稱為扭矩圖。第4頁/共59頁例 畫出如圖所示圓軸的扭矩圖。T3TTT123321ABCD第5頁/共59頁第6頁/共59頁3-2 圓桿扭轉時的應力一、橫截面上的應力OMxr第7頁/共59頁TT周線縱線周線縱線1. 變形幾何關系（1）變形后所有圓周線的大小、形狀和間距均不變，繞桿軸線相對轉動。（2）所有的縱線都轉過了同一角度g。abcddxabcddx第8頁/共59頁TT周線縱線abcddx（1）變形后所有圓周線的大小、形狀和間距均不變， 繞桿軸線相對轉動。（2）所有的縱線都轉過了同一角度g。第

3、9頁/共59頁平面假設：橫截面變形后仍為平面，并如同剛片一樣僅繞桿軸線做相對轉動，其上任一半徑始終保持為直線。第10頁/共59頁dxcrabOdOcddjggf ecddc周線縱線abcddxfeg第11頁/共59頁djdxgtang = =eedxg =djdx= djdxdxcrabOdOcddjgfegf eg第12頁/共59頁2. 物理關系切應變發生在垂直于半徑的平面內，從而切應力也垂直于半徑。根據實驗得到，在彈性范圍內=G剪切胡克定律gG為切變模量cddc第13頁/共59頁橫截面上切應力的分布規律Mxo =G3. 靜力學關系oMxdArdAMx= dAAMx= G2 dAAdjdxA

4、djdxG2dAdjdx=G第14頁/共59頁A2dAAdjdxG2dAMxdjdxGdjdxMxG =Mx =maxMxr=MxrG第15頁/共59頁二、極慣性矩和抗扭截面系數的計算1. 實心圓截面 A2dAd 432d 316dA=2dA2dA= 22d0d/2ddor第16頁/共59頁2. 空心圓截面 DdodD 432D 432d 432D 316第17頁/共59頁3.薄壁圓環截面 30P2 rI =r0Ddd0o20P2 rW =第18頁/共59頁 例 直徑為50mm的傳動軸。電動機通過A輪輸入功率，由B、C和D輪輸出。已知A、B、C和D輪所受力偶矩分別為TA=3.18kNm，TB=

5、1.43kNm，TC=0.80kNm，TD=0.95kNm。（1）作軸的扭矩圖,(2）求軸的最大切應力。 Mx /kNmx+-1.431.750.95 解：1.作扭矩圖2.最大切應力第19頁/共59頁 Mx /kNmx+-1.431.750.952.最大切應力mkN75. 1max=xM1605. 014. 31633P=dWMPa4 .71105 .241075. 163Pmaxmax=WMx36m105 .24=第20頁/共59頁解： 各橫截面上扭矩均為Mx=T=10kN m （1）實心圓截面dTTD/2TTD343933Pm1096. 116m10)100(14. 316=dW例 直徑d

6、 =100mm的實心圓軸，兩端受力偶矩T=10kNm作用，求橫截面上的最大切應力。若改用內、外直徑比值為0.5的空心圓軸，且橫截面面積不變，問最大切應力是多少？第21頁/共59頁MPa0 .51N/m100 .51m1096. 1mN101026343Pmaxmax=WMxdTT343933Pm1096. 116m10)100(14. 316=dW（1）實心圓截面第22頁/共59頁（2）空心圓截面D/2TTD)1 (441222=Ddmm115=D34439343Pm108 . 2)5 . 0(1 16m10)115(14. 3)1 (16=DWMPa7 .35N/m107 .35m108 .

7、 2mN101026343Pmaxmax=WMxMPa0 .51N/m100 .51m1096. 1mN101026343Pmaxmax=WMx實心：空心：由面積相等，且內、外直徑比 =0.5第23頁/共59頁 例 兩空心圓軸，橫截面面積相等，內、外直徑比值分別為0.6和0.8，在相同扭矩作用下，問哪一個的最大切應力大？0.6D1TTD10.8D2TTD2第24頁/共59頁G1G2d2dG2 G1Mx第25頁/共59頁(b)dxdydz三、切應力互等定理xdx(a)oo( dydz)dx =( dxdz)dy = 第26頁/共59頁扭轉圓軸縱截面上切應力？切應力互等定理：在任何受力桿件中，過一

8、點相互垂直的兩個截面上，垂直于兩截面交線的切應力大小相等，并共同指向或背離這兩面的交線。這是材料力學中普遍適用的一個定理dxdydzoo = 第27頁/共59頁3-3 圓桿扭轉時的變形扭轉超靜定問題djdxMxGdjdxj =djMxdxGMxGMxlGj =第28頁/共59頁 例 圖示鋼制實心圓截面傳動軸。已知：T1 =0.82kNm， T2 =0.5kNm， T3 =0.32kNm，lAB=300mm， lAC=500mm。軸的直徑d=50mm，鋼的切變模量G=80GPa。試求截面C相對于B的扭轉角。 解: AB、AC兩軸段的扭矩分別Mx1=0.5kNm， Mx2 =0.32kNm。 T2

9、T1T3dBAClAClAB第29頁/共59頁T2T1T3dBAClAClABT1T3dAClACACP2GIlMACxAC=jrad0033. 005. 03210805 . 032049=Mx1=0.5kNmMx2 =0.32kNmlAC=500mmG=80GPad=50mm第30頁/共59頁T2T1T3dBAClAClABT2T1T3dBAClAClABMx1=0.5kNmMx2 =0.32kNmlAB=300mmG=80GPad=50mmACABP1GIlMABxAB=jrad00310.=rad0002. 0=ABACBCjjj4905032108030500.=第31頁/共59頁二

10、、扭轉超靜定問題 桿在扭轉時，如支座反力僅用靜力平衡方程不能求出，這類問題稱為扭轉超靜定問題。其求解方法與拉壓超靜定問題類似。ABCTabTATB第32頁/共59頁ABCTabTATB變形協調條件A、B兩固定端, CA與CB的 數值相等。PP1GIaTGIaMAxCA=jPP2GIbTGIbMBxCB=j故BATabT =從而TTTBA=平衡方程TbabTA=TbaaTB=第33頁/共59頁思考題： 橫截面面積相同的空心圓桿與實心圓桿，它們的強度、剛度哪一個大？但工程中為什么使用實心桿較多？第34頁/共59頁3-4 扭轉時材料的力學性能由低碳鋼薄壁圓筒扭轉試驗可以測得T- j 曲線TMrrx=

11、00)2(202 rT=jg0rl =jglr0=故可得 -曲線r0第35頁/共59頁=G剪切胡克定律E、G、v的關系)1 (2=EGp剪切比例極限s剪切屈服極限第36頁/共59頁可得切應力強度極限b第37頁/共59頁3-5 扭轉圓桿的強度計算和剛度計算一、強度計算等直圓桿扭轉時的強度條件為式中Mxmax 是危險截面上的扭矩。PWMxmaxmax= 三方面的強度計算：校核強度、設計截面和容許力偶矩。maxMxmaxWP MxmaxWP Mxmax WP第38頁/共59頁=unu 極限切應力對于脆性材料u=b對于塑性材料u=s=（0.5-0.6）塑性材料脆性材料=（0.8-1.0）容許切應力第3

12、9頁/共59頁 例 直徑為50mm的實心傳動軸。電動機通過A輪輸入功率，由B、C和D輪輸出。已知A、B、C和D輪所受力偶矩分別為TA=3.18kNm，TB=1.43kNm，TC=0.80kNm，TD=0.95kNm,=75MPa。（1）作軸的扭矩圖,(2）校核軸的切應力強度。d解： （1）軸的扭矩圖Mx1.43(kNm)0.951.75-+-第40頁/共59頁d（2）校核軸的切應力強度AC段截面扭矩絕對值最大Mx1.43(kNm)0.951.75-+-軸的最大切應力MPa3 .71N/m103 .71m1605. 0mN1075. 126333Pmaxmax=WMxkNm=75MPa故該軸滿足

13、切應力強度要求。第41頁/共59頁MxmaxGIp max等直圓桿扭轉的剛度條件為精密機器： 一般傳動軸：鉆桿： =(0.150.3)o /m =(0.32.0)o /m =(2.04.0)o /m第42頁/共59頁 例 一傳動軸如圖3-14a所示。設材料的容許切應力=40MPa，切變彈性模量G=810MPa，桿的容許單位長度扭轉角=0.20/m。試求軸所需的直徑。解：（1）軸的扭矩圖Mx(kNm)3.57+第43頁/共59頁Mx(kNm)3.57+3663pmm101750Pa1040mN107=.maxxMWmaxmax=pWMxmm96mm10175016163363=.PWdmaxma

14、x=pGIMx47451643pmm10512m10512m1802010108mN107=.maxPaGMIx第44頁/共59頁mm126105123232474P=.Wd47451643pmm10512m10512m1802010108mN107=.maxPaGMIxMx(kNm)3.57+綜合考慮，應取d=126mm第45頁/共59頁 例 直徑D=100mm的軸，由兩段聯接而成；聯接處加凸緣，并在D0=200mm的圓周上布置8個螺拴緊固，如圖3-15所示。已知軸在扭轉時的最大切應力為70MPa；螺栓的容許切應力=60MPa，試求螺拴所需直徑d。解：第46頁/共59頁=81iiirFT0Q

15、4DTF/=163PDWTmaxmax=kN11716403Q.max=DDFF則=2QQQ4dFAFmm1191060101174463Q.=Fd第47頁/共59頁3-6 非圓截面桿的扭轉變形特征翹曲第48頁/共59頁 非圓截面桿扭轉后，橫截面不再保持為平面，而要發生翹曲（warping）。自由扭轉：兩端自由的非圓截面直桿，受一對外力偶矩扭轉時，各橫截面翹曲程度相同，這時桿的橫截面上只有切應力。約束扭轉：若桿端存在約束或桿的各橫截面扭矩不同，扭轉后各橫截面上翹曲程度不同，橫截面上除有切應力外，還有附加正應力。 由約束扭轉產生的附加正應力，在實體截面桿中很小，可忽略不計；但在薄壁截面桿中不能忽

16、略。第49頁/共59頁角點切應力等于零; 邊緣各點切應力沿切線方向; 最大切應力發生在長邊中點。1maxbh一、矩形截面桿第50頁/共59頁（2）切應力和單位長度扭轉角的計算最大切應力短邊中點的切應力單位長度桿的扭轉角、為與h/b有關的系數。h和b分別為矩形截面的長邊和短邊；TWMx=maxmaxg=1TGIMx=3TbW=4TbI=1maxbh第51頁/共59頁對于狹長矩形截面)(10=hm最大切應力單位長度桿的扭轉角2T3hMWMxx=max3T3GhMGIMxx=第52頁/共59頁二、開口薄壁截面桿第53頁/共59頁=niiixihGM133iniiixihM=1331maxmax發生在max的狹長矩形的長邊中點處。 剛周邊假設：橫截面的周邊形狀在其變形前平面上的投影保持不變。 故單位長度桿橫截面的單位長度扭轉角和各狹長矩形的單位長度扭轉角相等，即n=21TGIMx=ixiiGIMT=由于得maxmax=niiixhM1331第54頁/共59頁 例 兩個薄壁鋼管截面，試問在相同的扭矩作用下，哪種截面形式較好？(a)D0Mx(b)D0Mx第55頁/共59頁解：（