1、為常數）(x)x)(2(11)a0,lna(aa)a)(3 (xx且1)a, 0a (xlna1)xlog)(4(a且sinx(8)(cosx) e)e)(5 (xxx1(6)(lnx) cosx )sinx)(7 (基本求導公式基本求導公式: :知識回顧知識回顧：)( 0,)(1 (為常數特殊的：CCkbkx根據導數的概念，求函數導數的過程可以根據導數的概念，求函數導數的過程可以用下面的流程圖來表示用下面的流程圖來表示 ）（給定函數xfy xxfxxfxy）（）（計算 0 x )(xAxy )()(xAxf 法則法則1 1: : 兩個函數的兩個函數的和（或差）的和（或差）的導數導數，等于這兩

2、個函數的導數的和，等于這兩個函數的導數的和（或差），即：（或差），即：).()( )()(xgxfxgxf法則法則2:2:).( )(為常數CxfCxCf法則法則3:3:兩個函數的兩個函數的積的導數積的導數，等于，等于第一個函數的導數第一個函數的導數乘乘以第二個函數以第二個函數加加上第一個函數上第一個函數乘乘以第二個函數以第二個函數的導數的導數).()()()( )()(xgxfxgxfxgxf法則法則4 4 : :兩個函數的兩個函數的商的導數商的導數，等于分，等于分子的導數與分母的積，減去分母的導數子的導數與分母的積，減去分母的導數與分子的積，再除以分母的平方與分子的積，再除以分母的平方,

3、,即：即： )()()()()()()(2xgxgxfxgxfxgxf0)(xg其中求下列函數的導數求下列函數的導數:222212(1);(2);1(3)tan;(4)(23) 1;yxxxyxyxyxx答案答案:;41) 1 (32xxy ;)1 (1)2(222xxy ;cos1)3(2xy ;16)4(23xxxy 簡單復合函數簡單復合函數 的導數的導數復合函數復合函數:)(ufy )(xu 由幾個函數復合而成的函數，叫復合函數由幾個函數復合而成的函數，叫復合函數由函數由函數 與與 復合而成復合而成的函數一般形式是的函數一般形式是，其中其中u稱為中間變量稱為中間變量)(xfy目前我們所研

4、究的簡單復合函數的導數目前我們所研究的簡單復合函數的導數僅限于形如僅限于形如f（ax+b）的復合函數）的復合函數求函數求函數 的導數的導數 。2(32)yx方法一：方法一：22(32) (9124) 1812xyxxxx問題探究問題探究： 2(32)yx2()2uyuu(32)3xuxxuxuyy方法二：方法二：2yu32ux看作是函數看作是函數 和函數和函數復合函數，并分別求對應變量的導數如下：復合函數，并分別求對應變量的導數如下：兩個導數相乘，得兩個導數相乘，得 從而有從而有 12183) 23 ( 232 xxuuyxu將函數將函數； 問題探究問題探究： 考察函數考察函數 的導數的導數

5、。xy2sinxxxycossin22sin:一方面xxxxxxxxxx2cos2sin2cos2)(cossin2cos)(sin2)cossin2()2(sin22 xyxuxuyy另一方面：另一方面：復合函數，并分別求對應變量的導數如下：復合函數，并分別求對應變量的導數如下：兩個導數相乘，得兩個導數相乘，得 從而有從而有 x2cos2xy2sinuysin看作是函數看作是函數 和函數和函數xu2uuyucos)(sin2)2(xux將函數將函數2)(cos uuyxu分分解解求求導導相相乘乘回回代代建構數學建構數學 對于一般的復合函數，結論也成立對于一般的復合函數，結論也成立 。 復合函

6、數的求導法則復合函數的求導法則 復合函數對自變量的導數，等于已復合函數對自變量的導數，等于已知函數對中間變量的導數，乘以中間變知函數對中間變量的導數，乘以中間變量對自變量的導數量對自變量的導數 ，即，即一般地，我們有一般地，我們有u=ax+b時，有時，有ayyux即：若若 y=f(u),u=ax+b，則，則xuxuyyxuxuyy復合函數求導的基本步驟是：復合函數求導的基本步驟是：(1)分解分解(2)求導求導(3)相乘相乘(4)回代回代 數學運用數學運用試說明下列函數是怎樣復合而成的試說明下列函數是怎樣復合而成的)21cos()4(;131)3()15ln()2(;)32()1(3xyxyxy

7、xy數學運用數學運用求下列函數的導數：求下列函數的導數：)21cos()4(;131)3()15ln()2(;)32()1(3xyxyxyxyuycos21xuuylnxuln)1cos(2xy)ln(ln xy 例例寫出由下列函數復合而成的函數寫出由下列函數復合而成的函數, ,并并求它們的導數。求它們的導數。 ，；，解：解： )1sin(22xxy1)ln(xxy 1、求下列函數的導數：、求下列函數的導數：xyeyxyxyx1ln)4( ;) 3(;)31 ()2( ;) 32() 1 (2322、求曲線、求曲線y=sin2x在點在點P(，0）處的）處的切線方程。切線方程。小結小結 ： 復合

8、函數的求導，要注意分析復復合函數的求導，要注意分析復合函數的結構，引入中間變量，將復合函數的結構，引入中間變量，將復合函數分解成為較簡單的函數，然后合函數分解成為較簡單的函數，然后再用復合函數的求導法則求導；再用復合函數的求導法則求導； 復合函數求導的基本步驟是：復合函數求導的基本步驟是： 分解分解求導求導相乘相乘回代回代 練習：練習：課本課本 P P2424 練習練習No.3No.3；課本課本 P P2222No.6. No.6. 求下列函數的導數求下列函數的導數:解解:)()(xxxxxxy12124333(2)51 xxy解解:)()(xxxxy115154)()(1161242233x

9、xxxx43121)( )(xxxy5654151)(xx25411151)()(xxx “可導的偶函數的導函數為奇函數可導的偶函數的導函數為奇函數;可導的奇函數可導的奇函數的導函數為偶函數的導函數為偶函數”.現在利用復合函數的現在利用復合函數的導數加以證導數加以證明明:證證:當當f(x)為為可導的偶函數可導的偶函數時時,則則f(-x)=f(x).兩邊同時對兩邊同時對x 求導得求導得: ,故故 為為 奇函數奇函數.)()()()(xfxfxfxxf )(xf 同理可證另一個命題同理可證另一個命題. 我們還可以證明類似的一個結論我們還可以證明類似的一個結論:可導的周期函數可導的周期函數的導函數也

10、是周期函數的導函數也是周期函數.證證:設設f(x)為為可導的周期函數可導的周期函數,T為其一個為其一個周期周期,則對定義則對定義 域內的每一個域內的每一個x,都有都有f(x+T)=f(x). 兩邊同時對兩邊同時對x求導得求導得: 即即 也是以也是以T為為周期的周期函數周期的周期函數.),()(xfTxTxf ).x (f)Tx (f) x (f例例5:設設f(x)可導可導,求下列函數的導數求下列函數的導數: (1)f(x2);(2)f( );(3)f(sin2x)+f(cos2x)21 x 解解: );(2)()() 1 (222xf xxxfy );1(1122)1() 2(2222xfxx

11、xxxfy ).(cos)(sin2sin)sin(cos2)(coscossin2)(sin)(cos(cos)(sin(sin )(cos)(sin) 3(2222222222xfxfxxxxfxxxfxxfxxfxfxfy 說明說明:對于抽象函數的求導對于抽象函數的求導,一方面要從其形式是把握其一方面要從其形式是把握其結構特征結構特征,另一方面要充分運用復合關系的求導法則另一方面要充分運用復合關系的求導法則.求證雙曲線求證雙曲線C1:x2-y2=5與橢圓與橢圓C2:4x2+9y2=72在交在交 點處的切線互相垂直點處的切線互相垂直.證證:由于曲線的圖形關于坐標軸對稱由于曲線的圖形關于坐標軸對稱,故只需證明其中一故只需證明其中一 個交點處的切線互相垂直即可個交點處的切線互相垂直即可.聯立兩曲線方程解得第一象限的交點為聯立兩曲線方程解得第一象限的交點為P(3,2),