1、§7.4合情推理與演繹推理基礎知識,自主學習要點梳理1 .推理.推理一般分為合情推理與演根據一個或幾個已知的判斷來確定一個新的判斷，這種思維方式叫做推理繹推理兩類.2 .合情推理歸納推理類比推理由某類事物的部分對象具有某些特由兩類對象具有某些類似特定義征，推出該類事物的全部對象都具有征和其中一類對象的某些已這些特征的推理，或者由個別事實概知特征，推出另一類對象也具括出一般結論的推理有這些特征的推理特點由部分到整體、由個別到一般的推理由特殊到特殊的推理步驟(1)通過觀察個別情況發現某些相同 性質；(2)從已知的相同性質中推出一個明確 的一般性命題(猜想)(1)找出兩類事物之間相似性 或

2、一致性；(2)用一類事物的性質去推測 另一類事物的性質，得出一個 明確的命題(猜想)3 .演繹推理(1)定義：從一般性的原理出發,推出某個特殊情況下的結論,我們把這種推理稱為演繹推理;(2)特點：演繹推理是由一般到特殊的推理;(3)模式：三段論.“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：I夯基器疑“三段論”的結構大前提一一已知的一般原理；小前提一一所研究的特殊情況；結論 知據一般原理，對特殊情況做出的判斷 .“三段論”的表小大前提M是P.小前提一一S是M.結論一一S是P.有丈西端突做出前1 .判斷下面結論是否正確(請在括號中打或"X”)(1)歸納推理得到的結論不一定正確，類比推理得到的結

3、論一定正確( X )(2)由平面三角形的性質推測空間四面體的性質，這是一種合情推理(，)(3)在類比時，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適.(x )(4) “所有3的倍數都是9的倍數，某數m是3的倍數，則m 一定是9的倍數”，這是三段論推理，但其結論是錯誤的.(，)(5)一個數列的前三項是1,2,3,那么這個數列的通項公式是an=n(nCN + ).( X )=2姬,3+| =八/| 35=15''、/6a=槽(，b均為實數)，則可以推測 a=35, b=6.( V )2 .數列2,5,11,20, x,47,中的x等于()A.28B.32C.33D.27答

4、案 B解析 5-2=3,11-5=6,20-11 = 9,推出 x- 20 = 12,所以 x= 32.3 .觀察下列各式：55=3 125,56= 15 625,57 = 78 125,，則52 011的后四位數字為（）A.3 125B.5 625C.0 625D.8 125答案 D解析 55=3 125,56= 15 625,57=78 125,58 =390 625,59 = 1 953 125,可得 59 與 55 的后四位數字相同, ，由此可歸納出5m+ 4k與5m（kC N*, m=5,6,7,8）的后四位數字相同，又 2 011 = 4X 501 + 7,所以52 011與 57

5、后四位數字相同為 8125,故選D.4 .（2013陜西）觀察下列等式12= 112-22=- 312- 22+ 32=612- 22+ 32-42=- 10照此規律，第n個等式可為 .答案 12 22+ 3242+ (-1)n+1n2=(-1)n+1 口 丁解析 觀察等式左邊的式子，每次增加一項，故第n個等式左邊有n項，指數都是2,且正、負相間，所以等式左邊的通項為(一1)n+1n2.等式右邊的值的符號也是正、負相間，其絕對值分別為1,3,6,10,15,21,.設此數列為an,則 a2a1=2, a3 a2= 3, a4a3=4, a5 a4 = 5,，an an 1 = n,各式相加得a

6、na = 2 + 3+4+ n,即an= 1 + 2+3+ n=2.所以第n個等式為12 22+ 3242+(-1)n+ln2= (I)/1n n； 15.設等差數列an的前n項和為Sn,則S4,S8-S4,S12-S8,S16S12成等差數列.類比以上結論有設等比數列bn的前n項積為Tn,則T4, , ,五成等比數列解析 對于等比數列，通過類比,有等比數列bn的前n項積為Tn,T12= a1a2a12,則 T4= a1a2a3a4, T8=a1a2a8,T16= a1a2- - a16,T16a13a14a15a16,T12'T8T12內此丁= a5a6a7a8,a9a1021121

7、2,T4' T8'而T4, T4,當,的公比為心因此丁4,程書轉成等比數列.題型分類,深度剖析題型一歸納推理.1例1設=中先分別求f(0) + f，f(D + f，f( -2)+f(3)，然后歸納猜想一般性結論，并給出證明.思維啟迪解題的關鍵是由f(x)計算各式，利用歸納推理得出結論并證明.解 f(0)+f(1)= C 1 廠 + 4 1 -30+ , 3 31+. 3_1,1_<3-1 , 3V3 =笆1 + ,3 3+ .3263 '3同理可得：f(1) + f(2)=方"，3f( 2)+f(3) =坐，并注意到在這三個特殊式子中，自變量之和均等于

8、1. 33 歸納猜想得：當X1+X2=1時，均為f(X1)+f(X2)=.3證明：設X+X2= 1 ,一1.1- f(X1) + f(X2)=+X1X23+33+3X1X2X1X23+ y3 +3+133+3+ 2-3X1X2,X1 X2X1x23+，3 3+，33+ ,：3 3+3+3X1X2XiX2_3+3+ 2“ 33+3+ 23-1313三丁.,X1X2,X1X23.13 3+3+2X 3,'3 3+3+ 2 3思維升華(1)歸納是依據特殊現象推斷出一般現象，因而由歸納所得的結論超越了前提所包含的范圍(2)歸納的前提是特殊的情況，所以歸納是立足于觀察、經驗或試驗的基礎之上的(3

9、)歸納推理所得結論未必正確，有待進一步證明，但對數學結論和科學的發現很有用跟蹤訓練(1)觀察下列等式1= 12+3+4= 93+4+5+6+7=254+5+ 6+7+8+9+10 = 49照此規律，第五個等式應為 .(2)已知 )=1 + 1+；+ nC N*),經計算得 f(4)>2, f(8)>5, f(16)>3, f(32)>J,則有.2 31122答案 (1)5+ 6+7+8+9+10+11+12+ 13= 81 n 2(2)f(2n)>2"(n>2, nCN)解析 (1)由于 1=12,2 + 3 + 4= 9=32,3+4 + 5+

10、6+7=25=52,4+5+6 + 7+8 + 9+ 10=49=72,所以第五個等式為 5+6+ 7+8+9+ 10+11+12+ 13=92=81.c 4 c 5,6.7(2)由題意得 f(22)>2，f(23)>£, f(24)>2，f(25)>n 2所以當n>2時，有f(2n)>-2. n 2故填 fnAnmAZ, nCN*).題型二類比推理例2已知數列an為等差數列，若am=a,an = b(n- m>1, m, nCN*),則am+n=n詈.類比等差數列an的上述結論，對于等比數列bn(bn>0,nCN*),若bm= c,b

11、n=d(n m>2, m, nCN*),則可以得至U bm + n=.思維啟迪等差數列an和等比數列bn類比時，等差數列的公差對應等比數列的公比，等差數列的加減法運算對應等比數列的乘除法運算，等差數列的乘除法運算對應等比數列中的乘方開方運算答案n m dn cm解析設數列an的公差為d,數列bn的公比為q.因為an = a1 + (n 1)d , bn=b1qn 1, am + n=-nm-,n m dn所以類比得bm+n.dm思維升華 (1)進行類比推理，應從具體問題出發，通過觀察、分析、聯想進行對比，提出猜想.其中找到合適的類比對象是解題的關鍵(2)類比推理常見的情形有平面與空間類比

12、；低維的與高維的類比；等差數列與等比數列類比；數的運 算與向量的運算類比；圓錐曲線間的類比等.在進行類比推理時，不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比，且要注意以下兩點:找兩類對象的對應元素，如：三角形對應三棱錐，圓對應球，面積對應體積等等;找對應元素的對應關系,如：兩條邊(直線)垂直對應線面垂直或面面垂直，邊相等對應面積相等靠蹤訓練2 (1)給出下列三個類比結論:(ab)n= anbn與(a+b)n 類比，則有(a+b)n= an+bn;log a(xy)= logax+ logay 與 sin( a+ 3)類比，則有 sin( a+ 9= sin osin 3;(a+b)2 = a2 +

13、 2ab+b2與(a+b)2類比，則有(a+b)2= a2+2a b+b2其中結論正確的個數是A.0B.1C.2D.3(2)把一個直角三角形以兩直角邊為鄰邊補成一個矩形,則矩形的對角線長即為直角三角形外接圓直徑,a2 + b2以此可求得外接圓半徑=、(其中a, b為直角三角形兩直角邊長).類比此方法可得三條側棱長分別為a, b, c且兩兩垂直的三棱錐的外接球半徑R=答案(1)B (2)3/a2 b2 c2解析錯誤，正確.(2)由平面類比到空間，把矩形類比為長方體，從而得出外接球半徑 題型三演繹推理例3已知函數f(x) = a>0 ,且 aw 1).11 ,證明：函數y=f(x)的圖象關于

14、點(2, -p對稱;(2)求 f( 2) + f( 1) + f(0) +f(1) + f(2) + f(3)的值.思維啟迪證明本題依據的大前提是中心對稱的定義，函數y= f(x)的圖象上的任一點關于對稱中心的對稱點仍在圖象上.小前提是f(x)= 一a>0 且 aw1)的圖象關于點(；一)對稱證明函數f(x)的定義域為全體實數，任取一點 (x, y),，11 匕關于點(2，一萬)對稱的點白坐標為(1 -x, 1 y).& ax =_a_, a+ya axax+ja'- 1 - y=f(1 -x),即函數y=f(x)的圖象關于點 g, 2)對稱.(2)解由(1)知一1 f(

15、x)=f(1x),即 f(x)+f(1 -x)=- 1.f(-2)+f(3) = - 1, f(-1) + f(2) = - 1, f(0) + f(1) = 1.則 f(2)+f(1) + f(0) + f(1)+f(2)+f(3) = 3.思維升華演繹推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式為三段論，演繹推理的前提和結論之間有著某種蘊含關系，解題時要找準正確的大前提，一般地，若大前提不明確時，可找一個使結論成立 的充分條件作為大前提.跟蹤訓練3已知函數y=f(x),滿足：對任意 a, bC R, awb,都有af(a) + bf(b)>af(b)+bf(a),試證明:f(x)為R上的

16、單調增函數.證明 設 x，x2C R,取 x1<x2,則由題意得 xf(x1) + x2f(x2)>x1f(x2) + x2f(x1),- -x1f(x1) f(x2) + x2f(x2) f(x1)>0 ,f(x2) f(x1)(x2x1)>0 ,- x1<x2, 1. f(x2) f(x1)>0 , f(x2)>f(x1).所以y=f(x)為R上的單調增函數.典例：(1)(5分)(2013湖北)古希臘畢達哥拉斯學派的數學家研究過各種多邊形數，如三角形數1,3,6,10,j . n n +11 c 1 第n個二角形數為 一2一 = 2 + 25 記第

17、n個k邊形數為N(n, k)(k>3),以下列出了部分 k邊形數中第n個數的表達式：1 C 1二角形數N(n,3) = 2n2+2n,正方形數N(n,4) = n2,五邊形數N(n,5) = |n2gn,六邊形數N(n,6) = 2n2n可以推測思維啟迪N(n, k)的表達式，由此計算 N(10,24) =從已知的部分k邊形數觀察一般規律寫出N(n, k),然后求N(10,24).解析由N(n,4) = n2, N(n,6) = 2n2-n,可以推測：當 k為偶數時,N(n, k)=k- 24 4 kn +2 n,24-24-24.N(10,24) = 2X 100+2-X10=1 10

18、0- 100= 1 000.答案 1 00022(2)(5分)若P0(x0, y0)在橢圓，+=1(a>b>0)外，過P0作橢圓的兩條切線的切點為P1, P2,則切點弦 b>0)外，過P0作雙曲線的兩條切線，切點為 P1, P2,則切點弦P1P2所在直線的方程是P1P2所在的直線方程是繁+y0y=1,那么對于雙曲線則有如下命題：若p°(x0,y0)在雙曲線a2y2 b2= 1(a>0,思維啟迪直接類比可得.解析 設 P1(x1, y1), P2(x2, y2),則P1, P2的切線方程分別是因為p0(x0, y。)在這兩條切線上,X2X0_ 呼一a2b2 1，

19、這說明P1(x1, y1), P2(x2, y2)在直線等-泮=1上,故切點弦P1P2所在的直線方程是學一停=1.答案學一皆1(3)(5分)在計算“ 1X 2+2X3+ n(n+1)”時，某同學學到了如下一種方法：先改寫第k項:1k(k+ 1) = "k(k+ 1)(k+ 2)-(k- 1)k(k+ 1),由此得 3，八1"1 X2= (1 X 2X3-0X 1 X2),32X3=3(2X3X41X2X3),1n(n+ 1) = in(n+ 1)(n+ 2)- (n- 1)n(n+ 1).31 相加，得 1X2+2X3+ n(n+1) =-n(n+1) (n+2).3類比上

20、述方法，請你計算“ 1X2X 3+2X3X4+ n(n+1) (n+2)”，其結果為 .思維啟迪根據兩個數積的和規律猜想，可以利用前幾個式子驗證1解析類比已知條件得 k(k+ 1)(k+ 2) = 4(k(k+ 1)(k+ 2)(k+ 3)-(k- 1)k(k+ 1)(k+ 2),1由此得 1X2X 3 = 4(1X2X3X4-0X 1X2X3),1-2X3X 4= j(2 X3X 4X 5 1 X 2X 3X4),3X4X 5=j(3 X4X 5X 6-2X 3X 4X5),1n(n+ 1)(n + 2) = /n(n+ 1)(n+ 2)(n +3)(n 1)n(n+ 1)(n+ 2).以上

21、幾個式子相加得：1X2X3+2X3X4+ n(n+ 1)(n + 2)1= n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3).-1答案4n(n+1)(n +2)(n+3)溫馨提醒(1)合情推理可以考查學生的抽象思維能力和創新能力，在每年的高考中經常會考到；(2)合情推理的結論要通過演繹推理來判斷是否正確思想方法感悟提高方法與技巧1 .合情推理的過程概括為從具體問題出，一 |觀察、分析、比較、聯想 一歸納、類比|一|提出猜想2 .演繹推理是從一般的原理出發，推出某個特殊情況的結論的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段論.數學問題的證明主要通過演繹推理來進行.失誤與防范1 .合情推理是從已知

22、的結論推測未知的結論，發現與猜想的結論都要經過進一步嚴格證明2 .演繹推理是由一般到特殊的證明，它常用來證明和推理數學問題，注意推理過程的嚴密性，書寫格式的規范性.3 .合情推理中運用猜想時不能憑空想象，要有猜想或拓展依據 練出高分A組專項基礎訓練(時間：40分鐘)一、選擇題1.（2012 江西）觀察下列各式：a+b=1, a2+b2=3, a3+b3=4, a4+b4=7, a5 + b5 = 11,，則 a10+ b10A.28B.76C.123D.199答案 C解析觀察規律，歸納推理.從給出的式子特點觀察可推知，等式右端的值，從第三項開始，后一個式子的右端值等于它前面兩個式子右端值的和，

23、照此規律，則 a10+b10=123.2 .定義一種運算“ * ”：對于自然數n滿足以下運算性質：(1)1*1=1 , (2) (n+1) *1=n*1+1,貝U n*1 等于()A.n B.n+1C.n- 1D.n2答案 A解析由(n+1)*1 = n*1 + 1,得 n*1 =(n-1)*1 +1 = (n 2)*1 +2= = 1*1+( n- 1).又1*1=1 ,n*1 = n3 .下列推理是歸納推理的是()A.A, B為定點，動點 P滿足|PA|+|PB|=2a>|AB|,則P點的軌跡為橢圓B.由a=1, an=3n-1,求出Si, S2, S3,猜想出數列的前 n項和Sn的

24、表達式C.由圓x2+y2=r2的面積<2,猜想出橢圓，+ 5=1的面積S= abD.科學家利用魚的沉浮原理制造潛艇答案 B解析 從Si, S2, S3猜想出數列的前 n項和Sn,是從特殊到一般的推理，所以 B是歸納推理，故應選B.4.已知 ABC 中，Z A = 30°, /B=60°,求證：a<b.證明：/ A=30°, /B=60°,，/A</B. .a<b,其中，畫線部分是演繹推理的()A.大前提B.小前提C.結論D.三段論答案 B解析由三段論的組成可得畫線部分為三段論的小前提5.若數列 an是等差數列，則數列 bn( bn

25、 =ai + a2+ an)也為等差數列.類比這一性質可知，若正項數列cn是等比數列，且dn也是等比數列，則dn的表達式應為A.dn =C1+C2+ CnC1 C2 CnB.dn= nC.dn =n /c1+ cn+ + cD.dn= C1 C2Cn答案解析若an是等差數列，則 a1+ a2+ + an= na1+ n n21 d,.bn = a1+ n 2 1 d= n+ a1- -,即bn為等差數列;若Cn是等比數列，則C1C2Cn=C1q1 2(n1)= Cnq，n n 12，dn= n/d C2Cn = C1 qny-,即dn為等比數列，故選D.二、填空題6 .仔細觀察下面。和的排列規

26、律：。若依此規律繼續下去，得到一系列的。和，那么在前120個。和中，的個數是答案14解析進行分組|。Q。|。,|。,|。|，則前n 組兩種圈的總數是 f(n) = 2+3+4+-+(n+ 1)= n n2 3 ,易知f(14)= 119, f(15)= 135,故 n= 14.x一x7 .右函數 f(x) =9(x>0),且 f1(x) = f(x) =,當 nCN 且 n>2 時，fn(x) = ffn 1(x),則 f3(x)=' 'x十 2''' '' ' x十 2 ' '猜想fn(x)(nC N

27、*)的表達式為答案x7x+8x2n -1 x + 2nx解析 f1(x) = _, fn(x)=ffn 1(x)(n>2), x I 2x,xx+2xf2(x)=f(xTP=3+2 =3x+4.x+ 2 xf3(x) = ff2(x) = f(3) =由所求等式知，分子都是 x,分母中常數項為 2n, x的系數比常數項少1,為2n1,故 fn(x) = 2n_ 1 x+ 2n,AE AC .8 .在平面幾彳S中， ABC的內角平分線 CE分AB所成線段的比為 云=奇，把這個結論類比到仝同：在 EB BC三棱錐A-BCD中（如圖所示），平面DEC平分二面角 ACD B且與AB相交于點E,則

28、類比得到的 結論是.答案詈=產 EA Saacd解析 易知點E到平面BCD與平面ACD的距離相等，,Ve BCD BE Sa BCD故=一=Ve acd EA Saacd三、解答題9 .已知等差數列an的公差d=2,首項ai = 5.(1)求數列an的前n項和Sn；(2)設 Tn=n(2an 5),求 S1, S2, S3, S4, S5； T1 , T2, T3, T4, T5,并歸納出 Sn 與 Tn的大小規律解(1)由于 a1=5, d=2,n n- 1 一- Sn = 5n+ 2* 2= n(n + 4).(2)Tn=n(2an5) = n2(2n+3) 5 = 4n2+ n.T1 =

29、 5, T2=4X22+2=18, 丁3= 4X 32+ 3 = 39,T4=4X 42+4=68, T5=4X52+5= 105.S1=5, S2=2X (2 + 4)= 12, S3=3X(3 + 4) = 21,S4= 4X(4+4)=32, S5=5X (5 + 4) = 45.由此可知S1=T1,當n>2時，S<Tn.歸納猜想：當 n=1 時，Sn=Tn；當 n> 2, nCN 時，Sn<Tn.10.在RtAABC中，AB± AC, AD ±BC于D,求證： =三 十 三，那么在四面體 ABCD中，類比上 AD AB AC述結論，你能得到怎

30、樣的猜想，并說明理由.解如圖所示，由射影定理ad2=bd DC, ab2=bd BC,AC2= BC DC,/' AD2 BD DCBC2BC2BD BC DC BC = AB2 AC2.又 bc2=ab2+ac2, -ad=Aab2 ac2 =急+5.猜想，四面體 ABCD中，AB、AC、AD兩兩垂直，AE，平面BCD,則在焉+A1?+A1?證明：如圖，連接 BE并延長交CD于F,連接AF. . ABXAC, ABXAD, .ABL平面 ACD. ABXAF.在 RtACD 中，AFXCD,AF2 AC2+aD2'在 RtAABF 中，AEXBF,'AE2 AB2+a

31、C2+aD2.B組專項能力提升（時間：30分鐘）1 .給出下面類比推理命題（其中Q為有理數集，R為實數集，C為復數集）：“若 a, bC R,則 a-b=0? a= b” 類比推出“若 a, b C C,則 a b= 0? a=b" ；“若 a, b, c, dC R,則復數 a+bi = c+ di? a=c, b=d"類比推出“若 a, b, c, dC Q,則 a + b/2 = c + d? a=c, b=d"若“a, bCR,貝U ab>0? a>b”類比推出“若 a, bC,貝U ab>0? a>b” .其中類比結論正確的 個數

32、是（）A.0B.1C.2D.3答案 C解析 正確，錯誤.因為兩個復數如果不全是實數，不能比較大小2 .設 是R的一個運算，A是R的非空子集.若對于任意a, bC A,有a bC A,則稱A對運算 封閉. 下列數集對加法、減法、乘法和除法（除數不等于零）四則運算都封閉的是（）A.自然數集B.整數集C.有理數集D.無理數集答案 C解析 A錯：因為自然數集對減法、除法不封閉；B錯：因為整數集對除法不封閉； C對：因為任意兩個有理數的和、差、積、商都是有理數，故有理數集對加、減、乘、除法（除數不等于零）四則運算都封閉；D錯：因為無理數集對加、減、乘、除法都不封閉 3 .平面內有n條直線，最多可將平面分成f(n)個區域，則f(n)的表達式為答案n2 + n + 22解析 1條直線將平面分成1 + 1個區域；2條直線最多可將平面分成 1 + (1 + 2)= 4個區域；3條直線 最多可將平面分成 1+(1+2+3)=7個區域；，n條直線最多可將平面分成 1 + (1 + 2+3+- + n) = 1 + njn±±=n±±個區域.22n + 2_4.數列an的前n項和記為 Sn,已知a1= 1, an+1 = nSn(nC N ).證明:數列-彳是等比數列;(2)Sn+