1、5-5 5-5 按疊加原理作彎矩圖按疊加原理作彎矩圖第五章第五章 梁的內力梁的內力5-1 5-1 平面彎曲的概念及工程實例平面彎曲的概念及工程實例5-2 5-2 靜定梁的分類（三種基本形式）靜定梁的分類（三種基本形式）5-3 5-3 剪力方程與彎矩方程剪力方程與彎矩方程5-4 5-4 剪力、彎矩與分布荷載間的關系及應用剪力、彎矩與分布荷載間的關系及應用構件構件 Component, Structural member 桿桿 bar 梁梁 beam拉壓桿：承受軸向拉、壓力拉壓桿：承受軸向拉、壓力扭扭 桿：承受扭矩桿：承受扭矩 梁：承受橫向力梁：承受橫向力為什么梁特別重要？為什么梁特別重要？ 地球

2、引力場方向地球引力場方向 + 人類需要空間人類需要空間 墻墻樓板樓板橋板橋板一、彎曲實例一、彎曲實例工廠廠房的天車大梁：工廠廠房的天車大梁：5-1 5-1 平面彎曲的概念及工程實例平面彎曲的概念及工程實例火車的輪軸：火車的輪軸：FFFF樓房的橫梁：樓房的橫梁：陽臺的挑梁：陽臺的挑梁：二、彎曲的概念：二、彎曲的概念：受力特點受力特點作用于桿件上的作用于桿件上的外力外力都都垂直垂直于桿的于桿的軸線軸線。變形特點變形特點桿軸線由桿軸線由直線直線變為一條平面的變為一條平面的曲線曲線。 主要產生彎曲變形的桿主要產生彎曲變形的桿- - 梁梁。qPMARBN常見彎曲構件截面常見彎曲構件截面目錄平面彎曲平面彎

3、曲具有縱向對稱面具有縱向對稱面外力都作用在此面內外力都作用在此面內彎曲變形后軸線變成對稱面內的平面曲線彎曲變形后軸線變成對稱面內的平面曲線目錄靜定梁的分類（三種基本形式）靜定梁的分類（三種基本形式）M 集中力偶集中力偶q(x) 分布力分布力1 1、懸臂梁：、懸臂梁：2 2、簡支梁：、簡支梁：3 3、外伸梁：、外伸梁： 集中力集中力Fq 均布力均布力LLLL（L稱為梁的跨長）稱為梁的跨長）FNFSM0 xF0N F 0yF1ASFFFy 0McF)(1axFxFMAy F FS S剪力剪力，平行于，平行于橫截面的內力合力橫截面的內力合力 M M 彎矩彎矩，垂直于，垂直于橫截面的內力系的橫截面的內

4、力系的合力偶矩合力偶矩FByFNFSMn5-2 剪力和彎矩及其方程3FAyFAyFNFSMFByFNFSM 截面上的剪力對梁上任意一點的矩為截面上的剪力對梁上任意一點的矩為順時針順時針轉向時，轉向時，剪力為正；剪力為正；反之反之為負。為負。n5-2 剪力和彎矩及其方程Fs(+)Fs(+)Fs()Fs() 左上右下左上右下為正；為正；反之反之為負為負FAyFNFSMFByFNFSM 截面上的彎矩使得梁呈截面上的彎矩使得梁呈凹形凹形為為正；正；反之反之為負。為負。n5-2 剪力和彎矩及其方程 左順右逆左順右逆為正；為正；反之反之為負為負M(+)M(+)M()M()FNFNFQFQ內力方向規定內力方

5、向規定解：解：1. 確定支反力確定支反力FAyFBy 0yFFFFByAy2 0AMaFFaaFBy233FFBy35FFAy2. 用截面法研究內力用截面法研究內力FAyFSEME 0yF352FFFSE 0EM233522aFMaFE3FFSE23FaMEn5-2 剪力和彎矩及其方程例題例題5-15-1 求圖示簡支梁求圖示簡支梁E E 截面的內力截面的內力FAyFByFByFAyFSEMEO3FFBy35FFAy分析右段得到：分析右段得到：FSEMEO 0yF0BySEFF3FFFBySE 0oMFaaFMByE2323FaMEn5-2 剪力和彎矩及其方程FAyFBy3FFBy35FFAy

6、截面上的剪力等于截截面上的剪力等于截面任一側外力的代數和。面任一側外力的代數和。n5-2 剪力和彎矩及其方程FSEFAy35FFSE2FFSEF23F 左上右下左上右下為正；為正；反之反之為負為負FAyFBy3FFBy35FFAy 截面上的彎矩等于截面任截面上的彎矩等于截面任一側外力對截面形心力矩的代一側外力對截面形心力矩的代數和。數和。n5-2 剪力和彎矩及其方程MEFAy2335aFME22aF Fa232FME 左順右逆左順右逆為正；為正；反之反之為負為負計算任意截面的剪力和彎矩計算任意截面的剪力和彎矩法則法則橫向力：載荷和約束反力橫向力：載荷和約束反力 分布力和集中力分布力和集中力方向

7、：左上右下為正，方向：左上右下為正， 反之為負反之為負外力：載荷和約束反力外力：載荷和約束反力 分布力、集中力和集中力偶分布力、集中力和集中力偶方向：左順右逆為正，方向：左順右逆為正， 反之為負反之為負任意截面的剪力一側橫向力代數值 任任意意截截面面的的彎彎矩矩一一側側外外力力對對截截面面形形心心之之矩矩代代數數值值三、剪力方程、彎矩方程三、剪力方程、彎矩方程： 注意注意： 不能用一個函數表不能用一個函數表達的要分段，分段點為：達的要分段，分段點為：集中力集中力作用點、集中力偶作用點、分布作用點、集中力偶作用點、分布力的起點、終點。力的起點、終點。)(SSxFF 剪力方程剪力方程)(xMM 彎

8、矩方程彎矩方程反映梁的橫截面上的剪力和彎反映梁的橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置變化的函數式矩隨截面位置變化的函數式 顯示剪力和彎矩隨截面位移的顯示剪力和彎矩隨截面位移的變化規律的圖形則分別稱為變化規律的圖形則分別稱為剪力剪力圖圖和和彎矩圖彎矩圖。LqAB,)(qxxFs,21)(2qxxM)0(lx )0(lx xsFx( (- -) )Mxql25 . 0 qlF(x)xFFFxFAYs)(解解：求支反力求支反力)( )(LxFMxFxMAAY寫出內力方程寫出內力方程FL MFFAAY ; 根據方程畫內力圖根據方程畫內力圖 例例 列出梁內力方程并畫出內力圖。列出梁內力方程并畫出內力圖。FAB

9、)0(lx )0(lx FAYMALxxM(x)FL注意：彎矩圖中正的彎矩值注意：彎矩圖中正的彎矩值繪在繪在x x軸的下方軸的下方( (即彎矩值繪即彎矩值繪在彎曲時梁的受拉側在彎曲時梁的受拉側) )。例例 圖示簡支梁受集度為圖示簡支梁受集度為q的滿布荷載作用。試作梁的剪力圖的滿布荷載作用。試作梁的剪力圖 和彎矩圖。和彎矩圖。解：解：1 1、求支反力、求支反力2qlFFBA2 2、列剪力方程和彎矩方程、列剪力方程和彎矩方程 qxqlqxFxFA2S 2222qxqlxxqxxFxMAxFBFABlAqql 2FS ql28l/2M 3 3、作剪力圖和彎矩圖、作剪力圖和彎矩圖2max,SqlF82

10、maxqlM 222qxqlxxM qxqlxF2SBlAq* 載荷對稱、結構對稱則剪力圖反對稱，彎矩圖對稱* 剪力為零的截面彎矩有極值。例例 圖示簡支梁受集中荷載圖示簡支梁受集中荷載F作用。試作梁的剪力圖作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖和彎矩圖。解：解：1、求支反力求支反力lFbFAlFaFB2 2、列剪力方程和彎矩方程、列剪力方程和彎矩方程 需分兩段列出需分兩段列出BFBFAxlAF abCAC段段CB段段 lxalFaFxFBS axlFbxF0S lxaxllFaxlFxMB)( axxlFbxM0FAxAM(x)FS(x)FBBFS(x)M(x)BFBFAxlAF abClFbFAlFa

11、FB3 3、作剪力圖和彎矩圖、作剪力圖和彎矩圖xllFaxM)(2 lFbxFS1 xlFbxM1 lFaxFS2FS FblxFblMxFablBFBFAxlAF abCFS FblxFblMxFabl為極大值。為極大值。時，時，42/maxFlMlba* 在 集中力F 作用處，剪力圖有突變，突變值為集中力的大小；彎矩圖有轉折xlAF abC例例 圖示簡支梁在圖示簡支梁在C點受矩為點受矩為Me 的集中力偶作用。試的集中力偶作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。作梁的剪力圖和彎矩圖。解解: : 1、求支反力、求支反力 lMFAe lMFBe 0AM0elFMAMe FA FBBlACab2、 列剪力方

12、程和彎矩方程列剪力方程和彎矩方程剪力方程無需分段：剪力方程無需分段： lxlMFxFA0eS彎矩方程彎矩方程兩段：兩段：AC段：段：CB段：段： xlMxFxMAe xllMMxFxMAeelxaax 0FA FBxAFAM(x)FS(x)xFBBFS(x)M(x)BlACab lMFAe lMFBe3、作剪力圖和彎矩圖、作剪力圖和彎矩圖ba時時lbMMemax lMxFeS發生在發生在C截面右側截面右側FslxMe lMxMealMeb* 集中力偶作用點處剪力圖無影響，彎矩圖有突變，突變值的大小等于集中力偶的大小。BlACab xlMxMe xllMxMelxaax 0解解：1、支反力2、寫

13、出內力方程),(2)(:1kNFxFACAYs1kN/m2kNABC D1m1m2mx1x3x2FAYFBY)( 2);( 20432121, 00212, 0kNFkNFFMFFYBYAYAYBBYAY 例例 畫出梁的內力圖。),.(2)(111mkNxxFxMAY, 0222)(:2AYsFxFCD,21)(:333xxFxFBCBYs),.(2) 1(2)(222mkNxxFxMAY,2221)(2333333xxxxxFxMBY3、根據方程畫內力圖1kN/m2kNABC DFAYFBYxFs(x)x2kN2kN)20(22)()20(2)(:)21 (2)()21 (0)(:) 10(

14、2)() 10(, 2)(:32333333222211111xxxxMxxxFBCxxMxxFCDxxxMxxFACsss，2kN.m2kN.mM(x)5-4 5-4 剪力、彎矩與分布荷載間的關系及應用剪力、彎矩與分布荷載間的關系及應用一、一、 剪力、彎矩與分布荷載間的關系剪力、彎矩與分布荷載間的關系1 1、支反力：、支反力：2qlFFBYAYLqFAyFBy2 2、內力方程、內力方程qxqlxFs21)()0(lx 22121)(qxqlxxM)0(lx 3 3、討論如下、討論如下qxqldxxdM21)(qdxxdFs)(x),(xFs)(xqsFMARA對對dx 段進行平衡分析，有：段

15、進行平衡分析，有：0)(d)(d)()(0 xFxFxxqxFYsss)(dd)(sxFxxqdxxq(x)M(x)+d M(x)Fs(x)+dFs (x)Fs(x)M(x)q(x)dxAy xqxxFdds 剪力圖上某點處的切線斜率剪力圖上某點處的切線斜率等于該點處荷載集度的大小。等于該點處荷載集度的大小。 q(x)M(x)+d M(x)Fs(x)M(x)dxAy, 0)(iAFm)(d)(dxFxxMs 彎矩圖上某點處的切彎矩圖上某點處的切線斜率等于該點處剪力的線斜率等于該點處剪力的大小。大小。)(d)(d22xqxxM0)(d(21)()d(-)(d)(2xxqxMxxFxMxMsFs(

16、x)+dFs (x) xqxxFdds)(d)(dxFxxMs)(d)(d22xqxxMq、Fs和和M三者三者的微分關系的微分關系載荷集度、剪力和彎矩關系：載荷集度、剪力和彎矩關系：22( )( )( )SdF xd M xq xdxdx1.1. q q0 0，F Fs s= =常數，常數， 剪力圖為直線剪力圖為直線, ,彎彎矩圖為斜直線。矩圖為斜直線。2.q2.q常數，剪力圖常數，剪力圖為斜直線，彎矩為斜直線，彎矩圖為拋物線。圖為拋物線。3.3. 剪力剪力F FQ Q=0=0處，彎矩取極值或駐點。大小可用（無集處，彎矩取極值或駐點。大小可用（無集中力偶）一側中力偶）一側Q Q圖面積的代數和計

17、算。（左側面積或圖面積的代數和計算。（左側面積或右側面積的相反數）右側面積的相反數）載荷集度、剪力和彎矩間的關系載荷集度、剪力和彎矩間的關系目錄q下雨下雨池塘池塘Fs 圖：圖：M圖：圖：Fs圖：圖：M圖：圖： 從左到右，向上集中力作用處，剪力圖從左到右，向上集中力作用處，剪力圖向上向上突變，突變幅度為集中力的大小。彎矩圖在該處突變，突變幅度為集中力的大小。彎矩圖在該處為尖點。反之亦然。為尖點。反之亦然。 從左到右，順時針集中力偶作用處，從左到右，順時針集中力偶作用處，彎彎矩圖向矩圖向M M正向突變，突變幅度為集中力偶的大正向突變，突變幅度為集中力偶的大小。小。剪力圖剪力圖在該點沒有變化。反之亦

18、然。在該點沒有變化。反之亦然。 4 4、集中力、集中力 5、集中力偶、集中力偶u 剪力圖按橫向力走向可直接畫剪力圖按橫向力走向可直接畫u 彎矩圖的段端值可用剪力圖面積計算彎矩圖的段端值可用剪力圖面積計算確定剪力、確定剪力、 彎矩圖上各點處的數值。彎矩圖上各點處的數值。 ddsMFx2211sddxxxxMF x2121sxxM xM xA FsddFqx2211ddxxsxxFq x 2121xssxFxFxA q載荷集度、剪力和彎矩間的積分關系載荷集度、剪力和彎矩間的積分關系12xx區間)(xqP0Mx從左向右從左向右從右向左從右向左 2112xssxFxFxA q2112sxxM xM x

19、A F利用剪力、彎矩與分布荷載間積分關系利用剪力、彎矩與分布荷載間積分關系定值定值 梁上任意兩截面的剪力差等于兩截面間載荷圖梁上任意兩截面的剪力差等于兩截面間載荷圖所包圍的面積所包圍的面積 梁上任意兩截面的彎矩差等于兩截面間剪力圖所梁上任意兩截面的彎矩差等于兩截面間剪力圖所包圍的面積包圍的面積積分關系積分關系: :控制點控制點: :端點、分段點（外力變化點）和駐點（極值點）等端點、分段點（外力變化點）和駐點（極值點）等。三、簡易法作內力圖：三、簡易法作內力圖： 利用微分關系定形，利用特殊點的內力值來定值利用微分關系定形，利用特殊點的內力值來定值 利用積分關系定值利用積分關系定值 基本步驟： 1

20、、確定梁上所有外力（求支座反力）； 2、分段 3、利用微分規律判斷梁各段內力圖的形狀； 4、確定控制點內力的數值大小及正負； 5、畫內力圖。左端點：剪力圖有突變，突變值左端點：剪力圖有突變，突變值 等于集中力的大小。等于集中力的大小。右端點：彎矩圖有突變，突變值等于集中力偶的大小。右端點：彎矩圖有突變，突變值等于集中力偶的大小。qaxaaqaq解解：1、確定支反力（可省略）、確定支反力（可省略）AB：BC：2、畫內力圖、畫內力圖Fym223; 0qamFYABCsFxsFsF, ,0qaqaFcs,qaFAs右右；, 0qq 0,；M,2qaMB, 0AM;5 . 12qaMC,qaFBsMq

21、a2(Fs 0, 所以所以Fs圖向正方向斜圖向正方向斜)( 積分關系積分關系FsB=FsA+0)MC= MB+(-1/2qa a)= qa2 1/2 qa2MB= MA+(-qa a)=0-qa2 )M;5 . 12qa例例畫組合梁的剪力與彎矩圖畫組合梁的剪力與彎矩圖組合梁組合梁, ,需拆開需拆開, ,以分析梁的受力以分析梁的受力2FFFCyAy 23FFDy 23FaMD 1. 受力分析受力分析特點特點：鉸鏈傳力不傳力偶矩，：鉸鏈傳力不傳力偶矩，與鉸相連與鉸相連的兩橫截面上的兩橫截面上, M = 0 , FS 不一定為零不一定為零2. 畫畫 FS 圖圖水平直線水平直線3. 畫畫 M 圖圖直線直線23maxSFF 23maxFaM MFa/2-Fa/23Fa/2aaqABaa解解 （一）求支座反力（一）求支座反力 由平衡條件得：由平