1、精選優質文檔-傾情為你奉上第十講 導數題的解題技巧【命題趨向】導數命題趨勢：綜觀2007年全國各套高考數學試題，我們發現對導數的考查有以下一些知識類型與特點：（1）多項式求導（結合不等式求參數取值范圍）,和求斜率（切線方程結合函數求最值）問題.（2）求極值, 函數單調性,應用題,與三角函數或向量結合.分值在12-17分之間，一般為1個選擇題或1個填空題，1個解答題.【考點透視】1了解導數概念的某些實際背景（如瞬時速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等）；掌握函數在一點處的導數的定義和導數的幾何意義；理解導函數的概念2熟記基本導數公式；掌握兩個函數和、差、積、商的求導法則了解復合函數的求導法則，會求

2、某些簡單函數的導數3理解可導函數的單調性與其導數的關系；了解可導函數在某點取得極值的必要條件和充分條件（導數在極值點兩側異號）；會求一些實際問題（一般指單峰函數）的最大值和最小值【例題解析】考點1 導數的概念對概念的要求：了解導數概念的實際背景，掌握導數在一點處的定義和導數的幾何意義，理解導函數的概念. 例1（2007年北京卷）是的導函數，則的值是考查目的 本題主要考查函數的導數和計算等基礎知識和能力.解答過程 故填3.例2. ( 2006年湖南卷）設函數,集合M=,P=,若MP,則實數a的取值范圍是 ( ) A.(-,1) B.(0,1) C.(1,+) D. 1,+)考查目的本題主要考查函

3、數的導數和集合等基礎知識的應用能力.解答過程由綜上可得MP時, 考點2 曲線的切線（1）關于曲線在某一點的切線求曲線y=f(x)在某一點P（x,y）的切線，即求出函數y=f(x)在P點的導數就是曲線在該點的切線的斜率.（2）關于兩曲線的公切線 若一直線同時與兩曲線相切，則稱該直線為兩曲線的公切線.典型例題例3.（2007年湖南文）已知函數在區間，內各有一個極值點（I）求的最大值；（II）當時，設函數在點處的切線為，若在點處穿過函數的圖象（即動點在點附近沿曲線運動，經過點時，從的一側進入另一側），求函數的表達式思路啟迪：用求導來求得切線斜率.解答過程：（I）因為函數在區間，內分別有一個極值點，所

4、以在，內分別有一個實根，設兩實根為（），則，且于是，且當，即，時等號成立故的最大值是16（II）解法一：由知在點處的切線的方程是，即，因為切線在點處空過的圖象，所以在兩邊附近的函數值異號，則不是的極值點而，且若，則和都是的極值點所以，即，又由，得，故解法二：同解法一得因為切線在點處穿過的圖象，所以在兩邊附近的函數值異號，于是存在（）當時，當時，；或當時，當時，設，則當時，當時，；或當時，當時，由知是的一個極值點，則，所以，又由，得，故例4.（2006年安徽卷）若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（ ）A B C D考查目的本題主要考查函數的導數和直線方程等基礎知識的應用能力.解答過程與直線垂

5、直的直線為，即在某一點的導數為4，而，所以在(1，1)處導數為4，此點的切線為.故選A.例5 ( 2006年重慶卷)過坐標原點且與x2+y2 -4x+2y+=0相切的直線的方程為 ( )A.y=-3x或y=x B. y=-3x或y=-x C.y=-3x或y=-x D. y=3x或y=x 考查目的本題主要考查函數的導數和圓的方程、直線方程等基礎知識的應用能力.解答過程解法1：設切線的方程為又故選A.解法2:由解法1知切點坐標為由故選A.例6.已知兩拋物線, 取何值時，有且只有一條公切線，求出此時公切線的方程.思路啟迪：先對求導數.解答過程：函數的導數為，曲線在點P()處的切線方程為，即 曲線在點

6、Q的切線方程是即 若直線是過點P點和Q點的公切線，則式和式都是的方程，故得，消去得方程， 若=，即時，解得，此時點P、Q重合.當時，和有且只有一條公切線，由式得公切線方程為 .考點3 導數的應用中學階段所涉及的初等函數在其定義域內都是可導函數，導數是研究函數性質的重要而有力的工具，特別是對于函數的單調性，以“導數”為工具，能對其進行全面的分析，為我們解決求函數的極值、最值提供了一種簡明易行的方法，進而與不等式的證明，討論方程解的情況等問題結合起來，極大地豐富了中學數學思想方法.復習時，應高度重視以下問題:1. 求函數的解析式; 2. 求函數的值域; 3.解決單調性問題; 4.求函數的極值（最值

7、）;5.構造函數證明不等式.典型例題例7（2006年天津卷）函數的定義域為開區間，導函數在內的圖象如圖所示，則函數在開區間內有極小值點（）A1個 B2個 C3個D 4個考查目的本題主要考查函數的導數和函數圖象性質等基礎知識的應用能力.解答過程由圖象可見,在區間內的圖象上有一個極小值點.故選A.例8 .（2007年全國一）設函數在及時取得極值（）求a、b的值；（）若對于任意的，都有成立，求c的取值范圍思路啟迪：利用函數在及時取得極值構造方程組求a、b的值解答過程：（），因為函數在及取得極值，則有，即解得，（）由（）可知，當時，；當時，；當時，所以，當時，取得極大值，又，則當時，的最大值為因為對于

8、任意的，有恒成立，所以，解得或，因此的取值范圍為例9.函數的值域是_.思路啟迪：求函數的值域，是中學數學中的難點，一般可以通過圖象觀察或利用不等式性質求解，也可以利用函數的單調性求出最大、最小值。此例的形式結構較為復雜，采用導數法求解較為容易。解答過程：由得，即函數的定義域為.，又，當時，函數在上是增函數，而，的值域是.例10（2006年天津卷）已知函數，其中為參數，且（1）當時，判斷函數是否有極值；（2）要使函數的極小值大于零，求參數的取值范圍；（3）若對（2）中所求的取值范圍內的任意參數，函數在區間內都是增函數，求實數的取值范圍考查目的本小題主要考查運用導數研究三角函數和函數的單調性及極值

9、、解不等式等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力，以及分類討論的數學思想方法.解答過程（）當時，則在內是增函數，故無極值.（），令，得.由（），只需分下面兩種情況討論. 當時，隨x的變化的符號及的變化情況如下表：x0+0-0+極大值極小值因此，函數在處取得極小值，且.要使，必有，可得.由于，故.當時，隨x的變化，的符號及的變化情況如下表：+0-0+極大值極小值因此，函數處取得極小值，且若，則.矛盾.所以當時，的極小值不會大于零.綜上，要使函數在內的極小值大于零，參數的取值范圍為.（III）解：由（II）知，函數在區間與內都是增函數。由題設，函數內是增函數，則a須滿足不等式組 或 由（II），

10、參數時時，.要使不等式關于參數恒成立，必有，即.綜上，解得或.所以的取值范圍是.例11(2006年山東卷)設函數f(x)=ax(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的單調區間.考查目的本題考查了函數的導數求法,函數的極值的判定,考查了應用數形結合的數學思想分析問題解決問題的能力解答過程由已知得函數的定義域為，且（1）當時，函數在上單調遞減，（2）當時，由解得、隨的變化情況如下表0+極小值從上表可知當時，函數在上單調遞減.當時，函數在上單調遞增.綜上所述：當時，函數在上單調遞減.當時，函數在上單調遞減，函數在上單調遞增.例12（2006年北京卷）已知函數在點處取得極大值，其導函數的圖象

11、經過點，如圖所示.求：（）的值；（）的值.考查目的本小題考查了函數的導數,函數的極值的判定,閉區間上二次函數的最值, 函數與方程的轉化等基礎知識的綜合應用,考查了應用數形結合的數學思想分析問題解決問題的能力解答過程解法一：（）由圖像可知，在上，在上，在上,故在上遞增，在上遞減，因此在處取得極大值，所以（）由得解得解法二：（）同解法一（）設又所以由即得所以例13（2006年湖北卷）設是函數的一個極值點.（）求與的關系式（用表示），并求的單調區間；（）設，.若存在使得成立，求的取值范圍.考查目的本小題主要考查函數、不等式和導數的應用等知識，考查綜合運用數學知識解決問題的能力.解答過程（）f (x)

12、x2(a2)xba e3x,由f (3)=0，得 32(a2)3ba e330，即得b32a，則 f (x)x2(a2)x32aa e3xx2(a2)x33a e3x(x3)(xa+1)e3x.令f (x)0，得x13或x2a1，由于x3是極值點，所以x+a+10，那么a4.當a<4時，x2>3x1，則在區間（，3）上，f (x)<0， f (x)為減函數；在區間（3，a1）上，f (x)>0，f (x)為增函數；在區間（a1，）上，f (x)<0，f (x)為減函數.當a>4時，x2<3x1，則在區間（，a1）上，f (x)<0， f (x)為

13、減函數；在區間（a1，3）上，f (x)>0，f (x)為增函數；在區間（3，）上，f (x)<0，f (x)為減函數.（）由（）知，當a>0時，f (x)在區間（0，3）上的單調遞增，在區間（3，4）上單調遞減，那么f (x)在區間0，4上的值域是min(f (0)，f (4) )，f (3)，而f (0)（2a3）e3<0，f (4)（2a13）e1>0，f (3)a6，那么f (x)在區間0，4上的值域是（2a3）e3，a6.又在區間0，4上是增函數，且它在區間0，4上的值域是a2，（a2）e4，由于（a2）（a6）a2a（）20，所以只須僅須（a2）（a6

14、）<1且a>0，解得0<a<.故a的取值范圍是（0，）.例14 （2007年全國二）已知函數在處取得極大值，在處取得極小值，且（1）證明；（2）若z=a+2b,求z的取值范圍。解答過程求函數的導數（）由函數在處取得極大值，在處取得極小值，知是的兩個根所以當時，為增函數，由，得（）在題設下，等價于即化簡得此不等式組表示的區域為平面上三條直線：所圍成的的內部，其三個頂點分別為：ba2124O在這三點的值依次為所以的取值范圍為小結：本題的新穎之處在把函數的導數與線性規劃有機結合考點4 導數的實際應用建立函數模型,利用典型例題例15. （2007年重慶文）用長為18 cm的鋼條

15、圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2：1，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？考查目的本小題主要考查函數、導數及其應用等基本知識，考查運用數學知識分析和解決實際問題的能力.解答過程設長方體的寬為x（m），則長為2x(m)，高為.故長方體的體積為從而令V（x）0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.當0x1時，V（x）0；當1x時，V（x）0，故在x=1處V（x）取得極大值，并且這個極大值就是V（x）的最大值。從而最大體積VV（x）9×12-6×13（m3），此時長方體的長為2 m，高為1.5 m.答：當長方體的長為2 m時，寬為

16、1 m，高為1.5 m時，體積最大，最大體積為3 m3。例16（2006年福建卷）統計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量（升）關于行駛速度（千米/小時）的函數解析式可以表示為：已知甲、乙兩地相距100千米.（I）當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？（II）當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？考查目的本小題主要考查函數、導數及其應用等基本知識，考查運用數學知識分析和解決實際問題的能力.解答過程（I）當時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，要耗沒（升）.答：當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升。（II）

17、當速度為千米/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，設耗油量為升，依題意得令得當時，是減函數；當時，是增函數.當時，取到極小值因為在上只有一個極值，所以它是最小值.答：當汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升.【專題訓練與高考預測】一、選擇題1. y=esinxcos(sinx)，則y(0)等于( )A.0B.1C.1D.22.經過原點且與曲線y=相切的方程是( )A.x+y=0或+y=0B.xy=0或+y=0C.x+y=0或y=0D.xy=0或y=03.設f(x)可導，且f(0)=0,又=1,則f(0)( )A.可能不是f(x)的極值B.一定是f(x)的

18、極值C.一定是f(x)的極小值D.等于04.設函數fn(x)=n2x2(1x)n(n為正整數)，則fn(x)在0,1上的最大值為( )A.0B.1C. D.5、函數y=(x2-1)3+1在x=-1處( )A、 有極大值 B、無極值 C、有極小值 D、無法確定極值情況6.f(x)=ax3+3x2+2，f(-1)=4，則a=( )A、 B、 C、 D、7.過拋物線y=x2上的點M（）的切線的傾斜角是( )A、300 B、450 C、600 D、9008.函數f(x)=x3-6bx+3b在（0，1）內有極小值，則實數b的取值范圍是( )A、（0，1） B、（-，1） C、（0，+） D、（0，）9.

19、函數y=x3-3x+3在上的最小值是( )A、 B、1 C、 D、510、若f(x)=x3+ax2+bx+c，且f(0)=0為函數的極值，則( )A、c0 B、當a>0時，f(0)為極大值C、b=0 D、當a<0時，f(0)為極小值11、已知函數y=2x3+ax2+36x-24在x=2處有極值，則該函數的一個遞增區間是( )A、（2，3） B、（3，+）C、（2，+）D、（-，3）12、方程6x5-15x4+10x3+1=0的實數解的集合中( )A、至少有2個元素 B、至少有3個元素 C、至多有1個元素 D、恰好有5個元素二、填空題13.若f(x0)=2, =_.14.設f(x)=

20、x(x+1)(x+2)(x+n),則f(0)=_.15.函數f(x)=loga(3x2+5x2)(a0且a1)的單調區間_.16.在半徑為R的圓內，作內接等腰三角形，當底邊上高為_時它的面積最大.三、解答題17.已知曲線C：y=x33x2+2x,直線l:y=kx,且l與C切于點(x0,y0)(x00)，求直線l的方程及切點坐標.18.求函數f(x)=p2x2(1-x)p(pN+)，在0，1內的最大值.19.證明雙曲線xy=a2上任意一點的切線與兩坐標軸組成的三角形面積等于常數.20.求函數的導數(1)y=(x22x+3)e2x;(2)y=.21.有一個長度為5 m的梯子貼靠在筆直的墻上，假設其

21、下端沿地板以3 m/s的速度離開墻腳滑動，求當其下端離開墻腳1.4 m時，梯子上端下滑的速度.22.求和Sn=12+22x+32x2+n2xn1,(x0,nN*).23.設f(x)=ax3+x恰有三個單調區間，試確定a的取值范圍，并求其單調區間.24.設x=1與x=2是函數f(x)=alnx+bx2+x的兩個極值點.(1)試確定常數a和b的值；(2)試判斷x=1,x=2是函數f(x)的極大值還是極小值，并說明理由.25.已知a、b為實數，且bae,其中e為自然對數的底，求證：abba.26.設關于x的方程2x2ax2=0的兩根為、(),函數f(x)=.(1)求f()·f()的值；(2

22、)證明f(x)是，上的增函數；(3)當a為何值時，f(x)在區間，上的最大值與最小值之差最小？【參考答案】一、1.解析：y=esinxcosxcos(sinx)cosxsin(sinx),y(0)=e0(10)=1.答案：B2.解析：設切點為(x0,y0),則切線的斜率為k=,另一方面，y=()=,故y(x0)=k,即或x02+18x0+45=0得x0(1)=3,y0(2)=15,對應有y0(1)=3,y0(2)=,因此得兩個切點A(3，3)或B(15,),從而得y(A)= =1及y(B)= ,由于切線過原點，故得切線：lA:y=x或lB:y=.答案：A3.解析：由=1,故存在含有0的區間(a

23、,b)使當x(a,b),x0時0,于是當x(a,0)時f(0)0,當x(0,b)時，f(0)0,這樣f(x)在(a,0)上單增，在(0,b)上單減.答案：B4.解析：fn(x)=2xn2(1x)nn3x2(1x)n-1=n2x(1x)n-12(1x)nx,令fn(x)=0,得x1=0,x2=1,x3=,易知fn(x)在x=時取得最大值，最大值fn()=n2()2(1)n=4·()n+1.答案：D5、B 6、A 7、B 8、D 9、B 10、C 11、B 12、C二、13.解析：根據導數的定義：f(x0)=(這時)答案：114.解析：設g(x)=(x+1)(x+2)(x+n),則f(x

24、)=xg(x),于是f(x)=g(x)+xg(x),f(0)=g(0)+0·g(0)=g(0)=1·2·n=n！答案：n!15.解析：函數的定義域是x或x2,f(x)=.(3x2+5x2)=,若a1,則當x時，logae0,6x+50,(3x1)(x+2)0,f(x)0,函數f(x)在(,+)上是增函數，x2時，f(x)0.函數f(x)在(,2)上是減函數.若0a1,則當x時，f(x)0,f(x)在(,+)上是減函數，當x2時，f(x)0,f(x)在(,2)上是增函數.答案：(,2)16.解析：設圓內接等腰三角形的底邊長為2x,高為h，那么h=AO+BO=R+,解

25、得x2=h(2Rh),于是內接三角形的面積為S=x·h=從而.令S=0,解得h=R,由于不考慮不存在的情況，所在區間(0,2R)上列表如下：h(0, R)R(,2R)S+0S增函數最大值減函數由此表可知，當x=R時，等腰三角形面積最大.答案：R三、17. 解：由l過原點，知k=(x00),點(x0,y0)在曲線C上，y0=x033x02+2x0,=x023x0+2,y=3x26x+2,k=3x026x0+2又k=,3x026x0+2=x023x0+2,2x023x0=0,x0=0或x0=.由x0,知x0=,y0=()33()2+2·=.k=.l方程y=x 切點(，).18.

26、 ,令f(x)=0得，x=0，x=1，x= ,在0，1上，f(0)=0，f(1)=0， . .19.設雙曲線上任一點P（x0，y0）, , 切線方程 ,令y=0，則x=2x0 令x=0，則 . .20.解：(1)注意到y0,兩端取對數，得lny=ln(x22x+3)+lne2x=ln(x22x+3)+2x, (2)兩端取對數，得ln|y|=(ln|x|ln|1x|),兩邊解x求導，得21.解：設經時間t秒梯子上端下滑s米,則s=5,當下端移開1.4 m時，t0=,又s= (259t2)·(9·2t)=9t,所以s(t0)=9×=0.875(m/s).22.解：(1)當x