1、簡單數學簡單愛，數學讓我更精彩；有限時間，有限精力，有限題目，無限能力必修五專題八：基本不等式及其應用一知識結構(博聞強記，是一項很強的能力). a bI.JOb蘭(aO，bO)，當且僅當時，等號成立.2其中 -一b和 ab分別稱為正數 a， b的和22基本不等式的重要變形：2 2a b -(a， b R) = ab ；(a，ab 蘭b2a b2第-1 -頁簡單數學簡單愛，數學讓我更精彩；有限時間，有限精力，有限題目，無限能力第-# -頁簡單數學簡單愛，數學讓我更精彩；有限時間，有限精力，有限題目，無限能力經典例題：下列不等式在 a、b>0時一定成立的是 (1)a b2、2、ab w2a

2、ba ba b a2b22 22ab a ba2b22ab w a2 b2a b l 2第-# -頁簡單數學簡單愛，數學讓我更精彩；有限時間，有限精力，有限題目，無限能力3. 均值定理已知x，r R ，則：(1 )若x + y = S (和為定值)，則當x = y時，積xy取得最_(2)若x y = P (積為定值)，則當x = y時，和x y取得最利用基本不等式求最值時，要注意變量是否為正，和或積是否為定值，等號是否成立, 以及添項、拆項的技巧，以滿足均基本不等式的條件。二.題型選編(熟能生巧,在有限時間內提咼解題效率的最佳方法) 題組一：利用不等式求最值例1：求下列各題的最值：4(1) x

3、 3，求f (x)x的最小值；x 35(2) x R，求 f (x)二 sin2 x V 2的最小值；sin x +14(3) 0 . x ，求 f (x) = x(43x)的最大值；319(4) 已知x 0,y0,且1 ,求x y的最小值。x y變式練習：1設a,bR，且a b =3，則2a - 2b的最小值是A .6B . 4 2C .2 2D .2 62 .下列不等式中恒成立的是X221x2 4-2 D .4A .、2 B . x2C .2 - 3x - 2x2 2x.x2 5x3 .下列結論正確的是A1.當x0且x屮1時,lg x -2B.當x 0時， x12lg xxC .1當x 一

4、 2時,x的最小值為2D.當 0 ：x三2時,x1無最大值xx4. 若x, y是正實數，則(x y)(1 - 4)的最小值為x yA. 6B.9C.12D.155. 若正數a、b滿足ab = a b 3，則a - b的取值范圍是A. 9, ：)B. 6, ：) C. (0,9D. (0,6)6. 設目 R，且4y2 4xy x 0，則x的取值范圍是A . -3_x_3 B . -2_x_3 C . x _-2 或 x_3 D . x _-3 或 x_27 .下列函數中最小值是4的是丄4丄4A .y =x B . y - sin xxsin xC .y m21 x212 1D . y=x23,

5、x=0X2 +1&若關于x的方程9x(4 a) 3x0有解，則實數a的取值范圍是A .(-二，-8 0,B .(-二，-4 C . (-8,4 D . (-：，-89.已知x 5，41則函數y =4x -2的最大值4x510 .已知a 2，a2 -2a 1a -2a ' '4 a -2 r r，q =2則第-3 -頁簡單數學簡單愛，數學讓我更精彩；有限時間，有限精力，有限題目，無限能力C . p -qD . Pqb . p ：qx 411 .已知函數f(x) =lg(5 m)的值域為R,貝U m的取值范圍是(5A. (-4, ：) B.-4, ：) C. (-：，-4)

6、D.第-# -頁簡單數學簡單愛，數學讓我更精彩；有限時間，有限精力，有限題目，無限能力1 112設 x,y R,a 1,b 1，若ax 二 by =3 , a 2.3，則 的最大值為 。x y13.若 a> b> 1，p = . Ig a Igb，Q= ； Ig a lg b ，r= lg !），貝V p、Q、r 的大小關系是 ； 題組二：利用基本不等式解應用題例2:某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為162平方米的 三級污水處理池，池的深度一定（平面圖如圖所示）, 如果池四周圍墻建造單價為400元/米，中間兩道隔墻建造單價為248元/米，池底建造單價為80元/平方米，水池所有墻

7、 的厚度忽略不計（1）試設計污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價；（2） 若由于地形限制，該池的長和寬都不能超過16米，試設計污水池的長和寬，使總造價 最低，并求出最低總造價變式練習：1某汽車運輸公司，購買了一批豪華大客車投入營運，據市場分析每輛客車營運的總利潤y （單位：10萬元）與營運年數 x的函數關系為y =-（X - 6）2 11（xN ）,則每輛客 車營運多少年，其運營的年平均利潤最大 2.批貨物隨17列貨車從A市以v km/h的速度勻速直達 B市。已知兩地鐵路線長 400V 2km，為了安全，兩列貨車的間距不得小于（一）2km （貨車長度忽略不計），那么這批貨物20全

8、部運到B市最快需要多少小時？3某商場的某種商品的年進貨量為 1萬件，分若干次進貨，每次進貨的量相同，且需 運費100元，運來的貨物除出售外， 還需租倉庫存放，一年的租金按一次進貨時的一半來計 算，每件2元，為使一年的運費和租金最省，每次進貨量應為 4. 某單位建造一間地面面積為 12m2的背面靠墻的矩形小房， 由于地理位置的限制， 房 子側面的長度x不得超過a米，房屋正面的造價為 400元/m2,房屋側面的造價為150元/m2, 屋頂和地面的造價費用合計為 5800元，如果墻高為3m，且不計房屋背面的費用.（1）把房屋總造價 y表示成x的函數，并寫出該函數的定義域；（2）當側面的長度為多少時，

9、總造價最底？最低總造價是多少？25. 某校要建一個面積為 392 m的長方形游泳池，并且在四周要修建出寬為2n和4 m的 小路（如圖所示）。問游泳池的長和寬分別為多少米時，占地面積最小？并求出占地面積的最小值。6 經過長期觀測得到：在交通繁忙的時段內，某公路段汽車的車流量y (千輛/小時)與汽車的平均速度：(千米/小時)之間的函數關系為： y二2 920( . 0)。u2 +3u +1600(1) 在該時段內，當汽車的平均速度：為多少時，車流量最大？最大車流量為多少？(精 確到0.1千輛/小時)(2) 若要求在該時段內車流量超過 10千輛/小時，則汽車站的平均速度應在什么范圍內？7如圖所示，將

10、一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花園 AMPN，要求B在AM 上, D在AN上，且對角線 MN過C點，已知AB=3米，AD=2米，(1) 要使矩形 AMPN的面積大于32平方米，則 AN的長應在什么范圍內？(2) 當AN的長度是多少時，矩形 AMPN的面積最小？并求最小面積；(3) 若AN的長度不少于6米，則當AN的長度是多少時，矩形 AMPN的面積最小？并求 出最小面積.8 .某單位決定投資3200元建一倉庫(長方體狀)，高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢， 正面用鐵柵，每米長造價 40元，兩側墻砌磚，每米長造價45元，頂部每平方米造價20元，求：(1 )倉庫面積S的最大允許值是多少？(2)為使S達到最大，而實際投資又不超過預算，那么正面鐵柵應設計為多長？&解：設鐵柵長為 x米，一堵磚墻長為 y米，則頂部面積為 S = xy依題設，40x2 45y 20xy =3200，由基本不等式得320