1、全國2012年10月概率論與數理統計（經管類）真題與解析一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其選出并將“答題紙”的相應代碼涂黑。錯涂、多涂或未涂均無分。1.已知事件A，B，AB的概率分別為0.5，0.4，0.6，則P（A）=A.0.1 B.0.2C.0.3 D.0.5【答案】B【解析】因為，所以，而，所以，即；又由集合的加法公式P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB）=0.5+0.4-0.6=0.3，所以0.50.30.2，故選擇B.快解 用Venn圖可以很快得到答案：【提示】1. 本題涉及集合的運算性質：（i）交換

2、律：AB=BA,AB=BA；（ii）結合律：（AB）C=A（BC）,（AB）C=A（BC）；（iii）分配律：（AB）C=（AC）（BC）， （AB）C=（AC）（BC）；（iv）摩根律（對偶律）,.2.本題涉及互不相容事件的概念和性質：若事件A與B不能同時發生，稱事件A與B互不相容或互斥，可表示為AB，且P（AB）=P（A）+P（B）.3.本題略難，如果考試時遇到本試題的情況，可先跳過此題，有剩余時間再考慮。2.設F（x）為隨機變量X的分布函數，則有A.F（-）=0，F（+）=0 B.F（-）=1，F（+）=0C.F（-）=0，F（+）=1 D.F（-）=1，F（+）=1【答案】C【解析】根

3、據分布函數的性質，選擇C。【提示】分布函數的性質： 0F（x）1； 對任意x1，x2（x1<x2），都有Px1<Xx2=F（x2）-F（x1）； F（x）是單調非減函數； ，； F（x）右連續； 設x為f（x）的連續點，則F（x）存在，且F（x）=f（x）.3.設二維隨機變量（X，Y）服從區域D：x2+y21上的均勻分布，則（X，Y）的概率密度為A.f（x，y）=1 B.C.f（x，y）=D.【答案】D【解析】由課本p68，定義36：設D為平面上的有界區域，其面積為S且S>0. 如果二維隨機變量（X,Y）的概率密度為，則稱（X,Y）服從區域D上的均勻分布. 本題x2+y21為

4、圓心在原點、半徑為1的圓，包括邊界，屬于有界區域，其面積S=，故選擇D.【提示】課本介紹了兩種二維連續型隨機變量的分布：均勻分布和正態分布，注意它們的定義。若（X,Y）服從二維正態分布，表示為（X,Y）.4.設隨機變量X服從參數為2的指數分布，則E（2X1）=A.0 B.1C.3 D.4【答案】A【解析】因為隨機變量X服從參數為2的指數分布，即=2，所以；又根據數學期望的性質有 E（2X-1）=2E（X）-1=1-1=0，故選擇A.【提示】1.常用的六種分布（1）常用離散型隨機變量的分布：X01概率qpA. 兩點分布 分布列 數學期望：E（X）=P 方差：D（X）=pq。B. 二項分布：XB（

5、n,p） 分布列：，k=0，1，2，n； 數學期望：E（X）=np 方差：D（X）=npqC. 泊松分布：XP（） 分布列：，k=0，1，2， 數學期望：E（X）= 方差：D（X）（2） 常用連續型隨機變量的分布 A.均勻分布：XUa,b 密度函數：, 分布函數：， 數學期望：E（X）, 方差：D（X）.指數分布：XE（） 密度函數：, 分布函數：， 數學期望：E（X）, 方差：D（X）.C.正態分布（A）正態分布：XN（,2） 密度函數：，<x< 分布函數： 數學期望：E（X）, 方差：D（X）2， 標準化代換： 若XN（,2），則YN（0,1）.（B）標準正態分布：XN（0,1

6、） 密度函數：，<x< 分布函數：，<x< 數學期望：E（X）0, 方差：D（X）1.2. 數學期望的性質 E（c）=c，c為常數； E（aX）=aE（X），a為常數； E（X+b）=E（X）+b，b為常數； E（aX+b）=aE（X）+b，a，b為常數。5.設二維隨機變量（X，Y）的分布律則D（3X）=A. B.2C.4 D.6【答案】B【解析】由已知的分布律，X的邊緣分布律為X12P2/31/3則，；根據方差的性質有 D（3X）=9D（X）=2，故選擇B.【提示】（1）離散型隨機變量的方差：定義式: ；計算式：D（X）=E（X）2-E（X）2（2）方差的性質 D（c

7、=0），c為常數； D（aX）=a2D（X），a為常數； D（X）+b）=D（X），b為常數； D（aX+b）=a2D（X），a，b為常數。6.設X1，X2，Xn為相互獨立同分布的隨機變量序列，且E（X1）=0，D（X1）=1，則A.0 B.0.25C.0.5 D.1【答案】C【解析】不等式等價于不等式，由獨立同分布序列的中心極限定理，代入=0，=1，則故選擇C.【提示】獨立同分布序列的中心極限定理：（課本P120，定理54）：設X1，X2，Xn，是獨立同分布的隨機變量序列，且具有相同的數學期望和方差E（Xi）=，D（Xi）=2（i1，2，）.記隨機變量的分布函數為Fn（x），則對于任意實數x

8、，有，其中（x）為標準正態分布的分布函數。應用：不論X1，X2，Xn，服從什么分布，當n充分大時，（1）近似服從正態分布；（2）近似服從正態分布，其中，D（Xi）=2（i1，2，）。（2）對于大數定律與中心極限定理，除了清楚條件和結論外，更重要的是理解它們所回答的問題，以及在實際中的應用。（課本P118，看書講解）7.設x1,x2，xn為來自總體N（，2）的樣本，2是未知參數，則下列樣本函數為統計量的是A.B.C.D.【答案】D【解析】根據統計量定義，選擇D。【提示】課本p132，定義61：設x1,x2,xn為取自某總體的樣本，若樣本函數T=T（x1,x2,xn）中包含任何未知參數，則稱T為統

9、計量. 8.對總體參數進行區間估計，則下列結論正確的是A.置信度越大，置信區間越長 B.置信度越大，置信區間越短C.置信度越小，置信區間越長 D.置信度大小與置信區間長度無關【答案】D【解析】選項A，B，C不正確，只能選擇D。【提示】置信區間長度的增大或減小不僅與置信度有關，還與樣本容量有關，其中的規律是：在樣本容量固定的情況下，置信度增大，置信區間長度增大，區間估計的精度降低；置信度減小，置信區間長度減小，區間估計的精度提高。9.在假設檢驗中，H0為原假設，H1為備擇假設，則第一類錯誤是A.H1成立，拒絕H0 B.H0成立，拒絕H0C.H1成立，拒絕H1 D.H0成立，拒絕H1【答案】B【解

10、析】假設檢驗中可能犯的錯誤為：第一類錯誤，也稱“拒真錯誤”；第二類錯誤，也稱“取偽錯誤”。無論“拒真”還是“取偽”，均是針對原假設而言的。故選擇B。【提示】（1）假設檢驗全稱為“顯著性水平為的顯著性檢驗”，其顯著性水平為犯第一類錯誤的概率；而對于犯第二類錯誤的概率沒有給出求法；（2）當樣本容量固定時，減小犯第一類錯誤的概率，就會增大犯第二類錯誤的概率；如果同時減小犯兩類錯誤的概率，只有增加樣本容量。10.設一元線性回歸模型：且各i相互獨立.依據樣本（xi,yi）（i=1,2,n）得到一元線性回歸方程，由此得xi對應的回歸值為，yi的平均值，則回歸平方和S回為A. B. C. D. 【答案】C【

11、解析】根據回歸平方和的定義，選擇C。【提示】1. 根據回歸方程的的求法，任何一組樣本觀察值都可以得到一個回歸方程；2.在回歸方程的顯著性檢驗的F檢驗法（課本p188）中，要檢驗所求回歸方程是否有意義，必須分析yi隨xi變化而產生的偏離回歸直線的波動的原因。為此，選擇了一個不變值yi的平均值為基準，總偏差為此式稱為平方和分解式。可知，S回反映了觀察值yi受到隨機因素影響而產生的波動，S回反映了觀察值yi偏離回歸直線的程度。所以，若回歸方程有意義，則S回盡可能大，S剩盡可能小。非選擇題部分二、填空題（本大題共15小題，每小題2分，共30分）11.設甲、乙兩人獨立地向同一目標射擊，甲、乙擊中目標的概

12、率分別為0.8，0.5，則甲、乙兩人同時擊中目標的概率為_.【答案】0.4【解析】設A，B分別表示甲、乙兩人擊中目標的兩事件，已知A，B相互獨立，則P（AB）=P（A）P（B）=0.8×0.50.4故填寫0.4.【提示】二事件的關系（1）包含關系：如果事件A發生必然導致事件B發生，則事件B包含事件A，記做；對任何事件C，都有，且0P（C）1；（2）相等關系：若且，則事件A與B相等，記做AB，且P（A）=P（B）；（3） 互不相容關系：若事件A與B不能同時發生，稱事件A與B互不相容或互斥，可表示為AB=，且P（AB）=0；（4）對立事件：稱事件“A不發生”為事件A的對立事件或逆事件，記

13、做；滿足且.顯然：；，.（5）二事件的相互獨立性：若P（AB）=P（A）P（B）, 則稱事件A, B相互獨立；性質1：四對事件A、B，、A，A、，、其一相互獨立，則其余三對也相互獨立；性質2：若A, B相互獨立，且P（A）>0, 則P（B|A）=P（B）.12.設A，B為兩事件，且P（A）=P（B）=，P（A|B）=，則P（|）=_.【答案】【解析】，由1題提示有，所以，所以，故填寫.【提示】條件概率：事件B（P（B）>0）發生的條件下事件A發生的概率；乘法公式P（AB）=P（B）P（A|B）。13.已知事件A，B滿足P（AB）=P（），若P（A）=0.2，則P（B）=_.【答案】

14、0.8【解析】，所以P（B）=1-P（A）=1-0.2=0.8，故填寫0.8.【提示】本題給出一個結論：若，則有.X12345，P2a0.10.3a0.314.設隨機變量X的分布律 則a=_.【答案】0.1【解析】2a+0.1+0.3+a+0.3=1，3a=1-0.7=0.3，所以 a=0.1，故填寫0.1.【提示】離散型隨機變量分布律的性質：設離散型隨機變量X的分布律為PX=xk=pk，k1，2，3，（1）pk0，k1，2，3，；（2）；（3）.15.設隨機變量XN（1，22），則P-1X3=_.（附：（1）=0.8413）【答案】0.6826【解析】（1）- （-1）=2（1）-1=2&#

15、215;0.8413-1=0.6826【提示】注意：正態分布標準化代換為必考內容.16.設隨機變量X服從區間2，上的均勻分布，且概率密度f（x）=則=_.【答案】6【解析】根據均勻分布的定義，-2=4，所以=6，故填寫6.17.設二維隨機變量（X，Y）的分布律01200.10.15010.250.20.120.100.1則PX=Y=_.【答案】0.4【解析】PX=Y=PX=0,Y=0+PX=1,Y=1+PX=2,Y=2=0.1+0.2+0.1=0.4故填寫0.4.18.設二維隨機變量（X，Y）N（0，0，1，4，0），則X的概率密度fX （x）=_.【答案】，-<x<+【解析】根據

16、二維正態分布的定義及已知條件，相關系數p=0，即X與Y不相關，而X與Y不相關的充要條件是X與Y相互獨立，則有f（x,y）=fx（x）fy（y）；又已知（X,Y）N（0,0,1,4,0），所以XN（0,1），YN（0,4）。因此，.故填寫，【提示】本題根據課本p76，【例318】改編.19.設隨機變量XU（-1，3），則D（2X-3）=_.【答案】【解析】因為XU（-1，3），所以，根據方差的性質得故填寫.【提示】見5題【提示】。20.設二維隨機變量（X，Y）的分布律-11-10.250.2510.250.25則E（X2+Y2）=_.【答案】2【解析】（-1）2+（-1）2×0.25+

17、（-1）2+12 ×0.25+12+（-1）2 ×0.25+（12+12） ×0.25=2故填寫2.【提示】二維隨機變量函數的期望（課本p92，定理44）：設g（X,Y）為連續函數，對于二維隨機變量（X,Y）的函數g（X,Y），（1）若（X,Y）為離散型隨機變量，級數收斂，則；（2）若（X,Y）為連續型隨機變量，積分收斂，則.21.設m為n次獨立重復試驗中事件A發生的次數，p為事件A的概率，則對任意正數，有=_.【答案】1【解析】根據貝努利大數定律得1，故填寫1.【提示】1. 貝努利大數定律（課本p118，定理52）：設m為n次獨立重復試驗中事件A發生的次數，p為

18、事件A的概率，則對任意正數，有1；2.認真理解貝努利大數定律的意義.22.設x1，x2，xn是來自總體P（）的樣本，是樣本均值，則D（）=_.【答案】【解析】已知總體XP（），所以D（X）=，由樣本均值的抽樣分布有故填寫.【提示】樣本均值的抽樣分布：定理61（課本p134）設x1，x2，xn是來自某個總體X的樣本，是樣本均值， （1）若總體分布為N（,2），則的精確分布為；（2）若總體X分布未知（或不是正態分布），但E（X）=，D（X）=2，則當樣本容量n充分大時，的近似分布為.23.設x1，x2，xn是來自總體B（20，p）的樣本，則p的矩估計=_.【答案】【解析】因為總體XB（20,p），

19、所以E（X）=20p，而矩估計，所以 p的矩估計，故填寫。【提示】點估計的常用方法（1）矩法（數字特征法）：A.基本思想：用樣本矩作為總體矩的估計值；用樣本矩的函數作為總體矩的函數的估計值。B.估計方法：同A。（2）極大似然估計法A.基本思想：把一次試驗所出現的結果視為所有可能結果中概率最大的結果，用它來求出參數的最大值作為估計值。B.定義：設總體的概率函數為p（x;），其中為未知參數或未知參數向量，為可能取值的空間，x1,x2, ,xn是來自該總體的一個樣本，函數稱為樣本的似然函數；若某統計量滿足，則稱為的極大似然估計。C.估計方法 利用偏導數求極大值i）對似然函數求對數ii）對求偏導數并令

20、其等于零，得似然方程或方程組iii）解方程或方程組得即為的極大似然估計。 對于似然方程（組）無解時，利用定義：見教材p150例710； 理論根據：若是的極大似然估計，則即為g（）的極大似然估計。方法：用矩法或極大似然估計方法得到g（）的估計，求出。24.設總體服從正態分布N（，1），從中抽取容量為16的樣本，ua是標準正態分布的上側分位數，則的置信度為0.96的置信區間長度是_.【答案】【解析】1-=0.96，=0.04，所以的置信度為0.96的置信區間長度是，故填寫.【提示】1. 本題類型（單正態總體，方差已知，期望的估計）的置信區間為。2.記憶課本p162，表71，正態總體參數估計的區間估

21、計表。25.設總體XN（，2），且2未知，x1，x2，xn為來自總體的樣本，和分別是樣本均值和樣本方差，則檢驗假設H0: =0;H1:0采用的統計量表達式為_.【答案】【解析】【提示】1. 本題類型（單正態總體，方差未知，對均值的假設檢驗）使用t檢驗，統計量為。2.記憶課本p181，表84，各種假設檢驗（檢驗水平為a）表。三、計算題（本大題共2小題，每小題8分，共16分）26.一批零件由兩臺車床同時加工，第一臺車床加工的零件數比第二臺多一倍.第一臺車床出現不合格品的概率是0.03，第二臺出現不合格品的概率是0.06.（1）求任取一個零件是合格品的概率；（2）如果取出的零件是不合格品，求它是由第

22、二臺車床加工的概率.【分析】本題考查全概公式和貝葉斯公式。【解析】設A1、A2分別表示“第一、第二臺車床加工的零件”的事件，B表示“合格品”，由已知有，（1）根據條件概率的意義，有，所以P（B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）。（2）。【提示】全概公式和貝葉斯公式：（1）全概公式：如果事件A1,A2,An滿足 A1,A2,An互不相容且P（Ai）>0 （1,2,n）； A1A2An=，則對于內的任意事件B，都有；（2）貝葉斯公式：條件同A，則，I=1,2,n。（3）上述事件A1,A2,An構成空間的一個劃分，在具體題目中，“劃分”可能需要根據題目的實際意義來選擇。27

23、.已知二維隨機變量（X，Y）的分布律-10100.30.20.110.10.30求：（1）X和Y的分布律；（2）Cov（X，Y）.【分析】本題考查離散型二維隨機變量的邊緣分布及協方差。【解析】（1）根據二維隨機變量（X,Y）的聯合分布律，有X的邊緣分布律為X01P0.60.4Y的邊緣分布律為Y101P0.40.50.1（2）由（1）有E（X）=0×0.6+1×0.4=0.4，E（Y）=（-1）×0.4+0×0.5+1×0.1=-0.3又+1×（-1）×0.1+1×0×0.3+1×1×0

24、=-0.1所以cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）=-0.1-0.4×（-0.3）=0.02。【提示】協方差：A）定義：稱E（X-E（X）（Y=E（Y）為隨機變量X與Y的協方差。記做Cov（X,Y）.B）協方差的計算 離散型二維隨機變量：； 連續性二維隨機變量：； 協方差計算公式：cov（X,Y）=E（XY）-E（X）（Y）； 特例：cov（X,Y）=D（X）.C）協方差的性質：Cov（X,Y）Cov（Y,X）；Cov（aX,bY）abCov（X,Y），其中a，b為任意常數；Cov（X1+X2,Y）Cov（X1,Y）Cov（X2,Y）；若X與Y相互獨立，Cov（X,Y）0，協方差為零只是隨機變量相互獨立的必要條件，而不是充分必要條件；四、綜合題（本大題共2小題，每小題12分，共24分）28.某次抽樣結果表明，考生的數學成績（百分制）近似地服從正態分布N（75，2），已知85分以上的考生數占考生總數的5%，試求考生成績在65分至85分之間的概率.【分析】本題計算過程可按服從正態分布進行。【解析】設考生的數學成績為隨機變量X，已知XN（75,2），且其中 ZN0,1。所以。因此，考生成績在65分至85分之間的概率約為0.9.29.設隨機變量X服從區間0，1上的均勻分布，Y服從參數為1的指