1、書山有路勤為徑，學海無涯苦作舟！加油啊，少年！初中幾何輔助線克勝秘籍等腰三角形1. 作底邊上的高，構成兩個全等的直角三角形，這是用得最多的一種方法；2. 作一腰上的高；3 . 過底邊的一個端點作底邊的垂線，與另一腰的延長線相交，構成直角三角形。梯形1. 垂直于平行邊2. 垂直于下底，延長上底作一腰的平行線3. 平行于兩條斜邊4. 作兩條垂直于下底的垂線5. 延長兩條斜邊做成一個三角形菱形1. 連接兩對角 2. 做高平行四邊形1. 垂直于平行邊2. 作對角線把一個平行四邊形分成兩個三角形3. 做高形內形外都要注意矩形1. 對角線 2. 作垂線很簡單。無論什么題目，第一位應該考慮到題目要求，比如

2、AB=AC+BD 這類的就是想辦法作出另一條 AB 等長的線段，再證全等說明 AC+BD= 另一條 AB, 就好了。還有一些關于 平方的考慮勾股， A 字形等。第 1 頁 共 70 頁三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線（垂線段相等） 。 也可將圖對折看，對稱以后關系現。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長縮短可試驗。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。解幾何題時如何畫輔助線 ? 見中點引中位線，見中線延長一倍在幾何題中， 如果給出中點或中線， 可以考慮過中點作中位線或把中線延長一倍來解

3、決相關 問題。 在比例線段證明中，常作平行線。 作平行線時往往是保留結論中的一個比，然后通過一個中間比與結論中的另一個比聯系起 來。 對于梯形問題，常用的添加輔助線的方法有1、過上底的兩端點向下底作垂線2、過上底的一個端點作一腰的平行線3、過上底的一個端點作一對角線的平行線4、過一腰的中點作另一腰的平行線第 2 頁 共 70 頁5 、過上底一端點和一腰中點的直線與下底的延長線相交6、作梯形的中位線7、延長兩腰使之相交四邊形平行四邊形出現，對稱中心等分點。梯形里面作高線，平移一腰試試看。平行移動對角線，補成三角形常見。證相似，比線段，添線平行成習慣。等積式子比例換，尋找線段很關鍵。直接證明有困難

4、，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線初中數學輔助線的添加淺談人們從來就是用自己的聰明才智創造條件解決問題的，當問題的條件不夠時，添 加輔助線構成新圖形，形成新關系，使分散的條件集中，建立已知與未知的橋梁，把 問題轉化為自己能解決的問題，這是解決問題常用的策略。一 添輔助線有二種情況：1 按定義添輔助線：如證明二直線垂直可延長使它們,相交后證交角為 90 °；證線段倍半關系可倍線段取中點或半線段加倍；證角的倍半關系也可類似添輔助線。2 按基本圖形添輔助線：第 3 頁 共 70 頁每個幾何定理都有與它相對應的幾何圖形，我們 把它叫做基本圖形，添輔助線往往是具有基本圖形的性質而基本圖形不完整時

5、補完整基本圖形，因此“添線”應該 叫做“補圖”！這樣可防止亂添線，添輔助線也有規律可循。舉例如下：（1）平行線是個基本圖形：當幾何中出現平行線時添輔助線的關鍵是添與二條平行線都相交的等第三條直線2）等腰三角形是個簡單的基本圖形：出現角當幾何問題中出現一點發出的二條相等線段時往往要補完整等腰三角形。平分線與平行線組合時可延長平行線與角的二邊相交得等腰三角形。3）等腰三角形中的重要線段是個重要的基本圖形：出現等腰三角形底邊上的中點添底邊上的中線；出現角平分線與垂線組合時可延長垂線與角的二邊相交得等腰三角形中的重要線段的基本圖形。書山有路勤為徑，學海無涯苦作舟！加油啊，少年！4）直角三角形斜邊上中線

6、基本圖形出現直角三角形斜邊上的中點往往添斜邊上的中線。出現線段倍半關系且倍線段是直角三角形的斜邊則要添直角三角形斜邊上的中線得直角三角形斜邊上中線基本 圖形。5）三角形中位線基本圖形幾何問題中出現多個中點時往往添加三角形中位線基本圖形進行證明當有中點 沒有中位線時則添中位線，當有中位線三角形不完整時則需補完整三角形；當出現線段倍半關系且與倍線段有公共端點的線段帶一個中點則可過這中點添倍線段的平行線得三角形中位線基本圖形；當出現線段倍半關系且與半線段的端點是某線段的中 點，則可過帶中點線段的端點添半線段的平行線得三角形中位線基本圖形。第 4 頁 共 70 頁（6）全等三角形： 全等三角形有軸對稱

7、形，中心對稱形，旋轉形與平移形等；如果出現兩條相等線 段或兩個檔相等角關于某一直線成軸對稱就可以添加軸對稱形全等三角形： 或添對稱 軸，或將三角形沿對稱軸翻轉。當幾何問題中出現一組或兩組相等線段位于一組對頂 角兩邊且成一直線時可添加中心對稱形全等三角形加以證明， 添加方法是將四個端點 兩兩連結或過二端點添平行線（8）特殊角直角三角形當出現 30，45，60 ，135 ，150 度特殊角時可添加特殊角直角三角形，利用 45 角直角三角形三邊比為1：1 ：2；30 度角直角三角形三邊比為1：2：3 進行證明二基本圖形的輔助線的畫法1.三角形問題添加輔助線方法方法 1 ：有關三角形中線的題目，常將中

8、線加倍。含有中點的題目，常常利用三角形的 中位線，通過這種方法，把要證的結論恰當的轉移，很容易地解決了問題。方法 2 ：含有平分線的題目，常以角平分線為對稱軸，利用角平分線的性質和題中的條 件，構造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識解決問題。方法 3 ：結論是兩線段相等的題目常畫輔助線構成全等三角形，或利用關于平分線段的一些定理。方法 4 ：結論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類題目，常采用截長法或補短法， 所謂截長法就是把第三條線段分成兩部分， 證其中的一部分等于第一條線段， 而另 一部分等于第二條線段。2.平行四邊形中常用輔助線的添法第 5 頁 共 70 頁書山有路勤為徑，學

9、海無涯苦作舟！加油啊，少年！平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同性 質，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、 垂直，構成三角形的 全等、 相似，把平行四邊形問題轉化成常見的三角形、正方形等問題處理， 其常用方法有下 列幾種，舉例簡解如下：（1）連對角線或平移對角線：（2）過頂點作對邊的垂線構造直角三角形（ 3）連接對角線交點與一邊中點，或過對角線交點作一邊的平行線，構造線段平行或中位線（ 4）連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段，構造三角形相似或等積三角形。（ 5）過頂點作對角線的垂線，構成線段平行或三角形全等.3. 梯形中常用輔

10、助線的添法梯形是一種特殊的四邊形。 它是平行四邊形、 三角形知識的綜合， 通過添加適當的輔助 線將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決。 輔助線的添加成為問題解決的橋 梁，梯形中常用到的輔助線有：（1）在梯形內部平移一腰。（2）梯形外平移一腰（3）梯形內平移兩腰（ 4）延長兩腰（ 5 ）過梯形上底的兩端點向下底作高（6）平移對角線（ 7）連接梯形一頂點及一腰的中點。（8）過一腰的中點作另一腰的平行線。第 # 頁 共 70 頁書山有路勤為徑，學海無涯苦作舟！加油啊，少年！書山有路勤為徑，學海無涯苦作舟！加油啊，少年！（ 9）作中位線當然在梯形的有關證明和計算中， 添加的輔助線并不一定是

11、固定不變的、 單一的。 通過 輔助線這座橋梁， 將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決， 這是解決問題的 關鍵。作輔助線的方法一：中點、中位線，延線，平行線。如遇條件中有中點，中線、中位線等，那么過中點，延長中線或中位線作輔助線，使延 長的某一段等于中線或中位線； 另一種輔助線是過中點作已知邊或線段的平行線， 以達到應 用某個定理或造成全等的目的。二：垂線、分角線，翻轉全等連。如遇條件中，有垂線或角的平分線， 可以把圖形按軸對稱的方法， 并借助其他條件，而 旋轉 180 度，得到全等形， ，這時輔助線的做法就會應運而生。其對稱軸往往是垂線或角的 平分線。三：邊邊若相等，旋轉做實驗。如

12、遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等， 有時邊角互相配合， 然后把圖形旋轉一定 的角度，就可以得到全等形，這時輔助線的做法仍會應運而生。其對稱中心，因題而異，有 時沒有中心。故可分“有心”和“無心”旋轉兩種。四:造角、平、相似，和、差、積、商見。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等， 欲證線段或角的和差積商， 往往與相似形 有關。在制造兩個三角形相似時，一般地，有兩種方法：第一，造一個輔助角等于已知角；第 7 頁 共 70 頁第二，是把三角形中的某一線段進行平移。故作歌訣： “造角、平、相似，和差積商見。 ” 托列米定理和梅葉勞定理的證明輔助線分別是造角和平移的代表） 九：面積找底高，多邊變

13、三邊。如遇求面積，（在條件和結論中出現線段的平方、乘積，仍可視為求面積） ，往往作底或高為輔助線，而兩三角形的等底或等高是思考的關鍵。 如遇多邊形，想法割補成三角形；反之，亦成立。 另外，我國明清數學家用面積證明勾股定理， 其輔助線的做法， 即“割補” 有二百多種，大多數為“面積找底高，多邊變三邊” 。三角形中作輔助線的常用方法舉例 一、在利用三角形三邊關系證明線段不等關系時， 若直接證不出來， 可連接兩點或延長某邊構成三角形， 使結論中出現的線段在一個或幾個三角形中， 再運用三角形三邊的不等關系證明，如：例 1：已知如圖 1-1 ：D、E為ABC 內兩點 ,求證:AB AC>BDDEC

14、E.證明：（法一） 將 DE 兩邊延長分別交 AB、AC 于 M 、N，在AMN 中， AM AN > MD DENE;（1）在BDM 中， MB MD >BD ；（ 2）在CEN 中， CN NE>CE；（3）由（1）（2）（ 3）得：AM AN MB MD CN NE>MD DENEBDCEABAC>BD DEECAB圖1 1 C法二：）如圖 1-2 ， 延長 BD 交 AC 于 F，延長 CE 交 BF 于 G， 在ABF 和GFC 和GDE 中有：AB AF> BD DGGF （三角形兩邊之和大于第三邊） （1）GF FC>GECE（同上）（2

15、）DG GE> DE（同上）（3 ）由（1）（2）（ 3）得：AB AFGFFCDGGE>BD DG GFGECEDEAB AC > BD DE EC。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內角時如直接證不出來時， 可連接兩點或延 長某邊， 構造三角形， 使求證的大角在某個三角形的外角的位置上， 小角處于這個三角形的 內角位置上，再利用外角定理： 例如：如圖 2-1 ：已知 D 為ABC 內的任一點，求證： BDC >BAC 。分析： 因為BDC 與BAC 不在同一個三角形中， 沒有直接的聯系， 可適當添加輔助線構造新的三角形， 使BDC 處于在外角的位置， BAC

16、 處于在內角的位置；B F C 圖2 1證法一 ：延長 BD 交 AC 于點 E，這時 BDC 是EDC 的外角，BDC >DEC，同理DEC>BAC ，BDC >BAC 證法二：連接 AD ，并延長交 BC 于 FBDF 是ABD 的外角BDF>BAD ，同理， CDF >CADBDFCDF >BAD CAD 即：BDC>BAC。注意： 利用三角形外角定理證明不等關系時， 通常將大角放在某三角形的外角位置上， 小角放在這個三角形的內角位置上，再利用不等式性質證明。圖3 1分析：要證 BE CF> EF ，可利用三角形三邊關系定理證明，須 把 B

17、E，CF， EF 移到同一個三角形中，而由已知 12，34，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對應邊相等，把EN，FN ， EF移到同一個三角形中。證明： 在 DA 上截取 DN DB ，連接 NE ，NF ，則 DN DC，在DBE 和DNE 中：DN DB （輔助線的作法 ） 12（已知 ）ED ED （公共邊 ）DBE DNE （SAS）BENE （全等三角形對應邊相等） 同理可得： CF NF在EFN 中 ENFN >EF（三角形兩邊之和大于第三邊） BECF>EF。注意： 當證題有角平分線時，常可考慮在角的兩邊截取相等的線段，構造全等三角形，然后用全等三角形的性質

18、得到對應元素相等。四、有以線段中點為端點的線段時，常延長加倍此線段，構造全等三角形。例如：如圖 4-1 ：AD 為ABC 的中線，且 1 2 ，3 4，求證： BECF>EF證明 ：延長 ED 至 M ，使 DM=DE ，連接CM ， MF 。在BDE 和CDM 中，BD CD（中點的定義 ） 1 CDM （ 對頂角相等 ）ED MD （輔助線的作法 ）BDE CDM （SAS）又 12，34 （已知）1234180 °（平角的定義 ）32=90 °，即： EDF90°FDM EDF 90在EDF 和MDF 中ED MD （輔助線的作法 ） EDF FDM

19、（已證 ）DF DF （公共邊 ）EDFMDF （ SAS）EF MF （全等三角形對應邊相等）在CMF 中， CFCM > MF （三角形兩邊之和大于第三邊）BECF> EF第 11 頁 共 70 頁書山有路勤為徑，學海無涯苦作舟！加油啊，少年！書山有路勤為徑，學海無涯苦作舟！加油啊，少年！注：上題也可加倍 FD ，證法同上。注意：當涉及到有以線段中點為端點的線段時，可通過延長加倍此線段，構造全等三角形， 使題中分散的條件集中。五、有三角形中線時，常延長加倍中線，構造全等三角形。例如：如圖 5-1 ：AD 為 ABC 的中線，求證： AB AC >2AD 。分析：要證 AB

20、AC>2AD ，由圖想到： ABBD>AD,AC CD > AD ，所以有 AB AC BDCD>ADAD2AD ，左邊比要證結論多 BDCD， 故不能直接證出此題，而由 2AD 想到要構造 2AD ，即加倍 中線，把所要證的線段轉移到同一個三角形中去。證明：延長 AD 至 E，使 DE=AD ，連接 BE，則 AE2ADAD 為ABC 的中線 （已知）BD CD （中線定義）在ACD 和EBD 中BD CD（已證 ）ADCEDB （對頂角相等 ）AD ED （輔助線的作法 ）ACD EBD （ SAS）圖5 1圖5 2第 13 頁 共 70 頁BECA（全等三角形對應

21、邊相等）在ABE 中有： AB BE>AE（三角形兩邊之和大于第三邊）AB AC >2AD 。常延長中線加倍，構造全等三角形）練習：已知 ABC，AD 是 BC 邊上的中線，分別以 AB 邊、AC 邊為直角邊各向形外作等腰 直角三角形，如圖 5-2 ， 求證 EF 2AD 。六、截長補短法作輔助線。M例如：已知如圖 6-1 ：在ABC 中，AB >AC ，12 ，P為 AD 上任一點。求證： AB AC> PBPC。分析：要證： ABAC >PBPC，想到利用三角形三邊關 系定理證之， 因為欲證的是線段之差， 故用兩邊之差小于第 三邊，從而想到構造第三邊 AB A

22、C ，故可在 AB 上截取 AN 等于 AC，得 ABACBN ， 再連接 PN，則 PCPN，又在PNB 中， PBPN <BN ，即： ABAC>PBPC。證明：（截長法） 在 AB 上截取 AN AC 連接 PN , 在APN 和APC 中AN AC（ 輔助線的作法 ） 12（已知 ）AP AP（公共邊 ）APN APC （ SAS）PC PN （全等三角形對應邊相等）在BPN 中，有 PBPN <BN （三角形兩邊之差小于第三邊）BPPC<AB AC證明：（補短法） 延長 AC 至 M，使 AM AB，連接 PM，在ABP 和AMP 中AB AM （輔助線的作法

23、 ） 12（已知）AP AP（公共邊 ）ABPAMP （SAS ）PB PM （全等三角形對應邊相等）又在PCM 中有： CM >PM PC（三角形兩邊之差小于第三邊 ）AB AC>PBPC。七、延長已知邊構造三角形：例如：如圖 7-1 ：已知 ACBD，ADAC 于 A ，BCBD 于 B， 求證： AD BC分析：欲證 AD BC，先證分別含有 AD，BC 的三角形全等， 有幾種方案： ADC 與BCD ， 第 15 頁 共 70 頁書山有路勤為徑，學海無涯苦作舟！加油啊，少年！書山有路勤為徑，學海無涯苦作舟！加油啊，少年！AOD 與BOC ，ABD 與BAC，但根據現有條件，

24、均無法證全等，差角的相等，因此可 設法作出新的角，且讓此角作為兩個三角形的公共角。證明：分別延長 DA ，CB，它們的延長交于 E點，圖7 1AD ACBCBD （已知）CAE DBE 90 °（垂直的定義）在DBE 與CAE 中EE（公共角 ） DBECAE（已證 ）BD AC（已知 ）DBE CAE （AAS ）EDEC EB EA （全等三角形對應邊相等） EDEAECEB 即： AD BC。當條件不足時，可通過添加輔助線得出新的條件，為證題創造條件。 ）八 、連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉化成為三角形來解決。例如：如圖 8-1 ：AB CD ，AD BC求證： AB=C

25、D 。分析：圖為四邊形，我們只學了三角形的有關知識，必須把它轉化為三角形來解決。證明 ：連接 AC（或 BD）ABCD AD BC （已知）1 2 ，34 （兩直線平行，內錯角相等）在 ABC 與CDA 中1 2（已證 ） AC CA（ 公共邊 ）34（已證 ）ABC CDA （ASA ）ABCD （全等三角形對應邊相等）九、有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長。例如：如圖 9-1 ：在 Rt ABC 中，AB AC ，BAC 90 °，1 2 ，CE BD 的延長于 E 。求證： BD 2CE圖9 1與ABC 的平分線垂直，想到要將其延長。證明：分別延長 BA，CE 交于點

26、 F。分析：要證 BD 2CE，想到要構造線段 2CE，同時 CEBE CF （已知） BEFBEC 90 °（垂直的定義） 在BEF 與BEC 中，第 17 頁 共 70 頁書山有路勤為徑，學海無涯苦作舟！加油啊，少年！書山有路勤為徑，學海無涯苦作舟！加油啊，少年！12（已知 ） BE BE（公共邊 ）BEFBEC（已證 ）1BEFBEC（ASA ）CE=FE= CF （全等三角形對應邊相等）2BAC=90 ° BECF （已知）BAC CAF 90 ° 1BDA 90 °1 BFC 90 °BDA BFC在ABD 與ACF 中BACCAF

27、（已證 ）BDABFC （已證 ）ABAC（已知）ABD ACF （ AAS ）BD CF （全等三角形對應邊相等）BD 2CE十、連接已知點，構造全等三角形。已知：如圖 10-1 ；AC、BD 相交于 O 點，且 AB DC，ACBD，求證： AD。分析：要證 A D，可證它們所在的三角形 ABO 和DCO 全等，而只有 AB DC 和對 頂角兩個條件，差一個條件， ，難以證其全等，只有另尋其它的三角形全等，由 AB DC，ACBD ，若連接 BC，則ABC 和DCB 全等，所以，證得 AD。證明：連接 BC ，在ABC 和DCB 中AAB DC（已知 ） AC DB（已知 ）BC CB（公

28、共邊 ）ABC DCB （SSS）A D （全等三角形對應邊相等 ）十一、取線段中點構造全等三有形。例如：如圖 11-1 ：AB DC ，A D 求證： ABC DCB 。分析：由 ABDC，AD，想到如取 AD 的中點 N，連接 NB ，NC，再由 SAS 公理有ABN DCN ，故 BN CN ，ABN DCN 。下面只需證 NBC NCB ，再取 BC 的中點M ，連接 MN ，則由 SSS 公理有 NBM NCM ，所以 NBC NCB 。問題得證。圖11 1證明：取 AD，BC 的中點 N、M，連接 NB，NM ，NC。則AN=DN ， BM=CM ， 在 ABN 和 DCN 中AN

29、 DN （輔助線的作法 ）AD（已知 ）AB DC（已知 ）ABN DCN （SAS ）ABN DCNNB NC （全等三角形對應邊、角相等）在NBM 與NCM 中NBNC （已證） BMCM （輔助線的作法 ） NMNM（公共邊 ）NMB NCM ，(SSS) NBC NCB (全等三角形對應角相等) NBC ABN NCB DCN 即ABC DCB 。巧求三角形中線段的比值例 1. 如圖 1，在ABC 中， BD：DC1：3，AE：ED2：3，求 AF ：FC。解：過點 D 作 DG/AC ，交 BF 于點 G所以 DG ：FCBD：BC因為 BD：DC1：3所以 BD： BC1：4即 D

30、G： FC1 ：4，FC4DG因為 DG ：AFDE：AE 又因為 AE：ED2：3所以 DG ：AF3：2所以 AF ：FC4DG 1 ：6第 23 頁 共 70 頁書山有路勤為徑，學海無涯苦作舟！加油啊，少年！例 2. 如圖 2，BCCD，AF FC，求 EF：FD解：過點 C 作 CG/DE 交 AB 于點 G，則有 EF：GC AF：AC因為 AFFC所以 AF：AC 1：2即 EF：GC1： 2，因為CG： DEBC：BD又因為 BC CD所以BC：BD1：2CG：DE1：2即 DE 2GC因為FDEDEF所以EF：FD小結：以上兩例中，輔助線都作在了“已知”條件中出現的兩條已知線段

31、的交點處，且所作的輔助線與結論中出現的線段平行。請再看兩例，讓我們感受其中的奧妙！例 3. 如圖 3，BD ：DC1：3，AE：EB2：3，求 AF：FD 。解：過點 B作 BG/AD ，交 CE 延長線于點 G。所以 DF：BG CD ：CB因為 BD：DC1：3所以 CD ：CB3：4即 DF：BG 3：4，因為AF：BG AE：EB又因為 AE ： EB2：3所以AF：BG 2：3即所以AF：DF例 4. 如圖 4，BD ：DC1：3，AF FD，求 EF：FC。解：過點 D 作 DG/CE ，交 AB 于點 G所以 EF：DG AF：AD因為 AF FD所以 AF：AD 1 ：2圖4即

32、 EF：DG 1：2因為 DG ： CE BD ： BC ，又因為 BD：CD1：3，所以 BD： BC1：4即 DG ： CE 1： 4， CE 4DG因為FCCEEF1：7所以 EF： FC練習：1. 如圖 5，BD DC，AE：ED1：5，求 AF：FB。2. 如圖 6，AD ：DB1：3，AE：EC3：1，求 BF ： FC。答案： 1、1：10；2. 9：1書山有路勤為徑，學海無涯苦作舟！加油啊，少年！初中幾何輔助線一 初中幾何常見輔助線口訣人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規律憑經驗。三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對

33、折看，對稱以后關系現。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。四邊形平行四邊形出現，對稱中心等分點。梯形問題巧轉換，變為和 平移腰，移對角，兩腰延長作出高。如果出現腰中點，細心連上中位線。上述方法不奏效，過腰中點全等造。證相似，比線段，添線平行成習慣。等積式子比例換，尋找線段很關鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項一大片。切勿盲目亂添線，方法靈活應多變。分析綜合方法選，困難再多也會減。虛心

34、勤學加苦練，成績上升成直線。二 由角平分線想到的輔助線口訣：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。 也可將圖對折看，對稱以后關系現。角平分線平行 線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質： a、對稱性； b 、角平分線上的點到角兩邊的距離相等。對于 有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。從角平分線上一點向兩邊作垂線；利用角平分線，構造對稱圖形（如作法是在一側的長邊上截取短邊）。通常情況下， 出現了直角或是垂直等條件時， 一般考慮作垂線； 其它情況下考慮構造對 稱圖形。至于選取哪種方法，要結合題目圖形和已知條件。與角有關的輔助線（一）、截取構全等幾何的證明在于猜想與嘗試

35、，但這種嘗試與猜想是在一定的規律基本之上的，希望同學們能掌握相關的幾 何規律， 在解決幾何問題中大膽地去猜想， 按一定的規律去嘗試。 下面就幾何中常見的定理 所涉及到的輔助線作以介紹。DF，則有OED OFD ，從而如圖 1-1 ，AOC= BOC ，如取 OE=OF ，并連接 DE、DC同時此題也是證明線段的和差為我們證明線段、角相等創造了條件。例1 如圖 1-2 ，AB/CD ，BE 平分BCD ，CE平分BCD ，點 E在 AD 上，求證： BC=AB+CD 。分析 ：此題中就涉及到角平分線，可以利用角平 分線來構造全等三角形， 即利用解平分線來構造軸對稱圖形，倍分問題， 在證明線段的和

36、差倍分問題中常用到的方法是延長法或截取法來證明， 延長短的第 25 頁 共 70 頁線段或在長的線段長截取一部分使之等于短的線段。 但無論延長還是截取都要證明線段的相 等，延長要證明延長后的線段與某條線段相等， 截取要證明截取后剩下的線段與某條線段相 等，進而達到所證明的目的。簡證：在此題中可在長線段 BC上截取 BF=AB ，再證明 CF=CD ，從而達到證明的目的。 這里面用到了角平分線來構造全等三角形。 另外一個全等自已證明。 此題的證明也可以延長 BE與 CD 的延長線交于一點來證明。自已試一試。例2 已知：如圖 1-3 ，AB=2AC ，BAD= CAD ，DA=DB ，求證 DCA

37、C分析 ：此題還是利用角平分線來構造全等三角形。 構造的方法還是截取線段相等。其它問題自已證明。ACB書山有路勤為徑，學海無涯苦作舟！加油啊，少年！用到構造全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問A圖1-4段，來證明。試試看可否把短的延長來證明呢？例 3 已知：如圖 1-4 ，在ABC 中，C=2 B,AD 平分BAC ，求證： AB-AC=CD分析 ：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要題。用到的是截取法來證明的，在長的線段上截取短的線練習1 已知在ABC 中， AD 平分BAC ，B=2 C，求證： AB+BD=AC書山有路勤為徑，學海無涯苦作舟！加油啊，少年！2 已知：在ABC 中，

38、CAB=2 B， AE 平分CAB 交 BC 于 E，AB=2AC ，求證： AE=2CE3 已知：在ABC 中， AB>AC,AD 為BAC 的平分線， M 為 AD 上任一點。求證： BM-CM>AB-AC4 已知：D 是ABC 的BAC 的外角的平分線 AD 上的任一點， 連接 DB、DC 。求證：BD+CD>AB+AC 。二）、角分線上點向角兩邊作垂線構全等問題。圖 2-1過角平分線上一點向角兩邊作垂線， 利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質來證明例 1 如圖 2-1 ，已知 AB>AD, BAC= FAC,CD=BC 。求證： ADC+ B=180分析 ：可

39、由 C 向BAD 的兩邊作垂線。近而證 ADC 與B 之和為平角。例2 如圖 2-2 ，在ABC 中， A=90 ，AB=AC ，ABD= CBD 。求證： BC=AB+AD分析 ：過 D 作 DE BC 于 E，則 AD=DE=CE ，則構造出全等 三角形， 從而得證。 此題是證明線段的和差倍分問題， 從中利用了 相當于截取的方法。例3 已知如圖 2-3 ，ABC 的角平分線 BM 、CN 相交于點 P。求證： BAC 的平分線也經過點 P。分析 ：連接 AP，證 AP 平分BAC 即可，也就是證 P 到 AB 、AC的距離相等。圖2-3練習：1如圖 2-4 AOP= BOP=15 ，PC/

40、OA ，PD OA ，A如果 PC=4 ，則 PD= （ ）2已知在 ABC 中，C=90，AD 平分CAB ，CD=1.5,DB=2.5. 求 AC。3已知：如圖 2-5,BAC= CAD,AB>AD ，CEAB ，1AE= 2 （AB+AD ） .求證：D+ B=180 。4.已知：如圖 2-6,在正方形 ABCD 中，E為CD 的中點， F為 B上的點， FAE= DAE 。求證： AF=AD+CF 。5 已知：如圖 2-7 ，在 Rt ABC 中，ACB=90 ,CD AB ，垂足為 D，AE 平分CAB 交 CD 于 F，過 F 作 FH/AB 交 BC 于 H 。求證 CF=

41、BH 。BA 4 B 3 C 2書山有路勤為徑，學海無涯苦作舟！加油啊，少年！第 31 頁 共 70 頁書山有路勤為徑，學海無涯苦作舟！加油啊，少年！分析：延長 CD 交 AB 于點 E，則可得全等三角形。問題可證。F三）：作角平分線的垂線構造等腰三角形從角的一邊上的一點作角平分線的垂線， 使之與角的兩邊相交， 則截得一個等腰三角形，垂足為底邊上的中點， 該角平分線又成為底邊上的中線和高， 以利用中位線的性質與等腰三 角形的三線合一的性質。 （如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另 邊相交）。例1 已知：如圖 3-1 ，BAD= DAC ，AB>AC,CD AD 于 D

42、，H1是 BC 中點。求證： DH= （ AB-AC ）2例 2 已知：如圖 3-2 ，AB=AC ，BAC=90 ，AD 為ABC 的平分線， CE BE.求證： BD=2CE 。分析 ：給出了角平分線給出了邊上的一點作角平分線的垂線， 可 延長此垂線與另外一邊相交，近而構造出等腰三角形。N圖3-3例 3 已知：如圖 3-3 在ABC 中，AD 、AE 分別BAC 的 內、外角平分線，過頂點 B作 BFAD ，交 AD 的延長線于 F，連 結 FC 并延長交 AE 于 M 。求證： AM=ME 。分析：由 AD 、AE 是BAC 內外角平分線，可得 EA AF ， 從而有 BF/AE ，所以

43、想到利用比例線段證相等。例 4 已知：如圖 3-4 ，在ABC 中，AD 平分BAC ， AD=AB ，CM AD 交 AD 延長線于 M 。求證：1AM= （ AB+AC ）2分析 ：題設中給出了角平分線 AD ，自然想到以 AD 為軸作對稱變換，作 ABD 關于 A1D 的對稱AED ，然后只需證 DM= EC，另外由求證的結21果 AM= （ AB+AC ），即 2AM=AB+AC ，也可嘗試作 AC2M 關于 CM 的對稱FCM ，然后只需證 DF=CF 即可。練習：1已知：在ABC 中， AB=5 ，AC=3 ，D 是 BC 中點， AE 是BAC 的平分線，且 CEAE 于 E，連

44、接 DE，求 DE。2已知 BE、BF 分別是ABC 的ABC 的內角與外角的平分線， AFBF于 F，AEB 1E于 E，連接 EF 分別交 AB、AC 于 M 、N，求證 MN= BC2四）、以角分線上一點做角的另一邊的平行線有角平分線時， 常過角平分線上的一點作角的一邊的平行線， 從而構造等腰三角形。 或通過一邊上的點作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構造等腰三角形。如圖 4-1 和圖 4-2 所示。書山有路勤為徑，學海無涯苦作舟！加油啊，少年！書山有路勤為徑，學海無涯苦作舟！加油啊，少年！ABC圖4-1圖4-2例 4 如圖， AB>AC,1= 2，求證： AB

45、AC>BD CD。B例5如圖，BC>BA ，BD 平分ABC ，且 AD=CD ，求證： A+ C=180 。例6如圖， AB CD ， AE、 DE 分別平分 BAD 各ADE ，求證：第 31 頁 共 70 頁AD=AB+CD書山有路勤為徑，學海無涯苦作舟！加油啊，少年！練習：1. 已知，如圖， C=2 A，AC=2BC 。求證： ABC 是直角三角形。2已知：如圖， AB=2AC ，1= 2，DA=DB ，求證： DC ACC3已知 CE、 AD 是ABC 的角平分線， B=60 °，求證：AC=AE+CD4已知：如圖在 ABC 中，A=90 °，AB=A

46、C ， BD 是ABC 的平分線，求證： BC=AB+AD書山有路勤為徑，學海無涯苦作舟！加油啊，少年！第 33 頁 共 70 頁三 由線段和差想到的輔助線口訣：線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角去。遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長補短法：1、截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；2、補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線 段。對于證明有關線段和差的不等式， 通常會聯系到三角形中兩線段之和大于第三邊、 之差 小于第三邊，故可想辦法放在一個三角形中證明。一、在 利用三角形三邊關系證明

47、線段不等關系時，如直接證不出來，可連接兩點或廷 長某邊構成三角形， 使結論中出現的線段在一個或幾個三角形中， 再運用三角形三邊的不等 關系證明，如：例1、 已知如圖 1-1 ：D、E為ABC 內兩點 ,求證:AB+AC>BD+DE+CE.圖1 1證明：（法一）將 DE 兩邊延長分別交 AB 、AC 于 M 、N ， 在AMN 中， AM+AN>MD+DE+NE;（1）在BDM 中， MB+MD>BD ；（ 2） 在CEN 中， CN+NE>CE ；（ 3） 由（ 1）+（2）+（3）得：AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CEAB+AC&g

48、t;BD+DE+EC（法二：圖 1-2 ）延長 BD 交 AC 于 F，廷長 CE交 BF 于 G，和GDE 中有：AB+AF>BD+DG+GF （三角形兩邊之和大于第三邊）（ 1 ）圖2 1GF+FC>GE+CE （同上）（ 2）DG+GE>DE （同上）（ 3）由（ 1）+（2）+（3）得：AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DEAB+AC>BD+DE+EC。二、在 利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內角時如直接證不出來時，可連接兩點或延長某邊， 構造三角形， 使求證的大角在某個三角形的外角的位置上， 小角處于這個三 角形的內角

49、位置上，再利用外角定理：例如：如圖 2-1 ：已知 D 為ABC 內的任一點，求證： BDC> BAC分析： 因為BDC 與BAC 不在同個三角形中， 沒有直接的聯系， 可適當添加輔助線構造新的三角形，使 BDC 處于在外角的位置， BAC 處于在內角的位置； 第 34 頁 共 70 頁證法一 ：延長 BD 交 AC 于點 E，這時 BDC 是EDC 的外角，BDC> DEC ，同理 DEC> BAC ，BDC> BAC 證法二：連接 AD ，并廷長交 BC于 F，這時 BDF 是ABD 的 外角，BDF> BAD ，同理， CDF> CAD ，BDF+CD

50、F> BAD+ CAD ，即： BDC> BAC 。 注意：利用三角形外角定理證明不等關系時，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個三角形的內角位置上，再利用不等式性質證明。圖3 1三、有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構造全等三角形，如：例如：如圖 3-1 ：已知 AD 為ABC的中線，且1= 2,3= 4,求證：BE+CF>EF。分析：要證 BE+CF>EF ，可利用三角形三邊關系定理證明， 須把 BE，CF，EF 移到同一個三角形中，而由已知 1= 2，3= 4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等 對應邊相等，把 EN， FN ， EF

51、 移到同個三角形中。證明： 在 DN 上截取 DN=DB ，連接 NE，NF ，則 DN=DC ，在DBE 和NDE 中：DN=DB （輔助線作法）1= 2（已知）ED=ED （公共邊）DBENDE （ SAS）BE=NE（全等三角形對應邊相等）同理可得：CF=NF第 35 頁 共 70 頁在EFN 中 EN+FN>EF （三角形兩邊之和大于第三邊）BE+CF>EF 。注意：當證題有角平分線時，常可考慮在角的兩邊截取相等的線段，構造全等三角形， 然后用全等三角形的對應性質得到相等元素。四、截長補短法作輔助線。例如：已知如圖 6-1 ：在ABC 中， AB>AC ，1= 2，P

52、為 AD 上任一點求證： AB-AC>PB-PC 。分析：要證： AB-AC>PB-PC ，想到利用三角形三邊關系，定理證之，因為欲證的線段 之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構造第三邊 AB-AC ，故可在 AB 上截取 AN 等 于 AC，得 AB-AC=BN ，再連接 PN，則 PC=PN ，又在PNB 中， PB-PN<BN ，即： AB-AC>PB-PC 。證明：（截長法）在 AB 上截取 AN=AC 連接 PN, 在APN 和APC 中AN=AC （輔助線作法）1= 2（已知）AP=AP （公共邊）APN APC （SAS）,PC=PN （全等三角形對應邊相等）在BPN 中，有 PB-PN<BN （三角形兩邊之差小于第三邊）BP-