1、等差、等比數列的子數列的探究一、定義子數列若數列bn是由數列 an的一些項按原來的順序構成的一個新數列，則稱數列bn是數列an的子數列。二、討論等差數列是否存在等差子數列1、學生舉例：(1)設an a(a為常數)，則任取一些項組成的數列都是等差子數列。(2)an n 中有子數列 bn 2n 1,bn 2n,bn 5n 等。391(3) an 3n 1 中有子數列 bn 3n 1,bn 9n 等222小結：只要首項不同，公差不同就可以確定不同的等差子數列。2、從具體的例子中小結出如何尋找等差子數列，以及子數列的公差和原數列的公差之間的關系，從而得出結論：(1) 等差數列中下標成等差數列(公差為k

2、)的項仍然成等差數列。(2) 新的等差數列的公差等于原等差數列的公差的k倍。3.證明結論：設an是等差數列，d是公差，若am, an是子數列的相鄰兩項，an am (n m)d ,當n m k為常數時，an am (n m)d kd也是常數。三、討論等比數列是否存在等比子數列1、學生舉例：(1)設an a(a為常數)，則任取一些項組成的數列都是等比子數列。(2) an 2n中有子數列bn 22n 1和bn 25n等。,、1 n1(3) an 2 (3)中有子數列bn 2小結：只要首項不同，公比不同就可以確定不同的等比子數列。2 .從具體的例子中小結出如何尋找等比子數列，以及子數列的公比和原數列

3、的公比之 間的關系，從而得出結論：(1) 等比數列中下標成等差數列(公差為k)的項仍然成等比數列。(2) 新的等比數列的公比等于 k個原等比數列的公比的積。3 .證明結論：、一an設an是等比數列，q是公比，若am, an是子數列的相鄰兩項， qnm,a mn m k為常數時，包 qn m qk也是常數。 am四、討論等差數列是否存在等比子數列_ n 1 一n 11。學生舉例：an=n中有子數列bn = 2 和bn = 3 等。(自然數列是學生最容易想到的，除了自然數列之外，其他的數列不容易想到)2 給出一個例子一起研究。例1 已知：等差數列an ，且 an 3n 1 。問：等差數列 an 中

4、是否存在等比子數列cn ？1 1) 寫出 an 的一些項：2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32,，學生 嘗試后找出結果有： 2, 8, 32, 128,512,，2 4n 1；2,14,98,686,4802,，2 7n 1 ； 2,20,200,2000,，2 10n 1； 5,20,80,320,，5 4n 1 ；2,26,338,，2 13n 1(2)猜想： Cn 24n1;Cn27n1;Cn210n1；孰5 4n 1 ；n1Cn2 13( 3)提問：這些猜想是否正確呢？我們可以從兩個方面進行思考： 通過演繹推理證明猜想為真， 或者找出反例說明此

5、猜想為假，從而否定或修正此猜想。( 4) 學生分組證明猜想分析： 2 4n 1 的項被 3 除余2 ，從而得出利用二項式定理證明的方法。證 1 ： (用二項式定理) 2 4n 12 (3 1)n 12 (3k 1) 6k 2(k N),即 2 4n 1 除以 3 余 2, Cn是an的子數列。分析 ：由前面幾項符合推廣到無窮項都符合，從而得出利用數學歸納法證明的方法。證 2 ： (數學歸納法) 當 n=1 時， C12 3 11 a1 假設當 n=k 時，Ck 22k 13m1am(mN)，那么當n=k+1 時， Ck122(k1)122k 14 22k 1 4(3m1)3 (4m1) 1a4

6、m1.由、得g 是a n 的子數列。(5) 同理證明 Cn27n 12 (6 1)n1 3k2,k N；Cn210n 12(91)n1 3k 2,k N,Cn5 4n 15 (3 1)n 1 3k 2，n1n1k N；Cn 2 13n 12 (12 1)n 1 3k 2,k N.(6) 學申：讓學生找規律一一以an中任一項為首項，以 3k 1(k N)為公比的等比數列均是該等差數列的等比子數列(7) 小結：歸納法是從特殊到一般的推理方法，而由此所作出的猜想是需要進一步證明的。從歸納猜想到論證的思維方法是我們研究數學問題常用的方法。(8) 思考：對給定的等差數列可以構造出等比數列，不確定的等差數

7、列中是否存在等比數列？例2已知：數列 an是首項ai 2,公差是d的等差數列。數列 bn是等比數列，且bi ai,b2 a2。問：是否存在自然數d,使得數列bn是數列an的子數列？如存在，試求出d的一切可能值分析：先取d=1, 2, 3, 4, 5, 6。發現當d是奇數時，不可能。a2是奇數，公比 更 為分數，則bn 2 (正了1從第三項開始就不是自然數22取 d=2, an : 2, 4, 6, 8,，bn : 2, 4, 8, 16,，an 2n,bn 2n, 2n 是偶數，d=2時，數列bn是數列an的子數列取 d=4,an : 2, 6, 10,14, 18,，bn: 2,6, 18,

8、 54,，an 4n 2,bn2 3n 12 (4 1)n 12(4k 1) 42k2(kN) ,d=4 時，數列 bn 是數列an的子數列。同理d=6時，數列bn也是數列an的子數列。由此猜想當d 2m(m N)時，數列bn是數列an的子數列。可以用二項式定理或數學歸納法證明。證 1 ：(用二項式定理)在 an 中，a1 2,d 2m,an2 (n 1) 2m.在 bn 中，b1二2,b2 2 2m,q 2 22m 1 m,bn 2 (1 m)n 1。令 b k a n (k 3),則k 1k 1k 1_ 1k 22 (m 1) =2 (n 1) 2m. (m 1)1 (n 1) m,mCk

9、 1 mCk 2k 2 1 1k 3k k 2k 1 m 1 1 (n 1) m,可解出 n 1 m Ck 1mCk 1 N,即 bk為an中的某一項。證2：(數學歸納法)當 n=1時，b1 a1 ；假設bk是an的第p項，即2 (m 1)k 1 2 2m( p 1),則 bk1 bk(m 1) 2 2m(p 1) (m 1)=2+2mm(p 1) p 1 1即bk1是an中的第m (p-1 ) +p+1項。由、得，數列bn是數列an的子數列。小結：這個問題的解決還沒有完成一般情況的討論。一是首項可以不確定，二是子數列并非要前面兩項相同五、課后思考(1) 例 2 中，若 a1 3呢(d 3m,

10、 m N)?d(2) 右a1不確定呢？ (一 N) ?ai(3) 等比數列是否存在等差數列？奉賢區致遠高級中學高二數學競賽試題(2006 年 5 月)一、 填空題(本題16小題，每小題4分，共64分)1 .函數f(x) log：0sx在x (0,2 )時的單調遞增區間是 .22 . 一個等差數列共有 12項，前4項的和是10,后4項的和是4,則中間4項的和是 .3 .定義在R上的奇函數f(x)，在0,上是增函數，若f(1) f (x 1),則x的取值范圍是4 .已知函數f(x)x23x 2?5x 6 ,則函數f(x)的最大值與最小值之差是5 . 函數y cos(sin x)的值域是6 .已知n

11、個向量的和為零向量，且其中一個向量的坐標為(3,4),則其余(n 1)個向量和的模是.27 .若sin 是萬程xv3x 1 0的根，則sin2(一)的值是48 .若雙曲線x2 y2 1的右支上有一點 P(a,b)到直線y x的距離為 J2 ,則a b 9 .如圖，正四面體 ABCD的棱長為6cm,在棱AB,CD上各有一點 E,F ,若AE 1cm,CF 2cm,則線段EF的長為 cm10 .設正三棱錐底面的邊長為 a,側面組成直二面角，則該棱錐的體積等于 11 .如圖所示，在兩面豎直墻壁 AB和CD之間的一點P放一個梯子，梯子靠上AB 時，與地面成750角，靠上CD時，與地面成450角。已知墻

12、 AB的高度為7m, 那么兩墻之間的距離為 m12 .三角形的邊長分別為2, 3, . 6，則能將它完全覆蓋的最小的圓的面積是13 .如果方程 x2 4x 6 a有兩個不同的實數根，那么實數a的取值范圍是14 .定義“等和數列”：在一個數列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常 數，那么這個數列叫做等和數列，這個常數叫做該數列的公和。已知數列an是等和數列，且 ai 2,公和為5,那么ai8的值為，這個數列白前n項和Sn的計算公式為 2215.一個正三角形ABC內接于橢圓匕 1,頂點A的坐標為(0,2),過頂點A94的高在Y軸上，則此正三角形的邊長為 16.對任意實數x, y,函數f(x)

13、滿足f (x) f(y) f(x y) xy 1,若f 1 ,則對負整數n, f (n)的表達式為 二、(本題12分)已知數列an中，an 2an 1 n(n Z且n 1),(1) 若an是等差數列，求 an的通項公式；(2) an能否為等比數列？若可能， 求出此等比數列的通項公式，若不能，說明理由三、(本題12分)設f (x) Tax2bx，求滿足下列條件的實數 a的值：至少有一個正數b ,使f (x) 的定義域和值域相同四、(本題12分)2設A(x1,y。B(x2, y2)兩點在拋物線y 2x上，l是AB的垂直平分線。(1) 當且僅當x x2取何值時，直線l經過拋物線的焦點 F ?證明你的

14、結論；(2) 當直線l的斜率為2時，求l在y軸上截距的取值范圍參考答案1- (0,i)2. 7；3.2;4. 0;5. cos1,1 ;6. 5;7.21 4;8.9.23;11. 7;12.3213.26,一514. 3,當n為偶數時,Sn n,當2n為奇數時，Sn15. 72A3116.f(n)n2 3n 22解：(1)設公差為則由 an2an 1 n，得a1(n1)d2a1(n 2)d n ,即 a1 3d n(d1)0(n Z,n1) (?)0且a11,a13時，(？)恒成立，所以的通項公式為ana1(n1)d2an是等比數列，設公比為q ,貝U由 an 2an 1 n 得 aq2al

15、2,2aq2a1q 3 解得 a14,q但不滿足aq3 2a1q24,所以an不可能是等比數列解:若a 0 ,則對每個正數b , f (x)v'ax2 bx的定義域和值域都是0,0滿足條件;f (x) v'ax2 bx 的x ax2 bx 0 =0,，但f (x)的值域A0,，故DA,即a 0不符合條件;若a 0,則對正數bf(x)v'ax2 bx的定義域D0,由于此時(f (x) maxf() 一=，故f (x)的值域是 0,2a 2， aa 4,綜上所述a 0或a 4四、解：（1） F l拋物線的準線是 x軸的平行線,FA FBA, B兩點到拋物線的準線的距離相等,yi 0,y2 。，依題意，yi,y2不同日為0,上述條件22yiy xi x2(Xi X2)(Xi X2)0,XiX2,Xi X2 0,即當且僅