1、八年級下數學第二章導學案及答案：2.1一元二次方程（1）【課前預習導學】1. 的方程是一元一次方程,其中“一元”指的是 ；“一次”指的是 .若關于x的方程kx+b=0是一元一次方程，則一定有k . 2.已知兩個數的和為8，積為12，求這兩個數.如果設一個數為x，那么另一個數為 ，根據題意可列出方程 .3.判斷下列未知數的值是不是方程3x2=4-4x的解.（1）x=1 （2）x=-2 （3）x=2 (4) x=【課外資料導學】人類很早就掌握了一元二次方程的解法，但是對一元三次方程的研究，則是進展緩慢.古代中國、希臘和印度等地的數學家，都曾努力研究過一元三次方程，但是他們所發明的幾種解法，都僅僅能

2、夠解決特殊形式的三次方程，對一般形式的三次方程就不適用了.數學史上最早發現一元三次方程通式解的人，是十六世紀意大利的另一位數學家尼柯洛馮塔納（Niccolo Fontana）.馮塔納出身貧寒，少年喪父，家中也沒有條件供他念書，但是他通過艱苦的努力，終于自學成才，成為十六世紀意大利最有成就的學者之一.由于馮塔納患有“口吃”癥，所以當時的人們昵稱他為“塔爾塔里亞”（Tartaglia），也就是意大利語中“結巴”的意思.后來的很多數學書中，都直接用“塔爾塔里亞”來稱呼馮塔納.【課中生成導學】1.關于x的方程ax2+bx+c=0.當a0時，是 方程；當a=0，且b0時，是 方程.2.在將一個一元二次方

3、程化為一般形式時，等號左邊要按未知數從高次到低次排列，等號右邊化為零.3.要尋找一元二次方程的項或項的系數，一定要先把方程化為一般形式，即ax2+bx+c=0（a0）的形式.要注意項或項的系數要包含它前面的符號.得 分【課堂測評導學】（共10分） 1下列方程中，不是一元二次方程的是（ ）（A） （B）（C） (D)2.關于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，則a的取值范圍是 3.若x=1是方程x2ax+5=0的解，則= .4.把下列關于x的方程化為一般形式，并寫出二次項系數、一次項系數和常數項。(1)5x2-2=-3x （2）(8-2x)(5-2x)=18（3）5.已知x2+3x+

4、1的值為5，則代數式2x2 +6x2的值為多少？【課后拓展導學】1.若關于x的方程（m2）x2 + x + 1 =0是一元二次方程，則m的取值范圍是（ ）(A)m2 (B)m0 (C)m0且m2 (D)m為任何實數2.構造一個一元二次方程，要求：（1）一次項系數為零；（2）有一個根為.2.2一元二次方程的解法（1） 【課前預習導學】1.將下列各式分解因式：（1）y2-3y= ； (2)4x2-9= ；（3）x2-2x+1= ；(4)（3x-4）2-(4x-3)2= .把一個多項式化為幾個 的形式叫做因式分解.2.若A·B=0,則 ；若y(y-3)=0,則 =0或 =0.3.一元二次方

5、程y2=3y的根是（ ）(A)y=0 (B)y=3 (C)y1=0,y2=3 (D) y1=0,y2=-34.若x2=9,則x= ；若x2-16=0，則x= .【課外資料導學】約瑟夫問題與因式分解有一個古老的傳說，有64名戰士被敵人俘虜了，敵人命令它們排成一個圈，編上號碼1，2，3，64.敵人把1號殺了，又把3號殺了，他們是隔一個殺一個這樣轉著圈殺.最后剩下一個人，這個人就是約瑟夫，請問約瑟夫是多少號？這就是數學上有名的“約瑟夫問題”.給大家一個提示，敵人從l號開始，隔一個殺一個，第一圈把奇數號碼的戰士全殺死了.剩下的32名戰士需要重新編號，而敵人在第二圈殺死的是重新編排的奇數號碼.按照這個思

6、路，看看你能不能解決這個問題？答案解析：由于第一圈剩下的全部是偶數號2，4，6，8，64.把它們全部用2除，得1，2，3，4，32這是第二圈重新編的號碼。第二圈殺過之后，又把奇數號碼都殺掉了，還剩下16個人.如此下去，可以想到最后剩下的必然是64號.642×2×2×2×2×2，它可以連續被2整除6次，是從1到64中質因數里2最多的數，因此，最后必然把64號剩下.從642×2×2×2×2×2還可以看到，是轉過6圈之后，把約瑟夫剩下來的.【課中生成導學】1.運用因式分解法解一元二次方程，關鍵在于把方

7、程化為一般式后，將等號左邊的多項式進行因式分解.等號左邊的多項式常見類型有：(1)用公式法因式分解.如:a2-b2可分解為（a+b）(a-b)（a,b都是單項式）；A2-B2=(A+B)(A-B)(A,B是多項式，此時用到整體思想)；a2±2ab+b2可分解為（a±b）2；(2)用提取公因式法因式分解.2.解一元二次方程的基本思想：降次.即化二次為一次.得 分【課堂測評導學】（共10分） 1方程x2-3x=0的解為_2.方程x（x-1）=2的兩根為（ ）Ax1=0，x2=1 Bx1=0，x2=-1 Cx1=1，x2=2 Dx1=-1，x2=23. 用因式分解法解下列方程：（

8、1）x2+3x=0； （2）y2=4y；（3）（n2）（2n + 3）=0； （4）x（3x+2）+3（3x+2）=04. 已知關于x的方程2x2kx +1 =0的一個解與方程的解相同.求k的值； 【課后拓展導學】小明打算用總長24cm的鐵絲折出面積為32cm2的矩形，請你幫他分析一下能否做到？2.2一元二次方程的解法（2）【課前預習導學】1.若一個數x的平方等于a,則這個數x就叫做a的 ；一個正數有 個平方根，它們互為 ；求一個數的平方根的運算叫做 .2.填上適當的數，使下列等式成立：（1）x2+12x+ =(x+6)2； (2)x2-4x+ =(x- )2；（3）x2+8x+ =(x+ )

9、2； (4)x2+7x+ =(x+ )2；(5)x2-x+ =(x- )2；3.方程x2-4=0的根是 . 4.已知，當y=2時,x= . 5.如果是一個完全平方式，則m的值為 .【課外資料導學】一元二次方程的解法由來（1）一元二次方程（quadratic equation of one variable）是指含有一個未知數且未知數的最高次項是二次的整式方程.在公元前兩千年左右，一元二次方程及其解法已出現于古巴比倫人的泥板文書中：求出一個數使它與它的倒數之和等于一個已給數.可見巴比倫人已知道一元二次方程并知道了求根公式.但他們當時并不接受負數，所以負根是略而不提的.埃及的紙草文書中也涉及到最簡

10、單的二次方程，在公元前4、5世紀時，古中國也已掌握了一元二次方程的求根公式.希臘的丟番圖（246-330）卻只取二次方程的一個正根，即使遇到兩個都是正根的情況，他亦只取其中之一.【課中生成導學】1.運用配方法解一元二次方程，關鍵在于配方.配方的對象是含有未知數的二次三項式.2.用配方法解一元二次方程的基本步驟：（1）先把方程移項，得 ；（2）方程兩邊同時加上 ，得_，（3）若 0，就可以用開平方法求出方程的根.3.在配方過程中，一定要牢記方程兩邊要同時加；同時配成完全平方式時要關注符號.得 分【課堂測評導學】（共10分） 1（2011甘肅蘭州中考）用配方法解方程時，原方程應變形為（ ）ABCD

11、2.一個數的平方與它的的平方的和等于90，則這個數是（ ）A9 B9或6 C D3. 用開平方法解下列方程：（1）3x2=12 （2）4. 用配方法解下列方程：（1） （2）（3）【課后拓展導學】說明多項式的值恒大于零.2.2一元二次方程的解法（3）【課前預習導學】1.用配方法解方程時，原方程應變形為（ ）A B C D2.請在橫線上填上適當的數，使下列等式成立.（1）x- )2+2；(2) x+ )2.3.若x=2是關于x的方程的一個根，則a的值為 .4.用配方法解下列方程：（1） （2）【課外資料導學】一元二次方程的解法由來（2）公元628年，從印度的婆羅摩笈多寫成的婆羅摩修正體系中，得到

12、二次方程二次項系數為1的一個求根公式.在阿拉伯阿爾花拉子米的代數學中討論到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六種不同的形式，令 a、b、c為正數.把二次方程分成不同形式作討論，是依照丟番圖的做法.阿爾花拉子米除了給出二次方程的幾種特殊解法外，還第一次給出二次方程的一般解法，承認方程有兩個根，并有無理根存在，但卻未有虛根的認識.十六世紀意大利的數學家們為了解三次方程而開始應用復數根.韋達（1540-1603）除已知一元方程在復數范圍內恒有解外，還給出根與系數的關系.我國九章算術勾股章中的第二十題是通過求相當于的正根而解決的.我國數學家還在方程的研究中應用了內插法.【課中生成導學】當一元

13、二次方程的二次項系數不為1時，用配方法解的一般步驟：一除：即方程兩邊同除以二次項系數，目的是化二次項系數為1；二移：將常數項移到等號右邊；三配：等式兩邊同時加上 ，目的是將等式左邊配成完全平方式；四開：用直接開平方法將二次方程轉化為一次方程；五解：求解一次方程.得 分【課堂測評導學】（共10分） 1填空：x2-x+_=（x- ）22已知方程x26x+q=0可以配方成（xp）2=7的形式，那么x26x+q=2可以配方成下列的（ ）A（xp）2=5 B.（xp）2=9C.（xp+2）2=9 D.（xp+2）2=53用配方法解下列方程：（1）x2-2x-1=0 （2）0.1x2-x-0.2=04已知

14、y=2x2+7x-1當x為何值時，y的值與4x+1的值相等？ 【課后拓展導學】不論x，y是什么實數，代數式x2+y2+2x-4y+7的值（ ）A總不小于2 B.總不小于7 C.為任意實數 D.為負數2.2一元二次方程的解法（4）【課前預習導學】1.解方程較簡便的解法是（ ）A直接開平方法 B因式分解法 C配方法 D都一樣 2.一元二次方程的一般形式為 ；把方程化為一般形式是 ；其中a= ,b= ,c= , = .3.用配方法解下列方程:(p,q為常數，且).【課外資料導學】一元二次方程求根公式的歷史一元二次方程的求根公式歷史上著名的探討王學功編譯古代的數學家們曾使用了多種方法求解一元二次方程古

15、希臘人善長于應用幾何方法求解，印度人和阿拉伯人曾用過一種類似現今完全平方的步驟并借用修辭學的表現手法詳細地描述了解答過程他們考慮了方程的各種不同的類型，如，和等所不同的是，我們今天可以把它們寫成統一的形式十六世紀開始出現了近代數學符號卡當和基拉德提出了負根和成對虛根的可能性根據笛卡爾的負數的幾何意義和高斯等人創立的復數的幾何意義，這些數可以成為二次方程的根【課中生成導學】1.對于一元二次方程.當 0時，方程有兩個不相等的實數根；當 0時，方程有兩個相等的實數根；當 0時，方程沒有實數根；反之也成立.2.解一元二次方程一般有四種方法 、 、 和 .要選哪一種方法來解一元二次方程，應該根據方程本身

16、的特征作出選擇.得 分【課堂測評導學】（共10分） 1的求根公式為x= .2中，c= ；= .3一元二次方程，把二次項系數變為正數，且使方程的根不變的是（ ）A B. C. D. 4用公式法解下列方程：（1） （2）5選擇恰當的方法解下列方程：（1） （2）【課后拓展導學】（2011江蘇蘇州中考）下列四個結論中，正確的是（ ）A.方程x=2有兩個不相等的實數根B.方程x=1有兩個不相等的實數根C.方程x=2有兩個不相等的實數根D.方程x=a（其中a為常數，且|a|>2）有兩個不相等的實數根2.3一元二次方程的應用（1）【課前預習導學】1.列一元一次方程解應用題的一般步驟是什么？2要做一個

17、高是8cm，底面的長比寬多5cm，體積是528cm3的長方體木箱，問底面的長和寬各是多少？設長方體的寬為xcm，則長為 cm，底面積為 cm2.由題意，可列出方程 .3某種手表，原來每只售價960元.現商場決定降價銷售，若每只下降的百分率為x，則降價后的售價為 ；若以同樣的百分率連續降價兩次，則售價為 .【課外資料導學】列方程的技巧語言的翻譯代數的語言就是方程.牛頓在普遍的算術一書里寫道：“要解答一個含有數量間的抽象關系的問題時，只要把題目中的日常語言翻譯成代數的語言就行了”.列方程的訣竅就是這里的翻譯技巧.方程是初等代數中的重要內容，方程的知識在生產實踐中有廣泛應用.中國古代對方程就有研究.

18、在九章算術中載有“方程”一章，距今已近2000年，書中方程是指多元聯立一次方程組.13世紀秦九韶首創正負開方術，即一元高次方程的數值解法.在西方，英國W.G.霍納于1819年才發現類似的近似方法.14世紀朱世杰對含有四個未知數的高次聯立方程組的研究已達到了很高的水平.【課中生成導學】1. 列一元二次方程解應用題的一般步驟同列一元一次方程解應用題；解題的關鍵在于找出題目中的 .2.常見的幾種應用題類型及相應的等量關系：應用題類型等量關系增長率問題利潤問題總利潤=單利潤×數量 單利潤=售價-進價得 分【課堂測評導學】（共10分） 1某廠2010年的年產值是100萬元，計劃2012年產值達

19、到144萬元.設年平均增長率為x，則可得到關于x的方程 .2小張買了10本練習本，店主給他八折（即標價的80）優惠，結果便宜了1.60元，則每本練習本的標價是（ ）A0.20元 B. 0.40元 C. 0.60元 D. 0.80元3某品牌彩電原價為每臺3600元，經兩次降價后，每臺售價為2500元.如果每次降價的百分率都是x，根據題意可列出方程（ ）A B. C. D.4（2011浙江義烏中考）商場某種商品平均每天可銷售30件，每件盈利50元. 為了盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施. 經調查發現，每件商品每降價1元，商場平均每天可多售出 2件設每件商品降價x元. 據此規律，請回答：（1

20、）商場日銷售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代數式表示）；（2）在上述條件不變、銷售正常情況下，每件商品降價多少元時，商場日盈利可達到2100元？ 【課后拓展導學】一個容器裝滿40升純酒精倒出一部分后用水注滿，再倒出與第一次同量的混合液后用水加滿，此時容器內含純酒精10升，求每次倒出的升數.2.3一元二次方程的應用（2）【課前預習導學】1.有一張長40cm、寬25cm的長方形硬紙板，裁去角上四個邊長為4cm的小正方形之后，折成一個無蓋紙盒，那么這個無蓋紙盒底面的長是 cm,寬是 cm.若裁去角上四個邊長為xcm的小正方形后，折成的無蓋紙盒的底面長為 cm，寬為 cm.2.一個立方體的表面

21、積是384cm2,求這個立方體的棱長.設這個立方體的棱長為xcm，根據題意可列出方程 ，解這個方程得 .3某班同學畢業時都將自己的照片向全班其他同學送一張表示留念，全班共送1035張照片，如果全班有x名同學，根據題意，列出方程為（ ）A B. C. D.【課外資料導學】一元二次方程的幾何解法對于一元二次方程，我國及其他國家的古代數學家都研究過幾何解法.以為例，三國時期的數學家趙爽(公元34世紀)在其所著的勾股圓方圖注中記載的方法是：構造圖形，一方面使大正方形的面積是；另一方面，它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，即4×35+22，據此可得x=5.公元9世紀，阿拉伯數學家阿爾

22、·花拉子米采用的方法是：構造圖形，一方面正方形的面積為，另一方面，它又等于35+1，據此同樣可得x=5.【課中生成導學】1.用一元二次方程解決實際問題，先弄清題意，設好未知數，根據等量關系，列好方程，而后求解這個方程，并檢驗所得解是否符合題意，最后寫出正確答案.2.幾種常見題型的等量關系：（1）行程問題：路程=速度×時間 （2）工程問題：工作量=工作效率×工作時間（3）購物問題：總價=單價×數量 （4）面積問題：長方形的面積=長×寬得 分【課堂測評導學】（共10分） 1直角三角形斜邊與它的一條直角邊的比等于5:4，而另一條直角邊的長等于15cm

23、，則這個三角形的周長為 cm.2要用一條長為24cm的鐵絲圍成一個斜邊長是10cm的直角三角形，設一直角邊長為xcm，可列方程 .3從正方形鐵片上，截去2cm寬的一條長方形，余下的面積為48cm2,則原來的正方形鐵片面積是（ ）A8cm2 B.36cm2 C.49cm2 D.64cm24（2011江蘇宿遷中考）如圖，鄰邊不等的矩形花圃ABCD，它的一邊AD利用已有的圍墻，另外三邊所圍的柵欄的總長度是6m若矩形的面積為4m2，求AB的長（可利用的圍墻長度超過6m）圍墻圍墻圍墻圍墻圍墻第4題圖5如圖，甲船從O點出發，以40海里時的速度自南向北航行；此時乙船從位于O點正東方向120海里的A處出發，以

24、30海里時的速度自東向西航行問經過多少時間，兩船相距100海里？圍墻圍墻圍墻第5題圖【課后拓展導學】在矩形場地的中央修建一個正方形花壇，花壇四周的面積與花壇面積相等，如果場地的長比花壇的邊長多6m，場地的寬比花壇的邊長多4m,求矩形的長和寬.2.4一元二次方程根與系數的關系【課前預習導學】1. 一元二次方程的一般形式是 . 當 0時，方程有兩個不相等的實數根；當 0時，方程有兩個相等的實數根；當 0時，方程沒有實數根.2. 設分別是一元二次方程的兩個根，請計算填表.方 程 x1 x2x1+x2 x1x2  x2+3x-4=0 

25、0;  6x2+x-2=0     2x2-3x +1=0    【課外資料導學】 韋達定理的應用韋達定理是反映一元二次方程根與系數關系的重要定理它的應用主要包括以下幾個方面：1.已知方程的一個根，求另一個根和未知系數； 2.求與已知方程的兩個根有關的代數式的值； 3.已知方程兩根滿足某種關系，確定方程中字母系數的值； 4.已知兩數的和與積，求這兩個數； 5.已知方程的兩根x1，x2 ，求作一個新的一元二次方程x2 (x1+x2) x+ x1x2 =0 ； 6.利用求根公式在

26、實數范圍內分解因式ax2+bx+c = a(x- x1)(x- x2) .【課中生成導學】1. 一元二次方程根與系數的關系：如果是一元二次方程ax2+bx+c =0的兩個根，那么=  ；= .根與系數的這種關系又稱為韋達定理. 它的逆定理也是成立的，即當=  ，=  時，那么是方程ax2+bx+c =0的兩根.2. 有關一元二次方程根的計算問題，當根是無理數時，運算將十分繁瑣，這時，如果方程的系數是有理數，利用根與系數的關系解題可起到化難為易、化繁為簡的作用.得 分【課堂測評導學】（共10分） 1 設分別是一元二次方程的根，填空：（1）x2-7x-2 =0. =

27、 ，=  .（2）5x2+3x-1 =0. =  ，=  .（3）25x2-5 =0. =  ，=  .（4）2x2-5x =2. =  ，=  .2. 已知方程x2+px+q=0的兩個根為-2和4，則p=_，q=_.3. 已知方程x2-bx+22=0的一根為，則另一根為_，b=_.4. 若方程ax2+bx+c=0(a0)的一根是另一根的2倍，則a，b，c的關系應是（   ）A b2=8ac  B4b2=3ac  C2b2=9ac  D3b2=5ac5.

28、k為何值時，方程x2-6x+k-1=0：（1）兩根相等；（2）有一根為0；（3）兩根為倒數.【課后拓展導學】已知，是方程的兩個實數根，求的值.2.1一元二次方程（1）【課前預習導學】1.只含一個未知數，且未知數的最高次數是1次；一個未知數；未知數的最高次數是1次； k0 2. 8-x； x(8-x)=12 3.（1）不是（2）是（3）不是(4)是【課中生成導學】1.一元二次；一元一次【課堂測評導學】1 D 2. a1 3. 4.(1) 一般形式5x2+3x-2=0； 二次項系數為5，一次項系數為3，常數項為-2.（2）一般形式4x2-26x+22=0；二次項系數為4，一次項系數為-26，常數項

29、為22.（3）一般形式2x2+（1+）x-25=0；二次項系數為2，一次項系數為1+，常數項為-25. 5.解：由題意知x2+3x+1=5 則x2+3x=4 所以2x2 +6x2=2(x2+3x)-2=2×4-2=6，故代數式2x2 +6x2的值為6.【課后拓展導學】1. C 2.答案不唯一.如等2.2一元二次方程的解法（1）【課前預習導學】1.（1） (2) （3）(4) ；整式的積2.A=0或B=0；y；y-3 3. C 4.±3；±4【課堂測評導學】 1 2. D 3.（1） （2）（3） （4）4.解方程得,把代入方程2x2kx+1=0得k=3. 【課后拓展導學】能做到.矩形相鄰兩邊長分別為8厘米和4厘米