1、第二章第二章 偶然誤差的統(tǒng)計(jì)特性與精度指標(biāo)偶然誤差的統(tǒng)計(jì)特性與精度指標(biāo)本章重點(diǎn)本章重點(diǎn) 1.正態(tài)分布與偶然誤差的規(guī)律；正態(tài)分布與偶然誤差的規(guī)律； 2.衡量精度的指標(biāo)；衡量精度的指標(biāo)； 3.精度、準(zhǔn)確度、精確度以及測量不確定度的概念；精度、準(zhǔn)確度、精確度以及測量不確定度的概念；2-1 正態(tài)分布正態(tài)分布 概率論中的正態(tài)分布是誤差理論與測量平差基礎(chǔ)中隨機(jī)變量的基本分布。概率論中的正態(tài)分布是誤差理論與測量平差基礎(chǔ)中隨機(jī)變量的基本分布。為什么正態(tài)分布是一種重要分布？為什么正態(tài)分布是一種重要分布？（1）設(shè)有相互獨(dú)立的隨機(jī)變量）設(shè)有相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1，X2，Xn,其總和為其總和為X= Xi,無論這些隨無

2、論這些隨機(jī)變量原來服從什么分布，也不論它們是同分布或不同分布，只要它們具有機(jī)變量原來服從什么分布，也不論它們是同分布或不同分布，只要它們具有有限的均值和方差，且其中每一個(gè)隨機(jī)變量對(duì)其總和有限的均值和方差，且其中每一個(gè)隨機(jī)變量對(duì)其總和X的影響都是均勻地小，的影響都是均勻地小，即沒有一個(gè)比其他變量占有絕對(duì)優(yōu)勢(shì)，其總和即沒有一個(gè)比其他變量占有絕對(duì)優(yōu)勢(shì)，其總和X將是服從或近似服從正態(tài)分布將是服從或近似服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。的隨機(jī)變量。 換句話說，當(dāng)對(duì)某個(gè)量進(jìn)行觀測時(shí)，總是不可避免地受到若干偶然因換句話說，當(dāng)對(duì)某個(gè)量進(jìn)行觀測時(shí)，總是不可避免地受到若干偶然因素的影響，其中每一個(gè)引起的基本誤差項(xiàng)為素的影響

3、，其中每一個(gè)引起的基本誤差項(xiàng)為i，而總的測量誤差，而總的測量誤差 = i，如，如果每一個(gè)果每一個(gè)對(duì)其總和對(duì)其總和 的影響都是均勻地小，那么，總和的影響都是均勻地小，那么，總和 就是服從正態(tài)分布就是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。的隨機(jī)變量。（2）有許多種分布，如二項(xiàng)分布、）有許多種分布，如二項(xiàng)分布、t分布等等，當(dāng)分布等等，當(dāng)n 時(shí)，它們多趨近于時(shí)，它們多趨近于正態(tài)分布，或者說許多種分布都是以正態(tài)分布為極限分布的。正態(tài)分布，或者說許多種分布都是以正態(tài)分布為極限分布的。一、一維正態(tài)分布一、一維正態(tài)分布1.概率密度概率密度:其中其中和和是分布密度的兩個(gè)參數(shù)。正態(tài)分布也稱為高斯分布。對(duì)一維隨機(jī)是分布密度的兩個(gè)

4、參數(shù)。正態(tài)分布也稱為高斯分布。對(duì)一維隨機(jī)變量數(shù)字特征為變量數(shù)字特征為和和的正態(tài)分布，一般記為的正態(tài)分布，一般記為 x 。)x(21exp21f(x)x(e21)x(f222)x(2 或?qū)憺榛驅(qū)憺?,(N2.一維正態(tài)隨機(jī)變量一維正態(tài)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望和方差的數(shù)學(xué)期望和方差推導(dǎo)：推導(dǎo)：作變量代換，令作變量代換，令則有則有 因?yàn)橐驗(yàn)?故故等號(hào)右邊第二項(xiàng)的積分詳見李慶海、陶本藻編等號(hào)右邊第二項(xiàng)的積分詳見李慶海、陶本藻編概率統(tǒng)計(jì)原理在測量中的應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)原理在測量中的應(yīng)用293頁。頁。 xdx)x(f)x(E 222dx)x(Ex)x(f)x(ExE)x(D dxe21xdx)x(xf)X(E22)x

5、(21 dtdx,tx,xt 2dte0)t21d(-e -dte tdte2dte t2dte )t(21)X(E222222t212t21t21t21t21t21 22)X(E數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 有甲乙兩射手他們射擊技術(shù)如下表：有甲乙兩射手他們射擊技術(shù)如下表：擊中環(huán)數(shù)x 8 9 10 隨機(jī)量概率概率 P甲乙 0.3 0.1 0.6 0.2 0.5 0.3試問哪一個(gè)射手技術(shù)好呢？試問哪一個(gè)射手技術(shù)好呢？ 甲：甲：80.3+90.1+100.6=9.3 乙：乙： 80.2+90.5+100.3=9.1平均起來甲的技術(shù)好些。這種平均值就是隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。平均起來甲的技術(shù)好些。這種平均值就是隨機(jī)

6、變量的數(shù)學(xué)期望。定義定義1.1：設(shè)離散型的隨機(jī)變量的分布律為設(shè)離散型的隨機(jī)變量的分布律為 PX=xi=pi ，i =1,2, 若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂，則稱級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則稱級(jí)數(shù) 為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期的數(shù)學(xué)期望或算數(shù)平均值，記為望或算數(shù)平均值，記為i1iipx i1iipx i1iipx)X(E 定義定義1.2：若連續(xù)型的隨機(jī)變量若連續(xù)型的隨機(jī)變量X的概率密度為的概率密度為f(x)，若積分，若積分絕對(duì)收斂，則稱積分絕對(duì)收斂，則稱積分 為為X的數(shù)學(xué)期望或平均值，記為的數(shù)學(xué)期望或平均值，記為 dx)x(xf dx)x(xf dx)x(xf)X(E一維正態(tài)隨機(jī)變量一維正態(tài)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望

7、的數(shù)學(xué)期望 dx)x(fe2dxe21)2)-(xd(-e2dxe2)d(x2xdxe21)(xdxe21xdx)x(xf)X(E22222222222222)x(21)x(2122)x(21)x(21)x(21)x(21)x(21推導(dǎo)：推導(dǎo)：dx2)-2(x)2)-(xd(222 概率概率=10e122)x(21 xxee 由由數(shù)學(xué)期望看出數(shù)學(xué)期望看出甲乙兩射手中甲的技術(shù)好些，還需要研究誰的技術(shù)穩(wěn)甲乙兩射手中甲的技術(shù)好些，還需要研究誰的技術(shù)穩(wěn)定，即各次射擊的環(huán)數(shù)偏離平均值的程度，也就是研究隨機(jī)變量相對(duì)其均定，即各次射擊的環(huán)數(shù)偏離平均值的程度，也就是研究隨機(jī)變量相對(duì)其均值的離散程度，最直觀的方

8、法求偏差的數(shù)學(xué)期望，即值的離散程度，最直觀的方法求偏差的數(shù)學(xué)期望，即但上式帶有絕對(duì)值，運(yùn)算不方便，通常用但上式帶有絕對(duì)值，運(yùn)算不方便，通常用 來度量隨機(jī)變量相來度量隨機(jī)變量相對(duì)其均值的離散程度。對(duì)其均值的離散程度。方差定義：方差定義：設(shè)設(shè)X是一隨機(jī)變量，若是一隨機(jī)變量，若 存在，則稱之為隨機(jī)變量存在，則稱之為隨機(jī)變量的方差，記為的方差，記為 XEXE 2XEXE 2XEXE 2XEXEXD 在應(yīng)用中為了與隨機(jī)變量有相同的量綱，引入在應(yīng)用中為了與隨機(jī)變量有相同的量綱，引入標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差（或（或均方差均方差），記），記為為 XDX 由定義可知，方差就是隨機(jī)變量由定義可知，方差就是隨機(jī)變量X的函數(shù)的函

9、數(shù) 的數(shù)學(xué)期的數(shù)學(xué)期望，對(duì)于離散型的隨機(jī)變量，若望，對(duì)于離散型的隨機(jī)變量，若X的分布律為的分布律為 則有則有 2XEXXg ，2 , 1i,pxXPii 212iii21iipn1pXExXD對(duì)于連續(xù)型的隨機(jī)變量對(duì)于連續(xù)型的隨機(jī)變量X，若，若X的概率分布密度函數(shù)為的概率分布密度函數(shù)為f(x)，則有，則有 22dx)x(Ex)x(f)X(D 推導(dǎo)推導(dǎo) dxe2xdx)x(f)x(Ex)X(D222x22 dtdx,tx,xt 2t-dte2dtet2dte2tXD22t-22t-222t-22222 2t-22t-22ev,dtdu,2tdedvt,u 令令 dte02dtete2XD2t-22

10、t-2t-2222 2t21XD2dte2 dxuvuvdxvu 222dx)x(Ex)x(f)x(ExE)x(D 推導(dǎo)推導(dǎo)作變量代換，令作變量代換，令即即證畢。證畢。dtdx,xt dxuvuvdxvu,ev,dtdu),2t(dedv, tu)2t-de t2-dtet2dx)x(Ex)x(f)x(ExE)x(D2t22t22t22t22222222則則有有設(shè)設(shè)（ 222t2t22t2222)dtete(2dtet2)X(D222 3.一維正態(tài)隨機(jī)變量出現(xiàn)在給定區(qū)間一維正態(tài)隨機(jī)變量出現(xiàn)在給定區(qū)間 內(nèi)的概率內(nèi)的概率則有則有由正態(tài)分布概率數(shù)值表查得：由正態(tài)分布概率數(shù)值表查得：)k,k( dx2

11、)x(Ex(exp21dx)x(f)kxk(Pkk22kk xtdt2texp22dt2texp21)kxk(Pk02kk2 683. 0)(xp955. 0)22(xp997. 0)33(xp如果令如果令二、二、N維正態(tài)分布維正態(tài)分布 設(shè)隨機(jī)向量設(shè)隨機(jī)向量 服從正態(tài)分布，則服從正態(tài)分布，則n維正態(tài)分布的隨機(jī)向維正態(tài)分布的隨機(jī)向量量X的聯(lián)合概率密度函數(shù)是的聯(lián)合概率密度函數(shù)是n維正態(tài)隨機(jī)變量維正態(tài)隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望和方差（的數(shù)學(xué)期望和方差（數(shù)字特征數(shù)字特征）分別為）分別為其中：其中： 是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量Xi的方差，的方差， 是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量Xi對(duì)隨機(jī)變量對(duì)隨機(jī)變量Xj的互協(xié)方差。的互協(xié)方

12、差。 Tn21)x,x,x(X X1XXTX2n21XXXDX21exp2D1)X(f Tn21)x,x,x(X XXdX)X(f)X(E XX22DdX)X(EX)X(f)X(EXE)X(D Xn21n21)x(E)x(E)x(E)X(E TXX)X(EX)X(EXED 2xxxxxxx2xxxxxxx2xn2n1nn2212n1211 2xi jixx 2-2 偶然誤差的規(guī)律性偶然誤差的規(guī)律性 任何一個(gè)觀測量，客觀上總是存在著一個(gè)能代表其真正大小的數(shù)。這一數(shù)任何一個(gè)觀測量，客觀上總是存在著一個(gè)能代表其真正大小的數(shù)。這一數(shù)值就稱為該觀測量的真值。從概率和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)看，當(dāng)觀測量僅含偶值就稱

13、為該觀測量的真值。從概率和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)看，當(dāng)觀測量僅含偶然誤差時(shí)，其數(shù)學(xué)期望也就是它的真值。然誤差時(shí)，其數(shù)學(xué)期望也就是它的真值。一、真誤差一、真誤差偶然誤差的定義偶然誤差的定義 設(shè)進(jìn)行了設(shè)進(jìn)行了n n次觀測，其觀測值為次觀測，其觀測值為L L1 1、L L2 2、L Ln n, ,假定觀測量的真值假定觀測量的真值為為 、 、 ，由于各觀測值都帶有一定的誤差，由于各觀測值都帶有一定的誤差 ，因此，每一，因此，每一觀測值觀測值L Li i與其真值或與其真值或E E（L Li i）之間必存在一差數(shù)，設(shè)為）之間必存在一差數(shù)，設(shè)為 iiiiiiLLLL 或i1L2LnL（2-2-1）式中式中 稱為真誤

14、差，有時(shí)簡稱為誤差。稱為真誤差，有時(shí)簡稱為誤差。,LLLL,LLLLn111 ,nn211 ,nn211 ,n LL Tn21LE,LE,LELE .LEL,LLE （2-2-3）若記若記則有則有（2-2-2）如果以被觀測量的數(shù)學(xué)期望如果以被觀測量的數(shù)學(xué)期望表示其真值，則表示其真值，則 測量平差中所要處理的觀測值是測量平差中所要處理的觀測值是假定不包含系統(tǒng)誤差和粗差的假定不包含系統(tǒng)誤差和粗差的，僅僅僅僅是指是指偶然誤差偶然誤差。 人們從無數(shù)的測量實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，在相同的觀測條件下，大量偶然誤差的人們從無數(shù)的測量實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，在相同的觀測條件下，大量偶然誤差的分布表現(xiàn)出一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，那就是它服從正

15、態(tài)分布。分布表現(xiàn)出一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，那就是它服從正態(tài)分布。1 1. 統(tǒng)計(jì)表統(tǒng)計(jì)表 在某測區(qū)，在相同的條件下，獨(dú)立地觀測了在某測區(qū)，在相同的條件下，獨(dú)立地觀測了358358個(gè)三角形的全部內(nèi)角，個(gè)三角形的全部內(nèi)角，由于觀測值帶有誤差，故三角觀測值之和不等于其真值由于觀測值帶有誤差，故三角觀測值之和不等于其真值180180，根據(jù)（，根據(jù)（2-2-2-2-1 1）式，各個(gè)三角形內(nèi)角和的真誤差可由下式算出：）式，各個(gè)三角形內(nèi)角和的真誤差可由下式算出：式中式中( (L L1 1+L+L2 2+L+L3 3) )i i表示各三角形內(nèi)角和的觀測值。表示各三角形內(nèi)角和的觀測值。 現(xiàn)取誤差區(qū)間的間隔現(xiàn)取誤差區(qū)間的

16、間隔d d為為0.200.20，將一組誤差按其正負(fù)號(hào)與誤差值的，將一組誤差按其正負(fù)號(hào)與誤差值的大小排列；統(tǒng)計(jì)誤差出現(xiàn)在各區(qū)間內(nèi)的個(gè)數(shù)，以及大小排列；統(tǒng)計(jì)誤差出現(xiàn)在各區(qū)間內(nèi)的個(gè)數(shù)，以及“誤差出現(xiàn)在某個(gè)區(qū)間誤差出現(xiàn)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)內(nèi)”這一事件的這一事件的頻率頻率(n(n= 358= 358），其結(jié)果列于表），其結(jié)果列于表2-12-1中。中。 358,2 ,1i180LLLi321i 二、偶然誤差的統(tǒng)計(jì)規(guī)律二、偶然誤差的統(tǒng)計(jì)規(guī)律 誤差的誤差的 區(qū)間區(qū)間 為負(fù)值為負(fù)值 為正值為正值 備備注注 個(gè)數(shù)個(gè)數(shù) 頻率頻率 個(gè)數(shù)個(gè)數(shù) 頻率頻率 0.000.200.200.400.400.600.600.800.801

17、.001.001.201.201.401.401.601.60以上以上 454033231713640 0.1260.1120.0920.0640.0470.0360.0170.0110 0.6300.5600.4600.3200.2350.1800.0850.0550 464133211613520 0.1280.1150.0920.0590.0450.0360.0140.0060 0.6400.5750.4600.2950.2250.1800.0700.0300 d= 0.20等于等于區(qū)間區(qū)間左端左端值的值的誤差誤差算入算入該區(qū)該區(qū)間內(nèi)間內(nèi)和和 1810.505 177 0.495 in/

18、i dni/n/i dni/i表表 2-1 從表從表2-12-1中可以看出，誤差的分布情況具有以下性質(zhì)：中可以看出，誤差的分布情況具有以下性質(zhì)： （1 1）誤差的絕對(duì)值有一定的限值；）誤差的絕對(duì)值有一定的限值； （2 2）絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差；）絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差； （3 3）絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差的個(gè)數(shù)相近。）絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差的個(gè)數(shù)相近。 為了便于以后對(duì)誤差分布互相比較，選取另一測區(qū)的為了便于以后對(duì)誤差分布互相比較，選取另一測區(qū)的421421個(gè)三角形個(gè)三角形內(nèi)角和的一組真誤差，按上述方法作了統(tǒng)計(jì)，其結(jié)果列于表內(nèi)角和的一組真誤差，按上述方法作了統(tǒng)計(jì)，其結(jié)果列于表

19、2-22-2。 表表2-22-2中所列的中所列的421421個(gè)真誤差，盡管其觀測條件不同于表個(gè)真誤差，盡管其觀測條件不同于表1-11-1中的真中的真誤差，但從表中可以看出；愈接近于零誤差的區(qū)間，其頻率愈大；隨著誤差，但從表中可以看出；愈接近于零誤差的區(qū)間，其頻率愈大；隨著離開零誤差愈來愈遠(yuǎn)，其頻率亦逐漸遞減；且出現(xiàn)在正負(fù)誤差區(qū)間內(nèi)的離開零誤差愈來愈遠(yuǎn)，其頻率亦逐漸遞減；且出現(xiàn)在正負(fù)誤差區(qū)間內(nèi)的頻率基本上相等。表頻率基本上相等。表2-22-2的誤差分布情況與表的誤差分布情況與表2-12-1內(nèi)誤差分布的情況具有內(nèi)誤差分布的情況具有相同的性質(zhì)。相同的性質(zhì)。表表 2-2 誤差的誤差的 區(qū)間區(qū)間 為負(fù)值

20、為負(fù)值 為正值為正值 備備注注 個(gè)數(shù)個(gè)數(shù) 頻率頻率 個(gè)數(shù)個(gè)數(shù) 頻率頻率 0.000.200.200.400.400.600.600.800.801.001.001.201.201.401.401.601.601.801.802.002.002.202.202.402.402.602.60以上以上 403431252016149756210 0.0950.0810.0740.0590.0480.0380.0330.0210.0170.0120.0140.0050.0020 0.4750.4050.3700.2950.2400.1900.1650.1050.0850.0600.0700.0250.

21、0100 3736292718171310874320 0.0880.0850.0690.0640.0430.0400.0310.0240.0190.0170.0090.0070.0050 0.4400.4250.3450.3200.2510.2000.1550.1200.0950.0850.0450.0350.0250 d= 0.20等于等于區(qū)間區(qū)間左端左端值的值的誤差誤差算入算入該區(qū)該區(qū)間內(nèi)間內(nèi)和和 2100.499 2110.501 in/i dni/in/i dni/2.2.直方圖直方圖 橫坐標(biāo)表示誤差的大小，縱坐標(biāo)代表橫坐標(biāo)表示誤差的大小，縱坐標(biāo)代表各區(qū)間內(nèi)誤差出現(xiàn)的頻率除以區(qū)間的間

22、隔各區(qū)間內(nèi)誤差出現(xiàn)的頻率除以區(qū)間的間隔值，即值，即 取間隔值取間隔值d d=0.20=0.20，分別根據(jù)表，分別根據(jù)表2-12-1和和表表2-22-2繪出圖繪出圖2-12-1和圖和圖2-22-2。此時(shí)圖中每一。此時(shí)圖中每一誤差區(qū)間上的長方條面積就代表誤差出現(xiàn)誤差區(qū)間上的長方條面積就代表誤差出現(xiàn)在該區(qū)間內(nèi)的頻率。例如，圖在該區(qū)間內(nèi)的頻率。例如，圖2-12-1中畫出中畫出斜線的長方條面積，就是代表誤差出現(xiàn)在斜線的長方條面積，就是代表誤差出現(xiàn)在0.000.00+0.20+0.20區(qū)間內(nèi)的頻率為區(qū)間內(nèi)的頻率為0.1280.128。 dn/i 圖圖2-1 圖圖2-2 3.3.偶然誤差的經(jīng)驗(yàn)分布與理論分布

23、偶然誤差的經(jīng)驗(yàn)分布與理論分布 圖圖2-3 在相同觀測條件下所得到的一組獨(dú)立觀測值的誤在相同觀測條件下所得到的一組獨(dú)立觀測值的誤差，只要誤差的數(shù)量差，只要誤差的數(shù)量n足夠大，誤差出現(xiàn)在各區(qū)間內(nèi)足夠大，誤差出現(xiàn)在各區(qū)間內(nèi)的頻率就總是穩(wěn)定在某一常數(shù)（理論頻率）附近。當(dāng)?shù)念l率就總是穩(wěn)定在某一常數(shù)（理論頻率）附近。當(dāng)n時(shí)，各頻率也就趨于一個(gè)完全確定的數(shù)值，這時(shí)，各頻率也就趨于一個(gè)完全確定的數(shù)值，這就是誤差出現(xiàn)在各區(qū)間的概率。即就是誤差出現(xiàn)在各區(qū)間的概率。即在一定的觀測條件在一定的觀測條件下，對(duì)應(yīng)著一種確定的誤差分布。下，對(duì)應(yīng)著一種確定的誤差分布。 在在n的情況下，由于誤差出現(xiàn)的頻率已趨于完的情況下，由于

24、誤差出現(xiàn)的頻率已趨于完全穩(wěn)定，如果此時(shí)把誤差區(qū)間間隔無限縮小，圖全穩(wěn)定，如果此時(shí)把誤差區(qū)間間隔無限縮小，圖 2-1及圖及圖2-2中各長方條頂邊所形成的折線將分別變成如中各長方條頂邊所形成的折線將分別變成如圖圖2-3所示的兩條光滑的曲線。這種曲線也就是誤差所示的兩條光滑的曲線。這種曲線也就是誤差的概率分布曲線，或稱為誤差分布曲線。由此可見，的概率分布曲線，或稱為誤差分布曲線。由此可見，偶然誤差的頻率分布，隨著偶然誤差的頻率分布，隨著n 的逐漸增大，都是以正的逐漸增大，都是以正態(tài)分布為其極限。態(tài)分布為其極限。 通常也稱偶然誤差的頻率分布為其經(jīng)驗(yàn)分布，而通常也稱偶然誤差的頻率分布為其經(jīng)驗(yàn)分布，而將正

25、態(tài)分布稱為它們的理論分布。在以后的理論研究將正態(tài)分布稱為它們的理論分布。在以后的理論研究中，都是以正態(tài)分布作為描述偶然誤差分布的數(shù)學(xué)模中，都是以正態(tài)分布作為描述偶然誤差分布的數(shù)學(xué)模型型. 圖圖2-1 圖圖2-24.4.偶然誤差的特性偶然誤差的特性 1 1）在一定的觀測條件下，誤差的絕對(duì)值有一定的限值，或者說，超）在一定的觀測條件下，誤差的絕對(duì)值有一定的限值，或者說，超出一定限值的誤差，其出現(xiàn)的概率為零；出一定限值的誤差，其出現(xiàn)的概率為零； 2 2）絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差出現(xiàn)的概率大；）絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差出現(xiàn)的概率大； 3 3）絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同；）絕

26、對(duì)值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同； 4)4)根據(jù)（根據(jù)（2-2-2 2-3-3）式可知，偶然誤差的數(shù)學(xué)期望為零，即）式可知，偶然誤差的數(shù)學(xué)期望為零，即 換句話說，偶然誤差的理論平均值為零。換句話說，偶然誤差的理論平均值為零。 對(duì)于一系列的觀測而言，不論其觀測條件是好是差，也不論是對(duì)同對(duì)于一系列的觀測而言，不論其觀測條件是好是差，也不論是對(duì)同一個(gè)量還是對(duì)不同量進(jìn)行觀測，只要這些觀測是在相同的條件下獨(dú)進(jìn)行一個(gè)量還是對(duì)不同量進(jìn)行觀測，只要這些觀測是在相同的條件下獨(dú)進(jìn)行的，則所產(chǎn)生的一組偶然誤差必然具有上述的四個(gè)特性。的，則所產(chǎn)生的一組偶然誤差必然具有上述的四個(gè)特性。 0n1lim)LL(0LELEL

27、ELEEn1iin 或（2-2-4） 222e21f dn/vi（2-2-6） 圖圖2-1 圖圖2-2 圖圖2-3 圖圖2-1和圖和圖2-2中各長方條的縱坐標(biāo)為中各長方條的縱坐標(biāo)為 ，其，其面積即為誤差出現(xiàn)在該區(qū)內(nèi)的頻率面積即為誤差出現(xiàn)在該區(qū)內(nèi)的頻率,這種分布為經(jīng)驗(yàn)這種分布為經(jīng)驗(yàn)分布。其理論分布為（圖分布。其理論分布為（圖2-3），縱坐標(biāo)就是），縱坐標(biāo)就是的密的密度函數(shù)度函數(shù) f（），而長方條的面積為），而長方條的面積為f（）d,即即代表誤差出現(xiàn)在該區(qū)間內(nèi)的概率，代表誤差出現(xiàn)在該區(qū)間內(nèi)的概率， 即即 P（）=f()d顧及顧及 為偶然誤差，可寫出為偶然誤差，可寫出的概率密度式為的概率密度式為式中

28、式中 為中誤差。當(dāng)為中誤差。當(dāng) 參數(shù)確定后，即可畫出它參數(shù)確定后，即可畫出它所對(duì)應(yīng)誤差分布曲線。由于所對(duì)應(yīng)誤差分布曲線。由于E（）=0，所以曲線，所以曲線是以橫坐標(biāo)為是以橫坐標(biāo)為0處的縱軸為對(duì)稱軸。處的縱軸為對(duì)稱軸。 當(dāng)當(dāng) 不同時(shí)，曲線的位置不變，但分布曲線不同時(shí)，曲線的位置不變，但分布曲線的開頭將發(fā)生變化。例如，圖的開頭將發(fā)生變化。例如，圖2-3中就是表示中就是表示 不相等時(shí)的兩條曲線。偶然誤差是服從不相等時(shí)的兩條曲線。偶然誤差是服從 N（0，）分布的隨機(jī)變量。）分布的隨機(jī)變量。2-3 衡量精度的指標(biāo)衡量精度的指標(biāo) 考察上節(jié)兩個(gè)實(shí)例中誤差在一定區(qū)間出現(xiàn)的頻率（考察上節(jié)兩個(gè)實(shí)例中誤差在一定區(qū)間

29、出現(xiàn)的頻率（概率概率）：）： 表表2-12-1： -0.20+0.20-0.20+0.20區(qū)間的頻率為區(qū)間的頻率為0.2540.254（25.4%)25.4%)， -0.60 -0.60+0.60+0.60區(qū)間內(nèi)的頻率為區(qū)間內(nèi)的頻率為0.665(66.5%0.665(66.5%），）， 絕對(duì)值大于絕對(duì)值大于0.60.6誤差的頻率為誤差的頻率為0.3350.335（33.5%)33.5%) 表表1-21-2： -0.20+0.20-0.20+0.20區(qū)間的頻率為區(qū)間的頻率為0.1830.183（18.3%)18.3%) -0.60 -0.60+0.60+0.60區(qū)間內(nèi)的頻率為區(qū)間內(nèi)的頻率為0.4

30、92(49.2%)0.492(49.2%)， 絕對(duì)值大于絕對(duì)值大于0.60.6誤差的頻率為誤差的頻率為0.508(50.8%).0.508(50.8%). 上述數(shù)字說明表上述數(shù)字說明表2-12-1中的誤差更集中于零附近，因此說這一組誤差分布中的誤差更集中于零附近，因此說這一組誤差分布得為密集，或者說它的離散度小；相對(duì)而言，表得為密集，或者說它的離散度小；相對(duì)而言，表2-22-2中的誤差分布得較為離中的誤差分布得較為離散或者說它的離散度大。相應(yīng)的直方圖和分布曲線也能說明這一點(diǎn)。散或者說它的離散度大。相應(yīng)的直方圖和分布曲線也能說明這一點(diǎn)。 圖圖2-1 圖圖2-2 圖圖2-3 在在表表2-12-1中

31、所列的中所列的358358個(gè)觀測結(jié)果是在個(gè)觀測結(jié)果是在相同觀測條件相同觀測條件下測得的，各個(gè)下測得的，各個(gè)結(jié)果的結(jié)果的真誤差并不相等真誤差并不相等，有的甚至相差很大（如有的出現(xiàn)于，有的甚至相差很大（如有的出現(xiàn)于0.000.00-0.200.20區(qū)間，有的出現(xiàn)于區(qū)間，有的出現(xiàn)于0.400.40-1.60-1.60區(qū)間），但是，區(qū)間），但是，由于它們所對(duì)由于它們所對(duì)應(yīng)的誤差分布相同應(yīng)的誤差分布相同，因此，其對(duì)應(yīng)的內(nèi)角和的，因此，其對(duì)應(yīng)的內(nèi)角和的觀測結(jié)果是同精度的觀測結(jié)果是同精度的。 將表將表2-12-1及表及表2-22-2中數(shù)值相比較可知，表中數(shù)值相比較可知，表2-22-2中的誤差分布比表中的誤差

32、分布比表2-12-1中中的的誤差分布較為離散誤差分布較為離散，因此，表，因此，表2-22-2中所涉及的中所涉及的421421個(gè)內(nèi)角和的觀測值，個(gè)內(nèi)角和的觀測值，其其精度低于精度低于表表2-12-1中相應(yīng)的內(nèi)角和觀測值。中相應(yīng)的內(nèi)角和觀測值。 為了衡量觀測值的精度高低，可把在一組相同條件下得到的誤差，為了衡量觀測值的精度高低，可把在一組相同條件下得到的誤差，用誤差分布表、繪制直方圖或畫出誤差分布曲線的方法來比較。但在實(shí)用誤差分布表、繪制直方圖或畫出誤差分布曲線的方法來比較。但在實(shí)際工作中，這樣做比較麻煩，有是甚至很困難，而且人們還需要對(duì)精度際工作中，這樣做比較麻煩，有是甚至很困難，而且人們還需要

33、對(duì)精度有一個(gè)數(shù)字概念。這種具體的數(shù)字應(yīng)該能夠反映誤差分布的密集或離散有一個(gè)數(shù)字概念。這種具體的數(shù)字應(yīng)該能夠反映誤差分布的密集或離散的程度，即應(yīng)能夠反映其離散度的大小，因此稱它為的程度，即應(yīng)能夠反映其離散度的大小，因此稱它為衡量精度的指標(biāo)衡量精度的指標(biāo)。 衡量精度的指標(biāo)有很多種，下面介紹幾種常用的精度指標(biāo)。衡量精度的指標(biāo)有很多種，下面介紹幾種常用的精度指標(biāo)。一、方差和中誤差一、方差和中誤差1 1、隨機(jī)變量、隨機(jī)變量X X的方差的方差 設(shè)有隨機(jī)變量設(shè)有隨機(jī)變量X X，其數(shù)學(xué)期望為，其數(shù)學(xué)期望為E(X)，其方差，其方差 定義為定義為 式中，式中，f f（x x）為）為 X X 概率分布密度函數(shù)。概率

34、分布密度函數(shù)。X X的方差也可記為的方差也可記為DxDx。2 2、觀測值、觀測值L L與與觀測值的真誤差觀測值的真誤差的方差的方差 L L和和均為隨機(jī)變量，它們的方差是：均為隨機(jī)變量，它們的方差是： 顧及顧及 則則 任一觀測值的方差與任一觀測值的方差與觀測值誤差觀測值誤差的方差恒等。的方差恒等。誤差誤差的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為式中式中 是誤差分布的方差。是誤差分布的方差。 dxxfxExxExE222x ）22222L(E)(E(EDLELELD ,LLLEL,LLE,0E222 2EDLD 222e21f 22X)X(D （2-3-1）3 3、中誤差、中誤差 由方差的定義知由方差的定

35、義知 式中式中 就是中誤差就是中誤差 不同的不同的 將對(duì)應(yīng)著不同形狀的分布曲線，將對(duì)應(yīng)著不同形狀的分布曲線， 愈小，曲線愈為陡峭，愈小，曲線愈為陡峭， 愈愈大，則曲線愈為平緩。正態(tài)分布曲線具有兩個(gè)拐點(diǎn)，它們?cè)跈M軸上的坐標(biāo)大，則曲線愈為平緩。正態(tài)分布曲線具有兩個(gè)拐點(diǎn)，它們?cè)跈M軸上的坐標(biāo)為為變量為為變量X X的數(shù)學(xué)期望。對(duì)于偶然誤差而言，由于其數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望。對(duì)于偶然誤差而言，由于其數(shù)學(xué)期望E E（）=0=0，所以拐點(diǎn)在橫軸上的坐標(biāo)應(yīng)為所以拐點(diǎn)在橫軸上的坐標(biāo)應(yīng)為 由此可見，由此可見， 的大小可以反映精度的高低。故常用中誤差作為衡量精度的的大小可以反映精度的高低。故常用中誤差作為衡量精度的指標(biāo)。

36、指標(biāo)。 如果在相同的條件下得到了一組獨(dú)立的觀測誤差，可由（如果在相同的條件下得到了一組獨(dú)立的觀測誤差，可由（2-2-3-23-2）式，）式，可以寫出可以寫出 或或 拐拐 dfED222 n1i2in2nlim 2E dfED222 (2-3-2）(2-3-3) （2-3-4）圖2-44、方差和中誤差的計(jì)算、方差和中誤差的計(jì)算 方差，是真誤差平方（方差，是真誤差平方（ ）的數(shù)學(xué)期望，也就是）的數(shù)學(xué)期望，也就是 的理論平均值。的理論平均值。在分布律為已知的情況下，它是一個(gè)確定的常數(shù)。在分布律為已知的情況下，它是一個(gè)確定的常數(shù)。 或者說，方差或者說，方差 和中誤差和中誤差 ，分別是，分別是 和和 的

37、極限值，它們的極限值，它們都是理論上的數(shù)值。都是理論上的數(shù)值。 實(shí)際上觀測個(gè)數(shù)實(shí)際上觀測個(gè)數(shù)n n總是有限的，由有限個(gè)觀測值的真誤差只能求得方差總是有限的，由有限個(gè)觀測值的真誤差只能求得方差和中誤差的估值。方差和中誤差的估值。方差 和中誤差和中誤差 的估值將用符號(hào)的估值將用符號(hào) 表表示，即示，即 2nn 2 22 2和和 nn2 nlimnlimnlimnlimEDn1i2innn1i2inn22 (2-3-5) (2-3-6)舉例說明舉例說明二、平均誤差二、平均誤差 1.定義定義：在一定測量條件下，一組獨(dú)立的偶然真誤差絕對(duì)值的數(shù)學(xué)期望稱：在一定測量條件下，一組獨(dú)立的偶然真誤差絕對(duì)值的數(shù)學(xué)期望

38、稱為平均誤差，并用為平均誤差，并用 表示，即表示，即 7979.05421022e22)e(d22d2exp22d2exp21d)(f)(E0202022222222 2.在有限觀測值個(gè)數(shù)的條件下，觀測值和真誤差的平均誤差估值的計(jì)算在有限觀測值個(gè)數(shù)的條件下，觀測值和真誤差的平均誤差估值的計(jì)算n542n1i 或者或者 1.253452 或或 (2-3-7) (2-3-11)三、或然誤差三、或然誤差( (中位數(shù)）中位數(shù)）1.1.隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X X 落入?yún)^(qū)間（落入?yún)^(qū)間（a a，b b）內(nèi)的概率為）內(nèi)的概率為2.2.偶然誤差偶然誤差落入?yún)^(qū)間（落入?yún)^(qū)間（a a, ,b b）的概率為）的概率為 3.

39、3.或然誤差或然誤差的定義：的定義：誤差出現(xiàn)在誤差出現(xiàn)在（- -，+ +）之間的概率等于）之間的概率等于1/21/2，即即 如圖如圖2-52-5所示，圖中的誤差分布曲線與橫軸所示，圖中的誤差分布曲線與橫軸所包圍的面積為所包圍的面積為1 1，則在曲線下（，則在曲線下（- -，+ +）區(qū)間的面積為區(qū)間的面積為1/21/2。 badxxfbXaP badfbaP 21df (2-3-12) (2-3-13)圖圖2-5f( ) 中位數(shù)：中位數(shù)：將將在相同觀測條件下在相同觀測條件下得到的一組誤差得到的一組誤差,按絕對(duì)值的大按絕對(duì)值的大小排列，個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，取中小排列，個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，取中間的一個(gè)為間的一個(gè)

40、為 ；當(dāng)個(gè)數(shù)為偶；當(dāng)個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，取中間兩個(gè)的平均值數(shù)時(shí)，取中間兩個(gè)的平均值為為 。 將將的概率密度代入（的概率密度代入（2-2-3-3-1 13 3）式，并作變量代換，）式，并作變量代換，令令則得則得由概率積分表可查得，當(dāng)概率為由概率積分表可查得，當(dāng)概率為1/21/2時(shí)，積分限為時(shí)，積分限為0.6745,0.6745,即得即得 上式是或然誤差上式是或然誤差與中誤差與中誤差的理論關(guān)系。由此式也可以看到不同的理論關(guān)系。由此式也可以看到不同的的也對(duì)應(yīng)著不同的誤差分布曲線，因此，或然誤差也對(duì)應(yīng)著不同的誤差分布曲線，因此，或然誤差也可以作為衡量精也可以作為衡量精度的指標(biāo)。度的指標(biāo)。 ,dtd, t,

41、t )k/)k(221dte212df/02t2 （， 234826. 1326745. 0（2-3-14） )k/()k(221dte212df/02t2 可知可知（k)=0.25,查概率積分表得查概率積分表得/=0.6745=k 在實(shí)用上，通常都是先求出中誤差的估值在實(shí)用上，通常都是先求出中誤差的估值 ，然后按（，然后按（2-3-14）式求出）式求出 。也可按也可按中位數(shù)中位數(shù)的方式求出的方式求出 。 4.中誤差、平均誤差、或然誤差的比較中誤差、平均誤差、或然誤差的比較1)只有當(dāng)觀測次數(shù)較多時(shí)，只有當(dāng)觀測次數(shù)較多時(shí)，、和和 才能夠比較準(zhǔn)確地反映測量的精度。才能夠比較準(zhǔn)確地反映測量的精度。2

42、）當(dāng)觀測次數(shù)較少時(shí)，）當(dāng)觀測次數(shù)較少時(shí)， 比比和和更能靈敏反映大的真誤差的影響，在計(jì)算或然誤差更能靈敏反映大的真誤差的影響，在計(jì)算或然誤差時(shí)，往往是先計(jì)算出中誤差，故國際上通常采用中誤差作為衡量精度指標(biāo)。時(shí)，往往是先計(jì)算出中誤差，故國際上通常采用中誤差作為衡量精度指標(biāo)。3）一定的測量條件對(duì)應(yīng)于確定的）一定的測量條件對(duì)應(yīng)于確定的 、 和和數(shù)值，反之亦然。數(shù)值，反之亦然。4）等精度觀測是指每次觀測的）等精度觀測是指每次觀測的（或者（或者和和 ）相同，并非指每次觀測的真誤差相同。）相同，并非指每次觀測的真誤差相同。5）由一系列等精度觀測結(jié)果求得的）由一系列等精度觀測結(jié)果求得的 、 和和 ，反映了這一

43、系列觀測結(jié)果的精度，它，反映了這一系列觀測結(jié)果的精度，它又是其中每個(gè)單一觀測值的精度，也可以是相同測量條件下另外一系列觀測結(jié)果的又是其中每個(gè)單一觀測值的精度，也可以是相同測量條件下另外一系列觀測結(jié)果的精度。精度。 四、四、極限誤差極限誤差 中誤差不是代表個(gè)別誤差的大小，而是代表誤差分布的離散度的大小，它中誤差不是代表個(gè)別誤差的大小，而是代表誤差分布的離散度的大小，它是代表一組同精度觀測誤差平方的平均值的平方根極限值，中誤差愈小，即表是代表一組同精度觀測誤差平方的平均值的平方根極限值，中誤差愈小，即表示在該組觀測中，絕對(duì)值較小的誤差愈多。按正態(tài)分布表查得，在大量同精度示在該組觀測中，絕對(duì)值較小的

44、誤差愈多。按正態(tài)分布表查得，在大量同精度觀測的一組誤差中，誤差落在（觀測的一組誤差中，誤差落在（- -，+ +），（），（-2-2，+ +2 2）和（）和（-3-3，+3+3）的概率分別為的概率分別為 （2-2-3-3-1 15 5） 即，絕對(duì)值大于中誤差，其出現(xiàn)的概率為即，絕對(duì)值大于中誤差，其出現(xiàn)的概率為31.7%31.7%；絕對(duì)值大于二倍中誤差的偶然；絕對(duì)值大于二倍中誤差的偶然誤差出現(xiàn)的概率為誤差出現(xiàn)的概率為4.5%4.5%；絕對(duì)值大于三倍中誤差的偶然誤差出現(xiàn)的概率為；絕對(duì)值大于三倍中誤差的偶然誤差出現(xiàn)的概率為0.3%0.3%，是概率接近于零的小概率事件，或者說這是實(shí)際上的不可能事件。是概

45、率接近于零的小概率事件，或者說這是實(shí)際上的不可能事件。 通常取三倍中誤差作為偶然誤差的極限值通常取三倍中誤差作為偶然誤差的極限值限限，并稱為，并稱為極限誤差極限誤差。即。即 限限=3=3 測量實(shí)踐中為了保證精度，測量實(shí)踐中為了保證精度，取兩倍中誤差作為極限誤差取兩倍中誤差作為極限誤差， 限限=2=2 =2=2 ，超過超過極限誤差的測量誤差就是錯(cuò)誤。極限誤差的測量誤差就是錯(cuò)誤。 %.7 .9933P%,5 .9522P%,3 . 86P 概率區(qū)間概率區(qū)間、置信概率置信概率與與中誤差中誤差概率區(qū)間概率區(qū)間:對(duì)應(yīng)于某一置信概率真誤差落入的區(qū)間，當(dāng)置信概率確定之后可利用中誤對(duì)應(yīng)于某一置信概率真誤差落入

46、的區(qū)間，當(dāng)置信概率確定之后可利用中誤 差對(duì)應(yīng)誤差出現(xiàn)的區(qū)間進(jìn)行估計(jì)。差對(duì)應(yīng)誤差出現(xiàn)的區(qū)間進(jìn)行估計(jì)。置信概率：真誤差落入的某區(qū)間的概率，可表達(dá)在一定的置信概率下真誤差與中誤置信概率：真誤差落入的某區(qū)間的概率，可表達(dá)在一定的置信概率下真誤差與中誤 差的關(guān)系。差的關(guān)系。五、相對(duì)誤差五、相對(duì)誤差 對(duì)于某些觀測結(jié)果，有時(shí)單靠中誤差還不能完全表達(dá)觀測結(jié)果的好壞。例如，對(duì)于某些觀測結(jié)果，有時(shí)單靠中誤差還不能完全表達(dá)觀測結(jié)果的好壞。例如，分別測量了分別測量了1000m及及80m的兩段距離觀測值的中誤差均為的兩段距離觀測值的中誤差均為2cm，雖然兩者的中誤，雖然兩者的中誤差相同，但就單位長度而言，兩者精度并不相

47、同。顯然前者的相對(duì)精度比后者要高。差相同，但就單位長度而言，兩者精度并不相同。顯然前者的相對(duì)精度比后者要高。此時(shí)，須采用另一種辦法來衡量精度，通常采用相對(duì)中誤差，它是中誤差與觀測值此時(shí)，須采用另一種辦法來衡量精度，通常采用相對(duì)中誤差，它是中誤差與觀測值之比。如上述兩段距離，前者的相對(duì)誤差為之比。如上述兩段距離，前者的相對(duì)誤差為 ，而后者則為，而后者則為 。相對(duì)中誤差相對(duì)中誤差= ，相對(duì)真誤差，相對(duì)真誤差= ，相對(duì)極限誤差，相對(duì)極限誤差=絕對(duì)誤差：絕對(duì)誤差：真誤差、中誤差、極限誤差。真誤差、中誤差、極限誤差。50000140001 D1D D1D 限限限限 D1D 2-4 精度、準(zhǔn)確度和精確度精

48、度、準(zhǔn)確度和精確度一、精度一、精度精度精度：是指誤差分布的密集或離散的程度，也就是觀測值與數(shù)學(xué)期望的接近：是指誤差分布的密集或離散的程度，也就是觀測值與數(shù)學(xué)期望的接近程度，是衡量偶然誤差大小程度的指標(biāo)。程度，是衡量偶然誤差大小程度的指標(biāo)。n維隨機(jī)向量的精度指標(biāo)是隨機(jī)向維隨機(jī)向量的精度指標(biāo)是隨機(jī)向量的量的方差方差-協(xié)方差陣協(xié)方差陣。1、協(xié)方差的基本概念、協(xié)方差的基本概念方差：方差：設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量X和和Y，其真值分別為，其真值分別為 、 ，真誤差，真誤差分別為分別為 、 ，并且，并且 、 ；那么它們的；那么它們的方方差差分別定義為：分別定義為： ,1）協(xié)方差的定義）協(xié)方差的定義：設(shè)隨

49、機(jī)變量：設(shè)隨機(jī)變量X和和Y，則，則X關(guān)于關(guān)于Y的協(xié)方差定義為的協(xié)方差定義為)X(EX )Y(EY )X(EXX )Y(EYY 0)(EX 0)(EY ),(E)X(EXE2X22X )(E)Y(EYE2Y22Y YXXYYXXYEE)Y(EY)(X(EX(E nlimnlimiinn2211yxnyxyxyxnXY 即即（2-4-1）（2-4-3）nlimnlimiinn2211yxnyxyxyxnXY 或或 假設(shè)假設(shè)Z=X+Y, Z= X+ Y,分別對(duì)分別對(duì)X、Y觀測觀測n次，則有次，則有 X1， X2， Xn ； Y1, Y2， Yn，則有，則有 Z1= X1+ Y1， Z2= X2+ Y

50、2 ， ， Zn= Xn+ Yn。 根據(jù)根據(jù)方差的定義方差的定義，有，有XY2Y2XYXn2Yn2XnYX2Y2Xn2YXn2Zn2Z2nlim2nlimnlimn)2(limn)(limnlim YnXnY2X2Y1X1YX YXXYYXXYEE)Y(EY)(X(EX(E )(2)()(222)()()(ynxn2y2x1y1x2yn22y21y2xn22x21xynxn2yn2xn2y2x22y22x1y1x21y21x2ynxn22y2x21y1x2Z xy2y2xynxn2y2x1y1x2yn22y21y2xn22x21x2Z2Z2n)(2n)(n)(n 求中誤差求中誤差2)當(dāng)觀測次數(shù)

51、當(dāng)觀測次數(shù)n為有限次時(shí)，協(xié)方差的估值為有限次時(shí)，協(xié)方差的估值記為記為3)3)協(xié)方差的含義協(xié)方差的含義 當(dāng)當(dāng)X和和Y的協(xié)方差的協(xié)方差 時(shí)，表示這兩個(gè)觀測值的誤差之間互不影響，時(shí)，表示這兩個(gè)觀測值的誤差之間互不影響，它們的誤差是不相關(guān)的，并稱這些觀測值為不相關(guān)的觀測值；如果它們的誤差是不相關(guān)的，并稱這些觀測值為不相關(guān)的觀測值；如果 則表示它們的誤差是相關(guān)的，稱這些觀測值為相關(guān)觀測值，則表示它們的誤差是相關(guān)的，稱這些觀測值為相關(guān)觀測值，相關(guān)程度為相關(guān)程度為xy。 由于測量上所涉及的觀測值和觀測誤差都是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，由于測量上所涉及的觀測值和觀測誤差都是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，對(duì)于正態(tài)隨機(jī)變

52、量而言，對(duì)于正態(tài)隨機(jī)變量而言，“不相關(guān)不相關(guān)”與與“獨(dú)立獨(dú)立”是等價(jià)的，所以把不相關(guān)是等價(jià)的，所以把不相關(guān)觀測值也稱為獨(dú)立觀測值，同樣把相關(guān)觀測值也稱為不獨(dú)立觀測值。觀測值也稱為獨(dú)立觀測值，同樣把相關(guān)觀測值也稱為不獨(dú)立觀測值。 由于由于 x與與 y相互獨(dú)立，其乘積也是偶然誤差，顧及偶然誤差的特性，相互獨(dú)立，其乘積也是偶然誤差，顧及偶然誤差的特性，則有則有 在測量工作中，直接觀測得到的高差、距離、方向等，都是獨(dú)立觀測在測量工作中，直接觀測得到的高差、距離、方向等，都是獨(dú)立觀測值，而經(jīng)過數(shù)據(jù)處理才得到的觀測量，如根據(jù)直接觀測值求得的各點(diǎn)的坐值，而經(jīng)過數(shù)據(jù)處理才得到的觀測量，如根據(jù)直接觀測值求得的各

53、點(diǎn)的坐標(biāo)就是不獨(dú)立觀測值，或稱為相關(guān)觀測值。標(biāo)就是不獨(dú)立觀測值，或稱為相關(guān)觀測值。n)(n1iyxxyii （2-4-3）0 xy 0 xy 0EEEyxyxxy 2、觀測向量的精度指標(biāo)、觀測向量的精度指標(biāo)協(xié)方差陣（協(xié)方差陣（自協(xié)方差陣自協(xié)方差陣） 在實(shí)際測量和數(shù)據(jù)處理中，經(jīng)常遇到由在實(shí)際測量和數(shù)據(jù)處理中，經(jīng)常遇到由n個(gè)不同精度的相關(guān)的物理量組成個(gè)不同精度的相關(guān)的物理量組成的向量（矩陣）的問題。的向量（矩陣）的問題。 設(shè)有隨機(jī)向量設(shè)有隨機(jī)向量X，其矩陣表達(dá)式是：，其矩陣表達(dá)式是： n211nxxxX，其真誤差向量是，其真誤差向量是 n21xxx1nX)X(EX 這里這里 是是n個(gè)不同精度的相關(guān)

54、的隨機(jī)變量（物理量），則隨機(jī)向個(gè)不同精度的相關(guān)的隨機(jī)變量（物理量），則隨機(jī)向量量X的的自協(xié)方差陣自協(xié)方差陣是是n21x,x,x TXXTnnXXE)X(EX)X(EXED nn2n1nn22212n12111n21n21xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxEE )(E)(E)(E)(E)(E)(E)(E)(E)(E2xxxxxxx2xxxxxxx2xn2n1nn2212n1211 2xxxxxxx2xxxxxxx2xn2n1nn2212n1211 n21xxx)X(E ，。（2-4-5)當(dāng)當(dāng)X向量中各分量兩兩相互獨(dú)立時(shí)，其協(xié)方差等于零，協(xié)方差陣為對(duì)角陣。向量中各分量兩兩相互獨(dú)立時(shí)，

55、其協(xié)方差等于零，協(xié)方差陣為對(duì)角陣。3、互協(xié)方差陣、互協(xié)方差陣若有隨機(jī)向量若有隨機(jī)向量 和和 ，組成新的隨機(jī)向量，組成新的隨機(jī)向量 ，即，即 ，則有，則有 協(xié)方差陣是協(xié)方差陣是1)rn(Z YXZ1)rn(Z YYYXXYXXTYYTXYTYXTXXTZZ)rn()rn(ZZDDDD)()()()(E)(ED r21yyy1ry)Y(EY 1nX 1rY YXZ n21xxx1nX)X(EX r11r1n1YYXnXYYXXTZZZZEED YYYXXYXXTYYTXYTYXTXXTZZ)rn()rn(ZZDDDD)()()()(E)(ED 其中，其中，DXX和和DYY分別為分別為X和和Y的自協(xié)

56、方差陣，的自協(xié)方差陣，DXY和和DYX是互協(xié)方差陣：是互協(xié)方差陣： TYXTrnXYE)Y(EY)X(EXED rn2n1nr22212r12111r21n21yxyxyxyxyxyxyxyxyxyyyxxxEE )(E)(E)(E)(E)(E)(E)(E)(E)(Ern2n1nr22212r12111yxyxyxyxyxyxyxyxyx rn2n1nr22212r12111yxyxyxyxyxyxyxyxyx r21yyy1ry)Y(EY （2-4-6) n21xxx1nX)X(EX Z的方差陣的方差陣Dzz為為,YYYXXYXXDDDDDzz其中其中DXX和和DYY分別為分別為X和和Y的自

57、協(xié)方差陣，的自協(xié)方差陣，稱稱DXY為觀測值向量為觀測值向量X關(guān)于關(guān)于Y的的互互協(xié)方差陣協(xié)方差陣：,Drndn11n122212r12111yxyxyxyxyxyxyxyxyxXY 且有且有 ,DXYEDTXYTXYYX 當(dāng)當(dāng)X和和Y的維數(shù)均為的維數(shù)均為1時(shí)（即時(shí)（即X、Y都是一個(gè)觀測都是一個(gè)觀測n次的均值），互協(xié)方差次的均值），互協(xié)方差陣就是陣就是X關(guān)于關(guān)于Y的協(xié)方差的協(xié)方差 若若DXY =0，則稱，則稱X與與Y是相互獨(dú)立的觀測向量。是相互獨(dú)立的觀測向量。 互協(xié)方差陣互協(xié)方差陣DXY DYX是表征是表征兩觀測向量間兩兩觀測值相關(guān)程度兩觀測向量間兩兩觀測值相關(guān)程度的指標(biāo)。的指標(biāo)。(2-4-7)nlimnlimiinn2211yxnyxyxyxnXY 為了說明觀測值的可靠性，引入為了說明觀測值的可靠性，引入精度精度(精密度精密度)、準(zhǔn)確度準(zhǔn)確度和和不確定度不確定度的概念。的概念。二、準(zhǔn)確度二、準(zhǔn)確度 準(zhǔn)確度（偏差）：是指觀測值