1、v框架只承受作用于節點的豎向荷載，且按比例增加；v框架中所有桿件是同時失穩的，且只在框架平面內失穩；v框架中所有桿件均為等截面直桿；v框架中所有桿件均在彈性范圍內工作；v忽略桿件自身軸向變形的影響。1）基本假設v假定框架達到穩定臨界狀態時，要發生微小的失穩變形。v位移法的基本思路：對體系施加無窮剛臂和側向支座，使結構變成沒有富余自由度的完全超靜定結構。v結合結構力學中的位移法，如圖所示體系的未知數個數(被人為約束的自由度個數)為：2）位移法的正則方程組4P5P6P81P2P3P7轉角：16，6個側移：78，2個共8個v對臨界狀態的框架變形狀態組成正則方程組。（由于所有節點上的外荷載在基本體系的

2、附加約束中不引起任何反力，所以方程組是齊次的，如下：）00022112222212111212111ngnnnnngnngnnRZrZrZrRZrZrZrRZrZrZr自由度1的平衡方程自由度2的平衡方程自由度n的平衡方程正則方程組，常數項均為03）框架的屈曲方程v上式為0解時，Z1,Z2,.Zn=0，體系沒有任何位移，框架沒有失穩。v因此框架失穩的條件為位移未知數的系數行列式為0，即框架的屈曲方程為：v通過上述行列式為0，可以求解得到臨界荷載P。0212222111211nnnnnnrrrrrrrrrDv說明：關鍵是確定這些系數的表達式rij；rij的物理意義是：當j自由度上有單位位移作用時

3、，在被約束的自由度i上產生的反力；此時由于軸向力的存在（對桿軸而言），rij不再為常數，而是桿件軸向力的函數。這與結構力學中的內容不同，結構力學位移法中的此系數為常數v設框架中某壓桿AB，在失穩前為狀態（a），剛架失穩時為狀態（b）。1）轉角位移方程的推導注：剪力以y軸正向為正；彎矩以順時針為正。v取任一長度x的隔離體，列撓曲線微分方程為： 其中： 同時令： 則有：NyxQMEIyaa )(1NMMlQbaaEINk 2xlNMMMNkykybaa22 v通解為：xlNMMMNkxBkxAybaa1cossinv由邊界條件：klMtgklMNAylxNMByxbaasin1,0, 0v變形曲線

4、方程為：abaabaMlxNMMNkxNMkxklMtgklMNy)(1 cossinsin1v利用邊界條件：v得轉角位移方程為：v上式表明桿件端彎矩與轉角位移和平動位移之間的關系。由此關系可以確定桿件產生單位位移時所需的端彎矩，即剛度系數rij。baylxyx 0時，；時，)(1sin1)(sin11bltgklklNMklklNMalklklNMtgklklNMbabbaav工況1：2）受壓桿件在各種單位位移下的反力計算NNla=1abMaEaabaNNlEINklklklkllklEIklklklNlMklklNMM令：即：）得：由公式（tgtgtgtg tg11a0 , 0 , 122

5、v所以可得在單位轉角a=1作用下，引起的反力為：tgtg0tgtgtgtg222liQQMilEIMbabav工況2：0tgtgtgtg tg11, tg11a0 , , 12baaaaabaaQQiMkklEIkkklNNMkkllklklNNNMlklklNMMNM代入）得：由公式（a=1abNNlv采用類似方法，可得各種邊界條件下的反力，如下：I.由單位轉角引起的反力=1abNNlEIQaQbMatgtg0tgtg22liQQMiMbaba00tgbabaQQMiM=1abNNlEIMa)(12tg2sinsin2tg2tgtgbababaMMlQQiMiM=1abNNlEIQaQbMa

6、Mb0sintgbabaQQiMiM=1abNNlEIMaMbII.由單位線位移引起的反力tg10tgtg232liQQMliMbaba=1abNNlEIMaMa2tg22tg2tg322liQQMMliMbaaba=1abNNlEIMaMbMaIII. 橫梁中單位轉角的反力矩（無軸力）2303lEIQQMlEIMbbabbaablEIbMaQbMaa=1Qa0babbbaQQlEIMlEIMablEIbMaMaa=1Mb2624lEIQQlEIMlEIMbbabbbaablEIbMaQbMaa=1Qa可以證明，有軸力的桿端力表達式中，當N0時，即0時，Ma無軸力時的Ma。以上結果可以直接應用

7、于剛架穩定分析的位移法中。=1abNNlEIQaQbMaablEIbMaQbMaa=1Qa=1abNNlEIQaQbMa2303lEIQQMlEIMbbabbatgtg0tgtg22liQQMiMbabaiiiiitgiMEINlkliMaa3cossin2cos2coslimsincos2sinlimcossin222cos22sinlimsin2sinlim1secsec2limlim0tgtg000220222002洛必達法則洛必達法則洛必達法則時，所以當，其中：v可能存在的失穩模式1）單層鉸接門式剛架（框架）HEIbPPEIcEIcl有側向支撐時對稱失穩無側向支撐時反對稱失穩v對稱失穩

8、（根據對稱性簡化成如下模型）HEIbPZ=1EIcl/2HEIilEIiEIPHPPiilEIirZrccbbcEcbbc,02tgtg 02/tgtg02211111其中：則得屈曲方程：位移法方程組v反對稱失穩（根據對稱性簡化成如下模型）06tg 02/3tg011111cbbciilEIirZr則得屈曲方程：HEIbPZ=1EIcl/2由于Z1與相互關聯，故只有Z1一個未知數。v也通用存在對稱和反對稱失穩兩種模式2）單層剛接門式剛架（框架）v對稱失穩（根據對稱性簡化成如下模型）HEIbPZ=1EIcl/20222tgtgtg 02/22tgtgtg011111cbbciilEIirZr即：

9、v反對稱失穩（根據對稱性簡化成如下模型）06tg 02/3tg011111cbbciilEIirZr則得屈曲方程：HEIbPZ=1EIcl/23）剛架計算長度系數的確定v由前面介紹的屈曲方程可以求得在一定梁柱線剛度比ib/ic情況下的值?；蛄睿篐HHHEIHEIPHEIPHkkH02222cr2222)( 計算長度系數116tg06tg06tgkkiicb或：有：時：如鉸接剛架反對稱失穩系數的方程（組）。即可得到關于計算長度代入剛架屈曲方程，將梁柱線剛度比v所以給出不同梁柱線剛度比k1=ib/ic值，即可求出不同的值，因此可以構造出各種情況下的計算長度系數表格（規范中）。7 . 0 0 . 1

10、 00 . 2 01111時，時，對稱失穩時，時，反對稱失穩kkkk5 . 0 7 . 0 00 . 1 0 . 2 01111時，時，對稱失穩時，時，反對稱失穩kkkk鉸接剛接4）多層多跨剛架的彈性屈曲荷載無側移框架有側移框架v基本假設：剛架中的所有桿件同時屈曲；屈曲時節點處產生的梁端不平衡力矩按節點處柱線剛度成比例地分配給各柱；不計橫梁中軸力的影響；對稱失穩時：同一層的各橫梁兩端的轉角大小相等，但方向相反；側移失穩時：轉角大小不但相等，而且方向相同。v回顧轉角位移方程：)(1sin1)(sin11bltgklklNMklklNMalklklNMtgklklNMbabbaav求解得到Ma和M

11、b：)(/)()(/)(blSCCSKMalSCSCKMbabbaa其中：為構件抗彎剛度。和又稱為穩定系數；為構件抗彎剛度系數，為構件的線剛度；KSKCklklklklklklSklklklklklklklClEIKsincos22sinsincos22sin)(sincos22cossinsincos22cos)(sin2222C是對應于近段轉角的抗彎剛度系數；S是對應于遠端轉角的；S/C為彎矩傳遞系數。C、S、C/S隨 的變化關系如下：EPPkl/C、S的定義域為（0，2）。隨著P/PE的增加，近端轉角的抗彎剛度系數C降低，而遠端S提高。軸向壓力為0時，C4，S2，S/C0.5，相當于受彎

12、構件，圖中虛線所示。v無側移失穩時：利用受彎構件和壓彎構件的轉角位移方程，得到與A點有關的梁端和柱端力矩。建立A點的平衡方程：將各端彎矩代入得：令 表示AB柱上端梁線剛度之和與柱線剛度之和的比值。它反映了梁對柱的約束剛度。則上式為同理，對于AB柱的下端B點也有如下關系： 其中：則剛架的屈曲方程為：把C、S的三角函數代入，并令 ，經整理得關于計算長度系數的屈曲方程為：22222)()(1llEIEIk此方程即為鋼結構設計規范附錄中無側移剛架計算長度系數的計算公式，可以通過數值方法求解。計算長度系數也可通過下面計算公式計算：也可使用下面圖形曲線得到計算長度系數：21/1/1KGKGBAv側移失穩時

13、：利用受彎構件和壓彎構件的轉角位移方程，得到與A點有關的梁端和柱端力矩。其中側移角cl /建立A點的平衡方程：將各端彎矩代入得：令 表示AB柱上端梁線剛度之和與柱線剛度之和的比值。則上式為同理，對于AB柱的下端B點也有如下關系：上述兩個方程，三個未知數，還需一個方程。再建立柱本身的平衡方程： 而這樣平衡方程可以寫成：此時由三個方程構成一個關于AB桿兩端轉角A、B和相對位移的方程組。方程組有解時，其系數行列式為0。把C、S的三角函數代入，并令 ，經整理得關于計算長度系數的屈曲方程為：此方程即為鋼結構設計規范附錄中側移剛架計算長度系數的計算公式，可以通過數值方法求解。也可以使用實用公式：21/1/

14、1KGKGBAv剛架整體的P-效應（二階效應）剛架在豎向和水平荷載的共同作用下，柱頂產生側移，則此時豎向荷載將對剛架產生一個附加的外彎矩P，將繼續增大側移，降低彈性剛度，這種現象稱之為P-效應，或二階效應。對剛架穩定有一定影響，特別是對高層結構不可忽略。v對于整體剛架，外力與柱端反力的平衡條件為：v柱的側移角為，側移為lc，則左柱與右柱的力平衡方程為：v將上兩式相加，并代入前面的柱端反力，得：v端彎矩可以使用上節的轉角位移方程得到，并代入得：(1)()v由B點、C點的力矩平衡，可分別得到：(2)(3)v由(1)(2)(3)式可以解得轉角A、B和側移角：v上式即為剛架二階彈性分析的荷載P與側移角

15、的關系式，同時考慮了P-效應和P-效應。 C、S中體現了P-效應的影響，上式分母中最后一項體現了P-效應的影響。(a)v如果忽略柱軸力P對抗彎剛度的影響，取C4，S2，（即忽略P-效應），且梁柱線剛度比K11.0，則二階彈性分析（只考慮P-效應）的近似公式為：(b)v如果只考慮一階彈性分析，像結構力學位移法求解內力那樣，（令公式中的柱軸力P0），可得此時荷載P與側移角的關系： 此時的側移角完全由水平力P引起。(c)v當0時，由(1)(2)(3)三式的系數行列式為0，也可得有側移剛架的分岔屈曲荷載為：v將(a)(b)(c)(d)四個臨界荷載與側移角的關系式畫成曲線形式。 (a) 二階分析，考慮P

16、-、P-效應； (b) 二階分析，只考慮P-效應； (c) 一階彈性分析； (d) 小撓度理論的分岔荷載；(d)(a)(b)(c)(d)可見二階效應影響顯著，有側移剛架中是不能忽略的。彈塑性分析時極限荷載可能遠遠低于彈性分析。v如圖所示多層剛架，承受水平荷載H和豎向荷載q。v一階分析時，可以分為兩個過程計算，并將兩個過程中的各桿彎矩相疊加：sbMMMb是braced frame的縮寫；s是side sway的縮寫；二階彈性分析近似解v二階分析的近似解就是利用一階分析結果，對Ms乘以放大系數2i ：sibMMM2v下面來研究2i的取值。如圖所示懸臂柱的二階彎矩為：懸臂柱的歐拉臨界力其中：2233

17、42)tg( 33hEIPPPEIPhuuuuEIHhPHhPHhMEEv把tgu級數展開：v于是得：7533151715231tguuuuuEEEEEPPPPPPPPPPuuuuu/11 1 998. 0984. 01 10517521)3(tg22423v所以懸臂柱的二階彎矩為EEPPPHhPPEIHhPHhPHhM/1/1133sisibMMMM220v對于懸臂柱：HhuPHhuPPPHhuPHhuPPPPPPPHhuPEEEEi11/1/11/1/11/1/12v所以利用上述二式相等，得：hHuNi112v對于多層多跨框架時，可用N代替P，H代替H，則得到鋼結構設計規范中的公式：N所計

18、算樓層各柱軸心壓力之和；H產生層間側移u的所計算樓層及以上各層水平力之和；u按一階彈性分析求得的所計算樓層的層間側移；h所計算樓層的高度；sibMMM2v假想水平力：notional forcev用假想水平力考慮實際框架中必然存在的初始缺陷：如柱子的初傾斜、初彎曲、殘余應力和塑性變形等。v現假設柱子有初傾斜0，則柱底產生附加彎矩Q0，這相當于柱頂有一假想水平力Hn，如圖所示。hQhQHnnn00為一百分數，各國規范取值不一。v我國新規范在分析各種情況后，考慮n與框架的層數和鋼材的屈服點大小的關系，并參照國外規范，?。?其中：y為鋼材強度影響系數，對Q235取1.0；Q345取1.1；Q390取1.2；Q420取1.25；ns為框架總層數。v因而得第i層柱頂的假想水平力為：250