1、加法交換律教案楊汛橋實驗學校 金 燕教學內容：人教版小學數學教材P28例1教學設想：加法交換律的作用是什么？簡便計算。簡便計算時什么情況下需要加法交換律？三個及以上的數相加的時候。因此，加法交換律從兩個數的探索到幾個數的運用，中間存在著一個中空地帶?；谶@樣的思考，本課嘗試走進這個中空地帶，從三個數的研究開始，帶領學生前后連貫的行走在數學探索與運用的道路上。教學目標：1、使學生理解并掌握加法交換律的意義，并能正確運用進行簡單的簡便計算。2、通過對加法交換律的探索，培養學生的推理能力，發展學生的思維。3、通過學習，使學生感受數學與生活的聯系。教學重點、難點：學生理解并掌握加法交換律的意義，并能正

2、確運用進行簡單的簡便計算。教學準備：多媒體課件【教學過程】一、創設情境，提出問題師：同學們，今天是什么節日？生：植樹節。師：對呀，春天是植樹的季節（展示課件）。咱們學校也組織了植樹活動，一共有多少名同學參加這次活動？它們一共要植多少棵樹？你們想不想知道？生：想。師：（展示課件）這是我們學校植樹的信息。這次參加植樹活動的男生有36名，女生有22名。男生要植樹60課，女生要植樹44棵。你能算出有多少名同學參加植樹活動，一共要植多少棵樹嗎？評析：在課的開始，教師能夠創造性地利用教材，創設了植樹節的情境。這樣處理貼近學生生活實際，情景、條件、問題學生都十分熟悉，在這種輕松的氣氛中，更有利于學生對知識的

3、學習。二、自主探究，尋找規律（一）體驗加法的意義師：請你在練習本上做一做（做完的可以同桌交流）。生匯報，師板書。36+22=58（名） 22+36=58（名）60+44=104（棵） 44+60=104（棵）師：這兩個問題都是用加法計算的，誰來說一說，你為什么要用加法？學生說想法。師小結：這兩道題都是要把兩個數合并成一個數，就要用加法計算。師：在日常生活中，哪些問題還要用到加法來計算，誰來舉一個例子。一生舉例并例式解答。（師板書）師：生活中像這樣用加法解決的問題多不多？說一個給同桌聽聽。評析：結合現實生活情境，體會加法的意義。（二）教學加法交換律師：現在請同學們觀察這三組算式，你能發現些什么？

4、把你的發現在小組內交流一下。小組交流匯報。（學生匯報時，讓學生結合第一組算式說一說，師根據學生的匯報板書：36+2222+36）師：大家看，這兩個加數交換了位置，和相等。這兩個算式可以怎么樣？（板書：=）師：第二組算式可以怎樣寫？（生答，師板書：60+44=44+60）第三組算式呢？根據學生的回答，師板書。師：大家看，這幾個小組總結出了這幾道算式中的兩個加數交換了位置以后，它們的和不變。你們小組的結論和它們一樣嗎？誰能再來說一說。師：這三組算式都是兩個加數交換了位置，它們的和沒有變。是不是任意的兩個數相加，都有這么一個規律呢？誰能來任意說兩個數？生：38+56。師：咱們一起來驗證一下。師板書：

5、師：這兩個數相加符合這個規律，其余的數是不是也有這個規律，請同學們先自己在練習本上舉幾個例子驗證一下，然后在小組內交流一下，好嗎？小組交流，匯報。師板書。師：剛才這么多的小組說出了這么多的算式，哪個小組還愿意把你們的結論告訴同學們？師：剛才，經過同學們的努力，發現了不管這兩個加數是什么，只要兩個加數交換了位置，它們的和不變。我們把這個規律叫做加法交換律。（板書）學生齊讀一遍。師：這就是今天要學習的內容。（板書課題：加法交換律）評析：在學習加法交換律時，遵循先觀察，再交流，讓學生初步感知規律；再舉例驗證，進而發現總結規律，這樣一個思路來教學的。在這個過程中，讓學生經歷知識的形成過程，感受到成功的

6、喜悅，課堂氛圍和諧、活潑、寬松。（三）學習用喜歡的方法表示師：剛才是咱們自己發現了加法的這個重要的規律，你能不能用喜歡的方法表示出來？師：先把你的想法和同桌交流一下。誰來說一說你的想法。生匯報，師板書：a+b=b+a（師：你能告訴同學們a、b分別表示什么嗎？提示學生這兩個字母可以是任意的兩個數。）甲+乙=乙+甲+=+師：同學們說出了這么多的辦法，通常情況下，我們可以用字母表示。學生齊讀一遍（a+b=b+a）。評析：學生用喜歡的方法表示規律，有利于培養學生的符號感，提高了知識的抽象概括程度，為以后正式教學用字母表示數打下初步基礎。（四）加法的應用師：咱們知道了加法交換律，并且會用自己喜歡的方法來

7、表示。請同學們想一想，以前學過的知識中哪些地方用到過加法交換律？生：驗算加法時。三、練習師：通過努力，同學們又學會了新的知識，掌握了新的本領，老師真為你們高興，你們呢？還有更高興的事情呢。（展示課件）你們看，森林王國里的小鳥和小鴨，想和同學們來交朋友，你們愿意嗎？不過他們可是有備而來，先看看大家的真本領。怎么樣，敢不敢來試一試？（課件）一、你能在括號里填上合適的數嗎？試試看吧。766+589=589+（ ）300+600=（ ）+（ ）257+（ ）=0+257（ ）+55=55+420a+15=（ ）+（ ）（ ）+65=（ ）+35 = 二、仔細看一看，下面的算式符合加法交換律嗎？270+

8、380=380+270b+800=800+b三、運用加法交換律，你能寫出幾個算式？寫寫試試吧。25+49+75=（ ）+（ ）+（ ）學生寫出算式以后，讓學生觀察這些算式，哪兩個數交換了位置，在這些算式中，你認為哪一道計算起來比較簡單？說說你的想法。師：小鳥和小鴨的問題都解決了，它們高興得不得了，想請同學們參觀它們的家園，高興嗎？（課件展示）評析：通過這些題目，既鞏固了今天學的新知識，又發展了學生的思維，為后面的學習做了鋪墊。四、小結這節課你學到了哪些新知識？加法結合律教學設計楊汛橋實驗學校 金 燕教學內容：人教版小學數學教材P29例2教材簡析：加法結合律這部分內容是在加法意義的基礎上進行教學

9、的，是繼加法交換律之后的加法第二個運算定律，學好加法結合律，對于加法的簡便運算，提高計算速度和準確程度很有幫助。由于加法結合律是在連加法運算順序發生變化結果不變基礎上，歸納概括出來的，同加法交換律相比比較抽象，因此我在設計時，注重引導學生通過實例觀察嘗試探究得出加法結合律的具體內容。這樣從具體到抽象，符合學生認知規律，不僅能夠分散教學難點，而且能突出教學重點，解決了教學關鍵，更重要的是充分發揮了學生學習的主動性和能動性。教學目的： 1.使學生理解和掌握加法結合律，并應用結合律使計算簡便。 2.培養學生觀察、歸納、概括能力以及思維靈活性。 3.對學生進行"具體問題具體分析"的

10、辨證唯物主義的教育。教學重點：理解并掌握加法結合律。教學難點：加法結合律的推導。教學重點：通過實例引出規律。教學過程：一、演示實驗。這一步是為了學生較為直觀的理解算理。下圖中的1、2、3、號均為大小不同的透明水杯，里面裝滿水；還有一個大玻璃罐頭瓶，為空。1、第一次實驗先把1號倒入大瓶（4號），再把2號倒入大瓶。師：這表示把1號杯和2號杯里面的水合在一起。再將3號杯里的水倒入大瓶。師：老師是按什么樣的順序將1、2、3號中的水倒入大瓶的？生：先1后2再3。師：這個過程表示什么？引導學生說出：這個過程表示先把1號和2號杯中的水合在一起，然后加入3號杯里面的水，也就是把三個杯子里面的水合在一起。在大瓶

11、的水面處做好記號。2、第二次實驗教師先把2號杯里的水倒入大瓶，再把3號杯中的倒入大瓶。這表示什么？如果再加入1號杯中的水，這表示什么？加入1號杯中的水后，你猜水面上升到何處？比原來的水面高還是低？為什么？師將1號杯中的水加入，生觀察到水面又上升到做記號處。師：倒入的順序與第一次實驗一樣嗎？為什么水面又上升到做記號處？誰來解釋一下這種現象？生：最后都是把1、2、3號杯中的水合在一起，所以兩次實驗的水面一樣高。3、第三次實驗先把1號倒入，后把3號倒入，表示什么？如果再加入2號，你猜大瓶中的水面會上升到何處？師做實驗，生觀察。水面又上升到做記號處，你如何解釋這種現象？4、小結三次實驗有什么不同的地方

12、？（倒入的順序不同）有什么相同的地方？（水面都上升到相同的高度。）通過實驗，你明白了什么？5、如果大瓶又足夠的大，我們再填第4個杯子，照上面的方法，交換水杯倒入的先后次序，把4杯水倒入大瓶，做幾次實驗，你能推測出大瓶中的水面的變化嗎？為什么會出現這種現象？二、經驗遷移上面我們做了有趣的倒水實驗，下面我們來看幾組有趣的算式。出示算式：(12+13)+1412+(13+14)(799+52)+148799+(52+148)88+76+12+24(88+12)+(76+24)1、這組算式有什么特點？2、你推測這三組算式左右兩邊那邊大，那邊??？3、你是如何做出如此推測的。4、師：讓我們通過計算驗證一下

13、自己的推測。5、你有什么樣的發現？三、小試牛刀1、你能不能寫出兩組或三組這樣的算式？2、個人驗證后，全班交流。3、在學生寫的許多組算式中挑幾組三個數相加的算式。我們先來看三個數相加的情況。(12+13)+1412+(13+14)(111+113)+114112+(113+114)(2+3)+11+(2+3)7(8+9) 9+8+733+56+99+56+334、這樣的算式寫完寫不完？和我們剛剛學過的哪個數學定律相類似？（加法交換律）你能用字母表達式表示出你的這種發現嗎？學生可能寫出 a+b+c=a+(b+c) a+b+c=c+b+aa+b+c =c+a+b a+b+c=a+(c+b)5、揭示加

14、法結合律的概念四、解決問題1、填空25+82+18=25+(+)120+(80+4)=(120+)+2、你能運用學過的運算定律使計算變得簡便一些嗎？487+325+7598+64+2+36五、通過這節課的學習，你有什么收獲？六、這節課我們學習了加法結合律，那么在減法、乘法、除法中存在這樣的定律嗎？請同學們在課后算一算，試一試，看看你能發現什么。一、巧妙導課,在良好的氛圍中開始對“根”的探尋這節課,張齊華老師是這樣開始的:師:同學們,你們知道張老師是哪個學校的嗎?(張老師借華南師范大學附小的孩子上課)生:(結合屏幕提示)知道。你是江蘇省南京市北京東路小學的。師:關于張老師的學校,有一個有趣的故事

15、,你們想聽嗎?生:想。師:我有一個朋友,有一天,他非說我調到北京去工作了。他說他在網上看到的我在北京市南京東路小學。原來,他把“北京”和“南京”兩個詞調換了。大家說,可以調換嗎?生:不可以。師:看來啊,有些時候位置不能任意調換。看屏幕上這句話:我騎著馬兒跑?！榜R兒”和“我”可以調換位置嗎?生:(笑)不能。師:再看:小明在釣魚?！靶∶鳌焙汀棒~”可以調換嗎?生:(笑)不能。師:25這個數中的“2”和“5”可以調換嗎?生:也不可以。師:但是,在數學中有些情況是可以交換的。今天這節課我們就來研究數學中有關交換的問題。張老師的新課導入,令人叫絕。利用自己學校的名稱,以幽默的方式讓學生先體會有時位置是不能

16、調換的,變換“我騎著馬兒跑”“小明在釣魚”這兩句話中的個別詞語,成了“馬兒騎著我跑”“魚在釣小明”。這種反常規的表達. (教學內容：義務教育課程標準實驗教科書數學（蘇教版）四年級上冊“交換律”。教學目標：1認識并能運用加法交換律和乘法交換律。2經歷“形成猜想、舉例驗證”的完整、真實的過程，感悟數學研究的一般方法。教學過程：一、引發猜想。1介紹“朝三暮四”的故事，引導學生得出等式“3+4=4+3”。2引導學生由等式“3+4=4+3”引發猜想：是否任意兩數相加，交換位置，和都不變？二、舉例驗證。1交流：有了猜想，我們還得驗證。你打算怎么驗證？2學生舉例驗證，教師巡視指導。3教師呈現學生中通常出現的

17、兩種不同的舉例方法，引導學生思考：你贊成哪一種，為什么？4學生交流所舉例子，教師選擇部分例子寫在黑板上。5教師根據實際情況，呈現某學生研究這一猜想時給出的部分例子，引導學生觀察這些例子，并通過比較，體會這些例子對于驗證這一猜想的作用。6小結舉例驗證的方法，揭示“加法交換律”。三、類比拓展。1引導學生由加法類比到減法、乘法和除法，并自覺形成關于減法、乘法和除法中是否有交換律的三個新猜想。2學生選擇部分猜想，舉例進行研究。教師參與，適時給予指導。3交流：哪一猜想是正確的，你們是怎么舉例驗證得出結論的？教師板書若干例子，進而得出結論。4探討：減法和除法中有交換律嗎？學生交流后，引導思考：為什么只要舉

18、一個反例就能推翻猜想？5溝通與拓展。四、直觀論證。1深究：為什么兩數相加，交換他們的位置，和會不變呢？兩數相乘，交換他們的位置，積又為何不變呢？2借助集合圖和點子圖，直觀地幫助學生深入理解加法和乘法交換律，并滲透樸素的證明思想。五、溝通聯系。1溝通加法交換律、乘法交換律與以往所學數學內容之間的聯系。2重新審視以往用“交換兩個加數或乘數的位置，再算一遍”的方法驗算加法和乘法的合理性，深化對交換律的理解。六、應用提升。依次完成幾道填空題，并相機引導學生用含有字母的式子表示出加法和乘法的交換律，體驗數學語言的簡潔。七、小結延伸。通過今天的學習，你有哪些收獲？教學交換律（張齊華）  

19、;  一個例子，究竟能說明什么？    師：喜歡聽故事嗎？    生：喜歡。    師：那就給大家講一個“朝三暮四”的故事吧。(故事略)聽完故事，想說些什么嗎？    結合學生發言，教師板書：3+4=4+3。    師：觀察這一等式，你有什么發現？    生1：我發現，交換兩個加數的位置和不變。    (教師板書這句話)    師：其他同學呢？(見

20、沒有補充)老師的發現和他很相似，但略有不同。(教師隨即出示：交換3和4的位置和不變)比較我們倆給出的結論，你想說些什么？    生2：我覺得您(老師)給出的結論只代表了一個特例，但他(生1)給出的結論能代表許多情況。    生3：我也同意他(生2)的觀點，但我覺得單就黑板上的這一個式子，就得出“交換兩個加數的位置和不變”好像不太好。萬一其它兩個數相加的時候，交換它們的位置和不等呢！我還是覺得您的觀點更準確、更科學一些。    師：的確，僅憑一個特例就得出“交換兩個加數的位置和不變”這樣的結論，似乎草率了點

21、。但我們不妨把這一結論當作一個猜想(教師隨即將生1給出的結論中的“?！备臑椤埃俊?。既然是猜想，那么我們還得    生：驗證。    驗證猜想，需要怎樣的例子？    師：怎么驗證呢？    生1：我覺得可以再舉一些這樣的例子？    師：怎樣的例子，能否具體說說？    生1：比如再列一些加法算式，然后交換加數的位置，看看和是不是跟原來一樣。（學生普遍認可這一想法）    師：那你們覺

22、得需要舉多少個這樣的例子呢？    生2：五、六個吧。    生3：至少要十個以上。    生4：我覺得應該舉無數個例子才行。不然，你永遠沒有說服力。萬一你沒有舉到的例子中，正好有一個加法算式，交換他們的位置和變了呢？（有人點頭贊同）    生5：我反對！舉無數個例子是不可能的，那得舉到什么時候才好？如果每次驗證都需要這樣的話，那我們永遠都別想得到結論！    師：我個人贊同你（生5）的觀點，但覺得他（生4）的想法也有一定道理。綜合兩人的觀點，我

23、覺得是不是可以這樣，我們每人都來舉三、四個例子，全班合起來那就多了。同時大家也留心一下，看能不能找到“交換加數位置和發生變化”的情況，如果有及時告訴大家行嗎？    學生一致贊同，隨后在作業紙上嘗試舉例。    師：正式交流前，老師想給大家展示同學們在剛才舉例過程中出現的兩種不同的情況。    （教師展示如下兩種情況：1先寫出1223和2312，計算后，再在兩個算式之間添上“”。2不計算，直接從左往右依次寫下“12232312”。）    師：比較兩種舉例的情況，想說些什么？

24、    生6：我覺得第二種情況根本不能算舉例。他連算都沒算，就直接將等號寫上去了。這叫不負責任。（生笑）    生7：我覺得舉例的目的就是為了看看交換兩個加數的位置和到底等不等，但這位同學只是照樣子寫了一個等式而已，至于兩邊是不是相等，他想都沒想。這樣舉例是不對的，不能驗證我們的猜想。    （大家對生6、生7的發言表示贊同。）    師：哪些同學是這樣舉例的，能舉手示意一下嗎？    （幾位同學不好意思地舉起了手。）  &#

25、160; 師：明白問題出在哪兒了嗎？（生點頭）為了驗證猜想，舉例可不能亂舉。這樣，再給你們幾位一次補救的機會，迅速看看你們寫出的算式，左右兩邊是不是真的相等。    師：其余同學，你們舉了哪些例子，又有怎樣的發現？    生8：我舉了三個例子，7887，2992，4774。從這些例子來看，交換兩個加數的位置和不變。    生9：我也舉了三個例子，5445，30151530，200500500200。我也覺得，交換兩個加數的位置和不變。    （注：事實上，選生8、生9進行交流

26、，是教師有意而為之。）    師：兩位同學舉的例子略有不同，一個全是一位數加一位數，另一個則有一位數加一位數、二位數加兩位數、三位數加三位數。比較而言，你更欣賞誰？    生10：我更欣賞第一位同學，他舉的例子很簡單，一看就明白。    生11：我不同意。如果舉得例子都是一位數加一位數，那么我們最多只能說，交換兩個一位數的位置和不變。至于加數是兩位數、三位數、四位數等等，就不知道了。我更喜歡第二位同學的。    生12：我也更喜歡第二位同學的，她舉的例子更全面。我覺得，舉例就

27、應該這樣，要考慮到方方面面。    （多數學生表示贊同。）    師：如果這樣的話，那你們覺得下面這位同學的舉例，又給了你哪些新的啟迪？    教師出示作業紙：0+88+0，62121+6，1/9+4/94/91/9。    生：我們在舉例時，都沒考慮到0的問題，但他考慮到了。    生：他還舉到了分數的例子，讓我明白了，不但交換兩個整數的位置和不變，交換兩個分數的位置和也不變。    師：沒錯，因為我們不只是要說明

28、“交換兩個整數的位置和不變”，而是要說明，交換    生：任意兩個加數的位置和不變。    師：看來，舉例驗證猜想，還有不少的學問?，F在，有了這么多例子，能得出“交換兩個加數的位置和不變”這個結論了嗎？（學生均表示認同）有沒有誰舉例時發現了反面的例子，也就是交換兩個加數位置和變了？（學生搖頭）這樣看來，我們能驗證剛才的猜想嗎？    生：能。    （教師重新將“？”改成“?！保⒀a充成為：“在加法中，交換兩個加數的位置和不變。”）    師：回

29、顧剛才的學習，除了得到這一結論外，你還有什么其它收獲？    生：我發現，只舉一、兩個例子，是沒法驗證某個猜想的，應該多舉一些例子才行。    生：舉的例子盡可能不要雷同，最好能把各種情況都舉到。    師：從“朝三暮四”的寓言中，我們得出“3+44+3”，進而形成猜想。隨后，又通過舉例，驗證了猜想，得到了這一規律。該給這一規律起什么名稱呢？    （學生交流后，教師揭示“加法交換律”，并板書。）    師：在這一規律中，變化的是兩個加數的（板書

30、：變）    生：位置。    師：但不變的是    生：它們的和。（板書：不變）    師：原來，“變”和“不變”有時也能這樣巧妙地結合在一起。    結論，是終點還是新的起點？    師：從個別特例中形成猜想，并舉例驗證，是一種獲取結論的方法。但有時，從已有的結論中通過適當變換、聯想，同樣可以形成新的猜想，進而形成新的結論。比如（教師指讀剛才的結論，加法的“加”字予以重音），“在加法中，交換兩個加數的位置和不變。

31、”那么，在    生1：（似有所悟）減法中，交換兩個數的位置，差會不會也不變呢？    （學生中隨即有人作出回應，“不可能，差肯定會變?！保?#160;   師：不急于發表意見。這是他（生1）通過聯想給出的猜想。    （教師隨即板書：“猜想一：減法中，交換兩個數的位置差不變？”）    生2：同樣，乘法中，交換兩個乘數的位置積會不會也不變？    （教師板書：“猜想二：乘法中，交換兩個數的位置積不變？”） 

32、0;  生3：除法中，交換兩個數的位置商會不變嗎？    （教師板書：“猜想三：除法中，交換兩個數的位置商不變？”）    師：通過聯想，同學們由“加法”拓展到了減法、乘法和除法，這是一種很有價值的思考。除此以外，還能通過其它變換，形成不一樣的新猜想嗎？    生4：我在想，如果把加法交換律中“兩個加數”換成“三個加數”、“四個加數”或更多個加數，不知道和還會不會不變？    師：這是一個與眾不同的、全新的猜想!如果猜想成立，它將大大豐富我們對“加法交換律”的認識。

33、(教師板書“猜想四：在加法中，交換幾個加數的位置和不變？”)現在，同學們又有了不少新的猜想。這些猜想對嗎？又該如何去驗證呢？選擇你最感興趣的一個，用合適的方法試著進行驗證。    （學生選擇猜想，舉例驗證。教師參與，適當時給予必要的指導。然后全班交流。） 師：哪些同學選擇了“猜想一”，又是怎樣驗證的？    生5：我舉了兩個例子，結果發現862，但68卻不夠減；3/51/52/5，但1/53/5卻不夠減。所以我認為，減法中交換兩個數的位置差會變的，也就是減法中沒有交換律。    師：根據他舉的例子，你們覺

34、得他得出的結論有道理嗎？    生：有。    師：但老師舉的例子中，交換兩數位置，差明明沒變嘛。你看，330，交換兩數的位置后，33還是得0；還有，14141414，100100100100，這樣的例子多著呢。    生6：我反對，老師您舉的例子都很特殊，如果被減數和減數不一樣，那就不行了。    生7：我還有補充，我只舉了一個例子，2112，我就沒有繼續往下再舉例。師：哪又是為什么呢？    生7：因為我覺得，只要有一個例子不符合猜想，那猜想

35、肯就錯了。    師：同學們怎么理解他的觀點。    生8：（略。）    生9：我突然發現，要想說明某個猜想是對的，我們必須舉好多例子來證明，但要想說明某個猜想是錯的，只要舉出一個不符合的例子就可以了。    師：瞧，多深刻的認識！事實上，你們剛才所提到的符合猜想的例子，數學上我們就稱作“正例”，至于不符合猜想的例子，數學上我們就稱作    生：反例。    （有略。）    師：關于

36、其它幾個猜想，你們又有怎樣的發現？    生10：我研究的是乘法。通過舉例，我發現乘法中交換兩數的位置積也不變。    師：能給大家說說你舉的例子嗎？    生10：5×44×5，0×100100×0，18×1212×18。    （另有數名同學交流自己舉的例子，都局限在整數范圍內。）    師：那你們都得出了怎樣的結論？    生11：在乘法中，交換兩數的

37、位置積不變。    生12：我想補充。應該是，在整數乘法中，交換兩數的位置積不變，這樣說更保險一些。    師：你的思考很嚴密。在目前的學習范圍內，我們暫且先得出這樣的結論吧，等學完分數乘法、小數乘法后，再補充舉些例子試試，到時候，我們再來完善這一結論，你們看行嗎？    （對猜想三、四的討論略。）    隨后，教師引導學生選擇完成教材中的部分習題（略），從正、反兩面鞏固對加法、乘法交換律的理解，并借助實際問題，溝通“交換律”與以往算法多樣化之間的聯系。  

38、;  怎樣的收獲更有價值？    師：通過今天的學習，你有哪些收獲？    生：我明白了，加法和乘法中有交換律，但卻沒有減法交換律或除法交換律。    生：我發現，有了猜想，還需要舉許多例子來驗證，這樣得出的結論才準確。    生：我還發現，只要能舉出一個反例，那我們就能肯定猜想是錯誤的。    生：舉例驗證時，例子應盡可能多，而且，應盡可能舉一些特殊的例子，這樣，得出的結論才更可靠。    師：只有一個例

39、子，行嗎？    生：不行，萬一遇到特殊情況就不好了。    （作為補充，教師給學生介紹了如下故事：三位學者由倫敦去蘇格蘭參加會議，越過邊境不久，發現了一只黑羊?！罢嬗幸馑迹碧煳膶W家說：“蘇格蘭的羊都是黑的?！薄安粚Π?。”物理學家說，“我們只能得出這樣的結論：在蘇格蘭有一些羊是黑色的?！睌祵W家馬上接著說：“我覺得下面的結論可能更準確，那就是：在蘇格蘭，至少有一個地方，有至少一只羊，它是黑色的?！保?#160;   必要的拓展：讓結論增殖！    師：在本課即將結束的時候，依然有一些問

40、題需要留給大家進一步展開思考。    （教師出示如下算式：20862068 ; 60÷2÷360÷3÷2）    師：觀察這兩組算式，你發現什么變化了嗎？    生：我發現，第一組算式中，兩個減數交換了位置，第二組算式中，兩個除數也交換了位置。    師：交換兩個減數或除數，結果又會怎樣？由此，你是否又可以形成新的猜想？利用本課所掌握的方法，你能通過進一步的舉例驗證猜想并得出結論嗎？這些結論和我們今天得出的結論有沖突嗎，又該如何去認識？

41、一堂有價值的數學課，給予學生的影響應該是多元而立體的。有知識的豐厚、技能的純熟，更有方法的領悟、思想的啟迪、精神的熏陶。事實上。數學的確擁有這一切，而且也可能傳遞這一切。     然而，出于對知識與技能的盲目追逐，當今數學課堂忽視了本該擁有的文化氣度和從容姿態，知識化、技巧化、功利化思想的不斷彌散，讓數學思想、方法和精神失卻了可能生長的土壤，并逐漸為數學課堂所遺忘，這不能不說是當今眾多數學課堂的悲哀。近年來，在觀念層面的探討不少，真正落實到課堂教學實踐的卻不多。     可喜的是，在張齊華老師的這一節課中，我們看到

42、了另一種努力以及由此而帶來的變化。透過課堂，我們似乎觸及到了數學更為豐厚的內涵，感受到數學教學可能呈現的更為開闊的景象。     對于“交換律”，一貫的教學思路是：結合具體情境，得出某一具有交換律特征的實例，由此引發猜想，并借助舉例驗證猜想、形成結論，進而在解釋和應用的過程中進一步深化認識。張老師的課，在宏觀架構上并未作太大開拓，然而，在保持其整體架構的基礎上，這一堂課在更多細節上所給予的突破卻十分顯苧。我們不妨重溫課堂，去找尋這些細節，并探尋細節背后的意蘊所在。    由“3+4=4+3”得出“交換兩數的位置和不變”的猜想

43、，似乎再自然不過了。然而，教師略顯突兀地介入，以“交換3和4的位置和不變”的細微變化，確又發人于深思。正如案例中所提及的，“一個例子究竟能說明什么”，是得出結論？還是僅僅是觸發猜想和驗證的一根引線？這里關乎知識的習得，更關乎方法的生成，關乎學生對于如何從事數學思考的思考。     “驗證猜想，需要怎樣的例子”的探討，更是折射出了張老師獨特的教學智慧。曾經在太多的課堂里，我們目睹這樣的情形：學生舉例三、四，教師引導學生匆匆過場，似乎也有觀察、也有比較、也有提煉。然而，我們卻很少琢磨：觀察也好、提煉也罷，它究竟該建立在怎樣的基石之上？換言之，在“簡潔”和“豐

44、富”之間，誰才是“舉例驗證猜想”時應該遵循的規則。張老師的嘗試與表達無疑是對傳統教學的一種突破?！芭e例”不應只追求簡約。例子的多元化、特殊性恰恰是結論準確和完整的前提。沒有老師適時的點撥與引導，學生如何才能有此深度體驗？無此體驗，我們如何能說，學生已經歷過程，并已感悟思想與方法？     觸及我深思的問題還在于，是什么原因觸發了這一節課將原來的“加法交換律”置換成了“交換律”？是內容的簡單擴張？是教學結構的適度調整？隨后的課堂，給了我清晰的答復。“加法交換律”只是一個觸點，“減法中是否也會有交換律”、“乘法、除法中呢”等新問題，則是原有觸點中誕生的一個個

45、新的生長點。統整到一起時，作為某一特定運算的“交換律知識”被弱化了，而“交換律”本身、“變與不變”的辯證關系、“ 想一實驗一驗證”的思考路線、由“此知”及“彼知”的數學聯想等卻一一獲得凸顯，成為超越于知識之上的更高的數學課堂追求。這何嘗不是一種有意義、有價值的探索？     課堂的結尾，我們依然看到了教師對傳統保守思路的背叛。確定的、可靠的結論已經不再是一堂課的終極追求，結論的可增  殖性、結論的重新表達、問題的不斷生成和卷入，仿佛成為丁這堂課最后的價值取向，即便是顛覆原有的結論，也在所不惜。在這里，我們再一次看到了教師對于數學知識的“戰略性”

46、忽視，因為，教師心中有大氣象。    數學是什么，數學可以留下些什么，數學可以形成怎樣的影響力？答案并不唯一。但我以為，數學可以在人的內心深處培植理性的種子，可以讓你擁有一顆數學的大腦，學會數學地思考，學會理性、審慎地看待問題，關注周遭，理解世界，這恰是這節課給予我們的最大啟迪。而數學的文化特性也恰在于此。交換律一課，張老師先是由師生談話開始。 師：知道張老師是哪個學校的嗎？生：江蘇省南京市北京東路小學。師：關于我工作的地方，還有一個故事，大家想聽嗎？（想）師：我有一個朋友，有一天，他非說我調到北京去工作了。他說他在網上看到的。他說明明看到我在北京市南京

47、東路小學。原來，他把北京和南京兩個詞調換了。大家說，可以調換嗎？（不可以）師：看來啊，有些時候是不能任意調換的?？雌聊簧线@兩句話：我騎著馬兒跑。小明在釣魚。能調換嗎？師：52這個數中的5和2可以調換嗎？師：但是，在數學中也有一些情況下是可以交換的，今天這節課我們就來研究數學中有關交換的問題。     然后，張老師出示了幾組口算題，口算的形式也很有意思。屏幕出示后，他要求學生悄悄地把計算的結果告訴同桌。第一個算式出示后，學生回答的聲音比較大，他幽默地說：還不夠悄悄?？谒泐}一共有6道3組，張老師問學生：你發現了什么嗎？根據學生的回答，張老師在黑板上板書了三組

48、算式。然后問學生：觀察這些算式，你覺得有什么規律。學生說出后，師問：你還能舉出這樣的例子來嗎？學生說：可以。師：可以舉出多少呢？生：無數個。師：那似乎我們可以說，任意兩個自然數相加，交換它們的位置，和不變。板書后，師問：我們這兒只有三個例子，為了證明這句話是對的，光這幾個例子夠嗎？生：不夠。師：所以我們還要去舉一些例子，在舉例子的時候要注意什么呢？生1：不僅要舉兩位數加兩位數，還要舉三位數加三位數。生2：還要舉小數加小數。生3：還要舉分數加分數。（老師對這幾個同學積極鼓勵）     通過舉例驗證了加法交換律后，張老師啟發：剛才我們研究的是加法交換位置，和

49、不變。由加法你想到什么？生馬上想到想去研究減法，乘法，除法是否有交換律。和學生討論出這些規律的表示方法后，張老師讓學生在小組內進行研究。    全班交流時，先說乘法，在這兒出現了很有趣的一幕。因為學生說，乘法他們只驗證了整數乘法，但小數乘法和分數乘法還沒有學，他們無法驗證，所有他們擔心會不行。所以在說這個規律時，學生要求把乘法交換律說成，兩個因數相乘，交換因數的位置，積基本不變。    而在研究減法時，學生的思維同樣的非?；钴S，舉了幾個例子后，學生同意了減法沒有交換律，但有個同學說，兩個相同的數相減，交換它們的位置，差不變。張老師肯定

50、了她的想法，并對她說發現了一個子規律。    張老師帶著孩子們得出加法和乘法有交換律后，出了幾道很簡單的填空題。最后一道是（  ）+（   ）=（   ）+（   ），學生舉了幾個例子后，老師問：能填得完嗎？有沒有什么辦法表示呢？從而滲透用字母表示數。     然后，張老師又分別用集合圖和點陣法向學生介紹了數學家是如何證明加法交換律和乘法交換律的。      最后，張老師給學生講了一個小故事，作為這節課的結

51、尾：天文學家、物理學家和數學家坐著火車在蘇格蘭的大地上奔馳。他們往外眺望，看到田野里有一只黑色的羊。天文學家說："多么有趣，所有的蘇格蘭羊都是黑色的。"物理學家反駁道："不！某些蘇格蘭羊是黑色的。"數學家慢條斯理地說："在蘇格蘭至少存在著一塊田地，至少有一只羊，這只羊至少有一側是黑色的。"對于教學，這本是一個再樸素不過的道理，而我卻用了整整十年的時間，才漸漸品出其中的真滋味。而且，十年教學中，自己的所見、所聞、所思、所感使我越來越堅信：如我一樣，對這一道理不夠明白者，不在少數！     

52、;   想起讀師范時，無論是學校的課程設置，抑或大家對各門課程的熱衷程度，小學數學教學法都要比初等數論幾何學概論等強得多，以至于還沒踏上講臺，“怎么教才是最重要的”已在我們這些“準教師”的潛意識里扎根。難怪有人擔憂：這一代教師可能“集體缺鈣”。我以為這并非聳人聽聞，而且深知這“鈣”正是數學教師對“教什么”應有的重視，是對數學本身必需的關注。        正式走上講臺，“教什么”的問題似乎更不值得一提：“既然是數學教師，教的自然是數學。”看起來，這是無需求證的事實，但問題又恰在于此。我

53、曾在不同年齡段的數學教師中問過同樣的問題：什么是數學？沒想到，答案千姿百態：        “數學？呵，教了一輩子數學，還真沒想過?！?#160;       手指數學書：“這就是數學！”        “數學關于數的學問吧？”            

54、;    能道出恩格斯關于數學的定義者少之又少，更莫說對數學給出自己個性化的、深刻的見解了。倒是下面這位教師的回答更直截了當：“什么是數學并不重要，只要能教會學生就行?！?#160;       我相信，他的觀點有相當的普遍性。   我們沒有理由不擔心，一個“不知數學為何物”（至少是知之不多）的教師，得有多大的勇氣才能自信地走上講臺并從事好手頭的這份數學教學工作？一個“心中無數學”的教師，如何才能憑借數學課堂實現數學應用的教育價值與文化意義？近期，關于數學課堂中“去

55、數學化”傾向的討論，不正是上述顧慮的折射嗎？        無疑，什么是數學，這不是只言片語所能解釋清楚的。但有一點毋庸置疑，那就是對數學的不同認識和理解必然會深刻影響數學教師的教學觀，影響數學課程潛在教育價值與文化意義的實現。從這一意義上講，對于數學本質的了解、解讀以及持續的思索則顯得十分必要而且迫切。        當然，在此我們尤其要弄清楚這樣一些與數學有關的命題，比如“作為科學的數學”與“作為學科的數學”，“學術形態的數學”與“

56、教育形態的數學”，靜態的“文本數學”與動態的“課堂數學”，等等。類似的思考會使我們對數學有一個更加深入、辯證的把握，也有利于我們以一種更審慎的態度觀照數學以及我們的數學課堂。        此外，作為與“教什么”密切相關的話題，我們還應提及數學教師自身的學科素養問題。事實上，數學教學并不是教師“外在于”數學，以數學為純粹“客體”“對象”而從事的搬運工作。教師與數學，二者理應相互交融、合二為一。一個優秀的數學教師站在講臺上，他就是數學！教學活動中，他的身上應該自然散發著一種獨特的數學光華與氣息，一種源自于理性、智慧、

57、思辨的內在氣質。此時的教師，恰是以一個完整的職業生命，攜自身的全部數學涵養融入教室、融入課堂、融入學生，學生由此而汲取數學的豐富營養。        正是基于這樣的思考，我們在此又想提及這樣一個問題：作為小學數學教師的我們，是否還需要有高等數學的視野，并補充一些基礎數學理論的養分，以使我們所教的“數學”更豐厚些？        與大家共勉。教學交換律張齊華一個例子，究竟能說明什么？師：喜歡聽故事嗎？生：喜歡。師：那就給大家講一個“朝三暮

58、四”的故事吧。(故事略)聽完故事，想說些什么嗎？結合學生發言，教師板書：3+4=4+3。師：觀察這一等式，你有什么發現？生1：我發現，交換兩個加數的位置和不變。(教師板書這句話) 師：其他同學呢？(見沒有補充)老師的發現和他很相似，但略有不同。(教師隨即出示：交換3和4的位置和不變)比較我們倆給出的結論，你想說些什么？生2：我覺得您(老師)給出的結論只代表了一個特例，但他(生1)給出的結論能代表許多情況。生3：我也同意他(生2)的觀點，但我覺得單就黑板上的這一個式子，就得出“交換兩個加數的位置和不變”好像不太好。萬一其它兩個數相加的時候，交換它們的位置和不等呢！我還是覺得您的觀點更準確、更科學

59、一些。師：的確，僅憑一個特例就得出“交換兩個加數的位置和不變”這樣的結論，似乎草率了點。但我們不妨把這一結論當作一個猜想(教師隨即將生1給出的結論中的“?！备臑椤?？”)。既然是猜想，那么我們還得生：驗證。驗證猜想，需要怎樣的例子？師：怎么驗證呢？生1：我覺得可以再舉一些這樣的例子？師：怎樣的例子，能否具體說說？生1：比如再列一些加法算式，然后交換加數的位置，看看和是不是跟原來一樣。（學生普遍認可這一想法）師：那你們覺得需要舉多少個這樣的例子呢？生2：五、六個吧。生3：至少要十個以上。生4：我覺得應該舉無數個例子才行。不然，你永遠沒有說服力。萬一你沒有舉到的例子中，正好有一個加法算式，交換他們的

60、位置和變了呢？（有人點頭贊同）生5：我反對！舉無數個例子是不可能的，那得舉到什么時候才好？如果每次驗證都需要這樣的話，那我們永遠都別想得到結論！師：我個人贊同你（生5）的觀點，但覺得他（生4）的想法也有一定道理。綜合兩人的觀點，我覺得是不是可以這樣，我們每人都來舉三、四個例子，全班合起來那就多了。同時大家也留心一下，看能不能找到“交換加數位置和發生變化”的情況，如果有及時告訴大家行嗎？學生一致贊同，隨后在作業紙上嘗試舉例。師：正式交流前，老師想給大家展示同學們在剛才舉例過程中出現的兩種不同的情況。（教師展示如下兩種情況：1先寫出1223和2312，計算后，再在兩個算式之間添上“”。2不計算，直

61、接從左往右依次寫下“12232312”。）師：比較兩種舉例的情況，想說些什么？生6：我覺得第二種情況根本不能算舉例。他連算都沒算，就直接將等號寫上去了。這叫不負責任。（生笑）生7：我覺得舉例的目的就是為了看看交換兩個加數的位置和到底等不等，但這位同學只是照樣子寫了一個等式而已，至于兩邊是不是相等，他想都沒想。這樣舉例是不對的，不能驗證我們的猜想。（大家對生6、生7的發言表示贊同。）師：哪些同學是這樣舉例的，能舉手示意一下嗎？（幾位同學不好意思地舉起了手。）師：明白問題出在哪兒了嗎？（生點頭）為了驗證猜想，舉例可不能亂舉。這樣，再給你們幾位一次補救的機會，迅速看看你們寫出的算式，左右兩邊是不是真

62、的相等。師：其余同學，你們舉了哪些例子，又有怎樣的發現？生8：我舉了三個例子，7887，2992，4774。從這些例子來看，交換兩個加數的位置和不變。生9：我也舉了三個例子，5445，30151530，200500500200。我也覺得，交換兩個加數的位置和不變。（注：事實上，選生8、生9進行交流，是教師有意而為之。）師：兩位同學舉的例子略有不同，一個全是一位數加一位數，另一個則有一位數加一位數、二位數加兩位數、三位數加三位數。比較而言，你更欣賞誰？生10：我更欣賞第一位同學，他舉的例子很簡單，一看就明白。生11：我不同意。如果舉得例子都是一位數加一位數，那么我們最多只能說，交換兩個一位數的位

63、置和不變。至于加數是兩位數、三位數、四位數等等，就不知道了。我更喜歡第二位同學的。生12：我也更喜歡第二位同學的，她舉的例子更全面。我覺得，舉例就應該這樣，要考慮到方方面面。（多數學生表示贊同。）師：如果這樣的話，那你們覺得下面這位同學的舉例，又給了你哪些新的啟迪？教師出示作業紙：0+88+0，62121+6，1/9+4/94/91/9。生：我們在舉例時，都沒考慮到0的問題，但他考慮到了。生：他還舉到了分數的例子，讓我明白了，不但交換兩個整數的位置和不變，交換兩個分數的位置和也不變。師：沒錯，因為我們不只是要說明“交換兩個整數的位置和不變”，而是要說明，交換生：任意兩個加數的位置和不變。師：看來，舉例驗證猜想，還有不少的學問?，F在，有了這么多例子，能得出“交換兩個加數的位置和不變”這個結論了嗎？（學生均表示認同）有沒有誰舉例時發現了反面的例子，也就是交換兩個加數位置和變了？（學生搖頭）這樣看來，我們能驗證剛才的猜想嗎？生：能。（教師重新將“？”改成“。”，并補充