1、參數取值 （）參數取值問題的探討一、若在等式或不等式中出現兩個變量，其中一個變量的范圍已知，另一個變量的范圍 為所求，且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于等號或不等號的兩邊，則可將恒成立問題轉化成函數的最值問題求解。例1已知當xr時，不等式a+cos2x<54sinx+恒成立，求實數a的取值范 圍。分析：在不等式中含有兩個變量a及x，其中x的范圍已知（xr），另一變量a的范 圍即為所求，故可考慮將a及x分離。解：原不等式即：4sinx+cos2x<a+5 要使上式恒成立，只需a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述問題轉 化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值問題。f

2、(x)= 4sinx+cos2x=2sin2x+4sinx+1=2(sinx1)2+33,a+5>3即>a+2上式等價于或，解得a<8.說明：注意到題目中出現了sinx及cos2x，而cos2x=12sin2x,故若把sinx換元成t,則 可把原不等式轉化成關于t的二次函數類型。另解：a+cos2x<54sinx+即 a+12sin2x<54sinx+,令sinx=t,則t1,1,整理得2t24t+4a+>0,( t1,1)恒成立。設f(t)= 2t24t+4a+則二次函數的對稱軸為t=1,f(x)在1，1內單調遞減。只需f(1)>0,即>a2.

3、(下同)例2已知函數f(x)在定義域（，1上是減函數，問是否存在實數k，使不等式 f(ksinx)f(k2sin2x)對一切實數x恒成立？并說明理由。分析：由單調性與定義域，原不等式等價于ksinxk2sin2x1對于任意xr恒成 立，這又等價于對于任意xr恒成立。不等式（1）對任意xr恒成立的充要條件是k2(1+sin2x)min=1,即1k1-(3)不等式（2）對任意xr恒成立的充要條件是k2k+(sinx)2max=,即k1或k2,-(4)由（3）、（4）求交集，得k=1,故存在k=1適合題設條件。說明：抽象函數與不等式的綜合題常需要利用單調性脫掉函數記號。例3設直線過點p（0，3），和

4、橢圓順次交于a、b兩點，試求的 取值范圍.分析：本題中，絕大多數同學不難得到：=，但從此后卻一籌莫展, 問題的 根源在于對題目的整體把握不夠. 事實上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構造所求變量關于某個（或某幾個）參數的函數關系式（或方程），這只需利用對應的思想實施；其二則是構造關于所求量的一個不等關系.思路1:從第一條想法入手，=已經是一個關系式，但由于有兩個變量 ，同時這兩個變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第3個變量直線ab的斜率k. 問題就轉化為如何將轉化為關于k的表達式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去y得出關于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.所求量的取值范圍把直線

5、l的方程y = kx+3代入橢圓方程，消去y得到關于x的一元二次方程xa= f（k），xb = g（k）得到所求量關于k的函數關系式求根公式ap/pb = （xa / xb）由判別式得出k的取值范圍解1：當直線垂直于x軸時，可求得；當與x軸不垂直時，設，直線的方程為：，代入橢 圓方程，消去得，解之得 因為橢圓關于y軸對稱，點p在y軸上，所以只需考慮的情形.當時，所以 =.由 , 解得 ，所以 ，綜上 .思路2: 如果想構造關于所求量的不等式，則應該考慮到：判別式往往是產生不等的根 源. 由判別式值的非負性可以很快確定的取值范圍，于是問題轉化為如何將所求量與· 聯系起來. 一般來說，韋

6、達定理總是充當這種問題的橋梁，但本題無法直接應用韋達定理，原因在于不是關于的對稱關系式. 原因找到后，解決問題的方法自然也就有了，即我們可以構造關于的對稱關系式.把直線l的方程y = kx+3代入橢圓方程，消去y得到關于x的一元二次方程xa+ xb = f（k），xa xb = g（k）構造所求量與k的關系式關于所求量的不等式韋達定理ap/pb = （xa / xb）由判別式得出k的取值范圍解2：設直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得 （*）則 令，則，在（*）中，由判別式可得 ，從而有 ，所以，解得.結合得. 綜上，.說明：范圍問題不等關系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有

7、界性法，函數的性質法，數形結合法等等. 本題也可從數形結合的角度入手，給出又一優美解法.二、直接根據圖像判斷若把等式或不等式進行合理的變形后，能非常容易地畫出等號或不等號兩邊函數的圖象，則可以通過畫圖直接判斷得出結果。尤其對于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。例4已知長方形四個頂點a（0，0），b（2，0），c（2，1）和d（0，1）.一質點從ab的中點p沿與ab夾角為的方向射到bc上的點p1后，依次反射到cd、da和ab上的點p2、p3和p4（入射角等于反射角）.設p4的坐標為（x4，0）.若1< x4<2，則的取值范圍是（ ）(a) (b) (c) (d)圖1圖2分析: 高

8、中數學課程標準提倡讓學生自主探索, 動手實踐, 并主張在高中學課程設立“數學探究”學習活動,本題可以嘗試用特殊位置來解，不妨設與ab的中點p重合（如圖1所示），則p1、p2、p3分別是線段bc、cd、da的中點，所以由于在四個選擇支中只有c含有，故選c當然，本題也可以利用對稱的方法將“折線”問題轉化成“直線”問題來直接求解（如 圖2所示） 說明 由本題可見, 探索猜想在數學學習中的地位這也是選擇題的應有特點xyo12y1=(x-1)2y2=logax例5當x(1,2)時，不等式(x1)2<logax恒成立，求a的取值范圍。分析：若將不等號兩邊分別設成兩個函數，則左邊為二次函數，圖象是拋物

9、線，右邊為 常見的對數函數的圖象，故可以通過圖象求解。解：設y1=(x1)2,y2=logax,則y1的圖象為右圖所示的拋物線，要使對一切x(1,2),y1<y2 恒成立，顯然a>1,并且必須也只需當x=2時y2的函數值大于等于y1的函數值。 故loga2>1,a>1,1<a2.例6函數y=(x1)loga6xlog3a+x+1，其中在x0,1時函數恒正，求a的范圍。解：排除對數log3a的干擾，選x為“主元”化函數為 y=f(x)=(log32a6 log3a+1)x+1log32a, x0,1. 一次（或常數）函數恒正，被線段端點“抬在”x軸的上方。故有：說明

10、：給定一次函數y=f(x)=ax+b(a0),若y=f(x)在m,n內恒有f(x)>0，則根據函數的圖象（直線）可得上述結論等價于）或）亦可合并定成同理，若在m,n內恒有f(x)<0，則有例7對于滿足|p|2的所有實數p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范圍。分析：在不等式中出現了兩個字母：x及p,關鍵在于該把哪個字母看成是一個變量，另 一個作為常數。顯然可將p視作自變量，則上述問題即可轉化為在2，2內關 于p的一次函數大于0恒成立的問題。略解：不等式即(x1)p+x22x+1>0,設f(p)= (x1)p+x22x+1,則f(p)在2,2上恒大 于0

11、，故有：即解得：x<1或x>3.例8.設f(x)=x22ax+2,當x1,+)時，都有f(x)a恒成立，求a的取值范圍。分析：題目中要證明f(x)a恒成立，若把a移到等號的左邊，則把原題轉化成左邊二 次函數在區間1,+)時恒大于0的問題。解：設f(x)= f(x)a=x22ax+2a.)當=4（a1)(a+2)<0時，即2<a<1時，對一切x1,+)，f(x)0恒成立；）當=4（a1)(a+2) 0時由圖可得以下充要條件：-1oxy即得3a2;綜合可得a的取值范圍為3，1說明：若二次函數y=ax2+bx+c=0(a0)大于0恒成立，則有 若是二次函數在指定區間上的

12、恒成立問題，還可以利用韋達定理以及根與系數的 分布知識求解。4oxy例9關于x的方程9x+(4+a)3x+4=0恒有解，求a的范圍。分析：題目中出現了3x及9x，故可通過換元轉化成二次函數型求 解。解法1（利用韋達定理）：設3x2+(4+a)t+4=0有正根。 即解得a8.解法2（利用根與系數的分布知識）：4oxy即要求t2+(4+a)t=0有正根。設f(x)= t2+(4+a)t+4.10.=0,即（4+a）216=0,a=0或a=8.a=0時，f(x)=(t+2)2=0,得t=2<0，不合題意；a=8時，f(x)=(t2)2=0,得t=2>0,符合題意。a=8.20. >

13、0,即a<8或a>0時，f(0)=4>0,故只需對稱軸，即a<4.a<8綜合可得a8.三、解析幾何中確定參變量的取值范圍歷來是各級各類測試及高考命題的熱點。由于此 類問題綜合性強，且確定參變量取值范圍的不等量關系也較為隱蔽，因而給解題帶 來了諸多困難。為此，我們有必要總結和歸納如何尋找或挖掘不等量關系的策略和 方法。在幾何問題中，有些問題和參數無關，這就構成定值問題，解決這些問題常通過取參數 和特殊值來確定“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉化為代數式或三角式來證明該式是恒定的。解析幾何中的最值問題，一般先根據條件列出所求目標函數關系式，然后根據函數關系式手

14、特征選用參數法，配方法，判別式法，應用不等式的性質，以及三角函數最值法等求出它的最大值或最小值。充分運用各種方法學會解圓錐曲線的綜合問題（解析法的應用，數形結合的數學思想，圓錐曲線與圓錐曲線的位置關系，與圓錐曲線相關的定值問題，最值問題，應用問題和探索性問題）。研究最值問題是實踐的需要，人類在實踐活動中往往追求最佳結果，抽象化之成為數學上的最值問題，所以最值問題幾乎滲透到數學的每一章。解析幾何中的最值問題主要是曲線上的點到定點的距離最值，到定直線的距離最值，還有面積最值，斜率最值等，解決的辦法也往往是數形結合或轉化為函數最值。而一些函數最值，反而可以通過數形結合轉化為解析幾何中的最值問題。1

15、幾何法：若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質來 解決。2 代數法：若題目的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可首先建立目標函數， 再求這個函數的最值。求函數最值常用的方法有配方法、判別式法、重要不等式法、三角函數的值域法、函數的單調性法。例10已知橢圓c:和點p（4，1），過p作直線交橢圓于a、b兩點， 在線段ab上取點q，使，求動點q的軌跡所在曲線的方程及點q的橫坐標的取值范圍.分析：這是一個軌跡問題，解題困難在于多動點的困擾，學生往往不知從何入手。其實，應該想到軌跡問題可以通過參數法求解. 因此，首先是選定參數，然后想方設法將點q的橫、縱坐標用參數表達，最后通

16、過消參可達到解題的目的.由于點的變化是由直線ab的變化引起的，自然可選擇直線ab的斜率作為參數，如何將與聯系起來？一方面利用點q在直線ab上；另一方面就是運用題目條件：來轉化.由a、b、p、q四點共線，不難得到，要建立與的關系，只需將直線ab的方程代入橢圓c的方程，利用韋達定理即可.通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但對于如何解決本題，已經做到心中有數.將直線方程代入橢圓方程，消去y，利用韋達定理利用點q滿足直線ab的方程：y = k (x4)+1，消去參數k點q的軌跡方程在得到之后，如果能夠從整體上把握，認識到：所謂消參，目的不過是得到 關于的方程（不含k），則可由解得，直接

17、代入即可得到軌跡方程。從而簡化消去參的過程。解：設，則由可得：，解之得： （1）設直線ab的方程為：，代入橢圓c的方程，消去得出關于 x的一元二次方程： （2） 代入（1），化簡得： (3)與聯立，消去得：在（2）中，由，解得 ，結合（3）可求得 故知點q的軌跡方程為： （）.說明：由方程組實施消元，產生一個標準的關于一個變量的一元二次方程，其判別式、韋達定理模塊思維易于想到. 這當中，難點在引出參，活點在應用參，重點在消去參.，而“引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問題求解的一條有效通道.例11已知，試討論的值變化時，方程表示的曲線的形狀。解：（1）當時，方程化為，它表示兩條與軸平行

18、的直線； （2）當時，方程化為，它表示兩條與軸平行的直線； （3）當時，方程化為，它表示一個單位圓； （4）當時，方程化為，因為，所以它 表示一個焦點在軸上那個的橢圓； （5）當時，方程化為，因為，所以它 表示一個焦點在軸上那個的橢圓； （6）當時，方程化為，因為， 所以它表示一個焦點在軸上那個的雙曲線。（）、求參數的取值范圍在解析幾何中的應用例12一農民有田2畝，根據他的經驗：若種水稻，則每畝每期產量為400公斤，若 種花生，則每畝產量為100公斤，但水稻成本較高，每畝每期240元，而花生 只要80元，且花生每公斤可賣5元，稻米每公斤只賣3元，現在他只能湊足 400元，問這位農民對兩種作物應

19、各種多少畝，才能得到最大利潤？ 分析：最優種植安排問題就是要求當非負變量x、y滿足條件和 時，總利潤p達到最大，是線性規劃問題。解：設水稻種x畝，花生種y畝，則有題意得： 即 此不等式組的解為四邊形區域（包括邊界），這些解通常就叫做本問題的可行解，并稱 這個區域為問題的可行解區域。而利潤p（3×400200）x（5×10080）y960x+420y為二元函數，通常就叫 做本問題的目標函數。故所求問題變為：要在此可行解區域內，找出（x，y）點，使目標函數p960x+420y的值為最大，這類點就叫做本問題的最佳解。如何找出這類點呢？觀察目標函數p，我們知道：（1） 當p等于任意

20、常數m時，m960x+420y 都是48/21的直線；（2） 若直線l：m960x+420y與可行解區域相交，則對應于此直線的任一可行解，目標函數p的值皆為m；（3） 當直線l：m960x+420y 即 y48/21xm/400過可行解區域，且縱截距最大時，m有最大值，即目標函數p有最大值。由圖可知，當直線l過b點時，縱截距最大。解方程組 得交點b（1.5,0.5）所以當x1.5，y0.5時，pmax960×1.5420×0.51650（元）即水稻種1.5畝，花生種0.5畝時所得的利潤最大。 說明：很多數學應用題都與二元一次不等式組有關，而不等式組的解答往往很多， 在各種解

21、答中，是否有一組為符合實際情況的最佳解答呢？求此類問題的解答為 數學的一個重要分支線性規劃。線性規劃是最優化模型中的一個重要內容， 它具有適應性強，應用面廣，計算技術比較簡便的特點，它是現代管理科學的重 要基礎和手段之一。利用線性規劃解決應用問題的方法可按下列步驟進行：（1） 根據題意，建立數學模型，作出不等式組區域的圖形，即可行解區域；（2） 設所求的目標函數f（x，y）為m值；（3） 將各頂點坐標代入目標函數，即可得m的最大值或最小值，或求直線f（x，y） m在y軸上截距的最大值（最小值）從而得m的最大值（最小值）。 例13某汽車公司有兩家裝配廠，生產甲、乙兩種不同型的汽車，若a廠每小時可

22、完 成1輛甲型車和2輛乙型車；b廠每小時可完成3輛甲型車和1輛乙型車。今欲制造40輛甲型車和乙型車，問這兩家工廠各工作幾小時，才能使所費的總工作時數最小？ 分析：這是一個如何安排生產才能發揮最佳效率的問題。最優工作時數的安排問題就是a、b兩廠生產甲、乙兩種不同型號的汽車數不得低于甲型40輛、乙型20輛時，總工時最少。解：設a廠工作x小時，b廠生產y小時，總工作時數為t小時，則它的目標函數為 t=xy 且x3y40 ，2x+y20 ，x0 ，y0可行解區域，而符合問題的解答為此區域內的格子點（縱、橫坐標都是整數的點稱為 格子點），于是問題變為：要在此可行解區域內，找出格子點（x，y），使目標函數

23、t xy的值為最小。由圖知當直線l：yxt過q點時，縱截距t最小，但由于符合題意的解必須是格子點，我們還必須看q點是否是格子點。解方程組 得q（4,12）為格子點，故a廠工作4小時，b廠工作12小時，可使所費的總工作時數最少。說明：也可以用凸多邊形性質去尋找最佳解，要注意到有時符合題意的解僅限于可行解區域內的格子點，此時如果有端點并非格子點，這些點就不符合題意，不是我們要找的解；如果所有的端點都是格子點，所有的端點全符合題意，我們就可用凸多邊形性質去找出最佳解。符合本題的解僅為可行解區域內的格子點，其可行解區域的端點p（40,0），q（4,12）r（0,20）都是格子點，都符合題意，而它們所對

24、應的目標函數值如下表所示： （x，y） （40,0） （4,12） （0,20） t 40 16 20 故q（4,12）即為所要找的點。例14私人辦學是教育發展的方向。某人準備投資1200萬元興辦一所完全中學，為了考慮社會效益和經濟效益，對該地區教育市場進行調查，得出一組數據列表如下（以班級為單位）：班級學生數配備教師數硬件建設（萬元）教師年薪（萬元）初中 50 28高中 40 2.5 58 1.6 根據物價部門的有關文件，初中是義務教育階段，收費標準適當控制，預計除書本費、辦公費以外每生每年收取600元，高中每生每年可收取1500元。因生源和環境等條件的限制，辦學規模以20至30個班為宜。教

25、師實行聘任制。初中、高中的教育周期均為三年。請你合理地安排找生計劃，使年利潤最大，大約經過多少年可以收回全部投資？解：設初中編制為x個班，高中編制為y個班。 則 （x>0,y>0,x,yz）。 計年利潤為s，那么s3x+6y-2.4x-4y，即s0.6x+2y 作出不等式表示的平面區域。問題轉化為求直線0.6x+2xs0截距的最大值。過點a作 0.6x+2y=0的平行線即可求出s的最大值。聯立得a（18,12）。將x18，y12代入s0.6x+2y求得smax34.8。設經過n年可收回投資，則11.6+23.2+34.8(n2)=1200，可得n33.5。學校規模初中18個班級，高

26、中12個班級，第一年初中招生6個班300人，高中招生4個班160人。從第三年開始年利潤34.8萬元，大約經過36年可以收回全部投資。說明：本題的背景材料是投資辦教育，擬定一份計劃書，本題是計劃書中的部分內容。要求運用數形結合思想，解析幾何知識和數據處理的綜合能力。通過計算可知，投資教育主要是社會效益，提高整個民族的素質，經濟效益不明顯。（）、強化訓練1（南京市質量檢測試題） 若對個向量存在個不全為零的實數 ，使得成立，則稱向量為“線性相 關”依此規定， 能說明，“線性相關”的實數 依次可以取 （寫出一組數值即可，不必考慮所有情況） 2已知雙曲線，直線過點，斜率為，當時，雙曲線的上支上有且僅有一

27、點b到直線的距離為，試求的值及此時點b的坐標。3設函數f(x)=2x-12-x-1,xr,若當0時，f(cos2+2msin)+f(2m2)>0恒成立，求實數m的取值范圍。4已知關于x的方程lg(x+20x) lg(8x6a3)=0有唯一解，求實數a的取值范圍。5試就的不同取值，討論方程所表示的曲線形 狀，并指出其焦點坐標。6某公司計劃在今年內同時出售變頻空調機和智能型洗衣機，由于這兩種產品的市場需 求量非常大，有多少就能銷售多少，因此該公司要根據實際情況（如資金、勞動力） 確定產品的月供應量，以使得總利潤達到最大。已知對這兩種產品有直接限制的因素 是資金和勞動力，通過調查，得到關于這兩

28、種產品的有關數據如下表：資金單位產品所需資金（百元）月資金供應量（百元）空調機洗衣機成本3020300勞動力 （工資）510110單位利潤68 試問：怎樣確定兩種貨物的月供應量，才能使總利潤達到最大，最大利潤是多少？ 7某校伙食長期以面粉和大米為主食，而面食每100克含蛋白質6個單位，含淀粉4個單 位，售價0.5元，米食每100克含蛋白質3個單位，含淀粉7個單位，售價0.4元，學校要求給學生配制盒飯，每盒飯至少有8個單位的蛋白質和10個單位的淀粉，問應如何配制盒飯，才既科學又費用最少？8發電廠主控室的表盤，高m米，表盤底邊距地面n米。問值班人員坐在什么位 置上，看得最清楚？（值班人員坐在椅子上

29、眼睛距地面的高度一般為）9. 某養雞廠想筑一個面積為144平方米的長方形圍欄。圍欄一邊靠墻，現有50米鐵絲網， 筑成這樣的圍欄最少要用多少米鐵絲網？已有的墻最多利用多長？最少利用多長？（）、參考答案分析：本題將高等代數中維向量空間的線形相關的定義，移植到平面向量中，定義了個平面向量線性相關在解題過程中，首先應該依據定義，得到，即，于是，所以即則所以，的值依次可取（是不等于零的任意實數）2分析1：解析幾何是用代數方法來研究幾何圖形的一門學科，因此，數形結合必然是研究解析幾何問題的重要手段. 從“有且僅有”這個微觀入手，對照草圖，不難想到：過點b作與平行的直線，必與雙曲線c相切. 而相切的代數表現

30、形式是所構造方程的判別式. 由此出發，可設計如下解題思路：把直線l的方程代入雙曲線方程，消去y，令判別式直線l在l的上方且到直線l的距離為解題過程略.分析2：如果從代數推理的角度去思考，就應當把距離用代數式表達，即所謂“有且僅 有一點b到直線的距離為”，相當于化歸的方程有唯一解. 據此設計出如下解題思路：轉化為一元二次方程根的問題求解問題關于x的方程有唯一解解：設點為雙曲線c上支上任一點，則點m到直線的距離為： 于是，問題即可轉化為如上關于的方程.由于，所以，從而有于是關于的方程 由可知： 方程的二根同正，故恒成立，于是等價于.由如上關于的方程有唯一解，得其判別式，就可解得 .說明：上述解法緊

31、扣解題目標，不斷進行問題轉換，充分體現了全局觀念與整體思維的 優越性.3分析與解：從不等式分析入手，易知首先需要判斷f(x)的奇偶性和單調性，不難證 明，在r上f(x)是奇函數和增函數，由此解出cos2+2msin<2m+2.令t=sin,命題轉化為不等式t22mt+(2m+1)>0,t0,1-(*)恒成立時，求實數m的取值范圍。接下來，設g(t)=t22mt+(2m+1),按對稱軸t=m與區間0，1的位置關系，分類使g(t)min>0,綜合求得m>.本題也可以用函數思想處理，將（*）化為2m(1t)>(t2+1),t0,1當t=1時，mr;當0t<1時，2

32、m>h(t)=2(1t)+,由函數f（u)=u+在（1，1上是減函數，易知當t=0時，h(x)max=1, m>,綜合（1）、（2）知m>。說明：本題涉及函數的奇偶性、單調性、二次函數的條件極值、不等式等知識，以及用函數的思想、數形結合、分類討論、轉化和化歸的思想方法解題，是綜合性較強的一道好題。4分析：方程可轉化成lg(x2+20x)=lg(8x6a3),從而得x2+20x=8x6a3>0,注意到若將等號兩邊看成是二次函數xyl1l2l-20oy= x2+20x及一次函數y=8x6a3，則只需考慮這兩個函數的圖象在x軸上方恒有唯一交點即可。解：令y1= x2+20x=（x+10）2100,y2=8x6a3,則如圖所示，y1的圖象為一個定拋物線，y2的圖象是一條斜率為定值8，而截距不定的直線，要使y1和y2在x軸上有唯一交點