1、工程光學習題解答第十章光的電磁理論基礎1. 一個平面電磁波可以表示為Ex =0, Ey =2cos2 H x1014(gt)十當，Ez =0 ,求 該c 2電磁波的頻率、波長、振幅和原點的初相位？(2)撥的傳播方向和電矢量的振動方向？(3)相應的磁場B的表達式？解：(1)平面電磁波 E = AC0S2¥(g-t)+平C對應有 A=2,V =1014Hz,B =二兀=3x10_6m。2(2) 波傳播方向沿z軸，電矢量振動方向為y軸。(3) B與E垂直，傳播方向相同，By = Bz = 0Bx -.；Ey =CEy =6 1082二 1014(三一t) c 22 .在玻璃中傳播的一個線偏

2、振光可以表示Ev =0, Ez =0, Ex =102cosn1015( z t),0.65c試求(1)光的頻率和波長；(2)玻璃的折射率。 z.215 z解：(1) E =Acos2w(1)+甲=10 cos10 兀(t)c0.65c-,-15_, -14 . 2二-10：v= - -5 10 Hzn =2二 /k =2二 /0.65c = 3.9 10%(2) n=c v3 1083.9 105 1014= 1.543.在與一平行光束垂直的方向上插入一片透明薄片，薄片的厚度h=0.01mm,折射率n=1.5,若光波的波長為 = 500nm ,試計算透明薄片插入前后所引起的光程和相位的變化。

3、解：光程變化為.: = (n -1)h = 0.005mm0 005 106相位變化為、. = 2一 =一2- =20二(rad)5004. 地球表面每平方米接收到來自太陽光的功率為1.33kw，試計算投射到地球表面的太陽光的電場強度的大小。假設太陽光發出波長為九= 600nm的單色光。一.1；卯 1_2解：, I A = 0cA2 "2 02I 1 一、 3- A =()2 二 103v/mc p5. 寫出平面波E =100expi(2x + 3y+4z) -16勺0%的傳播方向上的單位矢量k0。解：. E = Aexpi(kT - t)k r = kx x ky y kz zkx

4、 =2,ky =3,kz =4.k =kx x0 ky * kz % =2x0 3* 4%234ko ： x0 yo z0、29. 29296. 一束線偏振光以45度角從空氣入射到玻璃的界面，線偏振光的電矢量垂直于入射面，試求反射系數和透射系數。設玻璃折射率為1.5。解：由折射定律眼2紋："23 cos)2 = 7 3n cose n2 cos 習2-2 -1.5 工 fcgifcos23-0.3034 1.5 23ts2n cosyn1 cos 凡 n2 cos22222271.5 23=0.69667. 太陽光(自然光)以 60度角入射到窗玻璃(n=1.5)上，試求太陽光的透射比

5、。解:.ocsW =n2 cos 弓n1 cos。1,62 .2 -1.54sin 幻2 cos f 3 sin" 巳)1 1 4n2 cos 弓 n1 cos 丹4sin * * 2 2 cos2 基sin 2(尋 Dcos"-七)=0.998-0.91(s8. 光波以入射角1從折射率為n1介質入射到折射率為的介質，在兩介質的表面上發生反射和折射（折射角為62,見圖10-39 ）, s波和p波的振幅反射系數和投射系數分別為rs、rps波和p波的反射系數和透射系數分別為和ts、tp。若光波從rb介質入射到 卬介質（見圖10-39b ）中，入射角為,折射角為 缶，1）r

6、9;s、r'p和t's、t'p。試利用菲涅耳公式證明（ pp%=r's ； （2） rp = r'p ；（3） tst's=is; （4） tpt'p =斫（ 為 p 波的透射比，孔為 s波的透射比）圖10-39 習題8圖解：r = rcos 叫rhcossn1 cos 弓 n2 cos 弓,ni 'cos'* n2'cos'弓n2 cos2 f cosrs = 一 rsn 'cos'京 1 n2 'cos'習n? cos2 R cos同（3 tsts ts（12cos&qu

7、ot;i”2 . , 2cos'Fsin22cos2sin%:,ts ；:；sin（u 方sin0' %'）sin（E 弓）, 4sin f cos sin 巳 cos2sin 叫 cos習 4sin2cos2 叫=.q cos2n cos同（3）略sin"弓）4sin2 cos2 多sin/ 巳）sin -2 cossin2（斗弓）9. 電矢量方向與入射面成 45度角的一束線偏振光入射到兩介質的界面上，兩介質的折射率分別為n =1,n2 =1.5，問：入射角 1=50度時，反射光電矢量的方位角（與入射面所成的角）？若，=60度，反射光的方位角又為多少?解:(

8、1 &=50。，由折射定律缶=s"(叫皿')=30.7。n2s = s咋2)= _0.335p = !g£d = 0.057sin(f *)tg0i 2)二“入射光冬=Ap = A由反射系數有 As，=sAs = 0.335As = -0.335A, Ap，=pAp = 0.057A合振幅與入射面的火角tga = X Q a= -80.33°(2)同理 rs = 0.421,rp =4042A= arctg () =84.310. 光束入射到平行平面玻璃板上，如果在上表面反射時發生全偏振，試證明折射光在下表面反射時亦發生全偏振。證明：當入射角為布儒

9、斯特角時，發生全偏振，反射光中只有 s波第一次反射時，6 -%,、2 =90 ,n =n ,tg% = n口空第二次反射時，02，=8B,4，+e2，= 90；n = 7 , tg 6B'=n得證。亦可由rs,p求證.s p11. 光束垂直入射到45度直角棱鏡的一個側面，并經斜面反射后由底二個側面射出（見圖10-40 ），若入射光強為I。，求從棱鏡透過的出射光強I ?設棱鏡的折射率為1.52 ,且不考慮棱鏡的吸收。1°圖10-40 習題11圖解:經過第一面時，反射比為3 =（堂）2 =（些）2 =0.0426 n 12.52經過第三面時，反射比為=（里1）2 =（1 一七52

10、）2 =0.0426 n 11 1.52經過第二面時，以=45 ,sin2 =1.52 sin 45 = 了2 90.在此面發生全反射，即 侈=1二山射光強為 I =%p2T3l° = （1-0.0426 X1x （10.0426 10=0.9171。12. 一個光學系統由兩片分離透鏡組成，兩透鏡的折射率分別為1.5和1.7 ,求此系統的反射光能損失。如透鏡表面鍍上曾透膜，使表面反射比降為0.01 ,問此系統的光能損失又為多少？設光束以接近正入射通過各反射面。解 此系統有4個反射面，設光束正入射條件下，各面反射率為n1-1 21.5-1 25；)二(雨)二°.°4

11、n-1 "；2 1 2152氏=(W ) =() =0.04n2 + 11 +11.5R3 = R4 = 0.067.光能損失為(初始為I0). = 1-R 1 -R2 1 -R3 1 -R4 =0.802,損失 20%若反身寸比降為0.01,貝U=(10.01 S =0.96，損失4%13. 一半導體碑化鐐發光管（見圖 10-41 ），管芯AB為發光區，其直徑d由3mm。為了避 免全反射，發光管上部磨成半球形，以使內部發的光能夠以最大投射比向外輸送。要使發光區邊緣兩點A和B的光不發生全反射，半球的半徑至少應取多少？ （已知對發射的 兀= 0.9nm 的光，碑化鐐的折射率為 3.4）

12、。圖10-41 習題13圖解：設半球半徑為R,由正弦定理，管芯邊緣發光的入射角8有sin : sin = rRsin a最大為 1,最/、為 0,0 Msin 0若sin 3 =1時仍不能發生全反射，則RAB內所有光均不會發生全反射1全反射角sinuC =3.4r .1.sin : sin c :sin c =R3.4- 一 d _ .R 3.4r =3.45.1mm214.線偏振光在玻璃-空氣界面上發生全反射，線偏振光的方位角ot=45度，問線偏振光以多大角度入射才能使反射光的s波和p波的相位差等于45度，設玻璃折射率n = 1.5。解：c. cos . sin2 -n2 t以全反射時,S波

13、與P波相位差為知 且sin2 f.2、 cos2 f(sin2 -n2) tg r 奇一1 tg2 sin4 基 一 1 n2 sin2 口 n2 =012將n= ,5 =45咻入有 sin2, =0.648擬0.58421.5,、 一 .1"=53.63誠49.85 :而 如=arcsin=41.811.5二上述答案均可15.線偏振光在 n和n介質的界面發生全反射，線偏振光的方位角« =45度，證明當cos =1 -n21 n2時（8是入射角）,反射光波和波的相位差有最大植。式中 證明:全反射時，S波與P波相位差為、. cos sin - n2cos1 - cos% -

14、n2tg =r-2 sin 【1 -cos u若8最大,則tg 最大，令tg會=y,cos6 = x22x、1 -x2 - n2 y =1 -x2.、,1 -x2 n2x 1 x2 _ ndy2dx12 方 _2x 1 x2 x. 1 -x2 -n2 -2x1 -x2令?=o,則有.21 -x 1 -x2 1 -n2x =21 - n2-1,二當 cos =(-n212I2_x：f -2x = x 1 -x2 1n2)2時,8取最大16.圓柱形光纖（圖10-42 ）其纖芯和包層的折射率分別為n1和n2,且n1 >r2。（ 1）證明入射光的最大孔徑角2u滿足關系式sin u = Jn： _

15、n22; （2）若n = 1.62,n =1.52，求孔徑角?22頊fni解:1 啟訥=金，sin92=cos3cn1n1 sin 巳 2no(2 折n1 =1.62,n2 =1.522u = 2arcsin、, n； - n2 = 68.2sin u = = q - n2V <109HZ時，硅試樣具有良導體作用。 計算V =106HZ時電磁波對這種試樣的穿透深度。解： 當z < 時，介質可看作良導體-2 必：，對于硅 '一二= =36 109 Hz*2" 1 2 1074 二 C2AV <109Hz時，硅具有良導體作用穿透深度x 0="乙，2=4

16、210項 2 =0'356m18.鋁在舄=50nm時，有n=1.5 , nk=3.2，試求正入射時的反射比和相位變化。解:1.52 3.22 1 - 2 1.52 一 _2 Z1.52 3.22 12 1.5=0.636占 n2 1 k212n正入射時C = 2n2 1k21 2ntg2n1n2k=""22. 22n2 n2k 一 n12 1 3.21.52 3.22 -1=0.577、=29.1219.兩束振動方向相同的單色光波在空間某一點產生的光振動分別表示為15E1 =a1 cos（%-仍t）和 E2 =a2 cosQ2-研），若與=2冗又10 HZ , a1

17、=6v/m , a2 =8v/m, q =0, a2=/2,求合振動的表示式。解：合振動 E = E1 E2 = a1 cos：t 一上：La2 cos：t 一二2 =Acos"）t 其中 A2 = a12 a22 2a1a2 cosi：" - ： 2 = 10v/m,a1 sin 一 a2 sin 一：遇4tg =-a1 cos： 1 a2cos： 23.E =10cos 53.13 -2二 1015t20.利用波的復數表達式求兩個波E1 =acos（kx+切t）和E2 = -acos（kx-5）的合成波。解：&與E2的復數表達式為E1=aexpi kx+ t E

18、2 = -a expi kx f t E = E1 E2 =aexpi kx+ t -aexpi kx - t = aexp（ikx 8。一e*' =2ai sin切 tcoskx + isin切t取實部 ReE =-2asinkxsin t21. 一束沿 z方向傳播的橢圓偏振光表E（z,t） =x0Acos（kzcot） + y0Acos（kz E "）,4試求偏振橢圓的方位角和橢圓長半軸及短半軸大小。解：由知 al = A, a2 = A, -'，1 = kz,上 2 kz , ,= 一 一44二方位角 tg2= 2aia22cos6T f. 2中=90：即中=4

19、5。 ai - a2設長短半軸分另U為A, 1 則有A12 +A>2=a12+a22 =2A22 2tg .sin2 ； - sin 2 ： sin、= 一 =221 tg2；+ Atg =求得 A1 =1.31A, A2 =0.54A,其中略掉 tg & = T2+1 >1項22. 有一菲涅耳棱體（見圖10-21 ）,其折射率為1.5,入射線偏振光的電矢量與入射面（即 圖面）成45度角，求（1）棱體的頂角a取多大時，能使從棱體射出圓偏振光？ （2）若棱體的折射率為1.49，能否產生圓偏振光？解：（1因為入射光的振動方向與入射面火角為45 '所以破與P®的

20、振幅相同，所以只需兩次全反射使 S 戚相位差為 '即可，那么每次反射 2cossin2 n2sin2 口廣生的相位差為c,有tg = tg 得 e =53*'或 503'（2丁固定的n,5必定有極大值，將上式對6求導d、.2n2 T.1 n2 sin2-tg0d）2sin3 sin2 n2得 sin2 = 2n 1 n222 2n1.49f 存在極大值，tg工=土土 = 0.4094n =亳=44.32、不可能產生圓偏振光423. 又旋圓偏振光以50度角入射到空氣-玻璃界面（玻璃折射率為 1.5 ），試決定放射波和 工程光學習題解答透射波的偏振狀態。解：入射為右旋圓偏振

21、光，如圖，可寫為Es = a cos tL，兀_ 一，Ep = a cos! t =asin，t若設n波=1.5，則布儒斯特角8b =56七所以反射光中S波與P波均存在。有Es' =sEs = rs Es = rs asin 回Ep' =rpEp = rp asin t p p- Es'比Ep'落后二相位，且有r2s p反射光為左旋橢圓偏振光對于透射光Es” =ts Es =tsacos t（ 兀）Ep'' =tpEp =tpacos t - ts #tp投射光為右旋橢圓偏振光。s p24. 確定其正交分量由下面兩式表示的光波的偏振態L.,Z 、

22、L. F z x 5Ex(z,t) =x°Acos( -t), Ey(z,t) =y0Acos ( -t) cc 455解：對于合成波有 a1 = a2 = A,-、= 0,、2 = , 、； = 44方位角tg2 = /2海、 =od = Jia1 -a24又sin 2 ； =sin 2 ： sin、= 一成=tgc = - 2 1,(寺21略)tg e <0 為右旋又設長短軸為a,a2- & = -72+1(1)A且有 A2+A22=2A2(2)25. 真空中沿 Z 方向傳播的兩個單色光波為-7 -（ V -7 .V）t （，上，）§ =&8、2二

23、（三頊）,E2 =acos2 二m試求谷成波在 z = 0,以=1m和z = 125m6處的強度隨時間的變化關系。若兩波頻率差Av=3k108HZ，試求合成波振幅變化和強度變化的空間周期。解：令 =2二'. ,，2 =2二 -, &則 E1 =acos kiZf.tE2 = acos k2z f2t則合成波強度I = 4 a2 cos2 u ' mt -kmz18.=一 2二. ： . -10 二 rad2其中.=1mkm =臨一二=m3A9 R- I 8 4 勺0 cos |10 兀t 一一z i-34284 10 cos 10 二 t - 3z =1 時 I一 42

24、 一84 10 cos 10 二 tz = 1.5 時 I若"=3 108 Hzm =3 108rad1km = m-=- 2 - ：- 12 1014二 radk 二 4 102mE = 2a cos kmz-Mmt cos kz"=2a cos(ir z3x108t )cos(4x106jr z 12x1014r z )空間周期為 2m22I =4a cosmt -kmz428=4乂10 cos (nz3 乂10 兀t )空間周期為 1m26.試計算下列各情況的群速度:(1)'、=竺（深水波,2 二g為重力加速度）vg(2) v =（淺水波，t為表面張力，p為質

25、量密度）dv解：群速度=v -d ,27.試求圖10-43所示的周期性矩形波的傅里葉級數表達式，并繪出其頻譜圖。圖10-43 習題27圖解：周期性矩形波為偶函數，所以Bn =01 -1A0-*" -Au =-sin-二 n 二2求圖10-44所示周期性三角波的傅里葉分析表達式，并繪出其頻譜圖。圖10-44 習題28圖與一 .22 E z cosnkzdz = 4,cosnkzdz ='2， . 一42 一 2 . 一即 A| = , A? = 0, A3 = , A4 = 0JI311 1f z = coskz-cos3kz cos5kz-cos7kz 2 二圖略28.解：偶

26、函數Bn =0n1 22 2,A0=一尹 zdz= 0zdz"2 4 0& = - 2,E z cosnkzdz=-。2 zcosnkzdz = cos171即 AlWA/Q*A*2',11,coskz 丁 cos3kz cos5kz325229.試求圖10-45所示的矩形脈沖的傅里葉變換，并繪出其頻譜圖。E(R圖10-45 習題29圖-L試求圖10-46所示的三角形脈沖的傅里葉變換。圖10-46習題30圖605.7ikz解:Jkz+ Akz2f2L)z e dz = l e dz = sin k 2Lsin cl30.解：A k = f z e&dz= f z coskz-isinkz dz；L=J-f z coskzdz = 2 0 f z=2