1、. . 河北省衡水市高一第二學期期末（a 卷）數 學 試 卷（理科）一、選擇題：本大題共12 小題，每小題5 分，共 60 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1 （5 分）已知集合 a= 1，2，3，4 ，b= y| y=3x2，xa，則 ab=（）a1 b 4 c1，3d1，42 （5 分）設變量 x，y 滿足約束條件，則目標函數 z=2x+5y 的最小值為（）a4 b6 c10 d173 （5 分）在 abc中，如果，b=30 ，b=2，則abc的面積為（）a4 b1 cd24 （5 分）已知點 a（1，3） ，b（4，1） ，則與向量同方向的單位向量為（）abcd5 （

2、5 分）已知等差數列 an 中，前 n 項和為 sn，若 a2+a8=10，則 s9=（）a36 b40 c42 d456 （5 分）a，b 為正實數， 若函數 f（x）=ax3+bx+ab1 是奇函數，則 f（2）的最小值是（）a2 b4 c8 d167 （5 分）若圓（ x3）2+（y+5）2=r2上的點到直線 4x3y2=0 的最近距離等于 1，則半徑 r的值為（）a4 b5 c6 d98 （5 分）函數 y=loga（x+2）1（a0，a1）的圖象恒過定點 a，若點 a 在直線 mx+ny+1=0上，其中 m0，n0，則+的最小值為（）a3+2b3+2c7 d119 （5 分）若 co

3、s（ ）=，則 sin2 = （）abc d10 （5 分）如圖是一幾何體的三視圖，正視圖是一等腰直角三角形，且斜邊bd長為 2；側視圖為一直角三角形；俯視圖為一直角梯形，且ab=bc=1 ，則此幾何體的體積是（）. . abcd111（5 分） 已知等差數列前 n 項和為 sn 且 s130， s120， 則此數列中絕對值最小的項為 （）a第 5 項b第 6 項 c第 7 項d第 8 項12 （5 分）已知 abc是邊長為 1 的等邊三角形，點d、e分別是邊 ab、bc的中點，連接 de并延長到點 f，使得 de=2ef ，則?的值為（）a b cd二、填空題：本大題共4 小題，每小題 5

4、分，共 20 分把答案直接答在答題紙上13 （5 分）已知關于 x 的不等式的解集是則 a=14 （5 分）在銳角 abc中，ab=3，ac=4 ，若 abc的面積為 3，則 bc的長是15 （5 分）實數 x，y 滿足 x2+y2+xy=1，則 x+y 的最小值為16 （5 分）已知數列 an中，a1=1，an=2an1+2n（n2） ，則 an=三、解答題：本大題共6 小題，共 70 分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟17 （10 分）已知函數 f（x）=4tanxsin（x）cos（x）（1）求 f（x）的定義域與最小正周期；（2）討論 f（x）在區間 ， 上的單調性18 （12

5、 分）已知數列 an 是首項為正數的等差數列，a1?a2=3，a2?a3=15（1）求數列 an的通項公式；（2）設 bn=（an+1）?2，求數列 bn 的前 n 項和 tn19 （12 分）如圖，在直三棱柱abc a1b1c1中， acb=90 bc=cc1=a，ac=2a （1）求證： ab1bc1；（2）求二面角 bab1c的正弦值. . 20 （12 分）已知圓 c的方程： x2+y22x4y+m=0，其中 m5（1）若圓 c與直線 l：x+2y4=0相交于 m，n 兩點，且 | mn| =，求 m 的值；（2）在（1）條件下，是否存在直線l：x2y+c=0，使得圓上有四點到直線l

6、的距離為，若存在，求出 c的范圍，若不存在，說明理由21 （12 分）在 abc中，內角 a，b，c所對的邊分別為a，b，c，已知 a=，b2a2=c2（1）求 tanc的值；（2）若 abc的面積為 3，求 b 的值22 （12 分）已知函數 f（x）=log4（4x+1）+2kx（kr）是偶函數（1）求 k 的值；（2）若方程 f（x）=m 有解，求 m 的取值范圍. . 河北省衡水市高一（下）期末數學試卷（理科）（a 卷）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12 小題，每小題5 分，共 60 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1 （5 分）已知集合 a= 1，2，3，

7、4 ，b= y| y=3x2，xa，則 ab=（）a1 b 4 c1，3d1，4【解答】 解：把 x=1，2，3，4 分別代入 y=3x2 得：y=1，4，7，10，即 b= 1，4，7，10 ，a= 1，2，3，4，ab= 1，4，故選： d2 （5 分）設變量 x，y 滿足約束條件，則目標函數 z=2x+5y 的最小值為（）a4 b6 c10 d17【解答】 解：作出不等式組表示的可行域，如右圖中三角形的區域，作出直線 l0：2x+5y=0，圖中的虛線，平移直線 l0，可得經過點（ 3，0）時， z=2x+5y取得最小值 6故選： b3 （5 分）在 abc中，如果，b=30 ，b=2，則

8、abc的面積為（）a4 b1 cd2【解答】 解：在 abc中，由，可得 a=c，. . 又b=30 ，由余弦定理，可得： cosb=cos30=，解得 c=2故abc是等腰三角形， c=b=30 ，a=120 故abc的面積為=，故選 c4 （5 分）已知點 a（1，3） ，b（4，1） ，則與向量同方向的單位向量為（）abcd【解答】解： 已知點 a （1， 3） ， b （4， 1） ， = （4， 1） （1， 3） = （3， 4） ， | =5，則與向量同方向的單位向量為=，故選 a5 （5 分）已知等差數列 an 中，前 n 項和為 sn，若 a2+a8=10，則 s9=（）a3

9、6 b40 c42 d45【解答】 解：由等差數列的性質可得：a1+a9=a2+a8=10，則 s9=45故選： d6 （5 分）a，b 為正實數， 若函數 f（x）=ax3+bx+ab1 是奇函數，則 f（2）的最小值是（）a2 b4 c8 d16【解答】 解：因為 f（x）=ax3+bx+ab1是奇函數，所以，即，由 a，b 為正實數，所以 b=0，所以 f（x）=ax3+x，則 f（2）=8a+2 =8（當且僅當 8a= ，即 a=時取等號），故選： c7 （5 分）若圓（ x3）2+（y+5）2=r2上的點到直線 4x3y2=0 的最近距離等于 1，則半徑 r. . 的值為（）a4 b

10、5 c6 d9【解答】 解：由題意可得，圓心（3，5）到直線的距離等于r+1，即|=r+1，求得 r=4，故選： a8 （5 分）函數 y=loga（x+2）1（a0，a1）的圖象恒過定點 a，若點 a 在直線 mx+ny+1=0上，其中 m0，n0，則+的最小值為（）a3+2b3+2c7 d11【解答】 解：函數 y=loga（x+2）1（a0，a1）的圖象恒過定點a（1，1） ，點 a 在直線 mx+ny+1=0上，其中 m0，n0， mn+1=0，即 m+n=1則+=（m+n）=3+3+2=3+2，當且僅當 n=m=2時取等號故選： a9 （5 分）若 cos（ ）=，則 sin2 =

11、（）abc d【解答】 解：法 1 ：cos（ ）=，sin2 =cos（2 ）=cos2（ ）=2cos2（ ）1=21=，法 2 ：cos（ ）=（sin +cos ）= ，（1+sin2 ）=，sin2 =21=，故選： d10 （5 分）如圖是一幾何體的三視圖，正視圖是一等腰直角三角形，且斜邊bd長為 2；側視圖為一直角三角形；俯視圖為一直角梯形，且ab=bc=1 ，則此幾何體的體積是（）. . abcd1【解答】 解：由三視圖知幾何體為四棱錐與三棱錐的組合體，其直觀圖如圖：根據三視圖中正視圖是一等腰直角三角形，且斜邊bd長為 2，棱錐的高為1，底面直角梯形的底邊長分別為1、2，高為

12、1，底面面積為=，幾何體的體積 v=1=故選 a11（5 分） 已知等差數列前 n 項和為 sn 且 s130， s120， 則此數列中絕對值最小的項為 （）a第 5 項b第 6 項 c第 7 項d第 8 項【解答】 解： s13=13a70，s12=6（a6+a7）0a6+a70，a70，| a6| | a7| =a6+a70，| a6| | a7|數列 an 中絕對值最小的項是a7故選 c12 （5 分）已知 abc是邊長為 1 的等邊三角形，點d、e分別是邊 ab、bc的中點，連接 de. . 并延長到點 f，使得 de=2ef ，則?的值為（）a b cd【解答】 解：如圖，d、e分別

13、是邊 ab、bc的中點，且 de=2ef ，?=故選： c二、填空題：本大題共4 小題，每小題 5 分，共 20 分把答案直接答在答題紙上13 （5 分）已知關于 x 的不等式的解集是則 a=2【解答】 解：由不等式判斷可得a0，所以原不等式等價于，由解集特點可得 a0 且，則 a=2故答案為： 214 （5 分）在銳角 abc中，ab=3，ac=4 ，若 abc的面積為 3，則 bc的長是【解答】 解：因為銳角 abc的面積為 3，且 ab=3，ac=4 ，所以34sina=3，. . 所以 sina=，所以 a=60 ，所以 cosa= ，所以 bc=故答案為：15 （5 分）實數 x，y

14、 滿足 x2+y2+xy=1，則 x+y 的最小值為【解答】 解：由 x2+y2+xy=1，可得（ x+y）2=1+xy1+，解得： x+y，當且僅當 x=y=時取等號故答案為：16 （5 分）已知數列 an中，a1=1，an=2an1+2n（n2） ，則 an=（2n1）?2n1【解答】 解： an=2an1+2n（n2） ，=1，可得數列是等差數列，公差為1，首項為=，解得 an=（2n1）?2n1n=1 時也成立an=（2n1）?2n1故答案為：（2n1）?2n1三、解答題：本大題共6 小題，共 70 分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟17 （10 分）已知函數 f（x）=4ta

15、nxsin（x）cos（x）（1）求 f（x）的定義域與最小正周期；（2）討論 f（x）在區間 ， 上的單調性. . 【解答】 解： （1）f（x）=4tanxsin（x）cos（x）xk +，即函數的定義域為 x| xk +，kz，則 f（x）=4tanxcosx? （cosx +sinx）=4sinx（cosx+sinx）=2sinxcosx +2sin2x=sin2x+（1cos2x ）=sin2xcos2x=2sin（2x） ，則函數的周期 t=；（2）由 2k 2x2k +，kz，得 k xk +，kz，即函數的增區間為 k ，k + ，kz，當 k=0 時，增區間為 ， ，kz，x

16、 ， ，此時 x ， ，由 2k +2x2k +，kz，得 k +xk +，kz，即函數的減區間為 k +，k + ，kz，當 k=1 時，減區間為 ， ，kz，x ， ，此時 x ， ，即在區間 ， 上，函數的減區間為 ， ，增區間為 ， . . 18 （12 分）已知數列 an 是首項為正數的等差數列，a1?a2=3，a2?a3=15（1）求數列 an的通項公式；（2）設 bn=（an+1）?2，求數列 bn 的前 n 項和 tn【解答】 解： （1）設數列 an 的公差為 d，因為 a1?a2=3，a2?a3=15解得 a1=1，d=2，所以 an=2n1（2）由（ 1）知 bn=（an

17、+1）?2=2n?22n4=n?4n，tn=1?41+2?42+3?43+ +n?4n4tn=1?42+2?43+ +（n1）?4n+n?4n+1，兩式相減，得 3tn=41+42+43+ +4nn?4n+1=n?4n+1=，所以 tn=19 （12 分）如圖，在直三棱柱abc a1b1c1中， acb=90 bc=cc1=a，ac=2a （1）求證： ab1bc1；（2）求二面角 bab1c的正弦值【解答】 （1）證明： abc a1b1c1是直三棱柱，cc1平面 abc ，則 accc1又acbc ，bc cc1=c，ac 平面 b1bcc1，則 acbc1，bc=cc1，四邊形 b1bc

18、c1是正方形，bc1b1c，又 acb1c=c ，bc1平面 ab1c，則 ab1bc1；. . （2）解：設 bc1b1c=o，作 op ab1于點 p，連結 bp 由（1）知 boab1，而 bo op=o ，ab1平面 bop ，則 bpab1，opb是二面角 bab1c的平面角opb1acb1，bc=cc1=a，ac=2a ，op=，=在 rtpob中，sinopb=，二面角 bab1c的正弦值為20 （12 分）已知圓 c的方程： x2+y22x4y+m=0，其中 m5（1）若圓 c與直線 l：x+2y4=0相交于 m，n 兩點，且 | mn| =，求 m 的值；（2）在（1）條件下，是否存在直線l：x2y+c=0，使得圓上有四點到直線l 的距離為，若存在，求出 c的范圍，若不存在，說明理由【解答】 解： （1）圓的方程化為（ x1）2+（y2）2=5m，圓心 c（1，2） ，半徑，則圓心 c（1，2）到直線 l：x+2y4=0的距離為： （3 分）. . 由于，則，有，解得 m=4 （6 分）（2）假設存在直線 l：x2y+c=0，使得圓上有四點到直線l 的距離為， （7 分）由于圓心c（1，2） ，半徑 r=1，則圓心 c（1，2）到直線