1、2021 年福建省龍巖市上杭一中等三校高考數學模擬試卷（5 月份）一、單項選擇題（共8 小題，每小題5 分，共 40 分） .1設集合a x|log2（x1） 1 ，b x|21x，則 ab（）a（， 2b1，2c（ 1，2d（ 1，32已知復數z+3i，則 |z|（）a5bcd3+3已知 | |2，|1，且與的夾角為，則（）（）ab1c2d34設 m，n 是兩條不同的直線， ， ，是三個不同的平面，給出下列四個命題：若 m ，n ，則 mn若 ， ，m ，則 m若 m ，n ，則 mn若 ， ，則 其中正確命題的序號是（）a和b和c和d和5已知雙曲線c：x21 的左、右焦點分別為f1，f2，

2、o 為坐標原點，點p 在 c 的一條漸近線上，若|op|pf2|，則 pf1f2的面積為（）a3b6c9d186將甲、乙等4 名交警隨機分配到兩個不同路口疏導交通，每個路口兩人，則甲和乙不在同一路口的概率為（）abcd7已知 f（x）是定義在（ 1，+）上的單調函數，g（x）是（ 0，+）上的單調減函數，且 f（2x） f（3y） f（5z），則（）ag（2x） g（ 3y） g（5z）bg（5z） g（2x） g（3y）cg（3y） g（ 5z） g（ 2x）dg（3y） g（2x） g（5z）8已知 p 是圓 c： x2+y24x+6y+110 外一點，過 p 作圓的兩切線， 切點為 a，

3、 b， 則的最小值為（）abc2d二、多項選擇題（本大題共4 小題，每小題5 分，共 20 分在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的全部選對的得5 分，部分選對的得2分，有選錯的得0 分）9已知 x 1，那么在下列不等式中，不成立的是（）ax21 0bcsinxx0dcosx+x 010已知函數f（x） asin（x+）（其中 a0，0，| | ）的部分圖象如圖所示，則下列結論正確的是（）a函數 f（x）的最小正周期為b函數 f（x）的圖象關于點對稱c函數 f（x）在區間上單調遞減d若，則 sin4 cos4的值為11已知拋物線c：y22x 的焦點為 f，過點 f 的直線與拋物線交于p

4、， q 兩點， m 為線段pq 的中點， o 為坐標原點，則下列結論中成立的有（）am 的坐標可能為（1，2）b坐標原點在以pq 為直徑的圓內cop 與 oq 的斜率之積為定值d線段 pq 的最小值為412關于函數f（x） ex+asinx，x （ ，+），下列說法正確的是（）a當 a1 時， f（ x）在（ 0，f（0）處的切線方程為2xy+10b當 a1 時， f（x）存在唯一極小值點x0且 1f（x0） 0c對任意 a0，f（x）在（ ，+）上均存在零點d存在 a0，f（x）在（ ，+）上有且只有一個零點三、填空題（本大題共4 小題，每小題5 分，共 20 分）13 已 知 橢 圓c 的

5、 焦 點 在x 軸 上 ， 且 離 心 率 為， 則 橢 圓c的 標 準 方 程 可 以為14除以 88 的余數是15數式中省略號“”代表無限重復，但該式是一個固定值，可以用如下方法求得：令原式t，則 1+t，則 t2t10，取正值得t用類似方法可得16我國南北朝時期的數學家祖暅提出了計算體積的祖暅原理：“冪勢既同， 則積不容異 ”意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等如圖，陰影部分是由雙曲線x2 y2 a2（a0）與它的漸近線以及直線ya 所圍成的圖形，將此圖形繞y 軸旋轉一周，得到一個旋轉體，（1）如用與 x 軸相距為h（h a），且垂直于y

6、軸的平面，截這個旋轉體，則截面圖形的面積為；（2）則這個旋轉體的體積為四、解答題（本大題共6 小題，共70 分解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17在 abc 中，角 a，b，c 的對邊分別為a，b，c，已知（1）若 acosbbcosa，此三角形是否存在？若存在，求此三角形的面積；若不存在，說明理由；（2）若 acosc+b0，點 d 在 bc 邊上，且，求 cd 長18 已 知 數 列 an 的 前n項 和 為sn， 且 對 任 意 正 整 數n均 滿 足（1）求數列 an的通項公式；（2）記，數列 bn的前 n 項和為 tn，求滿足的最小正整數n 的值19如圖，四棱錐p abcd

7、 中，底面 abcd 是菱形， bad，m 是棱 pb 上的點， o是 ad 中點，且po底面 abcd，opoa（）求證：bcom；（）若pmpb，求二面角bomc 的余弦值20每年的4 月 23 日是聯合國教科文組織確定的“世界讀書日”，又稱“世界圖書和版權日”為了解某地區高一學生閱讀時間的分配情況，從該地區隨機抽取了500 名高一學生進行在線調查，得到了這500 名學生的日平均閱讀時間（單位：小時），并將樣本數據分成 0，2，（ 2，4，（ 4，6，（ 6，8，（ 8，10，（ 10，12，（ 12， 14，（ 14，16，（ 16，18九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（）求a 的值

8、；（）為進一步了解這500 名學生數字媒體閱讀時間和紙質圖書閱讀時間的分配情況，從日平均閱讀時間在（12，14，（ 14，16，（ 16，18三組內的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了10 人，現從這10 人中隨機抽取3 人，記日平均閱讀時間在（14，16內的學生人數為x，求 x 的分布列；（）以調查結果的頻率估計概率，從該地區所有高一學生中隨機抽取20 名學生，用 “p20（k）”表示這20 名學生中恰有k 名學生日平均閱讀時間在（10，12（單位：小時）內的概率，其中k 0，1，2， 20當 p20（k）最大時，寫出k 的值（只需寫出結論）21在直角坐標系xoy 中， a（ 1，0）， b（

9、1，0）， c 為動點，設abc 的內切圓分別與邊 ac，bc，ab 相切于點p，q，r，且 |cp|1，記點 c 的軌跡為曲線e（1）求曲線 e 的方程；（2） 不過原點o 的直線 l 與曲線 e 交于 m， n 兩點，且直線 yx 經過 mn 的中點 t，求 omn 的面積的最大值22已知函數f（x） exax2x（1）當 a1 時，求曲線yf（x）在點（ 1， f（1）處的切線方程；（2）若函數 f（x） f（ x）+x 有兩個極值點x1，x2，求證： x1x2（ ln（2a）2參考答案一、單項選擇題（共8 小題，每小題5 分，共 40 分） .1設集合a x|log2（x1） 1 ，b

10、 x|21x，則 ab（）a（， 2b1，2c（ 1，2d（ 1，3解： ax|0 x12 x|1x3 ，b x|1x 1 x|x 2，ab（ 1， 2故選： c2已知復數z+3i，則 |z|（）a5bcd3+解：因為z，所以 |z|，故選： b3已知 | |2，|1，且與的夾角為，則（）（）ab1c2d3解： | | 2，|1，且與的夾角為，則（）+? 1+22故選： c4設 m，n 是兩條不同的直線， ， ，是三個不同的平面，給出下列四個命題：若 m ，n ，則 mn若 ， ，m ，則 m若 m ，n ，則 mn若 ， ，則 其中正確命題的序號是（）a和b和c和d和解：對于 ，因為 n ，

11、所以經過n作平面 ，使 l，可得 nl，又因為 m ，l?，所以 ml，結合 n l 得 m n由此可得 是真命題；對于 ，因為 且 ，所以 ，結合 m ，可得 m ，故 是真命題；對于 ，設直線m、n 是位于正方體上底面所在平面內的相交直線，而平面 是正方體下底面所在的平面，則有 m且 n 成立，但不能推出mn，故 不正確；對于 ，設平面 、 、是位于正方體經過同一個頂點的三個面，則有 且 ，但是 ，推不出 ，故 不正確綜上所述，其中正確命題的序號是和故選： a5已知雙曲線c：x21 的左、右焦點分別為f1，f2，o 為坐標原點，點p 在 c 的一條漸近線上，若|op|pf2|，則 pf1f

12、2的面積為（）a3b6c9d18解：由雙曲線的方程x21，可得 a1，b2，c3，可得漸近線方程為y 2x，設 p 在漸近線y2x 上，因為 |op|pf2|，所以 p 的橫坐標為c，即有 p（，3），所以 pf1f2的面積為|f1f2|?333 9故選： c6將甲、乙等4 名交警隨機分配到兩個不同路口疏導交通，每個路口兩人，則甲和乙不在同一路口的概率為（）abcd解：將甲、乙等4 名交警隨機分配到兩個不同路口疏導交通，每個路口兩人，基本事件總數n6,甲和乙不在同一路口包含的基本事件個數m4,則甲和乙不在同一路口的概率為p故選： c7已知 f（x）是定義在（ 1，+）上的單調函數，g（x）是（

13、 0，+）上的單調減函數，且 f（2x） f（3y） f（5z），則（）ag（2x） g（ 3y） g（5z）bg（5z） g（2x） g（3y）cg（3y） g（ 5z） g（ 2x）dg（3y） g（2x） g（5z）解：設 2x 3y 5zk1，則 xlog2k，ylog3k， zlog5k，x，y，z （0，+），所以 1，所以 2x 3y，同理得 2x5z，所以 03y2x5z，因為 g（x）在（ 0，+）上的單調遞減，所以 g（3y） g（2x） g（5z）故選： b8已知 p 是圓 c： x2+y24x+6y+110 外一點，過 p 作圓的兩切線， 切點為 a， b， 則的最小值

14、為（）abc2d解：圓c：x2+y24x+6y+110? （x2）2+（ y+3）22，故圓c 的圓心為（2， 3），半徑為的圓，如下圖所示，設apc，則，則當時，不等式等號成立，故的最小值為故選： a二、多項選擇題（本大題共4 小題，每小題5 分，共 20 分在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的全部選對的得5 分，部分選對的得2分，有選錯的得0 分）9已知 x 1，那么在下列不等式中，不成立的是（）ax21 0bcsinxx0dcosx+x 0解： x 1， x210，x+ 2，又 sinx，cosx 1，1，sinxx 0，cosx+x 0可得： abc 成立， d 不成立故選：

15、 d10已知函數f（x） asin（x+）（其中 a0，0，| | ）的部分圖象如圖所示，則下列結論正確的是（）a函數 f（x）的最小正周期為b函數 f（x）的圖象關于點對稱c函數 f（x）在區間上單調遞減d若，則 sin4 cos4的值為解：由函數的圖象，得知：a2，所以 t ，故 2，2（k z），解得 （ k z），由于 | | ，所以， 或，故 f（x） 2sin（2x+）或 f（x） 2sin（2x）（舍去，根據函數的圖象）；故 a 錯誤；當 x時，函數滿足f（x） 2sin（2x+）時， f（） 0，故 b 正確；當時，滿足f（x） 2sin（2x+）為增函數，故c 錯誤；對于 d

16、：若，當 f（x） 2sin（2x+）時，整理得：，所以 cos2sin4 cos4 ，故 d 正確故選： bd11已知拋物線c：y22x 的焦點為 f，過點 f 的直線與拋物線交于p， q 兩點， m 為線段pq 的中點， o 為坐標原點，則下列結論中成立的有（）am 的坐標可能為（1，2）b坐標原點在以pq 為直徑的圓內cop 與 oq 的斜率之積為定值d線段 pq 的最小值為4解：拋物線c：y22x，焦點 f（），設過焦點f 的直線方程為xmy+1，聯立直線與拋物線方程，可得 y22my10，設 p（x1，y1）， q（x2，y2），m 為線段 pq 的中點，若m 的坐標為（ 1，2），

17、則 x1+x22，y1+y2 4，又由韋達定理可得y1+y22m， y1?y2 1，求解，方程組無解，故選項a 錯誤，即，坐標原點在以pq 為直徑的圓內，故選項b 正確，故 c 選項正確，當 pq 垂直焦點時，線段pq 的最小值，即為通徑2p2，故 d 選項錯誤故選： bc12關于函數f（x） ex+asinx，x （ ，+），下列說法正確的是（）a當 a1 時， f（ x）在（ 0，f（0）處的切線方程為2xy+10b當 a1 時， f（x）存在唯一極小值點x0且 1f（x0） 0c對任意 a0，f（x）在（ ，+）上均存在零點d存在 a0，f（x）在（ ，+）上有且只有一個零點解：直接法，

18、逐一驗證選項 a，當 a1 時， f（x） ex+sinx，x （ ，+），所以f（0） 1，故切點為（ 0，1）， f（ x） ex+cosx，所以切線斜率kf（ 0） 2，故直線方程為：y12（x 0），即切線方程為：2xy+1 0 選項 a 符合題意；選項 b，當 a1 時， f（ x） ex+sinx，x （ ，+）， f（ x） ex+cosx，f（ x）exsinx0 恒成立，所以f（ x）單調遞增，又 f（） e+cos（） 0 f（）0 故 f（x）存在唯一極值點，不妨設x0 （，），則 f（ x0） 0，即，f（x0） e+sinx0sinx0cosx0sin（x0） （ 1

19、，0），選項 b 符合題意；對于選項c、d，f（x） ex+asinx，x （ ，+），令f（ x） 0，即ex+asinx0，當 xk ，k 1 且 kz 顯然沒有零點，故xk ， k 1 且 kz，所以 a則令 f（x），f（ x），令 f（ x）0，解得 x，k 3，k z，所以 x （ +k ，） 單調遞減， x （，k ） 單調遞增，有極小值 f（），x （k ，） 單調遞增， x （， +k ） 單調單調遞減，有極大值f（），故選項 c，任意 a0 均有零點，不符合，選項d，存在 a0，有且只有唯一零點，此時a，故選： abd三、填空題（本大題共4 小題，每小題5 分，共 20 分

20、）13已知橢圓c 的焦點在x 軸上，且離心率為，則橢圓 c 的標準方程可以為（答案不唯一）解：橢圓c 的焦點在x軸上，且離心率為，所以 e，不妨 a3，c1，則 b2，所以橢圓方程可以為：故答案為：（答案不唯一）14除以 88 的余數是1解：（ 190）10（ 88+1 ）10?8810+?889+?+?88+，顯然，展開式中，除了最后一項外，其余的各項都能被88 整除，故它除以88 的余數是1，故答案為： 115數式中省略號“”代表無限重復，但該式是一個固定值，可以用如下方法求得：令原式t，則 1+t，則 t2t10，取正值得t用類似方法可得4解：由題意類比：令原式t，則，則 t2 t120

21、，解之得t 3（舍），或4故答案為： 416我國南北朝時期的數學家祖暅提出了計算體積的祖暅原理：“冪勢既同， 則積不容異 ”意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等如圖，陰影部分是由雙曲線x2 y2 a2（a0）與它的漸近線以及直線ya 所圍成的圖形，將此圖形繞y 軸旋轉一周，得到一個旋轉體，（1）如用與 x 軸相距為h（h a），且垂直于y 軸的平面，截這個旋轉體，則截面圖形的面積為 a2；（2）則這個旋轉體的體積為2 a3解：（ 1）雙曲線x2y2a2（a 0）的漸近線為y x，作直線 yh，與漸近線交于點a（ h，h）， b（h，h），與雙曲線

22、交于點c（，h）， d（，h），如圖所示：則此圖形繞y 軸旋轉一周，得到旋轉體的截面是圓環，其內徑為ab2h，外徑為cd2，所以截面面積為 （a2+h2） h2 a2；同理可得，作直線y h，也可得截面面積為 a2（2）根據祖晅原理，該旋轉體的體積與底面積為 a2，高為 2a 的圓柱的體積相等，所以求出圓柱體的體積為2 a3，可得這個旋轉體的體積為2 a3四、解答題（本大題共6 小題，共70 分解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17在 abc 中，角 a，b，c 的對邊分別為a，b，c，已知（1）若 acosbbcosa，此三角形是否存在？若存在，求此三角形的面積；若不存在，說明理由；

23、（2）若 acosc+b0，點 d 在 bc 邊上，且，求 cd 長解：（1）由 acosbbcosa 及正弦定理可得sinacosbsinbcosa，故 sin（ab） 0， ab，故這樣的三角形不存在（2）由 acosc+b0 得， a2+3b2c20，將代入求得，且 0a ，在 acd 中，根據正弦定理得：，則18 已 知 數 列 an 的 前n項 和 為sn， 且 對 任 意 正 整 數n均 滿 足（1）求數列 an的通項公式；（2）記，數列 bn的前 n 項和為 tn，求滿足的最小正整數n 的值解：（ 1）當 n1 時，得 s1 1當 n2 時，由，得，得，當 n1 時，得 a1s1

24、1；當 n2 時，由又 a11 也滿足上式，所以（2）由（ 1）得，所以，由得 2n+1 12022，即 2n+12023，因為 2102023211，所以 n+111，即 n10，故滿足的最小正整數為1019如圖，四棱錐p abcd 中，底面 abcd 是菱形， bad，m 是棱 pb 上的點， o是 ad 中點，且po底面 abcd，opoa（）求證：bcom；（）若pmpb，求二面角bomc 的余弦值【解答】（）證明：在菱形abcd 中， bad60，所以 abd 為等邊三角形，又因為 o 為 ad 的中點，所以obad，又因為 adbc，所以 obbc，因為 po底面 abcd，bc?

25、 平面 abcd，所以 opbc，因為 opobo，op，ob? 平面 pob，所以 bc平面 pob，因為 m 是棱 pb 上的點，所以om? 平面 pob，所以 bcom；（）解：因為po底面 abcd，obad，建立空間直角坐標系如圖所示，設 oa1，則 opob，所以，則，由，所以，設平面 omc 的法向量為，則有，即，令 y1，則，故，又因為平面pob 的法向量為，所以，由圖可知，二面角bomc 為銳二面角，所以二面角b omc 的余弦值為20每年的4 月 23 日是聯合國教科文組織確定的“世界讀書日”，又稱“世界圖書和版權日”為了解某地區高一學生閱讀時間的分配情況，從該地區隨機抽取

26、了500 名高一學生進行在線調查，得到了這500 名學生的日平均閱讀時間（單位：小時），并將樣本數據分成 0，2，（ 2，4，（ 4，6，（ 6，8，（ 8，10，（ 10，12，（ 12， 14，（ 14，16，（ 16，18九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（）求a 的值；（）為進一步了解這500 名學生數字媒體閱讀時間和紙質圖書閱讀時間的分配情況，從日平均閱讀時間在（12，14，（ 14，16，（ 16，18三組內的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了10 人，現從這10 人中隨機抽取3 人，記日平均閱讀時間在（14，16內的學生人數為x，求 x 的分布列；（）以調查結果的頻率估計概率，從

27、該地區所有高一學生中隨機抽取20 名學生，用 “p20（k）”表示這20 名學生中恰有k 名學生日平均閱讀時間在（10，12（單位：小時）內的概率，其中k 0，1，2， 20當 p20（k）最大時，寫出k 的值（只需寫出結論）解：（）由頻率分布直方圖得：2（ 0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+ a+0.05+0.04+0.01 ） 1，解得 a0.10（）由頻率分布直方圖得：這 500 名學生中日平均閱讀時間在（12，14，（ 14，16，（ 16，18三組內的學生人數分別為：5000.1050 人， 5000.08 40 人， 5000.0210 人，若采用分層抽樣的方法抽取

28、了10 人，則從日平均閱讀時間在（14，16內的學生中抽取：4 人，現從這 10 人中隨機抽取3 人，則 x 的可能取值為0， 1，2，3，p（x0），p（x1），p（x2），p（x3），x 的分布列為：x0123p（）當p20（k）最大時， k421在直角坐標系xoy 中， a（ 1，0）， b（1，0）， c 為動點，設abc 的內切圓分別與邊 ac，bc，ab 相切于點p，q，r，且 |cp|1，記點 c 的軌跡為曲線e（1）求曲線 e 的方程；（2） 不過原點o 的直線 l 與曲線 e 交于 m， n 兩點，且直線 yx 經過 mn 的中點 t，求 omn 的面積的最大值解：（ 1）由

29、題意可得，|ca|+|cb|cp|+|cq|+|ap|+|bq|2|cp|+|ab|4|ab|，所以曲線e 是以 a，b 為焦點，長軸長為4 的橢圓（除去與x 軸的交點），所以曲線e 的方程為+ 1（y0）（2）設 m（x1，y1）， n（x2，y2），直線l 的方程為ykx+m（m0），代入+ 1，整理得（ 3+4k2） x2+8kmx+4m2120，（ * ）所以 x1+x2，x1x2，所以 y1+y2，所以 mn 的中點 t（，），因為直線yx 經過 mn 的中點 t，得，又 m0，所以直線l 的斜率為k，（*）式化簡為3x2+3mx+m2 30，所以 x1+x2 m，x1x2，由 36 3m20，且 m 0，得 2m2且 m0，所以 |mn|x2 x1|?，點 o 到直線 l 的距離 d，所以 omn 的面積 s?，?，當且僅當m時，等號