1、精選優質文檔-傾情為你奉上個性化教學輔導教案學科數學學生姓名邵文琪年級八任課 老師李顯輝授課時間20年 月 日教學目標教學內容：一元二次方程根與系數的關系考 點： 1.對一元二次方程的根與系數的關系的掌握，以及在各類問題中的運用 2.一元二次方程的根與系數的關系的運用 3. 一元二次方程根與系數的關系 4.如果一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個實根是x1， x2，那么. 注意它的使用條件為a0， 0.能力與方法： 1掌握一元二次方程的根與系數的關系；2能夠利用一元二次方程的根與系數的關系求簡單的關于根的對稱式的值；3能夠利用一元二次方程的根與系數的關系判斷兩個數是否是方程的根；4能夠利用一

2、元二次方程的根與系數的關系求出以兩個已知數為根的一元二次方程 5. 規律方法指導一元二次方程根與系數的關系的用法：不解方程，檢驗兩個數是否為一元二次方程的根；已知方程的一個根，求另一個根及未知系數；不解方程，求已知一元二次方程的根的對稱式的值；已知方程的兩根，求這個一元二次方程；已知兩個數的和與積，求這兩數；已知方程的兩根滿足某種關系，確定方程中字母系數的值；討論方程根的性質。課堂教學過程課前檢查作業完成情況：優 良 中 差建議: 作業認真，知識點運用不夠熟練。 過程一 課前交流，了解學生上次課的復習情況3 典型例題 ： 1.已知一元二次方程的一個根，求出另一個根以及字母系數的值. 例1.已知

3、方程x2-6x+m2-2m+5=0一個根為2，求另一個根及m的值. 思路點撥：本題通常有兩種做法，一是根據方程根的定義，把x=2代入原方程，先求出m的值，再通過解方程求另一個根；二是利用一元二次方程的根與系數的關系求出另一個根及m的值. 解：法一：把x=2代入原方程，得22-6×2+m2-2m+5=0即m2-2m-3=0解得m1=3，m2=-1當m1=3，m2=-1時，原方程都化為x2-6x+8=0x1=2，x2=4 方程的另一個根為4，m的值為3或-1.法二：設方程的另一個根為x.則2.判別一元二次方程兩根的符號. 例2.不解方程，判別2x2+3x-7=0兩根的符號情況. 思路點撥

4、：因為二次項系數，一次項系數，常數項皆為已知，可求根的判別式，但只能用于判定根存在與否，若判定根的正負，則需要考察x1·x2 或 x1+x2的正負情況. 解：=32-4×2×(-7)=650 方程有兩個不相等的實數根，設方程的兩個根為x1，x2，原方程有兩個異號的實數根. 總結升華：判別根的符號，需要“根的判別式”，“根與系數的關系”結合起來進行確定.另外本題中x1·x20，可判定根為一正一負，若x1·x20，仍需考慮x1+x2的正負，從而判別是兩個正根還是兩個負根. 舉一反三：【變式1】當m為什么實數時，關于x的二次方程mx2-2(m+1)x

5、+m-1=0的兩個根都是正數. 思路點撥：正、負根的問題應這樣想：如正數根，應確保兩根之和大于零，兩根之積大于零，根的判別式大于等于零. 解：設方程的二根為x1，x2，且x10， x20，則有 由 =-2(m+1)2-4m(m-1)0，解得：m0， m0或m0，上面不等式組化為： 由得m1；不等式組無解.m1當m1時，方程的兩個根都是正數.總結升華：當二次項系數含有字母時，不要忘記a0的條件.【變式2】k為何值時，方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0（1）兩根互為相反數；（2）兩根互為倒數；（3）有一根為零，另一根不為零.思路點撥：兩根“互為相反數”、“互為倒數”，“有一根為零，另一根不

6、為零”等是對兩根的性質要求，在滿足這個要求的條件下，求待定字母的取值.方程的根互為相反數，則x1=-x2，即x1+x2=0;互為倒數，則x1=，即x1·x2=1，但要注意考察判別式0.解：設方程的兩根為x1，x2，則x1+x2=x1x2=（1）要使方程兩根互為相反數，必須兩根的和是零， 即x1+x2=，k=0， 當k=0時，=(4k)2-4×2(k+1)(3k-2)=160 當k=0時，方程兩根互為相反數. （2）要使方程兩根互為倒數，必須兩根的積是1，即 x1x2=1，解得k=4 當k=4時，=(4k)2-4×2(k+1)(3k-2)=-1440 k為任何實數，

7、方程都沒有互為倒數的兩個實數根. （3）要使方程只有一個根為零，必須二根的積為零，且二根的和不是零， 即x1x2=0，解得k= 又當k=時，x1+x2=， 當k=時，=(4k)2-4×2(k+1)(3k-2)=0， k=時，原方程有一根是零，另一根不是零. 總結升華：研究兩個實數根問題時，應注意二次項系數不得為零，=b2-4ac不得小于零. 3.根的關系，確定方程系中字母的取值范圍或取值. 例3.關于x的一元二次方程x2-3x+k+1=0的兩根的平方和小于5，求k的取值范圍. 解：設方程兩根分別為x1，x2，x1+x2=3，x1·x2=k+1x12+x22=(x1+x2)2

8、-2x1x2=32-2(k+1)5 k1又=(-3)2-4(k+1)0 k由得：1k.總結升華：應用根的判別式，已知條件，構造不等式，用不等式組的思想，確定字母的取值范圍. 舉一反三：【變式1】已知：方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有兩個實數根，且這兩個根的平方和比兩根的積大21，求m的值. 思路點撥：本題是利用轉化的思想將等量關系“兩個根的平方和比兩根的積大21”轉化為關于m的方程，就可求得m的值. 解：方程有兩個實數根，=2(m-2)2-4×1×(m2+4)0 解這個不等式，得m0 設方程兩根為x1，x2，x1+x2=-2(m-2) x1·x2=m2+4

9、x12+x22-x1x2=21(x1+x2)2-3x1x2=21-2(m-2)2-3(m2+4)=21整理得：m2-16m-17=0解得：m1=17，m2=-1又m0，m=-1.總結升華：1.求出m1=17，m2=-1后，還要注意隱含條件m0，舍去不合題意的m=17.【變式2】設與是方程x2-7mx+4m2=0的兩個實數根，且(-1)(-1)=3，求m的值思路點撥：利用一元二次方程的根與系數的關系把等式(-1)(-1)=3轉化為關于m的方程解：由于與是方程x2-7mx+4m2=0的兩個根，根據根與系數的關系，有 所以，有(-1)(-1)=-()+1=4m2-7m+1=3 所以，得方程4m2-7

10、m-2=0 解這個方程，或m=2 經檢驗，或m=2都能使判別式=(7m)2-4×(4m2)=33m20， 所以，m=2都符合題意總結升華：如果所求m的值使方程沒有實數根，就是錯誤的結果，所以檢驗的步驟是十分必要的討論方程的實數根的問題，只有在判別式的值是非負數時才有意義，在解決問題時應注意這個重要的條件4求簡單的關于根的對稱式的值 在關于一元二次方程的根x1與x2的式子中，如果交換這兩個字母的位置后式子不變(我們常把這種式子叫做對稱式)，就可以通過恒等變形，轉化為用x1+x2與x1x2表達的式子，從而可以利用根與系數的關系解決如 +，(1+x1)(1+x2)都是對稱式，它們可以變形為

11、用x1+x2與x1x2表達的式子， 如 (1+x1)(1+x2)=1+(x1+x2)+x1x2，+=(x1+x2)2-2x1x2，等等例4.如果與是方程2x2+4x+1=0的兩個實數根，求的值 思路點撥：注意到交換與的位置時，代數式不變，所以代數式是關于與的對稱式.解： =b2-4ac=80， 方程有實根 舉一反三：【變式1】已知與是方程3x2-x-2=0的兩個實數根，求代數式的值思路點撥：中的與的位置互換時，式子的形式不變，所以它們都是對稱式，可以轉化為含有與的式子，利用根與系數的關系簡化計算解：由于0，0，所以0，方程一定有實根于是 = 把=與=-代入，得 = =總結升華：這是一個無理數系

12、數的一元二次方程，如果分別求出根與的值，計算過程將冗長而煩瑣，利用根與系數的關系就可以有效地達到簡化計算過程的目的，讀者如果用求根后代入的方法演算一遍，將會有深刻的體會5利用一元二次方程的根與系數的關系判斷兩個已知數是否方程的根，能夠求出以兩個已知數為根的一元二次方程 事實上，我們有這樣的定理：如果兩個實數x1與x2使得x1+x2=-p，且x1x2=q，那么x1與x2是方程x2+px+q=0的兩個根證明如下：由于x1+x2=-p，x1x2=q，那么方程x2+px+q=0可以化為x2-(x1+x2)x+x1x2=0，x2-x1x-x2x+x1x2=0，x(x-x1)-x2(x-x1)=0，(x-

13、x1)(x-x2)=0， x=x1或x=x2這就是說，x1和x2是方程x2+px+q=0的兩個根例5.判斷下列方程后面括號內的兩個數是不是方程的根： (1)x2-8x-20=0，(10，-2)；(2)6y2+19y+10=0，；(3)a2-2a+3=0，(+，-+)解：(1) 10+(-2)=+8=-(-8)，10×(-2)=-20， 10與-2是方程x2-8x-20=0的兩個根；(2) ， -與-是方程6y2+19y+10=0的兩個根；(3) 雖然有 (+)(-+)=+3，但是 (+)+(-+)=+2-(-2)；所以+與-+不是方程a2+2a-3=0的根例6.(1)作一個以-與為根

14、的一元二次方程； (2)作一個方程，使它的兩個根分別是方程2x2+5x-8=0的兩個根的倒數思路點撥：作一元二次方程，只需利用根與系數的關系求出方程各項的系數解：(1) 由于-+=-2+=-， -·=-=-4， 所以所求方程是 x2+x-4=0 (2) 設x1與x2是方程2x2+5x-8=0的兩個根，所以，有 x1+x2=， x1x2=-4 所以 ， 于是所求方程是 x2-x-=0 也就是 8x2-5x-2=0四鞏固練習：一、選擇題1. 如果一元二次方程的兩個根為，那么與的值分別為( )A. 3，2 B. C. D. 2. 如果方程的兩個實數根分別為，那么的值是( )A. 3 B.

15、C. D. 3. 如果是方程的兩個根，那么的值等于( )A. B. 3 C. D. 4.以2，-3為根的一元二次方程是( )A.x2+x+6=0 B.x2+x-6=0C.x2-x+6=0 D.x2-x-6=0二、填空題1. 如果是方程的兩個根，那么_.2. 已知一元二次方程的兩根分別為，那么的值是_.3.已知一元二次方程的兩根為2+和2-，則這個方程為_三、解答題1.設x1與x2是方程x2+4x-6=0的兩個根，不解這個方程，求下列各式的值：(1)； (2)+x1x2+；(3)(x1-2)(x2-2)2.(1)已知方程x2+mx+21=0的兩個根的平方和是58，求m的值；(2)已知方程x2+2

16、x+m=0的兩個根的差的平方是16，求m的值；(3)已知方程x2+3x+m=0的兩個根的差是5，求m的值；(4)已知方程x2+3x+m=0的一個根是另一個根的2倍，求m的值3.判斷下列方程后面括號中的兩個數是不是這個方程的根：(1)x2+x-12=0，(+4，-3)；(2)2y2+9y+4=0，；(3)z2-(2+)z+6=0，(，)4.分別求作以下列各對數為根的一個一元二次方程：(1)-5，+7； (2)，+；(3)，-；(4)+，-能力提升一、選擇題1.以3，-1為根，且二次項系數為3的一元二次方程是 ( ) A.3x2-2x+3=0 B.3x2+2x-3=0C.3x2-6x-9=0 D.

17、3x2+6x-9=02.下列方程中，兩實數根之和等于2的方程是( )A. B. C. D. 3.已知關于x的方程有兩個相等的正實數根，則k的值是( )A. B. C. 2或 D. 二、填空題1. 已知3x2-2x-1=0的二根為x1，x2，則x1+x2=_，x1x2=_，+=_， x12+x22=_，x1-x2=_2. 已知一元二次方程3x2-kx-1=0的一根為3,則該方程的另一根為_，k=_3. 若方程的兩根的倒數和是，則_.三、解答題1.已知關于x的方程的兩個實數根的平方和等于4，求實數k的值.2.已知一元二次方程.(1)當m取何值時，方程有兩個不相等的實數根？(2)設是方程的兩個實數根

18、，且滿足，求m的值.3.已知關于x的一元二次方程.(1)求證：對于任意非零實數a，該方程恒有兩個異號的實數根；(2)設是方程的兩個實數根，若，求a的值.練習二：一、填空題1.如果x1、x2是一元二次方程的兩個實數根，則x1+x2=_.2.一元二次方程兩根的倒數和等于_.3.關于x的方程的根為，則p=_，q=_.4.若x1、x2是方程的兩根，那么，5.已知方程的兩根之比為2，則k的值為_.6.已知為方程的兩實根，則7.方程與方程的所有實數根的和為_.8.關于x的方程的兩個實數根同號，則a的取值范圍是_.二、選擇題9.已知a、b是關于x的一元二次方程的兩實數根，則式子的值是（ ） A. B. C. D.10.以3和2為根的一元二