1、一、真題北京理工大學2006年自動控制理論考試試題一、根軌跡方法 （25分）單位反饋系統如圖1，其中。為簡便起見，圖中用R表示r(t)的Laplace變換R(s)。其余的符號和以后的圖均采用這種簡便記法。（1）設,畫出根軌跡圖；（2）確定K的值，使閉環系統單位階躍響應的最大超調量為。計算相應的上升時間；（3）設計控制器使最大超調量保持不變，上升時間為，并使閉環系統盡可能地簡單。圖1：單位反饋系統二、狀態空間方法 （30分）考慮系統 （1）先設 （）證明：若，則可通過狀態空間中的線性變換，將狀態空間表達式（1）變為 （2）其中 T可取為 （）設 求。（）A同（）， 判斷系統的可控性和可觀測性。若

2、系統不可控或不可觀測，確定不可控或不可觀測的模態；（）A,B,C同（），D=0，是狀態方程在初態下的解，證明，并解釋這個結果。（）又設 B,C,D待定。若要通過狀態反饋配置系統的極點，至少需要幾個獨立的控制變量（即B至少要有幾個線性無關的列向量）？請說明理由。若要通過狀態反饋使閉環系統漸近穩定，至少需要幾個獨立的控制變量？請說明理由。三、頻率響應分析 （25分）考慮圖2所示的控制系統，其中均為最小相位系統，其漸近對數幅頻特性曲線如圖3，H(s)=1。圖2：由三個最小相位環節構成的反饋控制系統圖3：漸近對數幅頻特性曲線（1）確定開環傳遞函數并畫出其漸近對數幅頻和相頻特性曲線（要求按圖3中的尺寸自

3、制兩張對數坐標紙）；（2）畫出Nyquist曲線；（3）由Nyquist曲線確定使閉環系統穩定的K值，并用根軌跡方法驗證；（4）求K=1和K=2時的穩態誤差和加速度誤差。四、非線性控制系統 （25分）系統的方框圖如圖4所示，其中，所有的非線性特性均關于原點中心對稱，。畫出負倒特性曲線和線性部分的Nyquist圖，以此分析系統是否存在自激振蕩及其穩定性；如果存在自激振蕩，請計算輸出的振幅和頻率。圖中死區、飽和特性和繼電特性等非線性環節的描述函數分別為：， ，圖4：具有非線性特性的反饋控制系統五、離散控制系統 （25分）考慮如圖5所示的直流電機速度控制系統，ZOH表示零階保持器。設模擬被控對象的傳

4、遞函數如下：數字控制器由微處理器實現，其脈沖傳遞函數為式中，圖5：直流電機速度控制系統的框圖（1）求數字控制系統的開環和閉環脈沖傳遞函數；（2）判斷整個控制系統的穩定性；（3）當為單位階躍函數時，求數字系統在采樣時刻的輸出響應；（4）重新設計數字控制器，使數字系統對單位階躍輸入具有最小拍輸出響應。常用函數的z-變換表：； ； 六、Lyapunov穩定性 （20分）設非線性系統的數學描述如下：（）寫出系統的狀態方程；（）求系統的所有平衡點；（）判斷每一個平衡點在Lyapunov意義下的穩定性，并闡明理由。2007年自動控制理論考試試題一、選擇填空 （每小題10分，共60分1 采樣系統的特征方程為

5、，使系統穩定的K值是（ ）（a）（b）（c）所有（d）不存在這樣的值。2 采樣系統的輸出，則前四個采樣時刻的輸出為（ ）（a）（b）（c）（d）3 s-域的傳遞函數為，T為采樣周期。經采樣后z-域的脈沖傳遞函數是（ ）（a）（b）（c）（d）4 線性系統的單位斜坡響應為，則該系統的單位階躍響應為_，該系統的傳遞函數為_。5 最小相位系統的開環對數幅頻特性如圖1，則該系統的速度誤差系數=_，加速度誤差系數=_。圖1：折線對數幅頻特性6 非線性系統的一個平衡態位于不穩定的極限環內，該極限環內沒有其它極限環。下述說法正確的是（ ）。（a）是不穩定平衡態。（b）是穩定平衡態，以極限環內的點為初始狀態的

6、運動軌跡都趨于。（c）是穩定平衡態，以極限環外的點為初始狀態的運動軌跡都趨于。（d）上述說法都不對，根本無法判定是否穩定。二、根軌跡方法 （20分）單位反饋系統如圖2，其中為待定參數。為簡便起見，圖中用R表示r(t)的Laplace變換R(s)。其余的符號和均采用這種簡便記法。（1）設,已知根軌跡的分離點和匯合點分別是1和-3。確定參數a和b并畫出根軌跡圖；（2）確定根軌跡和虛軸的交點并由此確定使閉環系統穩定的K值。（3）說明在穩定的前提下該反饋系統和標準二階系統的階躍響應在快速性和超調量兩方面有何不同。圖2：單位反饋系統三、狀態空間方法 （20分）考慮系統 其中（）設，已知：；，且確定狀態轉

7、移矩陣和系統矩陣A。（）設 ，確定的關系，以及的可觀測性和的關系。四、頻率法 （20分）考慮圖2所示的控制系統，其中。（1）用Nyquist穩定性判據證明閉環系統對任何比例控制器都不穩定。（2）設為PD控制器。用Nyquist判據確定使閉環系統穩定的的值。五、離散控制系統 （20分）離散系統的狀態空間表達式為 其中（）判斷系統的穩定性。（）令，求狀態反饋陣使閉環系統的極點為-0.5，0.5，0。六、Lyapunov穩定性 （10分）設非線性系統的數學描述如下：（）寫出系統的狀態方程；（）求系統的所有平衡點；（）判斷每一個平衡點在Lyapunov意義下的穩定性，并闡明理由。2008年自動控制理論

8、考試試題一：選擇填空 （每小題10分，共50分）1. 離散時間系統的閉環傳遞函數為，以下結論正確的是（）:(a) 對任意有限的K 值系統都是穩定的。(b) 當且僅當-0.5<K< 時系統是穩定的。(c) 對所有K 值系統都是不穩定的。(d) 當 -0.5<K< 時系統是不穩定的。2. 單位反饋系統如圖 1，其中,為零階保持器，采樣周期 T=0.4 秒。部分常用函數的Z-變換見第五題。以下結論正確的是（ ）:圖1 采樣控制系統(a) 對任意的K 值閉環系統都穩定。(b) 對任意的K 值閉環系統都不穩定。(c) 存在,當時閉環系統穩定。(d) 對任意的K>0閉環系統都

9、穩定。3. 具有非線性特性的單位負反饋系統，其前向通道中線性部分的頻率特性曲線和非線性負倒特性如圖2。圖中箭頭指向分別為 X 和增加的方向。下述結論中正確的是( ):(a) 和兩點都是系統穩定的自激振蕩狀態。(b) BC 段是系統穩定的狀態。(c) 和是系統穩定的狀態。(d) 上述說法都不對。4. 若兩個系統具有完全相同的根軌跡圖，則兩系統具有相同的開環傳遞函數(對，錯)和相同的閉環傳遞函數(對，錯)。5. 開環最小相位系統的對數幅頻特性向右移4 倍頻程，則閉環系統的調節時間將（增加，不變，減小） ，超調量將（增加，不變，減小） ，穩態誤差（增加，不變，減小） ，抗高頻噪聲干擾的能力將（增強，

10、不變，減弱） 。二、根軌跡方法 （20分）單位反饋系統如圖3，其中，為待定參數。為簡便起見，圖中用R 表示r(t)的Laplace 變換R(s)。其余的符號亦采用這種簡便記法。已知K 為某一正數時，閉環系統的極點為-1，-1，-1。（i） 確定參數a 和b 并由此確定G(s)的另外兩個極點。（ii） 確定根軌跡的分離點和匯合點、根軌跡的漸近線以及根軌跡與虛軸的交點并畫出根軌跡圖。（iii） 確定使閉環系統穩定的K 值。圖3 單位負反饋三、狀態空間法考慮系統 （1）其中，,(i) 求系統的傳遞函數，判斷系統的穩定性。(ii) 判斷系統的狀態可控性和可觀測性。(iii) 能否通過狀態反饋將閉環極點

11、配置在-2，-3 和-4？ 若能，求出；若不能，請說明理由。四、頻率法考慮圖 3 所示的控制系統，其中，為待定參數。已知。(i) 確定參數和并做出的Nyquist 曲線。 (ii) 用Nyquist 判據確定時閉環系統穩定的K 值范圍。五、采樣控制系統 （15分）考慮圖1 所示的采樣控制系統，其中為零階保持器，輸入信號為單位階躍函數，正的常數。 （i）寫出上述系統的閉環脈沖傳遞函數。 （ii）設，計算采樣輸出。已知：六、Lyapunov穩定性設非線性系統的數學描述如下：其中為常數。（i）寫出系統的狀態方程，證明系統有唯一的平衡狀態（ii）取候選Lyapunov 函數，研究系統平衡態的穩定性及其

12、與的關系，其中Q可選為正定對角矩陣。七、描述函數分析方法單位負反饋系統的前向通道為如圖 4 所示的 Hammerstein 模型，其中線性環節的傳遞函數為 ，非線性環節為有滯環的繼電非線性。已知滯環繼電非線性環節的描述函數為其中。確定繼電器參數h，使得自激振蕩頻率 ，自激振蕩幅值。圖四Hammerstein 模型二、解析2006年真題解析一、解：（1）系統的開環傳函繪制根軌跡的步驟如下:開環極點， 數目 n=2；無零點系統有兩條根軌跡，分別起始于，終止于無窮遠處。實軸上根軌跡段為；漸近線與實軸夾角為；漸近線與實軸交點為；由由以上計算得到的參數，得根軌跡如圖所示： （2）由 閉環傳遞函數為 由

13、上升時間 （3）要保持不變，即，結合，得到 由題意得， 開環傳遞函數為使閉環系統盡可能簡單，取,此時由，所以注：要熟記二階系統的時域響應指標，等。二、解：（），則代人（1）可得 令,即可得到 由，計算得（） 相當于（）中的 有 則，此時 A可通過非奇異陣T化為約當陣，即。 所以（） ，所以系統不完全可控；所以系統完全可觀測；確定不可控模態是在A為J的情況下，看B中的某一行是否為零。此題中A化為時，可見，所對應的模態為不可控模態，即。（）。（）將A化為約當陣為，B至少要有2個線性無關的列向量。原因：若要通過狀態反饋配置系統的極點，即保證系統完全可控。A對應的約當陣中出現了兩個約當塊對應同一特征值

14、-1，若要保證狀態完全可控，中對應中相等特征值的全部約當塊末行的那些行之間是線性無關的，即的第一行、第二行必須是線性無關的。中至少要有2個線性無關的列向量。由于非奇異線性變換不改變系統的可控性，中至少要有2個線性無關的列向量，即至少需要2個獨立的控制變量。至少需要1個獨立的控制變量。原因：由于特征值-1具有負實部，可以使系統漸近穩定。所以配置極點時只需配置特征值0對應的約當塊。特征值-1對應的約當塊即使不可控，也不影響系統的漸近穩定性。只配置可控部分即可，至少需要1個獨立的控制變量。注：個人覺得這個題出的有點難，但是知識點都是大綱要求的，但綜合性太強了，可以看一下這些知識點。三、解：（1）由圖

15、可知， 又 所以開環傳遞函數 （2）首先求出得1） 與負實軸的交點：由，此時 即與負實軸的交點是（-0.83，0）；2） ；3） ；Nyquist曲線如下：（3） 1）由Nyquist曲線確定使閉環系統穩定的K值；如圖所示：當-0.83K>-1時，即K<1.2時，Nyquist曲線不包圍（-1，j0）點，即N=0， 由于P=0，Z=0， 所以閉環系統穩定。 使系統穩定的K值范圍是：2）用根軌跡方法驗證： 繪制根軌跡步驟如下：開環極點， 數目 n=4;開環零點，數目m=1。系統有4條根軌跡。實軸上根軌跡段為，；漸近線與實軸夾角為；漸近線與實軸交點為；與虛軸的交點： 時， 得對應的與虛

16、軸的交點是 根據以上參數地根軌跡圖如下： 由根軌跡圖可知，當，時，閉環系統穩定。 可見，與由Nyquist曲線得到的結論是一致的。（4）K=1時，閉環系統是穩定的，討論穩態誤差是有意義的。 所以穩態速度誤差 穩態加速度誤差 K=2時，閉環系統不穩定，此時討論穩態誤差是無意義的。四、解：（1）將原結構圖化簡可得到圖a圖a 等效結構圖 頻率特性 負倒特性曲線和曲線如圖b所示： 由圖可知，負倒特性曲線與曲線有交點。所以存在自激振蕩，并且是穩定的自激振蕩。（由不穩定區穩定區）圖b系統曲線和曲線（2）由，得 自激振蕩的頻率 自振振幅 將振幅X折算到輸出端，考慮到，所以輸出振幅為 輸出頻率為 五、解：（1

17、）開環脈沖傳遞函數閉環脈沖傳遞函數（2）由 可見，閉環特征方程的根都在單位圓內部，所以整個控制系統穩定。（3）當為單位階躍函數時，輸入 （4）由于，除有一個極點在單位圓上外，所以零極點都在單位圓內部，故可取， 則 則 可見輸出在1拍以后就完全跟蹤輸入。六、解：（） 令，則狀態方程為： （）由，得 所以系統所有的平衡點為、。（）在平衡態處： 做偏差置換，令 將其線性化，得 兩個特征值均具有負的實部，平衡點處是漸近穩定的。在平衡態處： 做偏差置換，令將其線性化，得 有一個特征值具有正的實部，平衡點處是不穩定的。2007年真題解析一、1d 2. b 3. c4 解：單位階躍輸入r(t)=1是單位斜坡

18、輸入r(t)=t的導數，則單位階躍響應是單位斜坡響應的導數，即單位階躍響應為對其做拉氏變換得，傳遞函數為5 解：由圖可得，開環傳遞函數 則 速度誤差系數 加速度誤差系數 二、解：（1）系統的開環傳遞函數 根據分離點、匯合點的計算公式 依題意，得分離點，匯合點，代入上式 得 a=3，b=1 則開環傳遞函數 繪制根軌跡的步驟如下:開環極點， 數目 n=2；開環零點，數目m=1系統有兩條根軌跡。實軸上根軌跡段為；漸近線與實軸夾角為；分離點，匯合點由以上計算得到的參數，得根軌跡如圖所示： （2）根軌跡與虛軸的交點由，得特征方程為勞斯陣：要與虛軸有交點，則有一行全零，即輔助方程：綜上，與虛軸的交點是，使

19、閉環系統穩定的K值范圍應是K>3。（3）在穩定的前提下，該反饋系統和標準二階系統相比，系統的階躍響應更快，而超調量增加。三、解：（）由題意，得 系統矩陣（）由于A為約當陣，且不同特征值對應不同的約當塊。所以要使可控，需滿足；要使可觀測，需滿足；四、解：（1）當時，開環傳遞函數 ，為非最小相位系統（不能按原來的規則畫Nyquist曲線）。首先求出得1）可看出與負實軸無交點；2）；3）；Nyquist曲線如下： 從圖中可看出，N=0，又已知P=1，所以Z=1，即系統有右半平面的根， 所以閉環系統對任何比例控制器都不穩定。（2）當時，開環傳遞函數 首先求出得1）與負實軸的交點：令，得 相應地

20、2）；3）；Nyquist曲線如下： 從圖中可看出，當時，N=1，又已知P=1，所以Z=0，即系統無右半平面的根，閉環系統穩定。即的值應滿足五、解：（）由題意知，系統為可控標準型。特征多項式為 可以求得，特征值幅值均小于1，所以系統穩定。（）由于系統可控，所以可通過狀態反饋任意配置系統的極點。設狀態反饋矩陣 希望的特征多項式為令= ，可得即將極點配置在-0.5，0.5，0的狀態反饋矩陣為。六、解：（） 令，則狀態方程為： （）由，得 所以系統所有的平衡點為。其中（）在平衡點，處： 做偏差置換，令 將其線性化，得 兩個特征值均具有負的實部，平衡點，處是漸近穩定的。在平衡態，處： 做偏差置換，令將

21、其線性化，得 有一個特征值具有正的實部，平衡點，處是不穩定的。2008年真題解析一：1：a 2: c 3:c 4:對 錯 5:減小 不變 減小 減弱解析：1 ：系統閉環特征方程為：二階離散系統可以有兩種方法判斷穩定性：直接求特征根，看是否在單位圓內；利用雙線性變換，再利用勞斯判據。 解得，可見其根位于單位圓內部，所以系統穩定。 注：本題給出的是閉環傳遞函數，系統的穩定性只跟特征方程有關系，與閉環放大倍數無關，就可以直接作出判斷了。2：當T=0.4時，系統開環傳遞函數特征方程為對上式進行雙線性變換在進行勞斯判據。令，可得w域的特征方程要使系統穩定，則解得 0<K<7.269即 存在&

22、gt;0，使得當時，系統穩定。3 本題考查描述函數法穩定性的判定，及自激振蕩點的判斷。判據：曲線沒有被所包圍，則閉環系統是穩定的； 曲線被所包圍，則閉環系統是不穩定的； 曲線與曲線相交，系統可能產生自激振蕩。自激振蕩點的判據：1）穩定區不穩定區：系統穩定； 2）不穩定區穩定區：系統不穩定。4 根軌跡是描述特征根的軌跡，根軌跡相同只能說明特征方程相同，即系統的閉環傳遞函數的極點相同。零點不同則會對應不同的傳遞函數。5 考查開環對數頻率特性的“三頻段理論” 低頻段：決定系統的穩態誤差，低頻段越高越陡則穩態誤差越小； 中頻段：決定系統的動態性能，中頻段越寬，快速性越好； 高頻段：統抗高頻干擾的能力，

23、高頻段越低、越陡，抗高頻干擾能力越強。二：解：（i）由題意得，系統的閉環特征方程為整理得由已知，系統的閉環極點為-1，-1，-1，得特征方程為即 根據對應項系數相等得 a=4，b=7所以 ，另外兩個極點為 。（ii）根軌跡繪制步驟：1） 開環極點，n=3，m=0，則系統有三條根軌跡；2） 實軸上根軌跡；3） 漸近線：有n-m=3條漸近線，與實軸夾角，于實軸交點；4） 分離點匯合點：由可得，分離點d=-1；5） 與虛軸焦點：可有兩種方法判定：（一）勞斯判據 （二）將帶入到特征方程中，根據對應項系數相等。解得即 當K+16時，根軌跡與虛軸相交，交點為。根軌跡如下圖所示：（iii）由根軌跡圖可知，使閉環系統穩定的K值范圍為： 0<K<16.三：解：（i）由題意閉環傳遞函數所