1、高考直線方程題型歸納知識點梳理1. 點斜式方程設直線l過點p0(x0，y0)，且斜率為 k，則直線的方程為 yy0 = k(xx0)，由于此方程是由直線上一點p0 (x0 ，y0 )和斜率k所確定的直線方程，我們把這個方程叫做直線的點斜式方程 .注意：利用點斜式求直線方程時，需要先判斷斜率存在與否.（1） 當直線 l的傾斜角 =90°時，斜率 k不存在，不能用點斜式方程表示，但這時直線 l恰與y軸平行或重合，這時直線l上每個點的橫坐標都等于 x0，所以此時的方程為 x=x0.（2） 當直線 l的傾斜角 =0°時， k=0，此時直線 l的方程為 y=y0， 即yy0=0.（3

2、） 當直線 l的傾斜角不為 0°或90°時，可以直接代入方程求解. 2斜截式方程 ：如果一條直線通過點 (0，b) 且斜率為 k，則直線的點斜式方程為 y=kx+ b 其中k為斜率， b叫做直線 y=kx+b在y軸上的截距，簡稱直線的截距.注意：利用斜截式求直線方程時，需要先判斷斜率存在與否.（1） 并非所有直線在 y軸上都有截距，當直線的斜率不存在時，如直線x=2在y軸上就沒有截距，即只有不與y軸平行的直線在 y軸上有截距，從而得斜截式方程不能表示與x軸垂直的直線的方程 .（2） 直線的斜截式方程 y=kx+b是y關于x的函數，當 k=0時，該函數為常量函數 .x=b；當

3、k0時，該函數為一次函數，且當k>0時，函數單調遞增，當 k<0時，函數單調遞減 .（3） 直線的斜截式方程是直線的點斜式方程的特例。要注意它們之間的區別和聯系及其相互轉化 .3. 直線的兩點式方程若直線l經過兩點 a(x1，y1) ，b( x2，y2) ，(x1x2)， 則直線l的方程為yy1x x1，這種形式的方程叫做直線的兩點式方程.注意y2y1y y1x2x1xx1（1） 當直線沒有斜率 (x1=x2)或斜率為零 (y1=y2)時，不能用兩點式y2y1它的方程；表示x2x1（2） 可以把兩點式的方程化為整式(x2 x1)(yy1)= (y2 y1 )(xx1) ，就可以用它

4、來求過平面上任意兩點的直線方程；如過兩點 a(1，2)，b(1， 3)的直線方程可以求得x=1， 過兩點 a(1， 3)，b( 2， 3)的直線方程可以求得y=3.（3） 需要特別注意整式 (x2x1)(yy1)= (y2y1)(xx1)與兩點式方程yy1xx1 的y2y1x2x1區別，前者對于任意的兩點都適用，而后者則有條件的限制，兩者并不相同，前者是后者的拓展。4. 直線的截距式方程若直線 l 在 x 軸上的截距是 a，在 y 軸上的截距是 b，且 a0，b 0，則直線 l 的方程為xy1，這種形式的方程叫做直線的截距式方程。ab注意：（1） 方程的條件限制為a 0，b 0，即兩個截距均不

5、能為零，因此截距式方程不能表示過原點的直線以及與坐標軸平行的直線；（2） 用截距式方程最便于作圖，要注意截距是坐標而不是長度；（3） 要注意 “截距相等 ”與“截距絕對值相等 ”是兩個不同的概念， 截距式中的截距可正、可負，但不可為零。截距式方程的應用（1） ）與坐標軸圍成的三角形的周長為：|a|+|b|+a2b2 ；（2） ）直線與坐標軸圍成的三角形面積為：s= 1 | ab |；2（3） ）直線在兩坐標軸上的截距相等，則k=1 或直線過原點，常設此方程為x+y=a 或y=kx.5. 直線方程的一般形式方程ax+by+c=0（ a、b不全為零）叫做直線的一般式方程.注意（ 1）兩個獨立的條件

6、可求直線方程：求直線方程，表面上需求a、b、c 三個系數，由于a、b 不同時為零，若 a 0，則方程化為 xb yc0 ，只需確定 b , c 的值；aaaa若 b 0，同理只需確定兩個數值即可；因此，只要給出兩個條件，就可以求出直線方程；（ 2）直線方程的其他形式都可以化成一般式，解題時，如果沒有特殊說明應把最后結果化為一般式，一般式也可以化為其他形式。（ 3）在一般式 ax+by+c=0（a、b 不全為零）中，若 a=0，則 y=cb，它表示一條與y 軸垂直的直線；若 b=0，則 xc，它表示一條與x 軸垂直的直線 .a6. 直線方程的選擇（1） ）待定系數法是求直線方程的最基本、最常用的

7、方法，但要注意選擇形式，一般地已知一點，可以待定斜率k，但要注意討論斜率 k不存在的情形，如果已知斜率可以選擇斜截式待定截距等；（2） ）直線方程的幾種特殊形式都有其使用的局限性，解題過程中要能夠根據不同的題設條件，靈活選用恰當的直線形式求直線方程。請參看下表：直線形式直線方程局限性選擇條件點斜式不能表示與 x軸垂直已知一個定點和斜率k的直線已知一點，可設點斜式方程斜截式不能表示與 x軸垂直已知在 y 軸上的截距的直線已知斜率，可設斜截式方程兩點式不能表示與 x 軸、y已知兩個定點軸垂直的直線已知兩個截距截距式不能表示與 x軸垂直、與y 軸垂直、過已知兩個截距已知直線與坐標軸圍成原點的的直線三

8、角形的面積問題可設截距式方程一般式能表示所有的直線求直線方程的最后結果均可以化為一般式方程典型例題剖析題型1直線的點斜式方程例1一條直線經過點 m( 2， 3)，傾斜角 =135°，求這條直線的方程。例2求斜率為3 ，且分別滿足下列條件的直線方程：3（ 1）經過點 m(3 ， 1)；（ 2）在x軸上的截距是 5.題型2直線的斜截式方程例3若直線 ax+by+c=0通過第二、三、四象限，則系數a、b、c需滿足條件（）（a）a、b、c同號（b）ac<0，bc<0（c）c=0，ab<0（d）a=0，bc<0例4直線 y=ax+b (a+b=0)的圖象是（）例5寫出過

9、下列兩點的直線方程，再化成斜截式方程.（1）p1(2， 1)，p2(0， 3)；（ 2） p1(2，0)，p2(0，3)。例6 三角形的頂點是 a(5，0)、b(3， 3)、c(0，2)，求這個三角形三邊所在的直線方程.題型4直線的截距式方程例7已知直線的斜率為1 ，且和坐標軸圍成面積為3的三角形，求該直線的方程。6例8過點 a(1，4)且縱截距與橫截距的絕對值相等的直線共有的條數為（）（a）1（b）2（ c） 3（d） 4題型5直線的一般式方程例9已知直線經過點 a(6， 4)，斜率為4 ，求直線的點斜式和一般式方程.3例10把直線 l的方程x2y+6=0化成斜截式，求出直線 l的斜率和它在

10、 x軸與y軸上的截距， 并畫圖.題型 6. 定點問題例 11、已知直線所過定點的橫、縱坐標分別是等差數列 的第一項與第二項，若，數列的前 n 項和為 tn，則 t10=（ ? ）? a.? b.? c.? ?d.題型 7. 對稱問題例 12、已知直線l 1： y 2x 3，直線 l 2 與 l 1 關于直線y x 對稱，則直線l 2 的斜率為 ()a.? ? b ?c 2? ? d 2例 13、直線關于直線對稱的直線方程是? （ ? ）? a ? b ? c ? d 例 14、直線 2x y 4=0 上有一點p，它與兩定點a(4， 1) ，b(3 ， 4) 的距離之差最大，則p 點坐標是 ?例

11、 15. (1) 求點 a(3,2)關于點 b( 3,4) 的對稱點c的坐標；(2) 求直線 3x y 4 0 關于點 p(2 ， 1) 對稱的直線l 的方程；(3) 求點 a(2,2)關于直線2x 4y 9 0 的對稱點的坐標題型 8. 最值問題22例 16、若點 ( m，n) 在直線 4x 3y 10 0 上，則 mn的最小值是 ()a 2? ? b 2?c4? ? d 2例 17、直線與直線互相垂直，則的最小值為（ ? ）a 1? b 2? c 4? d 5例18.過點p(1，2)作直線 l，交x，y軸的正半軸于 a、b兩點，求使 oab面積取得最小值時直線l的方程.題型9創新問題例19

12、已知兩直線 a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交點為 p(2，3)，求過兩點 q1(a1，b1)， q2(a2，b2)的直線方程 .例 20、已知點 a( 1,0) ，b(1,0)，c(0,1)，直線 yax b( a>0) 將 abc分割為面積相等的兩部分， 則 b 的取值范圍是 ()a (0,1)? ?b.c.? d.例 21、在平面直角坐標系中，定義d（ p，q）=|x 1x 2|+|y 1 y 2| 為兩點 p（ x 1，y1）， q（x2， y2）之間的“折線距離”，在這個定義下，給出下列命題：到原點的“折線距離”等于1 的點的集合是一個圓；到原點的“折線距離”小

13、于等于2 的點構成的區域面積為8；到 m（ 0， 2）， n（ 0， 2）兩點的“折線距離”相等的點的軌跡方程是y=0；直線 y=x+1 上的點到n（ 0， 2）的“折線距離”的最小值為1 其中真命題有（）a 1 個b 2 個c3 個d 4 個例 22、已知兩定點m（-2 ， 0）， n（2， 0），若直線上存在點p，使得，則該稱直線為“ a 型直線” . 給出下列直線：， ? ， ? ， ? ，其中是“ a 型直線”的序號是? ?.例 23、已知直線l ：( a，b 不全為 0) ，兩點，若，且，則（ ? ）a直線 l 與直線 p1p2 不相交 ? ?b 直線 l 與線段 p2 p 1 的延

14、長線相交c直線 l 與線段 p1 p2 的延長線相交? d 直線 l 與線段 p1p2 相交例 24.已知實數x， y 滿足 y x 2 2x 2( 1x 1)試求 y 3的最大值與最小值x 2強化訓練1. 下列說法中不正確的是（）（a） 點斜式 yy0 =k(xx0)適用于不垂直于 x軸的任何直線（b） 斜截式 y=kx+b適用于不垂直 x軸的任何直線（c） 兩點式yy1xx1適用于不垂直于坐標軸的任何直線y2y1x2x1（d） 截距式 xyab1 適用于不過原點的任何直線2. 直線 3x2y=4的截距式方程為（）（a） 3xy142（b） xy11132（c） 3xy142（d） xy14

15、233. 過點 (3， 4)且平行于 x軸的直線方程是；過點 (5， 2)且平行于y軸的直線方程是。4. 過點p(1，3)的直線分別與兩坐標軸交于a、b兩點，若 p為ab的中點，求直線的方程 .5已知 abc中， a(1， 4)，b(6，6)， c(2，0)，求：（1） ） abc的平行于 bc邊的中位線的一般式方程和截距式方程；（2） ）bc邊的中線的一般式方程，并化為截距式方程. 6如果ac<0，bc<0，那么直線 ax+by+c=0不通過（）（a）第一象限（b）第二象限（ c）第三象限（d）第四象限7直線l 過點p(1，3)，且與x，y軸正半軸所圍成的三角形的面積等于6，則l

16、的方程是（）（a）3x+y6=0（b）x+3y10=0（ c）3xy=0（d） x 3y+8=0 8若直線 (2m2+m 3)x+(m2m)y=4m 1在x軸上的截距為 1，則實數 m是（）1（a）1（b）2（ c）21（d） 2或29已知直線 l：ax+by+c=0(a2+b2 0)，點p(x0 ，y0)在l上，則 l的方程可化為（）（a）a(x+x0)+b(y+y0)+c=0（b）a(x+x0)+b(y+y0)=011若點(a，12)在過點 (1，3)及點(5，7)的直線上，則 a=.12、在平面直角坐標系中，是坐標原點，設函數的圖象為直線，且與軸、軸分別交于、兩點，給出下列四個命題： ? 存在正實數，使的面積為的直線僅有一條； ? 存在正實數，使的面積為的直線僅有兩條； ? 存在正實數，使的面積為的直線僅有三