1、學習必備歡迎下載中考復習專題：隱型圓一、根據圓的定義作輔助圓例 1 如圖，四邊形abcd 中， ab cd ，ab ac ad p，bc q，求 bd的長dcba例 2、 如圖，正方形 abcd 的邊長為2，將長為 2 的線段 qf的兩端放在正方形相鄰的兩邊上同時滑動如果點 q從點 a出發，沿圖中所示方向按滑動到點a為止，同時點f 從點 b出發，沿圖中所示方向按滑動到點 b為止，那么在這個過程中，線段qf的中點 m所經過的路線長為 _ 變式 1: 在矩形 abcd中，已知 ab=2cm ，bc=3cm ，現有一根長為2cm的木棒 ef緊貼著矩形的邊（即兩個端點始終落在矩形的邊上），按逆時針方向

2、滑動一周，則木棒ef的中點 p在運動過程中所圍成的圖形的面積為 _ 學習必備歡迎下載變式 2：如圖，在矩形abcd中， ab=2 ，ad=3 ，點 e,f 分別為 ad,dc邊上的點，且ef=2，g為 ef 的中點， p為 bc邊上一動點，則pa+pg 的最小值為 _ abcdpefg變式 3：在平面直角坐標系中，點a的為坐標為（ 3，0）， b為 y軸正半軸上的點，c是第一象限內的點，且 ac=2 ，設 tan boc=m ，則 m的取值范圍為_ 變式 4：如圖，在矩形abcd 中， ab 4，ad 6，e 是 ab 邊的中點， f 是線段 bc 上的動點，將 ebf沿 ef 所在直線折疊得

3、到 eb f ，連接 bd，則 bd的小值是 _ 式 5：在 rtabc 中， c=90， ac=6 ，bc=8，點 f 在邊 ac 上，并且 cf=2，點 e 為邊 bc 上的動點，將 cef 沿直線 ef 翻折，點c 落在點 p 處，則點p到邊 ab 距離的最小值是_變式 6：如圖，在 abc 中， acb=90 ，ab= 5，bc=3,是 ab 邊上的動點（不與點b 重合），將 bcp沿 cp 所在的直線翻折，得到bcp，連接 ba，則 ba 長度的最小值是_學習必備歡迎下載變式 7：如圖，在平行四邊形abcd 中， bcd=30 ， bc=4，cd=,m 是 ad 邊的中點， n 是

4、ab 邊上的一動點，將amn沿 mn所在直線翻折得到amn ，連接ac，則ac 長度的最小值是_練習：如圖，矩形abcd 中， ab=4 ，ad=3 ，m 是邊 cd 上一點，將 adm 沿直線 am 對折，得到 anm （1）當 an 平分 mab 時，求 dm 的長；（2）連接 bn，當 dm=1 時，求 abn 的面積；（3）當射線bn 交線段 cd 于點 f 時，求 df 的最大值學習必備歡迎下載2. 共端點兩條線段為定長在 abc中， ac=4,ab=5,則 abc面積的最大值為_ 變式 1：已知在四邊形abcd 中， ad+db+bc=16，則四邊形abcd面積的最大值為_ . 變

5、式 2：在 abc 中， ab=3 ，ac=當 b 最大， bc 的長是 _. 3. 共端點三條線段為定長引列如圖，已知ab=ac=ad,cbd=2 bdc， bac=44 ，則 cad 的度數為 _. 引列圖變式 1 圖學習必備歡迎下載變式 1：如圖，在四邊形abcd 中， dc ab ，bc=1 ，ab=ac=ad=2 ，則 bd=_. cab變式 2 圖變式 3 圖變式 2：如圖，在等腰abc中， ac=bc ， c=70，點 p 在 abc 的外部，且與點c 均在 ab 的同側.如果 pc=bc，那么 apc=_ . 變式 3：如圖，在 oab 中， oa=ob ， aob=15 .在

6、 ocd 中， oc=od, cod=45 ，且點c在 oa 邊上 .連接 cb，將線段ob 繞著點 o 逆時針旋轉一定角度得到線段oe，使得 de=oe, 則 boc 的度數為 _.知識架構如圖，點 a(2,0),b(6,0),cbx 軸于點 ac ，在 y 軸正半軸求作點 p,使 apb= acb.( 尺規作圖，保留作圖痕跡 )yoabcx歸納：當某條邊與該邊所對的角是定值時，該角的定點的軌跡是圓弧學習必備歡迎下載方法：見直角找斜邊（定長）想直徑定外心現“圓”形。引例已知 a,b 兩點在直線l 的異側，在l 上求作點p，使 pab為直角三角形， （尺規作圖，保留痕跡）lab變式 1：如圖，

7、在等腰rtabc中， acb=90 ， ac=bc=4 ，d為線段 ac上一動點，連接bd ，過點 c作 chbd于點 h ，連接 ah ，則 ah的最小值為 _. acbdh變式 2：如圖，在正方形abcd 中， ab=2 ，動點 e從點 a出發向點d運動，同時動點f 從點 d出發向點c運動，點 e，f 運動的速度相同，當它們到達各自終點時停止運動，運動過程中線段af,be 相交于點 p，則線段 dp的最小值為 _. 學習必備歡迎下載變式 3：直線 y=x+4 分別與 x 軸， y 軸相交于m ，n,邊長為 2 的正方形oabc 一個頂點o在坐標系的原點，直線 an與 mc相交于 p.若正方

8、形繞著點o旋轉一周，則點p到點（ 0,2 ）長度的最小值是_. 方法三：見定角找對邊（定長）想周角轉心角現“圓”形. 問題提出：如圖，已知線段ab ，試在平面內找到符合所有條件的點c， acb=30 （利用直尺和圓規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）ab自主探索1：在平面直角坐標系中，已知點a（3，0） ，b（-1.0 ） ，c是 y 軸上一動點 . 當 bca=45 時，點 c 的坐標為 _ .2345-1-2561b-1o4213-3-4-5xay2345-1-2561b-1o4213-3-4-5xay自主探索 1 圖自主探索 2 圖自主探索2：在平面直角坐標系中，已知點a （3,0 ） ，b

9、 （-1,0 ） ，c是 y 軸上一動點 . 當bca=60 時，點 c的坐標為 _. 學習必備歡迎下載2345-1-2561b-1o4213-3-4-5xay2345-1-2561b-1o4213-3-4-5xay自主探索 3 圖自主探索 4 圖自主探索3：在平面直角坐標系中，已知點 a （3,0 ） ，b （-1,0 ） ，c是 y 軸上一動點 .當bca=120 時，點 c的坐標為 _. 自主探索4：在平面直角坐標系中，已知點 a （3,0 ） ，b （-1,0 ） ，c是 y 軸上一動點 .當bca=135 時，點 c的坐標為 _. 變式 1： 如圖， b是線段 ac的終點，過點 c的

10、直線 l 于 ac成 60角， 在直線 l 上取一點 p， 使 apb=30 ，則滿足條件的點p的個數是 _.變式 1 圖變式 2：如圖，在邊長為2的等邊 abc 中，動點d， e 分別在 bc，ac 邊上，且保持ae=cd ，連接 be，ad ，相交于點p，則 cp 的最小值為 _.學習必備歡迎下載變式 3：如圖，點a與點 b的坐標分別是a（1,0 ） ，b（ 5,0 ） ，p是該平面直角坐標系內的一個動點. （1）使 apb=30 的點 p 有_個（2）若點 p 在 y 軸上，且 apb=30 ，求滿足條件的點p 的坐標（3）當點 p 在 y 軸上移動時，apb 是否存在最大值？若存在，求

11、點p 的坐標；若不存在，請說明理由 .變式 4: （1）請利用以上操作所獲得的經驗，在圖的矩形abcd內部用直尺于圓規作出一點p,使點 p滿足：bpc=bec，且 pb=pc。 （要求 :用直尺與圓規作出點p，保留作圖痕跡）dabce圖圖（2）如圖，在平面直角坐標系的第一象限內有一點b，坐標為（ 2，m ） ，過點 b作 ab y 軸，bcx軸，垂足分別為a，c 若點 p在線段 ab 上滑動（點p可以與 a,b 重合），發現使得 opc=45的位置有兩個，則m 的取值范圍為 _.學習必備歡迎下載變式 5：如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a0）與 x 軸交于 a（1，0） ，b（4，0）兩

12、點，與 y 軸交于點 c （0，2） ，連接 ac ，bc 。（1）求拋物線的解析式；（2）若 bc的垂直平分線交拋物線于d ，e兩點，求直線de的解析式；（3）若點 p在拋物線的對稱軸上，且cpb=cab ，求出所有滿足條件的點p的坐標。caboxy二、結論類似于圓冪定理的形式時作輔助圓例如圖，在 abc中， ab ac 3，d是邊 bc上的一點，且ad ，求bd dc的值abcd三、探究動點對定線段所張的角時作輔助圓例 1 如圖，在直角梯形abcd中， ab dc ， b 90，設ab a，dc b，ad c，當 a、b、c 之間滿足什么關系時，在直線bc上存在點p ，使 ap pd ？a

13、bcdp例 2 如圖，在平面直角坐標系xoy中，給定y 軸正半軸上的兩點a (0 ，8)、b(0，2)，試在 x 軸正半軸上求一點c，使 acb取得最大值。學習必備歡迎下載例 3 已知 rtabc中， ac 5，bc 12， acb 90， p是邊 ab上的動點， q是邊 bc上的動點，且cpq 90，求線段cq的取值范圍acbpq四、四點共圓判斷四點共圓的常用方法有（1）對角互補的四邊形的四個頂點共圓；（ 2）同底同側頂角相等的兩個三角形的四個頂點共圓判斷四點共圓后，就可以借助過這四點的輔助圓解題例 1 如圖， e是正方形abcd 的邊 ab上的一點，過點e作 de的垂線交 abc的外角平分

14、線于點f，求證： fede fedcba學習必備歡迎下載例 2 如圖等邊 pqr內接于正方形abcd ，其中點p、q、r分別在邊ad 、ab 、dc上， m是 qr的中點，求證：不論等邊pqr 怎樣運動，點m為不動點abdcpqgm例 3 如圖，正方形abcd 的中心為o，面積為1989，p為正方形內的一點，且opb 45， pa pb 514，求 pb的長abdcpo練習1. 在直角坐標系中，過 a（- 1,0 ）和b（3,0 ）的 m 上有點 p.（1）若cos apb=13 ( apb 是銳角 ) ，求 m 的半徑；（2）在y軸上，是否存在一點 d，使得 adb=45 ？若存在，求出點

15、d的坐標. 2. 在平面直角坐標系中，拋物線2yxbxc與x軸交于ab，兩點（點a在點b的左側），與y軸交于點c，點b的坐標為(3 0)，將直線ykx 沿y軸向上平移3 個單位長度后恰好經過bc，兩點（1）求直線bc及拋物線的解析式；（2）設拋物線的頂點為d，點p在拋物線的對稱軸上，且apdacb，求點p的坐標 . 學習必備歡迎下載3. 已知平面直角坐標系中兩定點a （-1 ，0）b（4,0 ） 、 ，拋物線22yaxbx過點 a、b頂點為 c，點 p（m ， n）n0 為拋物線上一點. （1）求拋物線的解析式和頂點c的坐標；（2）當apb為鈍角時，求m的取值范圍 . 4. 如圖，已知點a （

16、1，0） ，b（0，3） ，c（-3，0） ，動點 p（ x，y）在線段ab上， cp交 y 軸于點 d，設bd的長為 t. （1）求 t 關于動點p的橫坐標 x 的函數表達式；（2）若 sbcd：saob=2： 1，求點 p的坐標，并判斷線段cd與線段 ab的數量及位置關系，說明理由；（3）在（2）的條件下， 若 m為 x 軸上的點， 且 bmd 最大， 請求出點m的坐標 . 5. 如圖，點 a與點b的坐標分別是（ 1，0），（ 5，0），點 p是該平面直角坐標系內的一個動點（1）若點 c平面直角坐標系內的一個點，且 abc 是等邊三角形，則點 c的坐標是 ；（2）若點 p在y軸上，且apb=