1、第四節二次函數與冪函數考綱傳真1.(1)了解冪函數的概念；(2)結合函數yx，yx2，yx3，yx，y的圖象，了解它們的變化情況.2.理解二次函數的圖象和性質，能用二次函數、方程、不等式之間的關系解決簡單問題1二次函數(1)二次函數解析式的三種形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)；頂點式：f(x)a(xh)2k(a0)，頂點坐標為(h，k)；零點式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2為f(x)的零點(2)二次函數的圖象與性質函數yax2bxc(a0)yax2bxc(a0)圖象定義域R值域單調性在上減，在上增在上增，在上減對稱性函數的圖象關于x對稱2.冪函數(1)定義：形如y

2、x(R)的函數稱為冪函數，其中x是自變量，是常數(2)五種常見冪函數的圖象與性質函數特征性質yxyx2yx3yxyx1圖象定義域RRRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調性增(，0)減，(0，)增增增(，0)和(0，)減公共點(1,1)1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)二次函數yax2bxc，xR，不可能是偶函數()(2)二次函數yax2bxc，xa，b的最值一定是.()(3)冪函數的圖象一定經過點(1,1)和點(0,0)()(4)當n0時，冪函數yxn在(0，)上是增函數()答案(1)×(2)

3、15;(3)×(4)2(教材改編)已知冪函數f(x)x的圖象過點(4,2)，若f(m)3，則實數m的值為()A.B±C±D9D由題意可知4222，所以.所以f(x)x，故f(m)3m9.3已知函數f(x)ax2x5的圖象在x軸上方，則a的取值范圍是()A. B.C. D.C由題意知即得a.4(2017·貴陽適應性考試(二)二次函數f(x)2x2bx3(bR)零點的個數是()A0B1 C2D4C因為判別式b2240，所以原二次函數有2個零點，故選C.5若二次函數yax2bxc的圖象與x軸交于A(2,0)，B(4,0)且函數的最大值為9，則這個二次函數的表達

4、式是_. 【導學號：31222037】yx22x8設ya(x2)(x4)，對稱軸為x1，當x1時，ymax9a9，a1，y(x2)(x4)x22x8.求二次函數的解析式已知二次函數f(x)滿足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數的解析式 【導學號：31222038】解法一(利用一般式)：設f(x)ax2bxc(a0).2分由題意得8分解得所求二次函數為f(x)4x24x7.12分法二(利用頂點式)：設f(x)a(xm)2n.f(2)f(1)，拋物線的圖象的對稱軸為x.3分m.又根據題意函數有最大值8，n8.yf(x)a28.8分f(2)1，a281，解得a4，f(x

5、)4284x24x7.12分法三(利用零點式)：由已知f(x)10的兩根為x12，x21，2分故可設f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1.6分又函數的最大值是8，即8，解得a4，所求函數的解析式為f(x)4x24x7.12分規律方法用待定系數法求二次函數的解析式，關鍵是靈活選取二次函數解析式的形式，選法如下變式訓練1已知二次函數f(x)的圖象經過點(4,3)，它在x軸上截得的線段長為2，并且對任意xR，都有f(2x)f(2x)，求f(x)的解析式解f(2x)f(2x)對xR恒成立，f(x)的對稱軸為x2.2分又f(x)的圖象被x軸截得的線段長為2，f(x)0的兩根為1和3.

6、6分設f(x)的解析式為f(x)a(x1)(x3)(a0)又f(x)的圖象過點(4,3)，3a3，a1.10分所求f(x)的解析式為f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3.12分二次函數的圖象與性質角度1二次函數圖象的識別及應用(1)設abc0，則二次函數f(x)ax2bxc的圖象可能是()A B CD(2)已知函數f(x)x2mx1，若對于任意xm，m1，都有f(x)0成立，則實數m的取值范圍是_(1)D(2)(1)由A，C，D知，f(0)c0.abc0，ab0，對稱軸x0，知A，C錯誤，D符合要求由B知f(0)c0，ab0，x0，B錯誤(2)作出二次函數f(x)的圖象，對于任意xm

7、，m1，都有f(x)0，則有即解得m0.角度2二次函數的最值問題(1)(2017·廣西一模)若xlog521，則函數f(x)4x2x13的最小值為()A4B3C1D0(2)(2017·安徽皖北第一次聯考)已知函數f(x)x22ax1a在區間0,1上的最大值為2，則a的值為() 【導學號：31222039】A2B1或3C2或3D1或2(1)A(2)D(1)xlog521log52xlog5512x，令t2x，則有yt22t3(t1)24，當t1，即x0時，f(x)取得最小值4.故選A.(2)函數f(x)(xa)2a2a1圖象的對稱軸為xa，且開口向下，分三種情況討論如下：當a

8、0時，函數f(x)x22ax1a在區間0,1上是減函數，f(x)maxf(0)1a，由1a2，得a1.當0a1時，函數f(x)x22ax1a在區間0，a上是增函數，在a,1上是減函數，f(x)maxf(a)a22a21aa2a1，由a2a12，解得a或a.0a1，兩個值都不滿足，舍去當a1時，函數f(x)x22ax1a在區間0,1上是增函數，f(x)maxf(1)12a1a2，a2.綜上可知，a1或a2.角度3二次函數中的恒成立問題已知a是實數，函數f(x)2ax22x3在x1,1上恒小于零，則實數a的取值范圍為_由題意知2ax22x30在1,1上恒成立當x0時，適合；當x0時，a2.因為(，

9、11，)，當x1時，右邊取最小值，所以a.綜上，實數a的取值范圍是.規律方法1.二次函數最值問題應抓住“三點一軸”數形結合求解，三點是指區間兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸，結合配方法，用函數的單調性及分類討論的思想即可完成2由不等式恒成立求參數的取值范圍，常用分離參數法，轉化為求函數最值問題，其依據是af(x)af(x)max，af(x)af(x)min.冪函數的圖象與性質(1)冪函數yf(x)的圖象過點(4,2)，則冪函數yf(x)的圖象是()ABCD(2)已知冪函數f(x)xm22m3(mN*)的圖象關于y軸對稱，且在(0，)上是減函數，則m的值為_(1)C(2)1(1)令f(x)x，則

10、42，f(x)x.(2)f(x)在(0，)上是減函數，m22m30，解得1m3.又mN*，m1或m2.由于f(x)的圖象關于y軸對稱m22m3的值應為偶數，又當m2時，m22m3為奇數，m2舍去因此m1.規律方法1.冪函數的形式是yx(R)，其中只有一個參數，因此只需一個條件即可確定其解析式2若冪函數yx(R)是偶函數，則必為偶數當是分數時，一般將其先化為根式，再判斷3若冪函數yx在(0，)上單調遞增，則0，若在(0，)上單調遞減，則0.變式訓練2(1)設a0.5，b0.9，clog50.3，則a，b，c的大小關系是()AacbBcabCabcDbac(2)若(a1) (32a) ，則實數a的

11、取值范圍是_(1)D(2)(1)a0.50.25，b0.9，所以根據冪函數的性質知ba0，而clog50.30，所以bac.(2)易知函數yx的定義域為0，)，在定義域內為增函數，所以解得1a.思想與方法1二次函數的三種形式的選法(1)已知三個點的坐標時，宜用一般式(2)已知二次函數的頂點坐標或與對稱軸有關或與最大(小)值有關的量時，常使用頂點式(3)已知二次函數與x軸有兩個交點，且橫坐標已知時，選用零點式求f(x)更方便2研究二次函數的性質要注意(1)結合圖象分析；(2)含參數的二次函數，要進行分類討論3利用冪函數的單調性比較冪值大小的方法在比較冪值的大小時，必須結合冪值的特點，轉化為同指數

12、冪，再選擇適當的函數，借助其單調性進行比較4冪函數yx(R)圖象的特征>0時，圖象過原點和(1,1)，在第一象限的圖象上升；0時，圖象不過原點，在第一象限的圖象下降，反之也成立易錯與防范1對于函數yax2bxc，若是二次函數，就隱含著a0，當題目條件中未說明a0時，就要分a0，a0兩種情況討論2冪函數的圖象一定會出現在第一象限內，一定不會出現在第四象限，至于是否出現在第二、三象限內，要看函數的奇偶性；冪函數的圖象最多能同時出現在兩個象限內；如果冪函數圖象與坐標軸相交，則交點一定是原點課時分層訓練(七)二次函數與冪函數A組基礎達標(建議用時：30分鐘)一、選擇題1已知冪函數f(x)k

13、83;x的圖象過點，則k() 【導學號：31222040】A.B1C.D2C由冪函數的定義知k1.又f，所以，解得，從而k.2函數f(x)2x2mx3，當x2，)時，f(x)是增函數，當x(，2時，f(x)是減函數，則f(1)的值為()A3B13 C7D5B函數f(x)2x2mx3圖象的對稱軸為直線x，由函數f(x)的增減區間可知2，m8，即f(x)2x28x3，f(1)28313.3若冪函數y(m23m3)·xm2m2的圖象不過原點，則m的取值是()A1m2Bm1或m2Cm2Dm1B由冪函數性質可知m23m31，m2或m1.又冪函數圖象不過原點，m2m20，即1m2，m2或m1.4

14、已知函數yax2bxc，如果a>b>c且abc0，則它的圖象可能是() 【導學號：31222041】ABCDD由abc0，abc知a0，c0，則0，排除B，C.又f(0)c0，所以也排除A.5若函數f(x)x2axa在區間0,2上的最大值為1，則實數a等于()A1B1 C2D2B函數f(x)x2axa的圖象為開口向上的拋物線，函數的最大值在區間的端點取得f(0)a，f(2)43a，或解得a1.二、填空題6(2017·上海八校聯合測試改編)已知函數f(x)ax22ax1b(a0)若f(x)在2,3上的最大值為4，最小值為1，則a_，b_.10因為函數f(x)的對稱軸為x1，

15、又a0，所以f(x)在2,3上單調遞增，所以即解方程得a1，b0.7已知P2，Q3，R3，則P，Q，R的大小關系是_. 【導學號：31222042】PRQP23，根據函數yx3是R上的增函數且，得333，即PRQ.8對于任意實數x，函數f(x)(5a)x26xa5恒為正值，則a的取值范圍是_(4,4)由題意可得解得4<a<4.三、解答題9已知冪函數f(x)x(m2m)1(mN*)經過點(2，)，試確定m的值，并求滿足條件f(2a)f(a1)的實數a的取值范圍解冪函數f(x)經過點(2，)，2(m2m)1，即22(m2m)1，m2m2，解得m1或m2.4分又mN*，m1.f(x)x則

16、函數的定義域為0，)，并且在定義域上為增函數由f(2a)f(a1)，得10分解得1a.a的取值范圍為.12分10已知函數f(x)x2(2a1)x3，(1)當a2，x2,3時，求函數f(x)的值域；(2)若函數f(x)在1,3上的最大值為1，求實數a的值解(1)當a2時，f(x)x23x3，x2,3，對稱軸x2,3，2分f(x)minf3，f(x)maxf(3)15，值域為.5分(2)對稱軸為x.當1，即a時，f(x)maxf(3)6a3，6a31，即a滿足題意；8分當1，即a時，f(x)maxf(1)2a1，2a11，即a1滿足題意綜上可知a或1.12分B組能力提升(建議用時：15分鐘)1(2

17、017·江西九江一中期中)函數f(x)(m2m1)x4m9m51是冪函數，對任意的x1，x2(0，)，且x1x2，滿足0，若a，bR，且ab0，ab0，則f(a)f(b)的值() 【導學號：31222043】A恒大于0B恒小于0C等于0D無法判斷Af(x)(m2m1)x4m9m51是冪函數，m2m11，解得m2或m1.當m2時，指數4×292512 0150，滿足題意當m1時，指數4×(1)9(1)5140，不滿足題意，f(x)x2 015.冪函數f(x)x2 015是定義域R上的奇函數，且是增函數又a，bR，且ab0，ab，又ab0，不妨設b0，則ab0，f(a)f(b)0，又f(b)f(b)，f(a)f(b)，f(a)f(b)0.故選A.2設f(x)與g(x)是定義在同一區間a，b上的兩個函數，若函數yf(x)g(x)在xa，b上有兩個不同的零點，則稱f(x)和g(x)在a，b上是“關聯函數”，區間a，b稱為“關聯區間”若f(x)x23x4與g(x)2xm在0,3上是“關聯函數”，則m的取值范圍為_由題意知，yf(x)g(x)x25x4m在0,3上有兩個不同的零點在同一直角坐標系下作出函數ym與yx25x4(x0,3)的圖象如圖所示，結合圖象可知，當x2,3時，yx25x4，故當m時，函數ym與yx25x4(x0,3)的圖象有兩個交點3已知二