1、第 1 講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【考情解讀.1 1以圖象為載體，考查三角函數(shù)的最值、單調(diào)性、對稱性、周期性.2考查三角函數(shù)式的化簡、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、角的求值，重點考查分析、處理問題的能力，是高考 的必考點.主干知識梳理睛斥高考1 三角函數(shù)定義、同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式(1)定義：設(shè)a是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x, y)，則 sina=y, cosa=x, tana=X.各象限角的三角函數(shù)值的符號：一全正，二正弦，三正切，四余弦.同角關(guān)系：sin2a+cos2a=1 , Sa= tana.cosa誘導(dǎo)公式：在號+a,k Z 的誘導(dǎo)公式中“奇變偶不變，符號看象限”.三角函數(shù) 勺圖象及常

2、用性質(zhì)函數(shù)y= sin xy= tan x圖象y.y. I 1單調(diào)性在-n+2kn,n+2kn(k Z)上單調(diào)遞增；在才+ 2kn3n+2kn(k Z)上單調(diào)遞減在n+2kn ,2knZ)上 單調(diào)遞增；在2 kn, n+2knZ)上單調(diào)遞減/ 亠.n in在(-？+ k%+kn(k Z)上單調(diào)遞增對稱性對稱中心：(kn,0)(k Z);對稱軸：x=kn：k Z)n對稱中心：(-+ kn, 0)(k Z);對稱軸：x= kn：k Z)對稱中心：(羅，0)(k Z)3.三角函數(shù)的兩種常見變換向左護 0 或向右杯 0(1)y= sinx平移|屮個單位.橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膩A倍y= Sin(x+ 冊_縱坐

3、標(biāo)不變縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?A 倍y=sjn（3x+ 0）橫坐標(biāo)不變y=As in （x+（j）（A0, w0）.1橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?_倍（2）y=sin x縱坐標(biāo)不變向左護 0 或向右03答案(1)A(2)-3解析（1）設(shè) Q 點的坐標(biāo)為（x, y）,2n1. 2n3則 x= cos 亍=2, y= sin 亍=2 .Q點的坐標(biāo)為（一 2，于）.sina ina;tanasinacosa根據(jù)三角函數(shù)的定義,得 tana=y=3,x 4原式=-3.4思維升華（1）涉及與圓及角有關(guān)的函數(shù)建模問題（如鐘表、摩天輪、水車等），常常借助三角 函數(shù)的定義求解.應(yīng)用定義時，注意三角函數(shù)值僅與終邊位置有關(guān)， 與

4、終邊上點的位置無關(guān).熱點一三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系例 _ （1）點 P 從（1,0）出發(fā)，沿單位圓 x2+ y2= 1 逆時針方向運動 孰長到達 Q 點，則 Q 點的3坐標(biāo)為(A. ( 2,C. (2,)f) B . ( _23,2-于)D .( 23，5a的頂點與原已知角n,.cos 了 十a(chǎn)sin n a-9的值為11n.9ncos 2 asin$ 十a(chǎn)x 軸的正半軸重合，終邊上一點P（ 4,3），則思維啟迪（1）準(zhǔn)確把握三角函數(shù)的定利用三角函數(shù)定義和誘導(dǎo)公式.原式=縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?A 倍y=sln（+0）橫坐標(biāo)不變y=As in (x+(j)(A0, w0).（

5、2）應(yīng)用誘導(dǎo)公式時要弄清三角函數(shù)在各個象限內(nèi)的符號；利用同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡過程要遵循一定的原則，如切化弦、化異為同、化高為低、化繁為簡等.變武訓(xùn)隊 1如圖，以 ox 為始邊作角aoa0,cos 40,30，呻的部分圖象如圖所示,則將 y= f(x)的圖象n向右平移；個單位后，得到的圖象解析式為()67nQ的值為(35，(2)將零點個數(shù)轉(zhuǎn)換成函數(shù)圖象的交點個數(shù).答案(1)D(2)( 2, 1解析 (1)由圖知，A= 1 ,3T=琴, 故 T =n=2n,41263n所以3=2,又函數(shù)圖象過點(n,1),6代入解析式中，11j nj nj n得 sinQ + 妨=1，又 |訓(xùn) ,故(f)=-.

6、326nn則 f(x) = sin(2x+ 6)向右平移后，得到 y= sin2( x+=sin(2x 6),選 D.n由題意可知 y= 2sin(2x+ a ,該函數(shù)在0 , 2上有兩個不同的零點，即 y= a , y= 2sin(2x+在0 ,上有兩個不同的交占八、y用)-加y=a._A.L. J;JX,L/ .洛;八殲弋 A ; J37結(jié)合函數(shù)的圖象可知 1 a2 ,所以一 2a0 ,30)的圖象求解析式時，常采用待定系數(shù)法，由圖中的最高點、最低點或特殊點求A;由函數(shù)的周期確定3；確定$常根據(jù)“五點法”中的五個點求解，其中一般把第一個零點作為突破口，可以從圖象的升降找準(zhǔn)第一個零點的位置.

7、(2)在圖象變換過程中務(wù)必分清是先相位變換，還是先周期變換.變換只是相對于其中的自變 量 x 而言的，如果 x 的系數(shù)不是 1,就要把這個系數(shù)提取后再確定變換的單位長度和方向.I： U(1)(2014 西省重點中學(xué)高三聯(lián)考)如圖，函數(shù) f(x)= Asinx+妨(其中 A0,30 ,WS與坐標(biāo)軸的三個交點 P、Q、R 滿足 P(2,0) , / PQR =n，M 為 QR 的中點，PM= 2 5 , 則 A 的值為( )C. 8 D. 16若將函數(shù) y=tanx+0)的圖象向右平移個單位長度后，與函數(shù)y=tan( cox+津的圖象重合，則3的最小正值為()11A. B64J 1C. D.-32

8、答案(1)B(2)D解析(1)由題意設(shè) Q(a,O), R(0, - a)(a0).則 M(|, |)，由兩點間距離公式得，PM = 2 |2+ |2= 2 5，解得 a= 8,由此得，寸=8 2 = 6，即 T= 12，故3=6,n由 P(2,0)得 片一 3,代入 f(x)=Asin(3X+冊得，f(x) = Asin (&x 3),從而 f(0) = Asin( *= 8,3(2)y=tan(3x+的圖象向右平移 才，得到 y=tan(+才一*)的圖象，與 y=tan(3x+重合, 得/36n=kn+n故3=6k+2,kZ,46623的最小正值為 J熱點三三角函數(shù)的性質(zhì)【例 3

9、設(shè)函數(shù) f(x)= 2cos2x+ sin 2x+ a(a R).(1) 求函數(shù) f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；n當(dāng) x 0, Q 時，f(x)的最大值為 2，求 a 的值，并求出 y= f(x)(x R)的對稱軸方程.思維啟迪先化簡函數(shù)解析式，然后研究函數(shù)性質(zhì)(可結(jié)合函數(shù)簡圖).解(1)f(x)= 2cos2x+ sin 2x+ a = 1 + cos 2x+ sin 2x+ a= . 2sin(2x+4)+ 1 + a,則 f(x)的最小正周期 T =牛n,n nn3n且當(dāng) 2kn -2x+；W2kn+-(kZ)時 f(x)單調(diào)遞增，即 kn；亦 x0)的最小正周期為n.(1) 求函

10、數(shù) f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2) 將函數(shù) f(x)的圖象向左平移 6 個單位長度，再向上平移1 個單位長度，得到函數(shù)y=g(x)的圖象；若 y= g(x)在0, b(b0)上至少含有 10 個零點，求 b 的最小值.解由題意得：f(x)=2sinaxcoswx+2 3sin2Wx-3一n=sin 2wx3cos 2wx=2sin(2wx-),函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為 2kn2x2kn+n, k Z ,整理得 knx0, w0)的圖象求解析式y(tǒng)max ymin(1)A =2由周期為nymax+ymi2n由函數(shù)的周期 T 求3, 3=.(3)利用與“五點法”中相對應(yīng)的特殊點求3 .函數(shù) y= Asin(

11、3x+妨的對稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點或最低點.4 .求三角函數(shù)式最值的方法(1)將三角函數(shù)式化為 y= Asin(3x+ B 的形式，進而結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解.(2)將三角函數(shù)式化為關(guān)于sin x, cos x 的二次函數(shù)的形式，進而借助二次函數(shù)的性質(zhì)求解.5特別提醒進行三角函數(shù)的圖象變換時，要注意無論進行什么樣的變換都是變換變量本身.真題與押題滇題感悟】nn.1 . (2014 寧)將函數(shù) y= 3sin(2x+ 3)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)( )n7nA.在區(qū)間正，12】上單調(diào)遞減n7nB 在區(qū)間石，石上單調(diào)遞增C.在區(qū)間n n上單調(diào)遞減n nD在區(qū)間6，3上單調(diào)遞增

12、 答案 B I nJ nJ n j n2解析 y= 3sin(2x+ 3)的圖象向右平移個單位長度得到y(tǒng)= 3sin2(x ?)+ 3 = 3sin(2x 3R.2nn72令 2kn-w2x-亦 2knt+2，kZ，得 kn+石wx0，30).右 f(x)在區(qū)間 & 2區(qū)間為knt+令 k= 0 得其中一個增區(qū)間為答案n.T、n n 廬- - ,2 2 6-T2n-fn又 fn17n n n-4T=77T 3=T=n.押題精練】1.函數(shù) f(x)= 2si n(3x+ 0)(30)的部分圖象如圖，其中M(m,0), N(n,2), P(n,0)，且 mn 0,則 f(x)在下列哪個區(qū)間

13、中是單調(diào)的()nn2nA. (0,4)B.(n，亍n3n2n、C.(2,4)D.(3, n答案B解析rmn0),直線 x= xi, x= x2是 y = f(x)圖象的任 意兩條對稱軸，且|X1X21 的最小值為n(1)求 f(x)的表達式；將函數(shù) f(x)的圖象向右平移 8 個單位長度后，再將得到的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的上具有單調(diào)性，且 吋=f 2 =fn， 貝 yf(x)的解析 / f(x)在n6,上具有單調(diào)性, f(x)的一條對稱軸為n2n2+亍7_n12. f(x)的一個對n nH26=n2=3.n2 倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y= g(x)的圖象，若關(guān)于 x 的方程 g(x)

14、+ k= 0 在區(qū)間0, ?上有且只有一個實數(shù)解，求實數(shù)k 的取值范圍.1.1+cos 2x3解(1)f(x)=gsin 2 x+3X213n=尹n 2 x+ycos 2x=si n(2 x+3),由題意知，最小正周期T= 2Xn=n,T = 22-n= =n,所以3=2, f(x)= sin2w 2n.(2)將 f(x)的圖象向右平移孑個單位長度后,8再將所得圖象所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的n得到 尸 sin(2xn)的圖象.所以 g(x)= sin(2x亦.6nn令 2x= t, / 0 x62ng(x) + k= 0 在區(qū)間0, 2】上有且只有一個實數(shù)解,_n5n即函數(shù) g(t)= sin

15、 t 與 y= k 在區(qū)間6，上有且只有一個交點.如圖,1 1由正弦函數(shù)的圖象可知一 2 三k2 或 k= 1. -k0 且詢勺在區(qū)間怎，亍上單調(diào)遞減，且函數(shù)值從1 減小到1，那么此函數(shù)圖象與 y 軸交點的縱坐標(biāo)為（）答案 A解析 依題意知 2 =尹n二 T = n3=2,將點（n1）代入 y = sin（2x+妨得 si門（才+妨n nn1=1，又wi0, 30，胡$）在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，M,N 分別是這段圖象的最高點與最低點，且（DM 品=0,則 A3等于（）61263答案 C解析由題中圖象知T=扌一:n，所以 T= n,所以3=2.則M:n，A,N尋,A7t7t6.已知 A, B

16、, C, D,冗E 是函數(shù) y= sin(ox+枷30,00 , 0 石)一個周期內(nèi)的圖象上的五個點，A(6,0), B 為 y 軸上的點，C 為圖象上的最低點，E 為該函數(shù)圖象的一個對稱中心，B與 D 關(guān)于點 E 對稱，CD 在 x 軸上的投影為，所以 T = 4X聒+n= n所以3=2, 因為A(n0)，所以f(n=sin(n+$)=0,0 席，$=n、填空題由 OM ON = 0，得甥=A2， 所以A= 鶴,所以 A3=吟nn5.已知函數(shù) f(x)= sin(2x+妨，其中Mn若 f(x)w|f(g)l 對 x R 恒成立，且 f(2)f(nC.f(x)是奇函數(shù)nnD . f(x)的單調(diào)

17、遞增區(qū)間是kn3, kn+6】(k Z)答案 D解析 由 f(x)w氏(舟恒成立知 x=n；是函數(shù)的對稱軸，即 2xn+ $=n+ knk Z,所以$=n+ 6 6 6 2 6nnknk Z,又 f(2)f(n,所以 sin( n si n(2n+$)，即sin $0,得(j)=石,n即 f(x) = sin(2x+石), nn n由一才+ 2kn0, 30,|00)和 g(x) = 3cos(2x+0)的圖象的對稱中心完全相同，若nx 0 , ?，貝 U f(x)的取值范圍是 _ .答案2, 3解析 由兩三角函數(shù)圖象的對稱中心完全相同，可知兩函數(shù)的周期相同，故3=2，所以 f(x)=3si

18、n(2xn，那么當(dāng) x 0,n時，n2xn即1n3所以一 2sin(2x 6) 1,故 f(x) ?, 3.10.給出命題：函數(shù) y= 2si門(扌一 x) cos(n+x)(x R)的最小值等于一 1;函數(shù) y= sin nccosnnnc 是最小正周期為 2 的奇函數(shù)；函數(shù) y= sin(x+ 4)在區(qū)間0運上單調(diào)遞增的；若 sin 2a0,COSaSina0，則a定為第二象限角.則真命題的序號是 _ .答案_nn解析 對于，函數(shù) y= 2si門紜一 x) cos(g+ x)=sin (3 x),所以其最小值為一 1；31對于，函數(shù) y= sinixcosnx= ?sin 2nx 是奇函數(shù)

19、，但其最小正周期為1 ； InJnJnjn對于，函數(shù) y= sin(x+才)在區(qū)間0, 4上單調(diào)遞增，在區(qū)間玄，上單調(diào)遞減；sin 2a0亠對于，由？cosa0,所以a定為第二象限角.cosasina0,x( m,m),0林n在 x=乜時取得最大值 4.(1) 求 f(x)的最小正周期；(2) 求 f(x)的解析式；右 f(a+12)= y，求sina.解析觀察圖象可知,A=1,T= n - 3=2,f(x)=sin(2x+ 0 .將(-6,0)代入上式得sin(-3+0)=o,由已知得nn0=3,故 f(x)=sin(2x+3).函數(shù)圖象的對稱軸為x=n , n+ _632n12.n=sin(2X6+3)=2n解(1)f(x)的最小正周期 T =-.3由函數(shù)的最大值為4,可得 A = 4.所以 f(x)= 4sin(3x+ 妨.當(dāng)x=話時