1、會計學1對稱對稱(duchn)矩陣的對角化矩陣的對角化第一頁，共15頁。1、定理5對稱(duchn)矩陣的特征值為實數.一、對稱一、對稱(duchn)矩矩陣的性質陣的性質說明(shumng)：本節(jié)所提到的對稱矩陣，均指實對稱矩陣.實向量實向量從而對應的特征向量為從而對應的特征向量為., 21212121正交正交與與則則若若是對應的特征向量是對應的特征向量的兩個特征值的兩個特征值是對稱矩陣是對稱矩陣設設ppppA 2、定理6.,), 5 , 4(,)3 , 1 , 1(, 21aaATT求求征值的特征向量征值的特征向量分別為對應兩個相異特分別為對應兩個相異特為實對稱矩陣為實對稱矩陣設設例例 第1

2、頁/共14頁第二頁，共15頁。. , 1對對角角元元素素的的對對角角矩矩陣陣個個特特征征值值為為的的是是以以其其中中使使則則必必有有正正交交矩矩陣陣階階對對稱稱矩矩陣陣為為設設nAAPPPnA 4、定理7. ,)( , , 個線性無關的特征向量個線性無關的特征向量恰有恰有對應特征值對應特征值從而從而的秩的秩則矩陣則矩陣重根重根的特征方程的的特征方程的是是階對稱矩陣階對稱矩陣為為設設rrnEAREArAnA 3、第2頁/共14頁第三頁，共15頁。利用正交矩陣將對稱矩陣化為對角(du jio)矩陣的步驟為：二、利用正交矩陣二、利用正交矩陣(j zhn)將對稱矩將對稱矩陣陣(j zhn)對角化對角化

3、; , 121nA 的特征值的特征值、求、求;,)(,221niiPPPxEA得得再正交單位化再正交單位化解系解系的基礎的基礎求出求出、對每個特征值、對每個特征值 , ),(321nPPPP 、寫出正交矩陣、寫出正交矩陣. ),( 211nTdiagAPPAPP 則有則有第3頁/共14頁第四頁，共15頁。解 20212022EA 214 0 . 2, 1, 4321 得得,020212022 A例1 設實對稱矩陣 求正交矩陣 P，使 為對角陣.APP1 第4頁/共14頁第五頁，共15頁。,)4(,41 xEA解方程組解方程組對對 4202320224EA得基礎解系 ,)1,2,2(1T ,)(

4、,12 xEA解方程組解方程組對對得基礎解系,)2, 1 ,2(2T 000210201單位化，得,)1,2,2(311TP 單位化，得,)2, 1 ,2(312TP 第5頁/共14頁第六頁，共15頁。,)2(,23 xEA解解方方程程組組對對得基礎解系,)2,2, 1(3T 單位化，得,)2,2, 1(312TP ,22121212231,321 PPPP作作.200010004,1 APPP且有且有為正交矩陣為正交矩陣則則第6頁/共14頁第七頁，共15頁。解 542452222EA 01012 . 1,10321 得得,542452222 A例2 設實對稱矩陣 求正交矩陣 P，使 為對角陣

5、.APP1 第7頁/共14頁第八頁，共15頁。 得得基基礎礎解解系系由由對對,10,101 xEA,)2,2, 1(1T 單位化，得,)2,2, 1(311TP 得得基基礎礎解解系系由由對對, 132 xEA,)1 ,0,2(,)0, 1 ,2(32TT 單位(dnwi)化，得正交化，得,)5,4,2(51,)0, 1 ,2(32TTbb ,)5,4,2(531,)0, 1 ,2(5132TTPP 第8頁/共14頁第九頁，共15頁。于是(ysh)得正交陣 53503253451325325231,321PPPP.1000100010,1 APPP且有且有為正交矩陣為正交矩陣則則第9頁/共14頁

6、第十頁，共15頁。例3.,122212221kAA求求已知已知 第10頁/共14頁第十一頁，共15頁。1.對稱(duchn)矩陣的性質：三、小結三、小結(xioji)(1) 特征值為實數；(2) 屬于不同特征值的特征向量正交；(3) 必存在正交矩陣，將其化為對角矩陣，且 對角矩陣對角元素即為特征值(4) 特征值的重數(zhn sh)和與之對應的線性無關的特征向量的個數相等；第11頁/共14頁第十二頁，共15頁。2.利用(lyng)正交矩陣將對稱陣化為對角陣的步驟：(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)將特征向量正交化；(4)最后(zuhu)單位化第12頁/共14頁第十三頁，共15頁。 .2d

7、et, 2的值的值試求行列式試求行列式的秩為的秩為且且滿足滿足階實對稱矩陣階實對稱矩陣設設AErAAAAn 思考題思考題使得使得故存在可逆陣故存在可逆陣且秩為且秩為陣陣是實對稱是實對稱又又或或的特征值為的特征值為可得可得由由, 01 2PrAAAA 解解., 1階單位陣階單位陣是是其中其中rEOOOEAPPrr )2det()2det( 11 PPPPAE 從而從而)2det( E rnrEE200det.2rn 第13頁/共14頁第十四頁，共15頁。NoImage內容(nirng)總結會計學。說明：本節(jié)所提到的對稱矩陣，均指實對稱矩陣。利用正交矩陣將對稱矩陣化為對角矩陣的步驟為：。二、利用正交矩陣將對稱矩陣對角化