1、二、固體物理學(xué)的發(fā)展 現(xiàn)代固體物理學(xué)大致建立于本世紀(jì)三十年代，在此之前，已經(jīng)在下述四個(gè)方面為固體物理學(xué)的創(chuàng)建作了準(zhǔn)備： 1、有悠久歷史的晶體學(xué)的研究 2、固體比熱理論的建立 3、關(guān)于金屬導(dǎo)電的自由電子理論 4、關(guān)于鐵磁性的研究 三、主要內(nèi)容 固體物理是研究晶體結(jié)構(gòu)和晶體中原子、電子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的學(xué)科。 不能根據(jù)固體的外形特點(diǎn)來判斷一種固體是否是晶體，應(yīng)當(dāng)根據(jù)固體內(nèi)部原子排列的規(guī)律性來判斷一種固體是否是晶體。若一種固體在微觀大范圍內(nèi)（微米數(shù)量級(jí)）原子的排列是有規(guī)律的、周期性的則稱為晶體，反之則不是晶體。 晶體有單晶和多晶之分，若將晶體分晶體有單晶和多晶之分，若將晶體分裂成尺寸為微米數(shù)量級(jí)的顆粒，這些

2、顆裂成尺寸為微米數(shù)量級(jí)的顆粒，這些顆粒稱為晶粒。粒稱為晶粒。 在晶粒內(nèi)部原子的排列是有一定規(guī)律在晶粒內(nèi)部原子的排列是有一定規(guī)律的，晶粒之間的排列是混亂的，這樣的的，晶粒之間的排列是混亂的，這樣的晶體稱之為多晶體。晶體稱之為多晶體。 若整個(gè)晶體中原子的排列是遵守同一若整個(gè)晶體中原子的排列是遵守同一規(guī)律，這種晶體稱為單晶體。規(guī)律，這種晶體稱為單晶體。 晶體是由相同的結(jié)構(gòu)單元組成晶體是由相同的結(jié)構(gòu)單元組成的，固體物理研究的對(duì)象是理想晶的，固體物理研究的對(duì)象是理想晶體，即在晶體中原子的排列遵從完體，即在晶體中原子的排列遵從完全的嚴(yán)格的周期性。全的嚴(yán)格的周期性。 晶體內(nèi)部原子的排列在任何地晶體內(nèi)部原子的

3、排列在任何地方都不會(huì)破壞它的周期性。若某方都不會(huì)破壞它的周期性。若某個(gè)原子的位置與周期性發(fā)生了偏個(gè)原子的位置與周期性發(fā)生了偏離就稱為缺陷，這也就是說，理離就稱為缺陷，這也就是說，理想晶體是無缺陷、雜質(zhì)的完整晶想晶體是無缺陷、雜質(zhì)的完整晶體。體。 理想晶體在各處應(yīng)遵從同一的理想晶體在各處應(yīng)遵從同一的周期性，即在邊界上的原子也應(yīng)周期性，即在邊界上的原子也應(yīng)有這樣的周期性。但實(shí)際晶體邊有這樣的周期性。但實(shí)際晶體邊界上的原子與內(nèi)部原子的周期性界上的原子與內(nèi)部原子的周期性是不一樣的。因此理想晶體應(yīng)該是不一樣的。因此理想晶體應(yīng)該是無邊界的其周期性是無限延伸是無邊界的其周期性是無限延伸的，不會(huì)在任何地方終止

4、。的，不會(huì)在任何地方終止。 只有充分研究了理想晶體只有充分研究了理想晶體以后，才能研究晶體的缺陷、以后，才能研究晶體的缺陷、雜質(zhì)以及非晶體等。我們這門雜質(zhì)以及非晶體等。我們這門課所研究的對(duì)象是理想晶體。課所研究的對(duì)象是理想晶體。1.基特爾著 科學(xué)出版社固體物理學(xué)導(dǎo)論（第五版）中譯本 2. 黃 昆原著，韓汝琦改編固體物理學(xué) 高教出版社3.顧秉林 王喜坤編固體物理學(xué) 清華大學(xué)出版社4.陳 洗編固體物理基礎(chǔ)華中理工大學(xué)出版社5.劉友之等編固體物理習(xí)題指導(dǎo)書6.Ashcroft et. al “ solid state Physics”.原子的周期性列陣原子的周期性列陣 1.1.點(diǎn)陣和基元點(diǎn)陣和基元

5、晶體就是原子或原子團(tuán)在三維空間無限地排晶體就是原子或原子團(tuán)在三維空間無限地排列起來的列陣。它的基本特點(diǎn)就是原子或原子列起來的列陣。它的基本特點(diǎn)就是原子或原子團(tuán)排列的周期性。從這個(gè)意義上來講，晶體結(jié)團(tuán)排列的周期性。從這個(gè)意義上來講，晶體結(jié)構(gòu)實(shí)際上就是周期結(jié)構(gòu)。固體物理的研究對(duì)象構(gòu)實(shí)際上就是周期結(jié)構(gòu)。固體物理的研究對(duì)象是周期結(jié)構(gòu)，怎樣分析和處理一個(gè)周期結(jié)構(gòu)就是周期結(jié)構(gòu)，怎樣分析和處理一個(gè)周期結(jié)構(gòu)就是本章要解決的問題。是本章要解決的問題。 若有一個(gè)由五角星排列成的二維周期結(jié)構(gòu)：若有一個(gè)由五角星排列成的二維周期結(jié)構(gòu)： 點(diǎn)陣是周期結(jié)構(gòu)中等同點(diǎn)的幾何抽象，點(diǎn)陣所描寫的或所代表的僅僅是晶體結(jié)構(gòu)的周期性質(zhì),點(diǎn)

6、陣并不同于周期結(jié)構(gòu)本身，只有把物理實(shí)體以相同的方式放置在點(diǎn)陣的陣點(diǎn)上（方位要相同）才能形成周期結(jié)構(gòu)。 現(xiàn)在我們回到晶體結(jié)構(gòu)的研究上來，現(xiàn)在我們回到晶體結(jié)構(gòu)的研究上來，若有一個(gè)二維的晶體結(jié)構(gòu)是由下列原子若有一個(gè)二維的晶體結(jié)構(gòu)是由下列原子團(tuán)重復(fù)堆積而成：團(tuán)重復(fù)堆積而成： 基元就是構(gòu)成晶體結(jié)構(gòu)的原子或原子團(tuán)，基元以相同的形式排列在空間就構(gòu)成了晶體結(jié)構(gòu)，基元可以是一個(gè)原子，也可以是成千上萬個(gè)原子或原子團(tuán)以及分子組成的。 點(diǎn)陣是在空間規(guī)則地排列著的點(diǎn)的列陣。它是晶體結(jié)構(gòu)中等同點(diǎn)的幾何抽象，從點(diǎn)陣中的任一個(gè)陣點(diǎn)去觀察，周圍的陣點(diǎn)的分布情況和方位是一樣的。 點(diǎn)陣是為了描寫晶體結(jié)構(gòu)的周期性從具體晶體中抽象出來

7、的一系列規(guī)則排列的點(diǎn)的列陣，基元是組成晶體的具體的原子或原子團(tuán)，是實(shí)實(shí)在在的物理實(shí)體，基元以相同的方式，即在點(diǎn)陣的陣點(diǎn)上進(jìn)行重復(fù)才能得到晶體結(jié)構(gòu)，這可以歸納為一個(gè)公式： 點(diǎn)陣 基元 晶體結(jié)構(gòu)2.點(diǎn)陣平移矢量點(diǎn)陣平移矢量 若有一個(gè)二維晶體如下圖：若有一個(gè)二維晶體如下圖： 為了描寫一個(gè)點(diǎn)陣，在二維情況為了描寫一個(gè)點(diǎn)陣，在二維情況下可以選取任意兩個(gè)不共線的基本下可以選取任意兩個(gè)不共線的基本矢量，由這兩個(gè)基本矢量的整倍數(shù)矢量，由這兩個(gè)基本矢量的整倍數(shù)的和可以確定點(diǎn)陣中任意一個(gè)陣點(diǎn)的和可以確定點(diǎn)陣中任意一個(gè)陣點(diǎn)的坐標(biāo)的坐標(biāo) （或點(diǎn)陣矢量）：（或點(diǎn)陣矢量）： R = ua + vb (u、 v 為整數(shù)）為

8、整數(shù)） 這兩個(gè)基本矢量這兩個(gè)基本矢量a、b就叫作這就叫作這個(gè)點(diǎn)陣的初基平移矢量，簡(jiǎn)稱基矢。個(gè)點(diǎn)陣的初基平移矢量，簡(jiǎn)稱基矢。b3a6b5b2b1a3a4b4b6a5a2a1 對(duì)于一個(gè)三維點(diǎn)陣，我們可對(duì)于一個(gè)三維點(diǎn)陣，我們可以選取不共面的三個(gè)矢量，由以選取不共面的三個(gè)矢量，由這三個(gè)矢量整數(shù)倍的線性組合這三個(gè)矢量整數(shù)倍的線性組合會(huì)確定點(diǎn)陣中任一點(diǎn)的位置即：會(huì)確定點(diǎn)陣中任一點(diǎn)的位置即： R = ua + vb +wc其中其中u、v、w為整數(shù)。為整數(shù)。 晶體中等同點(diǎn)的排列稱之為布拉菲點(diǎn)陣（Bravais lattice），是晶體中基元排列周期性的一種數(shù)學(xué)抽象。 一個(gè)三維的布拉菲點(diǎn)陣可以這樣來定義：即由點(diǎn)

9、陣平移矢量 R = ua +vb +wc聯(lián)系起來的諸點(diǎn)的列陣其中u、v、w為整數(shù)，a、b、c為不共面的三條基矢。3.3.基元和點(diǎn)陣的初基晶胞基元和點(diǎn)陣的初基晶胞 各原子的位置用基元中各原子各原子的位置用基元中各原子相對(duì)于陣點(diǎn)的相對(duì)坐標(biāo)來表示。相對(duì)于陣點(diǎn)的相對(duì)坐標(biāo)來表示。基元中第基元中第 j j個(gè)個(gè)原子的坐標(biāo)為：原子的坐標(biāo)為： r = x a + y b + z cr = x a + y b + z c其中其中 0 x 0 x 、y y 、z 1z 1 組成晶體的最小體積單元稱為組成晶體的最小體積單元稱為初基晶胞初基晶胞，將初基晶胞平移所有，將初基晶胞平移所有點(diǎn)陣平移矢量，初基晶胞必然會(huì)點(diǎn)陣平移

10、矢量，初基晶胞必然會(huì)填滿整個(gè)空間既不會(huì)留下空隙，填滿整個(gè)空間既不會(huì)留下空隙，也不會(huì)自身重疊。也不會(huì)自身重疊。例如有一個(gè)二維晶體如下圖:b32非初級(jí)晶胞非初級(jí)晶胞初級(jí)晶胞初級(jí)晶胞123ba41a 由基矢構(gòu)成的平行六面體由基矢構(gòu)成的平行六面體必定是初基晶胞，每個(gè)初基必定是初基晶胞，每個(gè)初基晶胞中必定只包含一個(gè)陣點(diǎn)。晶胞中必定只包含一個(gè)陣點(diǎn)。 對(duì)于一個(gè)點(diǎn)陣，初基晶胞的選取不是唯一的，無論初基晶胞的形狀如何，初基晶胞的體積是唯一的，體積就等于基矢構(gòu)成的平行六面體的體積： V = （a b）. c 晶體可以看成是一些相同的積木晶體可以看成是一些相同的積木塊堆積起來的。這些積木塊往往是塊堆積起來的。這些積

11、木塊往往是一些體積單元，稱之為晶胞。組成一些體積單元，稱之為晶胞。組成晶體的最小的體積單元稱之為初基晶體的最小的體積單元稱之為初基晶胞。將初基晶胞平移所有的點(diǎn)陣晶胞。將初基晶胞平移所有的點(diǎn)陣平移矢量，初基晶胞必然會(huì)填滿整平移矢量，初基晶胞必然會(huì)填滿整個(gè)空間，既不會(huì)留下縫隙、也不會(huì)個(gè)空間，既不會(huì)留下縫隙、也不會(huì)自身重疊。自身重疊。 根據(jù)初基晶胞的定義，由基根據(jù)初基晶胞的定義，由基矢組成的平行六面體必定是初基矢組成的平行六面體必定是初基晶胞（在二維情況下是一個(gè)平行晶胞（在二維情況下是一個(gè)平行四邊形），初基晶胞必定只包含四邊形），初基晶胞必定只包含一個(gè)陣點(diǎn)一個(gè)陣點(diǎn) 對(duì)于一個(gè)點(diǎn)陣，初基晶胞的選取對(duì)于一

12、個(gè)點(diǎn)陣，初基晶胞的選取不是唯一的（因?yàn)榛傅倪x取就不不是唯一的（因?yàn)榛傅倪x取就不止一種，因而晶胞的選取也不止一止一種，因而晶胞的選取也不止一種），無論初基晶胞的形狀如何，種），無論初基晶胞的形狀如何，初基晶胞的體積是唯一確定的，初初基晶胞的體積是唯一確定的，初基晶胞的體積就等于基矢構(gòu)成的平基晶胞的體積就等于基矢構(gòu)成的平行六面體的體積。行六面體的體積。 初基晶胞和基元是兩個(gè) 完全不同的概念，初基晶胞是一個(gè)體積單元，而基元是具體的原子或原子團(tuán)，是一個(gè)結(jié)構(gòu)單元。一個(gè)初基晶胞只包含一個(gè)陣點(diǎn)，也就是說一個(gè)初基晶胞中只有一個(gè)基元。 我們今后還有一種常見的晶胞叫做維格喇賽斯晶胞，它是這樣來構(gòu)成的：（1）把

13、某個(gè)陣點(diǎn)同所有與它相鄰的陣點(diǎn)用直線連接起來。（2）在這些連線的中點(diǎn)處做垂直面（二維情況下做垂直線），這些垂直面（或垂直線）所圍成的最小體積（或最小面積）就稱作維格喇賽斯晶胞（簡(jiǎn)稱為晶胞）。 W-SW-S晶胞是一個(gè)初基晶胞，也晶胞是一個(gè)初基晶胞，也就是說，把這個(gè)晶胞平移所有點(diǎn)就是說，把這個(gè)晶胞平移所有點(diǎn)陣平移矢量，它會(huì)填滿整個(gè)空間，陣平移矢量，它會(huì)填滿整個(gè)空間，既不會(huì)留下縫隙，也不會(huì)自身重既不會(huì)留下縫隙，也不會(huì)自身重疊。疊。 W-S晶胞是一個(gè)初基晶胞，它的對(duì)稱性可以反映出整個(gè)晶體的對(duì)稱性，是一種非常重要的晶胞。(如下圖)w-s 晶胞 下面我們以二維蜂巢狀網(wǎng)絡(luò)作為一個(gè)例子，來看它的基矢、布拉菲點(diǎn)陣

14、、初基晶胞以及W-S晶胞等2. 點(diǎn)陣的基本類型 1. 對(duì)稱操作 布拉菲點(diǎn)陣有一些基本性質(zhì)，對(duì)稱性是其基本性質(zhì)之一。點(diǎn)陣的類型是由點(diǎn)陣的對(duì)稱性來區(qū)分的。 所謂點(diǎn)陣的對(duì)稱操作是這樣一種運(yùn)動(dòng)或動(dòng)作，將點(diǎn)陣經(jīng)過這樣一種操作后，點(diǎn)陣中的所有陣點(diǎn)都會(huì)落到操作前的等價(jià)點(diǎn)上，這種操作的結(jié)果是把點(diǎn)陣引入到與原始狀態(tài)完全等價(jià)的構(gòu)型上。對(duì)稱操作通常包括兩大類：平移對(duì)稱操作點(diǎn)對(duì)稱操作平移對(duì)稱操作： 把點(diǎn)陣或晶體平移點(diǎn)陣矢量群中的任一矢量的操作稱之為平移對(duì)稱操作。經(jīng)過這種操作點(diǎn)陣（或晶體）自身是還原的，這種性質(zhì)稱為平移對(duì)稱性。點(diǎn)對(duì)稱操作： 在操作的過程中點(diǎn)陣或晶體中至少有一個(gè)點(diǎn)是保持不動(dòng)的，這種操作稱為點(diǎn)對(duì)稱操作。同樣

15、，經(jīng)過點(diǎn)對(duì)稱操作，點(diǎn)陣或晶體也觀察不到任何變化。點(diǎn)對(duì)稱操作主要分以下幾類：（1）轉(zhuǎn)動(dòng) 將點(diǎn)陣（或晶體）繞通過某一定點(diǎn)的軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，如果，每轉(zhuǎn)動(dòng)2/點(diǎn)陣都是自身還原的，則相應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)軸，我們稱之為重轉(zhuǎn)動(dòng)軸。轉(zhuǎn)動(dòng)軸的符號(hào)用1、2、3、4、6表示。（2）鏡面反映 若一個(gè)點(diǎn)陣以通過某一定點(diǎn)的平面為鏡面，將點(diǎn)陣反映為它的鏡象，點(diǎn)陣是自身還原的，這種對(duì)稱性稱為鏡面對(duì)稱性，這種操作稱為鏡面對(duì)稱操作。通常用符號(hào)或表示。（3）中心反演 通過某一定點(diǎn)的直線為軸，將點(diǎn)陣或晶體先轉(zhuǎn)動(dòng)1800 ，然后通過過這一定點(diǎn)而垂直于旋轉(zhuǎn)軸的平面再作鏡面反映的操作稱為中心反演。這樣的操作效果相當(dāng)于把（，）變成為（，z）。原點(diǎn)O稱為對(duì)

16、稱心，中心反演一般用表示。（）轉(zhuǎn)動(dòng)反演 通過過某定點(diǎn)的軸把點(diǎn)陣先轉(zhuǎn)動(dòng)2/，再進(jìn)行中心反演，相應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)軸稱為重轉(zhuǎn)動(dòng)反演軸，用符號(hào)表示，只可能取1、2、3、4、6。（）轉(zhuǎn)動(dòng)反映 繞通過某一定點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸將點(diǎn)陣先轉(zhuǎn)動(dòng)2/，接著對(duì)垂直于轉(zhuǎn)軸的平面作鏡面反映。 轉(zhuǎn)動(dòng)軸、對(duì)稱心、鏡面等這些幾何元素，即進(jìn)行對(duì)稱操作所依靠的幾何元素稱為對(duì)稱元素。 對(duì)稱操作是一種運(yùn)動(dòng)、是一種動(dòng)作，只有當(dāng)晶體存在對(duì)稱元素時(shí)才能進(jìn)行對(duì)稱操作，對(duì)稱操作只有與對(duì)稱元素相聯(lián)系才可能進(jìn)行，它們是相互關(guān)聯(lián)的，對(duì)稱元素的存在只有依靠對(duì)稱操作才能證實(shí)。點(diǎn)陣（或晶體）中的對(duì)稱元素：（）轉(zhuǎn)動(dòng)軸： 1、2、3、4、6（）轉(zhuǎn)動(dòng)反演： 4（）對(duì)稱心： （）鏡

17、面： 一種點(diǎn)陣可以同時(shí)存在若干種對(duì)稱元素。對(duì)稱操作的一種特定的組合方式叫做點(diǎn)群。點(diǎn)群在“群論”中有嚴(yán)格的定義，點(diǎn)群代表的是點(diǎn)陣或晶體的對(duì)稱性，也就是點(diǎn)陣或晶體能進(jìn)行什么樣的對(duì)稱操作。立方晶系的對(duì)稱性（對(duì)稱操作）：對(duì)稱元素：（1）有3個(gè)相互垂直的四重軸，繞這些四重軸將點(diǎn)陣轉(zhuǎn)/2，點(diǎn)陣是自身還原的，通常把四重軸叫做立方軸，它通過立方體的中心點(diǎn)，記作4。（2）有4個(gè)三重軸，即體對(duì)角線的連線，點(diǎn)陣或晶體轉(zhuǎn)動(dòng)2/3是自身還原的，記作3。（3）有6個(gè)二重軸，即立方體的一個(gè)邊的中點(diǎn)到對(duì)面的另一條對(duì)邊中點(diǎn)的連線，繞這樣的軸每轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)陣是自身還原的，記作2。（4） 有一個(gè)對(duì)稱心，作中心反演點(diǎn)陣自身是還原的，記作

18、。立方晶體的對(duì)稱操作： 有一個(gè)4重軸就會(huì)有3種對(duì)稱操作：/2、3/2（ 2另外考慮） 共有3個(gè)4重軸共有 339種對(duì)稱操作。 有一個(gè)3重軸就會(huì)有兩種對(duì)稱操作 2/3、4/3 （2另外考慮） 共有4個(gè)3重軸一共有 428種對(duì)稱操作。 有一個(gè)2重軸就會(huì)有一種對(duì)稱操作 （2另外考慮）共有6個(gè)2重軸就會(huì)有：616種對(duì)稱操作。 所有的轉(zhuǎn)動(dòng)2算一種對(duì)稱操作。 因此立方晶體的純轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱操作有： 986124種。 每一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱操作再作中心反演還是對(duì)稱操作（由于立方晶體有一個(gè)對(duì)稱心），所以立方晶體的全部對(duì)稱操作為： 24248種。正四面體的對(duì)稱操作： 一個(gè)正四面體可在立方體中畫出，它的四個(gè)面都是正三角形，邊長(zhǎng)

19、是立方體的面對(duì)角線，立方體的中心為O點(diǎn)，有三個(gè)立方軸，這些軸雖然是立方體的四重軸但不是四面體的四重軸，而是二重軸。因?yàn)槊哭D(zhuǎn)動(dòng)晶體自身是還原的。所以正四面體有三個(gè)二重軸。 體對(duì)角線的延長(zhǎng)線是正四面體的三重軸（也是立方體的三重軸）。每轉(zhuǎn)動(dòng)2/3晶體自身是還原的，共有四個(gè)三重軸。 立方軸既是正四面體的二重軸又是四重轉(zhuǎn)動(dòng)反演軸（正四面體雖然沒有對(duì)稱心，沒有四重軸，但有四重轉(zhuǎn)動(dòng)反演軸）。共有3個(gè)四重轉(zhuǎn)動(dòng)反演軸。 還有EFDC是對(duì)稱面，對(duì)此面進(jìn)行鏡面反映，正四面體無變化，這樣的對(duì)稱面共有6個(gè)。正四面體的對(duì)稱操作共有： 1個(gè)2 3個(gè)2 313； 4個(gè)3 428 3個(gè)4 326 6個(gè) 對(duì)稱操作共有 13866

20、24（種） 其中：純轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱操作13812（種）。 正四面體只具有立方體的一部分對(duì)稱操作，因此它的對(duì)稱性沒有立方體高。 上面講的對(duì)稱性主要是點(diǎn)對(duì)稱性，即在操作的過程中至少有一個(gè)點(diǎn)保持不動(dòng)。若再考慮到平移對(duì)稱性，還有兩種對(duì)稱操作，這兩種對(duì)稱操作只有晶體結(jié)構(gòu)才有，點(diǎn)陣沒有這種對(duì)稱操作。一種是重螺旋軸，另一種是滑移面對(duì)稱。 將晶體結(jié)構(gòu)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)2/，接著再對(duì)轉(zhuǎn)軸平移T，T為沿軸向的最短的平移周期，這個(gè)軸稱為重螺旋軸。 將晶體先作鏡面反映，再滑移T/后可得到原子的等價(jià)點(diǎn)，這種操作稱為滑移面對(duì)稱操作。2.慣用晶胞 為了能反映出點(diǎn)陣的對(duì)稱性，選取的晶胞稱為慣用晶胞。慣用晶胞選取的原則是在反映點(diǎn)對(duì)稱性的前提

21、下，體積最小的晶胞。 慣用晶胞可以是初基的，也可以是非初基的，若一個(gè)初基晶胞能反映出點(diǎn)陣的對(duì)稱性。那么它也就是慣用晶胞。比如立方點(diǎn)陣，初基晶胞也就是慣用晶胞。慣用晶胞的體積總是等于初基晶胞體積的整數(shù)倍 VV 為慣用晶胞中的陣點(diǎn)數(shù)。 為了反映點(diǎn)陣的對(duì)稱性就要考慮點(diǎn)陣所選取的慣用晶胞的晶胞參量。二維空間中是晶胞的棱長(zhǎng)和夾角，三維情況下，是三棱的長(zhǎng)，及三棱之間的夾角。 經(jīng)常用到的一個(gè)物理量是點(diǎn)陣常數(shù)。 所謂點(diǎn)陣常數(shù)是描寫慣用晶胞幾何尺寸的數(shù)字。如立方點(diǎn)陣的點(diǎn)陣常數(shù)只要知道棱長(zhǎng)即可，長(zhǎng)方體為三棱長(zhǎng)，。3二維點(diǎn)陣類型（1）二維斜方 ab,是任意的,只有獨(dú)立操作1.是二維點(diǎn)陣中對(duì)稱性最低的一種。（2）二維

22、六角由對(duì)稱操作3.6要求，陣點(diǎn)分布如圖。a=b，=120 0，它既是初級(jí)晶胞，又是慣用晶胞。（3）二維正方 由點(diǎn)對(duì)稱操作4要求，a=b， =90 0 。 （4）二維矩形 由鏡面對(duì)稱性所要求。（5）二維有心矩形 由鏡面對(duì)稱性所要求。二維矩形 ab, = 90 0 二維有心矩形ab, 90 04.三維點(diǎn)陣類型 在三維空間點(diǎn)對(duì)稱操作與平移對(duì)稱操作的組合共有14種，因此三維空間只有14種Bravais點(diǎn)陣，分屬7個(gè)晶系。(1）立方晶體 有三種不同的類型，這三種點(diǎn)陣的慣用晶胞都是立方體，慣用晶胞的幾何特征是a=b=c，=90 0 。 立方晶系有三種Bravais點(diǎn)陣，即簡(jiǎn)單立方（sc），體心立方（bcc

23、）和面心立方（fcc）。 這三個(gè)點(diǎn)陣的點(diǎn)對(duì)稱性相同，慣用晶胞相同，但平移對(duì)稱性不同。a.簡(jiǎn)單立方點(diǎn)陣（sc） 慣用晶胞也是它的初級(jí)晶胞初級(jí)晶胞與慣用晶胞的體積相等，都等于a3，a是立方點(diǎn)陣的點(diǎn)陣常數(shù)，v=vc=a3。簡(jiǎn)單立方點(diǎn)陣的基矢的選取通常取它的三個(gè)立方軸作晶軸，若用笛卡爾坐標(biāo)表示，它的三個(gè)基矢分別為，每一個(gè)陣點(diǎn)有六個(gè)最近鄰的點(diǎn)陣，最近鄰距離就是點(diǎn)陣常數(shù)a。b.體心立方（bcc） 在sc點(diǎn)陣的體對(duì)角線中點(diǎn)上放一個(gè)點(diǎn)陣，這個(gè)點(diǎn)陣與角隅上的陣點(diǎn)是等價(jià)的。（如對(duì)二維有心點(diǎn)陣，從任一陣點(diǎn)去看周圍的陣點(diǎn)分布都是相同的）。 體心立方點(diǎn)陣與sc點(diǎn)陣一樣，都具有立方體的點(diǎn)對(duì)稱性，但平移對(duì)稱性不同，故屬于不

24、同的點(diǎn)陣類型，體心立方點(diǎn)陣的基矢的選取通常用一種比較對(duì)稱的取法，取一個(gè)頂點(diǎn)到相鄰的三個(gè)體心點(diǎn)，這組基矢用笛卡爾坐標(biāo)表示為：)(2zyxaa)(2zyxab)(2zyxac 體心立方點(diǎn)陣的每一個(gè)陣點(diǎn)的最近鄰陣點(diǎn)有8個(gè)，a是慣用晶胞的邊長(zhǎng)。慣用晶胞中有兩個(gè)陣點(diǎn)，相對(duì)于立方軸，這兩個(gè)陣點(diǎn)的坐標(biāo)為:（000）（1/2, 1/2,1/2）。C.面心立方（fcc） 在sc點(diǎn)陣的每一個(gè)面的中心附加一個(gè)陣點(diǎn)，慣用晶胞也是一個(gè)立方體，點(diǎn)對(duì)稱操作與sc點(diǎn)陣一樣，平移對(duì)稱操作與sc點(diǎn)陣不同，慣用晶胞也不是初級(jí)晶胞，因?yàn)閼T用晶胞中含有4個(gè)陣點(diǎn)（八個(gè)頂點(diǎn)算一個(gè)，每個(gè)面心算1/2個(gè)，共有6個(gè)面），慣用晶胞的體積是初級(jí)晶胞

25、體積的4倍，即初級(jí)晶胞的體積。 面心立方點(diǎn)陣基矢的選取通常取一個(gè)頂角點(diǎn)到最近面心的矢量為基矢，用笛卡兒坐標(biāo)寫出來就是：)(2yxaa)(2zyab)(2xzac(2）四角晶系將立方體沿某一晶軸拉長(zhǎng)，立方體就變成了四角體，慣用晶胞的晶胞參量a=bc，=90 0 ，四角體的對(duì)稱性比立方體要低， 若將立方晶系的三種Bravais點(diǎn)陣的c軸都拉長(zhǎng)， 就過渡到兩種四角晶系的Bravais點(diǎn)陣，即簡(jiǎn)單四角和體心四角，體心四角是由bcc，fcc點(diǎn)陣沿c軸拉長(zhǎng)得到的。(3）正交晶系 將四角晶系的另外一個(gè)晶軸再拉長(zhǎng)，就得到正交晶系，慣用晶胞的晶胞參量abc，=90 0 ，正交晶系有四種Bravais點(diǎn)陣。分別為

26、簡(jiǎn)單正交、底心正交、體心正交、面心正交，慣用晶胞都一樣，正交晶系的點(diǎn)對(duì)稱性低于四角晶系。(4）單斜晶系 進(jìn)一步將正交晶系體變形，即將其一晶軸傾斜，就過渡到單斜晶系，對(duì)于單斜晶系abc，=90 0 ，90 0，單斜晶系有兩種Bravais點(diǎn)陣：簡(jiǎn)單單斜和有心單斜（上下底面各有一個(gè)陣點(diǎn)），它比正交晶系的點(diǎn)對(duì)稱性還低）。(5）三斜晶系 將單斜晶系的另一個(gè)晶軸再傾斜就得到三斜晶系， 對(duì)于三斜晶系，慣用晶胞的晶胞參量abc，它只有一種Bravais點(diǎn)陣，即簡(jiǎn)單三斜，這是對(duì)稱性最低的Bravais點(diǎn)陣，只有轉(zhuǎn)動(dòng)1的對(duì)稱性。(6）三角晶系 將一個(gè)完整的正方體沿體對(duì)角線方向拉長(zhǎng)，三個(gè)晶軸不正交，但夾角相等，邊

27、等長(zhǎng)，慣用晶胞的特征是a=b=c，=90 0 1200， 對(duì)稱性低于立方體，只有一種布拉菲點(diǎn)陣。(7）六角晶系前面六種晶系均可由立方體變形得到，但六角晶系不能由立方體變形得到，慣用晶胞的特征是：a=bc，=90 0，=1200，慣用晶胞是菱形正棱柱，如選用如圖的直角坐標(biāo)系，基矢用笛卡兒坐標(biāo)表示為：yaxaa2123yaxab2123zcc3、晶面指數(shù)系統(tǒng) 1. 晶列和晶向 由于點(diǎn)陣和晶體有平移對(duì)稱性，點(diǎn)陣中的陣點(diǎn)可以看作分布在一系列相互平行的直線上，一組相互平行的直線成為晶列，晶列的方向就是陣點(diǎn)分布的方向，晶列的方向稱為晶向，它代表陣點(diǎn)排列的方向，一個(gè)點(diǎn)陣可以有不止一種晶列，通常晶體暴露在外觀

28、的都是晶向，為了描寫晶向，通常要給出晶向指數(shù)。 首先選定晶軸，然后取晶列方向最短的平移矢量，把它的三個(gè)指數(shù)放在方括號(hào)中表示晶向，則此晶向?yàn)椋簎vw。也可以取晶列方向上的任一矢量，用基矢表示，然后把R1R2R3化成三個(gè)互質(zhì)的最小整數(shù)，放在方括號(hào)中，仍為uvw。 要確定一個(gè)的方向指數(shù)，首先要定出晶軸，知道晶軸后，沿晶列方向的最短平移矢量的指數(shù)就是晶向。2、晶面指數(shù) 點(diǎn)陣中的陣點(diǎn)可以看作是分布在一系列相互平行的平面上，這些相互平行的平面是等間距的，在每一個(gè)平面上的陣點(diǎn)分布情況是完全一樣的，因此隨便哪一個(gè)平面都可以代表這一組平面，這一組相互平行的稱為平面族，一組相互平行的點(diǎn)陣平面應(yīng)當(dāng)把所有的陣點(diǎn)概括無

29、遺，這是由點(diǎn)陣的平移對(duì)稱性所決定的,換句話說如果在這種情況下有遺漏掉的點(diǎn),這個(gè)遺漏的點(diǎn)決不是陣點(diǎn)。 首先要確定原點(diǎn)和晶軸，任取一個(gè)陣點(diǎn)為原點(diǎn)，取3個(gè)晶軸,晶軸的端點(diǎn)必定是陣點(diǎn)，這些端點(diǎn)必定要落在這組平行平面的某些平面上,若落在第h面上,落在第k個(gè)平面上,落在第L個(gè)平面上,也就是說這組平面必須是等間距的切割晶軸,分別將、切割成h,k,L等份,這一組平面中距原點(diǎn)最近的那一個(gè)平面在三個(gè)晶軸上的截距分別為,，通常我們用晶軸的長(zhǎng)度為單位量度截距,最近的平面截距為，,我們把hkL括在圓括號(hào)中,表示為(hkL),它就作為這組晶面的晶面指數(shù)。若截距無窮大（平行于晶軸）則倒數(shù)為0。 根據(jù)以上分析，我們可以確定找

30、出一個(gè)晶面指數(shù)的基本方法:（)先找出晶面在三個(gè)晶軸上的截距值,晶軸可以是初基的,也可以是非初基的。（)將這些數(shù)取倒數(shù)。（)通常將三個(gè)數(shù)化成三個(gè)互質(zhì)的整數(shù)，放在圓括號(hào)中（hkl），若選定的晶軸是初基的（即是基矢），則hkl是不含公約數(shù)的。4.簡(jiǎn)單晶體結(jié)構(gòu) 1. sc.bcc.fcc結(jié)構(gòu)在sc.bcc.fcc點(diǎn)陣的每一個(gè)陣點(diǎn)上放上一個(gè)同種原子就變成了sc.bcc.fcc晶體結(jié)構(gòu)。 例如金屬鈉是在bcc點(diǎn)陣的每個(gè)陣點(diǎn)上放上一個(gè)原子得到的晶體。 對(duì)于bcc結(jié)構(gòu)，若選的點(diǎn)陣是bcc點(diǎn)陣，初基晶胞只有一個(gè)原子，但還可選用立方點(diǎn)陣來處理，這時(shí)基元中將要包含兩個(gè)原子，由于bcc結(jié)構(gòu)的Bravais點(diǎn)陣不是正交

31、點(diǎn)陣，故常用sc點(diǎn)陣來處理，換了晶軸就意味著換了點(diǎn)陣，相應(yīng)的基元也要換。 fcc結(jié)構(gòu)的Bravais點(diǎn)陣是fcc點(diǎn)陣，基元是一個(gè)原子，這種方法由于基矢不正交，處理不方便，我們常選用立方晶軸，這就意味著點(diǎn)陣發(fā)生了變化，相應(yīng)的基元也要變化，因此fcc結(jié)構(gòu)可用sc點(diǎn)陣處理，基元就包含有四個(gè)原子。2.NaCl結(jié)構(gòu) 將Na + Cl-交替放在sc點(diǎn)陣的陣點(diǎn)上，每個(gè)離子周圍有6個(gè)異類離子作近鄰，sc點(diǎn)陣不是NaCl結(jié)構(gòu)的Bravais點(diǎn)陣，Na +與Cl-不是等同點(diǎn)，但Na +和Cl-分別在fcc點(diǎn)陣的陣點(diǎn)上，因此NaCl結(jié)構(gòu)是兩個(gè)fcc點(diǎn)陣套起來的，一個(gè)fcc點(diǎn)陣上放的是Na +，另一個(gè)點(diǎn)陣上放的是Cl-離子，所以NaCl結(jié)構(gòu)的是點(diǎn)陣fcc點(diǎn)陣，基元中包含有一個(gè)Na +和一個(gè)Cl-。 通常我們把一個(gè)晶體結(jié)中一個(gè)原子最近鄰的原子數(shù)稱為配位數(shù)。sc晶體的配位數(shù)為6bcc晶體為8fcc 晶體為12 NaCl結(jié)構(gòu)的配位數(shù)為6，每一個(gè)離子周圍有6個(gè)異類離子為近鄰。 配位數(shù)的高低反映了晶體結(jié)構(gòu)的原子排列的緊密程度，配位數(shù)高原子排列就緊密，反之則比較稀松。3.CsCl結(jié)構(gòu) CsCl結(jié)構(gòu)是在sc點(diǎn)陣的陣點(diǎn)上放一種離子， 而在體心位置上放另一種離子形成的，每個(gè)離子周圍有8個(gè)異類離子作近鄰，它是Bravais點(diǎn)陣是sc點(diǎn)陣（