1、 2.1 2.1 隨機(su j)(su j)過程的概念 隨機過程隨機過程(guchng)的定義的定義 例例2.1 設有設有n臺性能完全相同的雷達接收機，它們工作的條件也完全相同，圖臺性能完全相同的雷達接收機，它們工作的條件也完全相同，圖21是運用是運用n臺示波器記錄的各接收機輸出的噪聲電壓。它們是臺示波器記錄的各接收機輸出的噪聲電壓。它們是n條噪聲電壓條噪聲電壓時間的函數。從中可看出，在相同條件下，雷達接收機輸出的噪聲波形是時間的函數。從中可看出，在相同條件下，雷達接收機輸出的噪聲波形是不相同的。不相同的。第1頁/共136頁第一頁，共136頁。圖2-1-1 噪聲電壓(diny)的輸出波形第2

2、頁/共136頁第二頁，共136頁。 定義定義1 1 設隨機試驗設隨機試驗E E的樣本空間為的樣本空間為 ，如果對于，如果對于(duy)(duy)每一個樣本每一個樣本 ，總可以，總可以依某種規則確定一時間依某種規則確定一時間t t的函數的函數 (T (T是時間是時間t t的變化范圍的變化范圍 ) ) 與之對應。于是，與之對應。于是，對于對于(duy)(duy)所有的所有的 來說，就得到一族時間來說，就得到一族時間t t的函數，稱此族時間的函數為隨機過的函數，稱此族時間的函數為隨機過程（也稱隨機信號）程（也稱隨機信號）X X，而族中的每一個函數稱為該隨機過程的樣本函數。，而族中的每一個函數稱為該隨

3、機過程的樣本函數。注：隨機過程是樣本函數(hnsh)的集合 。 xS Sx TttxSx第3頁/共136頁第三頁，共136頁。圖2-1-2 隨機(su j)過程是樣本函數的集合第4頁/共136頁第四頁，共136頁。 定義定義2 2 如果對于如果對于(duy)(duy)每一固定的每一固定的 ， 都是隨機變量，則稱都是隨機變量，則稱 是是隨機過程。隨機過程。 注：樣本函數注：樣本函數 隨機變量。隨機變量。 Tti itX tX第5頁/共136頁第五頁，共136頁。圖2-1-3 隨機過程(guchng)是隨機變量的集合第6頁/共136頁第六頁，共136頁。 因此，隨機過程(guchng)有兩種基本的

4、表示方式： 1、樣本函數集合表示(定義1) 2、隨機變量集合表示(定義2),.2 , 1,ixtXxtXi確定樣本函數集合隨機過程,.2 , 1,ixtXxtXi隨機變量集合隨機過程第7頁/共136頁第七頁，共136頁。 具有以下四種含義：1、若 和 都是變量，則隨機過程是一族時間函數，即隨機信號；2、若 是變量，而 是固定值，則隨機過程是一個確定(qudng)的時間函數，即樣本函數；3、若 是固定的，而 是變量，則隨機過程是一個隨機變量，即樣本隨機變量；4、若 和 都是固定值，則隨機變量是一個確定(qudng)值，即樣本值。 tXtxtxtxtx第8頁/共136頁第八頁，共136頁。、隨機(

5、su j)過程的分類第9頁/共136頁第九頁，共136頁。2.2 2.2 隨機過程的統計(tngj)(tngj)特征隨機過程的統計特征主要有：1、概率分布：概率密度函數，概率分布函數；2、數字特征：數學期望(qwng)，均方值，方差，自相關函數，自協方差函數；3、特征函數：第10頁/共136頁第十頁，共136頁。統計特征也可分為：1、幅值域描述: 數學期望、方均值、方差(fn ch)、概率密度函數等；2、時間域描述: 自相關函數、互相關函數；3、頻率域描述: 自功率譜密度函數、互功率譜密度函數；4、變換域描述：特征函數。第11頁/共136頁第十一頁，共136頁。、隨機過程的概率分布 隨機過程

6、，在每一固定(gdng)時刻 ， 和 都是隨機變量。 隨機事件： ， 發生概率： ， tXTtt21, 1tX 2tX 11xtX 2211,xtXxtX 11xtXP 2211,xtXxtXP第12頁/共136頁第十二頁，共136頁。1、一維分布函數 與 和 都有直接的關系，是 和 的二元函數，記為： 被稱為隨機過程(guchng)的一維分布函數。2、一維概率密度函數 如果存在二元函數 ，使 成立,則稱 為隨機過程(guchng)的一維概率密度函數, 是 和 的二元函數，且滿足 11xtXP1x1t1x1t 11111;xtXPtxF111;txF111;txf1111111;1dtftxF

7、x111;txf1x1t1111111;xtxFtxf第13頁/共136頁第十三頁，共136頁。 注：一維概率分布描述了隨機過程在各個孤立時刻的統計特性。3、二維分布函數 與 ， ， 和 都有直接的關系，是 ， 和 的四元函數，記為： 被稱為(chn wi)隨機過程的二維分布函數。4、二維概率密度函數如果存在四元函數 ，使 2211,xtXxtXP1x1t2x2t1x1t2x2t 221121212,;,xtXxtXPttxxF21212,;,ttxxF21212,;,ttxxf21212122121212,;,;,ddttfttxxFxx 第14頁/共136頁第十四頁，共136頁。 成立,則

8、稱 為隨機過程的二維概率密度函數(hnsh)，是 ，和 的四元函數(hnsh)，且滿足 注：1、二維概率分布反映了隨機過程在不同時刻的狀態之間的統計特性； 2、隨機過程的二維概率分布與多維隨機變量的二維概率分布所描述的物理概念是不相同的。隨機過程的二維概率分布描述隨機過程在不同時刻的狀態之間的關系，二維隨機變量的二維概率分布則描述不同變量之間的關系。21212,;,ttxxf1x1t2x2t212121221212,;,;,xxttxxFttxxf第15頁/共136頁第十五頁，共136頁。5、n維分布函數和概率密度函數例2.2 討論貝努里隨機過程(guchng) 的一、二維概率特性。 解：貝努

9、里隨機過程(guchng)，在 時刻，獨立地觀察某個事件 發生與否，建立事件 的指示函數 且有概率 nXnt AA不發生時刻發生時刻AntAntxnX01,第16頁/共136頁第十六頁，共136頁。設 ，單位步函數（階躍函數）貝努里隨機過程的一維概率分布函數 一維概率密度函數 貝努里隨機過程 ，對于不同的時刻 ，其隨機變量(su j bin lin) 是彼此統計獨立的。因此，可得 0001xxxU 1;1xpUxqUnxF 1;1xpxqnxfn nX ,.1,0 XX 22112211,xnXPxnXPxnXxnXP第17頁/共136頁第十七頁，共136頁。貝努里隨機過程(guchng)的二

10、維概率分布函數是 其中， 是二維單位階躍函數。 那么二維概率密度函數 21,xxU1, 11, 1,;,212212121221212xxpxxxxqpxxqnnxxf 2121,xUxUxxU第18頁/共136頁第十八頁，共136頁。式中， 、隨機過程的數字特征隨機過程的分布函數在實際上是很難獲取的，甚至是不可能的。隨機過程（信號）的特征（或參數）在實際工作(gngzu)中運用得十分廣泛。 (1) 正態隨機過程由數學期望和相關函數詳細描述。 (2) 復雜背景下目標識別、跟蹤所依賴的有效依據仍然是目標在時間、空間的特征。 2121,xxxx第19頁/共136頁第十九頁，共136頁。圖2-2-1

11、 云層(yncng)背景下的飛機 第20頁/共136頁第二十頁，共136頁。 由隨機過程的定義(dngy)2，可知隨機過程是隨機變量集合：,.2 , 1,ixtXxtXi隨機變量集合隨機過程第21頁/共136頁第二十一頁，共136頁。1、數學期望(均值函數(hnsh) 隨機過程 在任意時刻 的取值是一隨機變量 ，隨機過程 的數學期望 或 ，即 數學期望 的取值與時刻 是有直接聯系的，是時刻 的函數(hnsh)。它是該隨機過程在各個時刻的擺動中心。 tXt tX tX tXE tX dxtxxftXE;1 tXEtt第22頁/共136頁第二十二頁，共136頁。圖2-2-2 隨機過程的數學(shx

12、u)期望第23頁/共136頁第二十三頁，共136頁。2、均方值隨機過程 在任意(rny)時刻 的取值是一隨機變量 ，隨機過程的均方值 或 ，即 均方值 的取值與時刻 是有直接聯系的，是時刻 的函數。3、方差 隨機過程 在任意(rny)時刻 的取值是一隨機變量，稱隨機變量 的二階中心矩為隨機過程的方差 。 tXt tX tXE2 dxtxfxtXE;122 tXE2tt tXt tX tXD 2tXtXEtXD第24頁/共136頁第二十四頁，共136頁。圖2-2-3 隨機過程(guchng)的均方值、方差第25頁/共136頁第二十五頁，共136頁。方差、均方值和均值有數學關系式： 方差描述在該時

13、刻對其數學期望的偏離程度。數學期望、均方值和均方差只能描述隨機過程孤立的時間點上的統計特性(txng)。隨機過程孤立的時間點上的統計特性(txng)不能反映隨機過程的起伏程度。 22tXEtXEtXD第26頁/共136頁第二十六頁，共136頁。圖2-2-4 隨機過程(guchng)的起伏程度第27頁/共136頁第二十七頁，共136頁。圖2-2-4 隨機(su j)過程的起伏程度采用兩時刻或更多時刻狀態的相關性去描述(mio sh)隨機過程的起伏程度。第28頁/共136頁第二十八頁，共136頁。4、自相關函數 設 和 分別是隨機過程 在時刻 和 的狀態，稱它們的二階原點混合矩為隨機過程 的自相關

14、函數，記為 自相關函數反映了隨機過程 在兩個不同(b tn)時刻的狀態之間的相關程度。 1tX 2tX1t tX2t tX21,ttBX21212122121,;,dxdxttxxfxxttBX tX第29頁/共136頁第二十九頁，共136頁。5、自協方差函數 設 和 分別是隨機過程(guchng) 在時刻 和 的狀態，稱它們的二階中心混合矩為隨機過程(guchng) 的自相關函數，記為 自協方差函數反映了隨機過程(guchng) 在兩個不同時刻的狀態相對于數學均值之間的相關程度。 1tX 2tX1t tX2t tX tX21,ttCovX 221121,tXtXtXtXEttCovX第30頁

15、/共136頁第三十頁，共136頁。 自協方差函數、自相關(xinggun)函數與數學均值有數學關系式： 自相關(xinggun)系數 在 ， 。 212121,tXEtXEttBttCovXX22112121,ttCovttCovttCovtt1,21tt21tt 1,11tt第31頁/共136頁第三十一頁，共136頁。 隨機過程統計不相關 如果對于(duy)任意的 ， 都有 ，則稱該隨機過程在任意兩個時刻是不相關的。1t2t0,21ttCovX第32頁/共136頁第三十二頁，共136頁。例2.3 若隨機(su j)過程 為 式中，A為在0,1上均勻分布的隨變量，求 的均值和相關函數。解 已知

16、A的概率密度函數為則隨機(su j)過程 的均值 tX tAttX tX 其它0101aafA tX 210tdaaaftAtEAtEtXEA第33頁/共136頁第三十三頁，共136頁。隨機過程 的自相關(xinggun)函數 tX 211022121212131,ttdaattAtAtEtXtXEttBX第34頁/共136頁第三十四頁，共136頁。 例2.4 求隨機相位正弦波 的數學期望，方差(fn ch)及自相關函數。式中， 為常數， 是在區間 上均勻分布的隨機變量。 解 根據題意有 那么有 ttX0sin02 , 0 其它0202 1f第35頁/共136頁第三十五頁，共136頁。因為 (

17、 在區間(q jin) 均勻分布)所以則方差 2 , 0 212sin2sin2cos2cos1212sin2sin2cos2cos12122cos121sin00000022tEtEttEtEtEtXE 2122tXEtXEtXD第36頁/共136頁第三十六頁，共136頁。那么，自相關(xinggun)函數 20102010201020102121cos21cos2cos21sinsin,ttttttEttEtXtXEttBX第37頁/共136頁第三十七頁，共136頁。 例2.5 試證明: (1)若隨機過程 加上確定(qudng)的時間函數 ，則協方差不變。(2) 若隨機過程 乘以非隨機過程

18、因子 ，則協方差函數乘以積 。 證： (1) 設 ，即需證 。 因為 而中心化隨機函數為 tX t tX t 21tt ttXtY2121,ttCovttCovXY 不相關與ttXttXEtEtXEttXEtYE tXtXEtXtEtXEttXtYEtYtY第38頁/共136頁第三十八頁，共136頁。所以故得證。(2)設 ，即要證因為 而中心化隨機(su j)函數為 212121221121,ttCovtXtXEtYtYEtYEtYtYEtYEttCovXY ttXtZ 212121,ttttCovttCovXZ ttXEttXEtZE tXttXEtXtttXEttXttXEttXtZEtZ

19、tZ第39頁/共136頁第三十九頁，共136頁。所以(suy)故得證。 212121212211221121,ttCovtttXtXEtttXttXtEtZEtZtZEtZEttCovXZ第40頁/共136頁第四十頁，共136頁。 例2.6 求貝努里隨機過程 的均值、自相關函數、協方差函數和相關系數。 解 貝努里隨機過程 的均值 在不同時刻 ，信號取值獨立(dl)，則有 而在同一時刻 ，信號取值不獨立(dl)，即取相同的值，則有 nX nX ppqnXE1021nn 2222111011000,ppqpqnnBX21nn ppqnnBX1100,11第41頁/共136頁第四十一頁，共136頁。

20、因此(ync)，自相關函數為貝努里隨機過程 的協方差函數貝努里隨機過程 的相關系數 2122121,nnpnnpnnBX nX 212122121210,covnnnnppnXEnXEnnBnnX nX21,nn21212211212101,cov,cov,cov,nnnnnnnnnnnn第42頁/共136頁第四十二頁，共136頁。圖2-2-4 貝努里隨機(su j)過程的均值，相關函數和自相關系數 (a)均值(b)相關與協方差函數(c)自相關系數第43頁/共136頁第四十三頁，共136頁。2.3 2.3 平穩隨機(su j)(su j)過程 平穩(pngwn)隨機過程的定義 嚴平穩(pngw

21、n)隨機過程及其性質 寬平穩(pngwn)隨機過程及其性質第44頁/共136頁第四十四頁，共136頁。圖2-3-1 初相角隨機的正弦(zhngxin)信號 ttttatXcos第45頁/共136頁第四十五頁，共136頁。圖2-3-2 幅度隨機(su j)的正弦信號 第46頁/共136頁第四十六頁，共136頁。圖2-3-3 頻率隨機(su j)的正弦信號 第47頁/共136頁第四十七頁，共136頁。圖2-3-4 頻率、相位和幅度(fd)隨機的正弦信號 第48頁/共136頁第四十八頁，共136頁。圖2-3-5 云層(yncng)背景下的飛機 第49頁/共136頁第四十九頁，共136頁。隨機信號 的

22、統計特性(如概率密度函數、相關函數)，部分或全部在觀察點或觀察點組的位置變化時，保持不變或變化。在隨機信號理論(lln)中就稱該隨機信號的相應統計特性具有平穩或非平穩性。 隨機信號統計平穩性有多種情況： (1)對整個觀察點位置 變化的平穩性； (2)對觀察點中時間位置 變化的時間平穩性； (3)對觀察點空間位置 變化的平穩性； (4)對觀察點中空間位置的部分坐標變化的平 穩性。 tXtzyx,tzyx,第50頁/共136頁第五十頁，共136頁。平穩隨機過程(guchng)的分類第51頁/共136頁第五十一頁，共136頁。嚴平穩隨機過程 1、定義 設有隨機過程 ，若它的 維概率密度函數（或 維分

23、布函數） 不隨時間起點選擇(xunz)的不同而改變，即對于任何的 和 ，過程 的 維概率密度函數 （） 則稱為嚴(格)平穩隨機過程，或稱窄平穩隨機過程或狹義平穩過程。 tXnnnnXtttxxxf,.,;,.,2121n tXnnnXnnXtttxxxftttxxxf,.,;,.,.,;,.,21212121第52頁/共136頁第五十二頁，共136頁。2、實際的嚴平穩過程 一個工作在穩定狀態下的接收機輸出的噪聲電壓 是一個嚴平穩過程。 噪聲電壓 實質上反映電子熱運動的劇烈程度。電子熱運動程度則取決于接收機的工作溫度T；一旦接收機穩定工作，其工作溫度也相對(xingdu)穩定，則噪聲電壓 嚴格平

24、穩。 tU tU tU 平穩與否嚴格隨機過程)(tX決定隨機信號的主要物理(wl)條件不變 平穩嚴格隨機過程)(tX第53頁/共136頁第五十三頁，共136頁。3、主要性質(xngzh)(1)、若 是嚴平穩隨機過程，則它的一維概率密度與時間無關。 證明 令 ，則一維概率密度函數 得證。 tXt xfxftxftxf11110 ;第54頁/共136頁第五十四頁，共136頁。(2)、若 是嚴平穩隨機過程，則它的均值、均方值和方差都是與時間無關的常數。證明(zhngmng)： 根據題意有 tX XmdxxxfdxtxxftXE11; 212122;XdxxfxdxtxfxtXE 21212;XXXd

25、xxfmxdxtxfmxtXD第55頁/共136頁第五十五頁，共136頁。(2)、若 是嚴平穩隨機過程，則它的均值、均方值和方差都是與時間無關的常數(chngsh)。證明： 根據題意有嚴平穩隨機過程的所有樣本曲線都是在同一水平直線周圍隨機地波動。 tX XmdxxxfdxtxxftXE11; 212122;XdxxfxdxtxfxtXE 21212;XXXdxxfmxdxtxfmxtXD第56頁/共136頁第五十六頁，共136頁。圖2-3-6 嚴平穩隨機(su j)過程第57頁/共136頁第五十七頁，共136頁。(3) 嚴平穩隨機過程 的二維概率密度函數只與兩個時刻 和 的時間間隔有關(yug

26、un)，而與時間起點無關。 證明： 令 ，則隨機過程的二維概率密度函數 式中， 。1t2t1t, 0 ;, 0 ;,;,;,212122122121221212xxfttxxfttxxfttxxf12tt tX第58頁/共136頁第五十八頁，共136頁。(4) 嚴平穩隨機過程 的自相關函數和協方差函數只與兩個時刻 和 的時間間隔有關，而與時間起點(qdin)無關。 證明： 根據題意，則隨機過程的自相關函數 式中， 。1t2t12tt tX XXBdxdxxxfxxdxdxttxxfxxttB 212122121212122121;,;, 2212121,XXXXXXmBtEtEttBttCov

27、第59頁/共136頁第五十九頁，共136頁。 例2.7 設有隨機過程 任意時刻的隨機變量是高斯的，有概率密度函數 若其任意觀察時刻組的隨機變量是相互(xingh)獨立的，試判斷 是否為嚴平穩過程。 解：在任意n個時刻 ，隨機過程的n個隨機變量是相互(xingh)獨立的，即 tX tX22221;axetxfnttt,.,21 naxnnnnetxftxftxftttxxxf2222211212121;.;,.,;,.,第60頁/共136頁第六十頁，共136頁。 顯然， 的任意n階概率密度函數對觀察點時刻組 是平穩的。所以 是嚴平穩隨機(su j)過程。 tXnttt,.,21 tX第61頁/共

28、136頁第六十一頁，共136頁。 例2.8 設有隨機過程 ，式中A是高斯隨機變量， 為確定的時間函數。試判斷 是否為嚴平穩過程。 解：已知A的概率密度函數 在固定的時刻， 為常數(chngsh)。 是隨機變量A的線性變化，仍為高斯分布。當 變化時， 的數學期望 和方差 均與時間有關。因此，一維概率密度函數也與時間有關， 不是嚴平穩過程。 tAYtX tX tY 22221maAeaf tY tXt tX tmy ty22 tX第62頁/共136頁第六十二頁，共136頁。寬平穩隨機過程研究隨機過程的概率密度函數的統計特性是很困難的；隨機過程一、二階矩函數在一定程度上描述了隨機過程的一些重要特性。

29、 (1) 噪聲電壓是一平穩過程 ，那么一、二階矩函數，就是噪聲平均功率的直流分量、交流分量、總平均功率等參數。 (2) 正態隨機過程由數學(shxu)期望和相關函數詳細描述。 tX第63頁/共136頁第六十三頁，共136頁。1 定義 若隨機過程 滿足(mnz) 則稱 為寬平穩隨機過程或廣義平穩過程。 tX XXXBtXtXEttBtXEmtXE21212,常數 tX第64頁/共136頁第六十四頁，共136頁。2、主要性質隨機信號的嚴格平穩性與廣義(gungy)平穩性之間有關系 嚴格平穩 廣義(gungy)平穩 隨機過程 隨機過程(2) 廣義(gungy)平穩隨機過程的相關函數卷積共軛的，即 證

30、明 必然(brn)是不一定(ydng)是 XXBB XXBtXtXEtXtXEB第65頁/共136頁第六十五頁，共136頁。(3)隨機過程的協方差函數(hnsh)和相關系數也是平穩的，即 2212121,XXXXXXmBtEtEttBttCov 0,21CovCovttXX第66頁/共136頁第六十六頁，共136頁。 例2-9 判斷以下三個隨機過程是否平穩？ 式中， 是常數(chngsh)， 是相互獨立的隨機變量。隨機過程 在上 均勻分布。 tAtXtAtXtatXcoscoscos, a,A2 , 0相位(xingwi)振幅(zhnf)振幅、相位、頻率第67頁/共136頁第六十七頁，共136

31、頁。 解：(1)當幅度為常數， 在 上均勻分布時， 數學期望和自相關函數分別為 因此，X(t) 為廣義平穩過程。 (2) 當幅度為隨機變量，相位為常數時，那么每個樣本(yngbn)函數的幅度都是隨機變量A的一個可能取值，但它們同時到達零點或最大，均值和方差隨時間變化。因此它是一個非平穩隨機過程。 200cosdtatXE2 , 0cos2coscos,2atataEttRX第68頁/共136頁第六十八頁，共136頁。(3) 當幅度、相位和頻率都為隨機變量時，每個樣本函數的幅度、相位和頻率都可能不同。由于 相互獨立(dl)，且 在上 均勻分布。 X(t)的數學期望為 是與時間無關的常數。 X(t

32、)的自相關函數為 0coscostEAEtAEtXE,A2 , 0cos21cos22cos21coscos,22EAEEtEAEtAtAEttBX第69頁/共136頁第六十九頁，共136頁。 也與時間(shjin)起點無關，只與時間(shjin)差有關的函數，是廣義平穩隨機過程。第70頁/共136頁第七十頁，共136頁。 例2-10 廣義平穩過程 通過乘法調制器得到隨機信號 ， 是確定常數(chngsh)，是在 均勻分布的隨機相位， 與 統計獨立的，試問 是否廣義平穩。 tX tY0, tX tY乘法調制器t0cos tX tY圖 2-3-8 調制器輸出信號特性第71頁/共136頁第七十一頁

33、，共136頁。解：調制器輸出 為 其均值為因為(yn wi) 在 上均勻分布，固有所以 tY ttXtY0cos tEtXEttXEtYE00coscos,0cos21cos00dttE 0tYE第72頁/共136頁第七十二頁，共136頁。輸出函數 的自相關函數表示為 Y(t) 的均值和自相關函數對觀察時間是平穩(pngwn)的，因此Y(t)是廣義平穩(pngwn)的。 tY 0000000000cos2122coscos21coscoscoscoscoscos,XXBtEtXtXEttEtXtXEtttXtXEttXttXEttB第73頁/共136頁第七十三頁，共136頁。例2-11 設隨機

34、(su j)過程式中， 為常數； 為隨機(su j)變量，其特征函數為 試證：當且僅當 時， 過程為平穩過程。證明：根據題意，過程X(t)的均值為而 ttX0cos ujEuEeEuMjusincos0 02, 01MM tX tEtEttEtEtXEtmx00000sinsincoscossinsincoscoscos 0sincos1jEEM第74頁/共136頁第七十四頁，共136頁。有 所以(suy) 過程X(t)的相關函數為因為有所以(suy)本題得證。0sin, 0cosEE 0tmx 0000000,coscos1coscos22211coscos 2cos2sin 2sin222

35、XBt tE X tX tEttEtEtEt 02sin2cos2jEEM02sin, 02cosEE0cos21,ttBX第75頁/共136頁第七十五頁，共136頁。2.4 2.4 隨機過程(guchng)(guchng)的各態歷經性對于(duy)隨機過程，在做各類統計平均時，理論上需要無窮多個樣本函數。 使得測試工作(集合平均)變得十分困難： (1)實際生產、生活中難以提供如此多的樣本函數。 (2)如果減少樣本函數的數量，而統計特征的精度就會受到影響。 txNtXENii11 211211,txtxNttBiNiiX第76頁/共136頁第七十六頁，共136頁。 平穩隨機過程概念的引入，使得

36、統計特性的測試可以選在方便測試時刻上進行，且測試時刻的移動不影響該統計特性。 借助平穩隨機過程統計特性與計時起點無關的特點，能否找到一種簡化( jinhu)的方法來代替原有的統計方法。 tXEtXE XXBttB11,第77頁/共136頁第七十七頁，共136頁。(a)(b)圖2-4-1 兩種平穩隨機(su j)過程 一個樣本沒有經歷隨機(su j)過程的整個狀態。 任何(rnh) 一個樣本經歷隨機過程的整個狀態。第78頁/共136頁第七十八頁，共136頁。 辛欽證明：在具備一定的條件(tiojin)下，對平穩過程 的一個樣本函數取時間平均 (觀察時間足夠長) ，從概率意義上趨近于此過程的統計(

37、集合)均值 ，即 例如：處于穩態工作的n臺雷達接收機，其噪聲電壓X(t)的統計平均與一臺雷達接收機 的時間平均x(t) 。 txtXE dttxTtxTTT21lim tXE tX第79頁/共136頁第七十九頁，共136頁。niitXntXE11 dttxTtxTTT21lim2-4-2 雷達接收機的統計平均(pngjn)和時間平均(pngjn)第80頁/共136頁第八十頁，共136頁。 tXtXntXtXEinii11 dttxtxTtxtxTTT21lim2-4-3 雷達(lid)接收機的自相關函數和時間自相關函數第81頁/共136頁第八十一頁，共136頁。各態歷經過程的定義1、各態歷經過

38、程的前提條件：隨機過程是平穩過程。2、各態歷經過程分為嚴(或狹義)各態歷經過程和寬(或廣義)各態歷經過程。3、嚴各態歷經過程 定義 如果一個隨機過程X(t)，它的各種時間(shjin)平均(時間(shjin)足夠長)，依概率1收斂于相應的集合平均，則稱此隨機過程X(t)為嚴(或狹義)各態歷經過程，該隨機過程X(t)具有嚴(或狹義)各態歷經性。第82頁/共136頁第八十二頁，共136頁。4、寬(或廣義)各態歷經隨機過程 (1)、隨機過程的時間平均 對隨機過程X(t) 中任意一條(y tio)樣本函數 x(t) 沿整個時間軸的積分： 分別稱為X(t)的時間均值和時間自相關函數。 dttxTtxTT

39、T21lim dttxtxTtxtxT21lim第83頁/共136頁第八十三頁，共136頁。(2)、如 依概率1成立，則稱隨機過程 的均值具有( jyu)各態歷經性。 xmtxtXE tX第84頁/共136頁第八十四頁，共136頁。(2)、如 依概率1成立，則稱隨機過程 的均值具有各態歷經性。(3)、如 依概率1成立，則稱隨機過程 的自相關(xinggun)函數具有各態歷經性。 當 時，如該式也成立，則稱隨機過程 的均方值具有各態歷經性 xmtxtXE tXtXEtxtx0 tX tX tX第85頁/共136頁第八十五頁，共136頁。(2)、如 依概率1成立(chngl)，則稱隨機過程 的均值

40、具有各態歷經性。(3)、如 依概率1成立(chngl)，則稱隨機過程 的自相關函數具有各態歷經性。 當 時，如該式也成立(chngl)，則稱隨機過程 的均方值具有各態歷經性(4)、若 的均值和自相關函數具有各態歷經性，則稱 是寬(或廣義)各態歷經過程。 xmtxtXE tXtXEtxtx0 tX tX tX tX tX第86頁/共136頁第八十六頁，共136頁。各態歷經性的實際意義1、隨機過程(guchng) X(t)中任意一樣本函數 x(t)代表了該隨機過程(guchng)，也就是各樣本函數具有完全相同的特性。圖2-4-2 噪聲電壓的輸出波形第87頁/共136頁第八十七頁，共136頁。2、采

41、用隨機過程的樣本(yngbn)函數的時間平均代替隨機過程的集合平均，給許多實際問題帶來了極大的方便。 圖2-4-3 噪聲電壓的輸出波形niitXntXE11 dttxTtxTTT21lim第88頁/共136頁第八十八頁，共136頁。3、遍歷過程X(t)的一、二階矩函數有明確的物理(wl)意義。 若遍歷過程X(t) 代表噪聲電壓(或電流)，則 (1)、遍歷過程的時間平均是的直流分量。 2-4-4 基本交流RLC電路電流 ItitiE第89頁/共136頁第八十九頁，共136頁。 (2)、遍歷過程的自相關函數代表噪聲電壓消耗(xioho)在單位電阻上的總平均功率。 2-4-4 基本交流RLC電路電流

42、 2tititiEP總第90頁/共136頁第九十頁，共136頁。 (3)、遍歷過程的方差代表(dibio)噪聲電壓消耗在單位電阻上的交流平均功率。2-4-4 基本交流RLC電路電流 22tititiEtiEP第91頁/共136頁第九十一頁，共136頁。 (4)、許多實際的信號，尤其無線電技術( jsh)領域里遇到的各種平穩的信號和噪聲，都是各態歷經過程。第92頁/共136頁第九十二頁，共136頁。 例2-12 討論隨機過程 的各態歷經性。其中， 為常數， 是在 上均勻分布的隨機變量。 解： 由例2-9知是平穩(pngwn)過程，其數學期望和自相關函數分別為 時間均值 tatX0cosa 200

43、cosdtatXEcos2coscos,2atataEttRX 0cos21lim0TTTdttaTtx2 , 0第93頁/共136頁第九十三頁，共136頁。時間自相關函數可得：所以(suy)，隨機過程具有寬遍歷性。 020002002cos2cos22cos2121limcoscos21limataTttaTtxtxTTTTTT ttBtxtxtXEtxX,第94頁/共136頁第九十四頁，共136頁。 例2-13 討論隨機過程X(t)=Y的各態歷經性，式中Y是方差(fn ch)不為零的隨機變量。圖2-4-5 例2-13中X(t)第95頁/共136頁第九十五頁，共136頁。 解：隨機過程X(t

44、)的數學期望(qwng)和自相關函數分別為時間平均時間平均是一隨機變量，隨Y的取值不同而變化，所以故不是各態歷經過程。 常數常數2YEtXtXEYEtXE YdtYTdttxTtxTTTTTT21lim21lim txtXE第96頁/共136頁第九十六頁，共136頁。2.5 2.5 平穩隨機過程的自相關函數(hnsh)(hnsh)性質 隨機過程的基本特征：數學(shxu)期望和自相關函數。 平穩隨機過程的數學(shxu)期望為常數，自相關函數則成為平穩隨機過程。 自相關函數提供隨機過程各狀態之間的關聯程度，還是求取隨機過程功率譜以及從噪聲中提取信息的工具。 常數tXE第97頁/共136頁第九十

45、七頁，共136頁。1、實平穩隨機過程X(t)的自相關函數(hnsh)是偶函數(hnsh) 證明： XXBB XXBtXtXEtXtXEB第98頁/共136頁第九十八頁，共136頁。2、平穩過程X(t)自相關函數(hnsh)的最大點在 處證明：任何正函數(hnsh)的數學期望為非負值，有展開固有 0tXtXE 02020222XXBBtXtXtXtXE XXBB00 XXBB0第99頁/共136頁第九十九頁，共136頁。 例如相位隨機正弦信號 的自相關(xinggun)函數 02cos2aBX2-5-1 相位隨機正弦信號的自相關函數 tatX0cos第100頁/共136頁第一百頁，共136頁。3

46、、周期平穩過程的自相關函數(hnsh)必為周期函數(hnsh)，則它的周期與過程的周期相同，即 若平穩隨機過程X(t)滿足條件X(t)=X(t+T)，則稱此為周期平穩隨機過程，其中T為過程的周期。 證明： 得證。 XXBTB XXBtXtXETtXtXETB第101頁/共136頁第一百零一頁，共136頁。 例如相位(xingwi)隨機正弦信號 的自相關函數 02cos2aBTBXX2-5-2 相位隨機正弦信號的自相關函數 tatX0cos第102頁/共136頁第一百零二頁，共136頁。4、若平穩過程X(t)含有一個周期(zhuq)分量，則自相關函數 也含有一個同周期(zhuq)的周期(zhuq

47、)分量。 XB第103頁/共136頁第一百零三頁，共136頁。4、若平穩過程X(t)含有一個周期分量，則自相關(xinggun)函數 也含有一個同周期的周期分量。 證明：設隨機過程 ，式中 為在 內均勻分布的隨機變量， 為平穩隨機過程， 和 統計獨立。顯然，隨機過程的自相關(xinggun)函數 XB tNtAtX0cos2 , 0 tN tN tX NXBAtNtNEttAEtNtNtNtAtNtAtAtAEtNtAtNtAEtXtXEttB02002000000cos2coscoscoscoscoscoscoscos,第104頁/共136頁第一百零四頁，共136頁。ab2-5-3 周期信號

48、(xnho)噪聲信號(xnho)第105頁/共136頁第一百零五頁，共136頁。5、對任何不含周期(zhuq)分量的非周期(zhuq)平穩過程均有證明：對于此類非周期(zhuq)平穩過程，當 增大時，隨機變量之間的相關性會減弱；當的極限的情況下，兩者相互獨立，故有 2limXXXmBB 2limlimlimXXmtXEtXEtXtXEB第106頁/共136頁第一百零六頁，共136頁。6、平穩隨機過程的自相關函數必須(bx)滿足且對于所有的都成立。 0deBjX XB2-5-4 自相關函數第107頁/共136頁第一百零七頁，共136頁。(a)(b)(c)(d) XB XB XB XB2-5-5

49、非自相關函數第108頁/共136頁第一百零八頁，共136頁。相關系數： 2XXXXCovXDCov X10圖2-6 自相關系數第109頁/共136頁第一百零九頁，共136頁。相關(xinggun)時間： 05. 00X X100圖2-5-7 自相關時間相關性減弱(jinru)不相關(xinggun)第110頁/共136頁第一百一十頁，共136頁。用平穩過程的自相關函數表示數字(shz)特征：(1).數學期望(2).均方值(3).方差(4).協方差 BtX_ 0_2BtX BBtXtXtXD0_2_2 XXXBBCov2Xm2X 0XB XB0圖2-5-8 隨機過程數字特征第111頁/共136頁

50、第一百一十一頁，共136頁。平穩隨機過程(guchng)自相關函數的電路形式：延時積分平均電路 XB圖 2-5-9 自相關儀第112頁/共136頁第一百一十二頁，共136頁。例2-14、設隨機過程 的自相關函數為求的均值( jn zh)、均方值、方差和自協函數方差。解： tX 261425XB 5_BtX 290_2 BtX 425290BBtXD 614BBCovX第113頁/共136頁第一百一十三頁，共136頁。第六節 隨機過程的聯合(linh)概率分布 和互相關函數 討論了單個隨機(su j)過程的統計特性。 需要研究多個隨機(su j)過程的統計特性。接收機輸入輸出信號噪聲圖2-6-1

51、 接收機輸入為信號與噪聲第114頁/共136頁第一百一十四頁，共136頁。兩個隨機過程(guchng)的聯合概率分布 兩個隨機過程(guchng) 和 的聯合事件 其發生概率為 設概率密度函數分別為 和 ，定義此兩個隨機的 維聯合分布函數為 tX tYmmYtttyyyf,.,;,.,2121nnXtttxxxf,.,;,.,2121mn mmnnmnmnXYytYytYxtXxtXPttttttyyyxxxF,.,;,.,.,;,.,;,.,;,.,111121212121 mmnnytYytYxtXxtX,.,;,.,1111 mmnnytYytYxtXxtXP,.,;,.,1111第11

52、5頁/共136頁第一百一十五頁，共136頁。 如果存在函數 滿足： 則稱為此兩個隨機(su j)過程的 維聯合概率密度函數。nnmnXYttttttyyyxxxf,.,;,.,;,.,;,.,21212121mnxxyynnmnXYmnmnXYdvdvduduttttttvvuufttttttyyyxxxFnm.,.,;,.,;,.,;,.,.,.,;,.,;,.,;,.,112121112121212111 mnmnmnXYmnnnmnXYyyyxxxttttttyyyxxxFttttttyyyxxxf.,.,;,.,;,.,;,.,.,;,.,;,.,;,.,212121212121212

53、12121mn第116頁/共136頁第一百一十六頁，共136頁。隨機過程相互獨立(dl)：若隨機過程 和 滿足或則稱隨機過程 和 相互獨立(dl)。mmYnnXmnmnXYtttyyyFtttxxxFttttttyyyxxxF,.,;,.,.,;,.,.,;,.,;,.,;,.,2121212121212121mmYnnXmnmnXYtttyyyftttxxxfttttttyyyxxxf,.,;,.,.,;,.,.,;,.,;,.,;,.,2121212121212121 tX tY tX tY第117頁/共136頁第一百一十七頁，共136頁。聯合嚴平穩(pngwn)隨機過程若隨機過程 和 的

54、聯合概率分布滿足：或則稱隨機過程 和 是聯合嚴平穩(pngwn)過程。 tX tYttttttttttttyyyxxxFttttttyyyxxxFmnmnXYmnmnXY,.,;,.,;,.,;,.,.,;,.,;,.,;,.,2121212121212121ttttttttttttyyyxxxttttttyyyxxxmnmnXYmnmnXY,.,;,.,;,.,;,.,.,;,.,;,.,;,.,2121212121212121 tX tY第118頁/共136頁第一百一十八頁，共136頁。互相關函數及其性質 設兩個隨機(su j)過程 和 ，在任意兩個時刻 的狀態分別為 ，則隨機(su j)

55、過程 和 的互相關函數定義為： tX tY tX tY21,tt 21,tYtX dxdyttyxxyftYtXEttBXYXY212121;, XYB0圖2-6-2 互相關函數第119頁/共136頁第一百一十九頁，共136頁。 正交隨機過程： 若兩個隨機過程 和 對任意(rny)兩個時刻 都具有 則稱隨機過程 和 為正交隨機過程。0,21ttBXY tX tY21,tt tX tY第120頁/共136頁第一百二十頁，共136頁。圖2-6-3 隨機(su j)相位的正弦和余弦正弦余弦(yxin)TTtt_11000sincos余弦第121頁/共136頁第一百二十一頁，共136頁。互不相關隨機過

56、程(guchng) 若兩個隨機過程(guchng) 和 對任意兩個時刻 都具有 則稱隨機過程(guchng) 和 互不相關。 tX tY21,tt 2121tYEtXEtYtXEBXY tX tY必定不一定互為獨立的隨機過程互不相關的隨機過程圖2-6-4 隨機過程獨立與不相關第122頁/共136頁第一百二十二頁，共136頁。互協方差函數：互協方差函數與互相(h xing)關函數的關系： dxdyttyxftYtytXtxtYtYtXtXEttCovXYXY21_22_11_22_1121,;, _2_12121,tYtXttBttCovXYXY0 XYB XYCov _2_1tYtX圖2-6-5 互協方差與互相關函數第123頁/共136頁第一百二十三頁，共136頁。聯合寬平穩隨機過程 如果兩個(lin )隨機過程 和 是寬平穩隨機過程，且它們的互相關函數是任意兩時刻 之差 的函數，即 則稱隨機過程 和 為聯合寬平穩隨機過程。 tX tY21,tt12tt 122121,ttBtYtXEttBXYXY tY tX第124頁/共136頁第一百二十四頁，共136頁。聯合