1、會計學1龍貝格求積公式龍貝格求積公式第一頁，編輯于星期三：九點 十二分。)()(2)(2)(41021112bfxfxfafnabTnjjnjjnhjahxxjj)21(2121其中102111)(24)()(2)(4njjnjjxfnabbfxfafnab1021)(221njjnxfhT10)21(221njnhjafnabT-(3)10)2)12(221njnnabjafnabT第1頁/共12頁第二頁，編輯于星期三：九點 十二分。2,2 , 110abhabhn時，則由(1)(2)(3)式,有)()(21bfafabT)21(22112hafabTT)0(0T)()0(21) 1 (11

2、00hafhTT)(02kTTTkn記kn2若, 2 , 1 , 0k1kjjhax112kkabh12121kjjhxx12)21(kabja12kabjakabja2)12(kkabh2第2頁/共12頁第三頁，編輯于星期三：九點 十二分。因此(1)(2)(3)式可化為如下遞推公式)()(2bfafab)0(0T120001) 12() 1(21)(kjkkhjafhkTkT,2 , 1k(4)-上式稱為遞推的梯形公式 遞推梯形公式加上一個控制精度,即可成為自動選取步長的復合梯形公式思考12001)2) 12(2) 1(21kjkkabjafabkT第3頁/共12頁第四頁，編輯于星期三：九點

3、 十二分。二、外推加速公式由復合梯形公式的余項公式)(3141222nnnnnTTTITITInnTTI31342可得nnjjnTxfnabTI31) )(221(341021由(3)式1021)(6)(431njjnxfnabT第4頁/共12頁第五頁，編輯于星期三：九點 十二分。12kn設)1(31)(3400kTkT102111)(6)(4 )(2)()(231njjnjjxfnabxfbfafnabI )(4)(2)()(6102111njjnjjxfxfbfafnabnS復合Simpson公式nnTTI31342令引入),1(1kT)1(1kT)1(31)(3400kTkTnS12kS

4、-(5)-(6)第5頁/共12頁第六頁，編輯于星期三：九點 十二分。)(15122nnnSSSI因此由復合Simpson公式的余項可得nnSSI15115162)1(1kT12kS即)1(151)(151611kTkTnS)(1kTnS2當然)1(2kT)1(151)(151611kTkT令nC自己證明-(6)nC-(7)第6頁/共12頁第七頁，編輯于星期三：九點 十二分。)1(2kT12kCnC-(8)即)(2kTnC2當然同樣由復合Cotes公式的余項)(63122nnnCCCInnCCI63163642)1(631)(636422kTkT得)1(3kT令)1(631)(636422kTk

5、T-(9)第7頁/共12頁第八頁，編輯于星期三：九點 十二分。)1(1kT)1(31)(3400kTkT)1(151)(151611kTkT)1(2kT)1(3kT)1(631)(636422kTkT)()(2bfafab)0(0T120001)2)12(2)1(21)(kjkkabjafabkTkT,2 , 1k外推加速公式以上整個過程稱為Romberg算法將上述結果綜合后第8頁/共12頁第九頁，編輯于星期三：九點 十二分。)1()(4141)1(11kTkTkTmmmmm其中外推加速公式可簡化為-(9)0(0T)1(0T)0(1T)2(0T)1(1T)0(2T)3(0T)2(1T)1(2T

6、)0(3T,2 , 1mm可以推廣到并且,2 , 1kRomberg算法的收斂階高達m+1的兩倍Romberg算法求解步驟Romberg算法的代數精度為m的兩倍第9頁/共12頁第十頁，編輯于星期三：九點 十二分。龍貝格龍貝格積分積分 /* Romberg Integration */例：例：計算計算dxx 10142 已知對于已知對于 = 10 6 須將區間對分須將區間對分 9 次，得到次，得到 T512 = 3.14159202由由 來計算來計算 I 效果是否好些？效果是否好些？nnnnTTTTI313414422 考察考察412 nnTITI483134TT = 3.141592502=

7、S4一般有：一般有：nnnSTT 1442nnnCSS 144222nnnRCC 144323Romberg 序列序列 Romberg 算法：算法： ? ? ? T1 =)0(0T T8 =)3(0T T4 =)2(0T T2 =)1(0T S1 =)0(1T R1 =)0(3T S2 =)1(1T C1 =)0(2T C2 =)1(2T S4 =)2(1T第10頁/共12頁第十一頁，編輯于星期三：九點 十二分。3 Romberg Integration 理查德森理查德森外推法外推法 /* Richardsons extrapolation */利用利用低低階公式產生階公式產生高高精度的結果。精度的結果。設對于某一設對于某一 h 0，有公式，有公式 T0(h) 近似計算某一未知值近似計算某一未知值 I。由。由Taylor展開得到：展開得到： T0(h) I = 1 h + 2 h2 + 3 h3 + i 與與 h 無關無關現將現將 h 對分，得：對分，得：( () )( () )( () ).)(3232222120 hhhhIT Q：如何將公式精度由如何將公式精度由 O(h) 提高到提高到 O(h2) ？.432112)()(23322020 hhIhTTh 即：即：.1