1、會計學1高等數學教學閉區間上連續函數的性質高等數學教學閉區間上連續函數的性質第一頁，編輯于星期三：七點 四十六分。定義定義: :.)()()()()()()(,),(0000值值小小上的最大上的最大在區間在區間是函數是函數則稱則稱都有都有使得對于任一使得對于任一如果有如果有上有定義的函數上有定義的函數對于在區間對于在區間IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI 例如例如,sgn xy ,),(上上在在, 2max y; 1min y,), 0(上上在在. 1minmax yy,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y, 1max y第1頁/共13頁第二頁，編輯于星期三：七點 四十六

2、分。定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在閉區間上連續的在閉區間上連續的函數一定有最大值和最小值函數一定有最大值和最小值. .ab2 1 xyo)(xfy ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使得使得則則若若注意注意: :1.若區間是開區間若區間是開區間, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若區間內有間斷點若區間內有間斷點, 定理不一定成立定理不一定成立.第2頁/共13頁第三頁，編輯于星期三：七點 四十六分。xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy 定理定理2(2(有界性定理有界性定理) ) 在閉區間上連續的函數一定在閉區間上連

3、續的函數一定在該區間上有界在該區間上有界. .證證,)(上連續上連續在在設函數設函數baxf,bax ,)(Mxfm 有有,maxMmK 取取.)(Kxf 則則有有.,)(上上有有界界在在函函數數baxf第3頁/共13頁第四頁，編輯于星期三：七點 四十六分。定義定義: :.)(, 0)(000的零點的零點稱為函數稱為函數則則使使如果如果xfxxfx .),(0)(內至少存在一個實根內至少存在一個實根在在即方程即方程baxf 第4頁/共13頁第五頁，編輯于星期三：七點 四十六分。定理定理 4(4(介值定理介值定理) ) 設函數設函數)(xf在閉區間在閉區間 ba, 上連續，且在這區間的端點取不同

4、的函數值上連續，且在這區間的端點取不同的函數值 Aaf )( 及及 Bbf )(, , 那末，對于那末，對于A與與B之間的任意一個數之間的任意一個數C，在開區間，在開區間 ba,內至少有一點內至少有一點 ，使得，使得Cf )( )(ba . . ab3 2 1 幾何解釋幾何解釋:.,)(軸至少有一個交點軸至少有一個交點線弧與線弧與則曲則曲軸的不同側軸的不同側端點位于端點位于的兩個的兩個連續曲線弧連續曲線弧xxxfy xyo)(xfy 第5頁/共13頁第六頁，編輯于星期三：七點 四十六分。幾何解釋幾何解釋:MBCAmab1 2 3 2x1xxyo)(xfy 證證,)()(Cxfx 設設,)(上連

5、續上連續在在則則bax Cafa )()( 且且,CA Cbfb )()( ,CB , 0)()( ba 由零點定理由零點定理,使使),(ba , 0)( , 0)()( Cf 即即.)(Cf .)(至少有一個交點至少有一個交點直線直線與水平與水平連續曲線弧連續曲線弧Cyxfy 第6頁/共13頁第七頁，編輯于星期三：七點 四十六分。推論推論 在閉區間上連續的函數必取得介于最大在閉區間上連續的函數必取得介于最大值值 與最小值與最小值 之間的任何值之間的任何值. .例例1 1.)1 , 0(01423至少有一根至少有一根內內在區間在區間證明方程證明方程 xx證證, 14)(23 xxxf令令,1

6、, 0)(上連續上連續在在則則xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零點定理由零點定理,使使),1 , 0( , 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 內至少有一根內至少有一根在在方程方程 xxMm第7頁/共13頁第八頁，編輯于星期三：七點 四十六分。例例2 2.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得證明證明且且上連續上連續在區間在區間設函數設函數證證,)()(xxfxF 令令,)(上連續上連續在在則則baxFaafaF )()(而而, 0 由零點定理由零點定理,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即

7、第8頁/共13頁第九頁，編輯于星期三：七點 四十六分。四個定理四個定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定理根的存在性定理.注意注意1閉區間；閉區間； 2連續函數連續函數這兩點不滿足上述定理不一定成立這兩點不滿足上述定理不一定成立解題思路解題思路1.1.直接法直接法:先利用最值定理先利用最值定理,再利用介值定理再利用介值定理;2.2.輔助函數法輔助函數法: :先作輔助函數先作輔助函數F(x),再利用零點定理再利用零點定理;用時用時1課時課時第9頁/共13頁第十頁，編輯于星期三：七點 四十六分。思考題思考題下述命題是否正確？下述命題是否正確？ 如如果果)(xf在在,ba上上有有定定義義，在在),(ba內內連連續續，且且0)()( bfaf，那那么么)(xf在在),(ba內內必必有有零零點點.業業作作; 3; 274P第10頁/共13頁第十一頁，編輯于星期三：七點 四十六分。思考題解答思考題解答不正確不正確.例函數例函數 0, 210,)(xxexf)(xf在