1、會計學1例計算例計算(j sun)在電偶極子延長線上任一點在電偶極子延長線上任一點A的場強的場強第一頁，共35頁。例例2.2.計算電偶極子中垂線上任計算電偶極子中垂線上任(shng rn)(shng rn)一一點點B B的場強。的場強。-qqr0E+E-oyx解：解：coscosEEEB44202ryqEEo42cos2020ryr23202044cos2ryqrEEoBy yr ro o34ypEoB304yqrEoByrr第1頁/共34頁第二頁，共35頁。例例3.3.電荷電荷(dinh)q(dinh)q均勻地分布在一半徑為均勻地分布在一半徑為R R的圓環上的圓環上。計算在圓環的軸線上任一給

2、定點。計算在圓環的軸線上任一給定點P P的場強。的場強。解：解：oPxxRr dErerdqEd2041dlRqdldq2由于由于(yuy)電荷分布的對稱性電荷分布的對稱性0yEdLxxdEEERoRxRqxdlE2023222)(8dqrxrRqdl2028LdEcos23220)(4Rxqx第2頁/共34頁第三頁，共35頁。23220)(4RxqxE討論討論(toln)： 若若x xR R 則則204xqE可把帶電可把帶電(di din)圓環看成點電荷。圓環看成點電荷。 若若 x=0, E=0 x=0, E=0環心處電場環心處電場(din chng)強度為零。強度為零。3.3.由由dE/d

3、x=0 dE/dx=0 可求得電場強度可求得電場強度 極大的位置，故有極大的位置，故有 Rx22軸負向沿為負，則若xEqoPxxRR22R22EoxE第3頁/共34頁第四頁，共35頁。例例4.4.均勻帶電圓板，半徑為均勻帶電圓板，半徑為R R，電荷面密度為，電荷面密度為。求。求軸線上任一點軸線上任一點(y din)P(y din)P的電場強度。的電場強度。rdr解：解：利用帶電利用帶電(di din)圓環場圓環場強公式強公式2/3224RxqxEordrdq2232242rxrdrxdEo2220112RxxxdEEoR022RxxoE2RXOx討論：討論：第4頁/共34頁第五頁，共35頁。例

4、例5.5.真空中有均勻帶電真空中有均勻帶電(di din)(di din)直線，長為直線，長為L L，總電量為，總電量為Q Q。線外有一點。線外有一點P P，離開直線的垂直距離為，離開直線的垂直距離為a a，P P點和直線兩端點和直線兩端連線的夾角分別為連線的夾角分別為1 1和和2 2 。求。求P P點的場強。（設電荷線密點的場強。（設電荷線密度為度為）a ay yx xdExdEy r解：解： 電荷電荷(dinh)(dinh)元：元：dq=dq=dxdxcosdEdEx24cosrdxosindEdEy24sinrdxoroerdxEd24第5頁/共34頁第六頁，共35頁。24cosrdxd

5、Eox24sinrdxdEoycscsinaaractgxdadx2csc24cosrdxdEox204sinrdxdEya ay yx xdExdEy rdao4cos222csc4coscscadao2202csc4sincscaadao4sin第6頁/共34頁第七頁，共35頁。無限無限(wxin)(wxin)長帶電直線：長帶電直線：1 = 01 = 0，2 = 2 = 0 xEaEEoy2討論討論(toln)：dadEox4cosdadEoy4sina ay yx xE214cosdadEEoxx2104sindadEEyy120sinsin4a21coscos4ao第7頁/共34頁第八

6、頁，共35頁。例例6.6.求無限大均勻帶電求無限大均勻帶電(di din)(di din)平面的場強（面電荷密度平面的場強（面電荷密度）。）。0 x xy yz zdEdEdEdEx x a ay yy ydydy解：解： 平面平面(pngmin)可看作許多與可看作許多與z軸平行無限長均勻帶電細棒組成軸平行無限長均勻帶電細棒組成.dyaaoeyxdyeaEd21220)(22無限無限(wxin)(wxin)長帶長帶電細棒電細棒 aEo2oscdEdEExx020yydEE2202yxxdyP Pldydqldq第8頁/共34頁第九頁，共35頁。例例7.7.有一三棱柱放在電場有一三棱柱放在電場(

7、din chng)(din chng)強度為強度為E E =200 N C-1=200 N C-1的均勻電場的均勻電場(din chng)(din chng)中。求通中。求通過此三棱柱的電場過此三棱柱的電場(din chng)(din chng)強度通量。強度通量。ozyxS1解：解：nn0432155cosESES054321111cosESESES2S5S3S4n第9頁/共34頁第十頁，共35頁。ROrEE解：解： 由于電荷分布球對稱，則場強分布球對稱。場中任意點場強方向沿徑矢，球面上各點場強大小(dxio)相等。在在rRrR處處SSEdSSdE204rQErerQE204例例8.8.高斯

8、面在在rRrR處處042SrESdE0EORQrPSrEdSE240Q0iSqSdE由高斯定理：由高斯定理：第10頁/共34頁第十一頁，共35頁。ORrRrR0E討論討論(toln)： 均勻帶電球殼外任一點場強如同均勻帶電球殼外任一點場強如同Q Q集中在球心的點電荷場強，內部集中在球心的點電荷場強，內部(nib)(nib)場強處處為零。場強處處為零。 球面球面(qimin)(qimin)上（上（r=Rr=R）場強不）場強不連續，連續， 204RQE可由疊加原理求出可由疊加原理求出208RQE 均勻帶電球體外部場強同球殼均勻帶電球體外部場強同球殼033234344RrQrESdES304RQrE

9、內球面上（球面上（r=Rr=R）場強連續）場強連續204RQERr204rQE外球體內部（球體內部（rRrRrR204rQE高斯面Q第11頁/共34頁第十二頁，共35頁。例例9.9.求無限長均勻求無限長均勻(jnyn)(jnyn)帶電直線的場強分布。帶電直線的場強分布。（已知線電荷密度為（已知線電荷密度為）rh高斯面S側PnS下nS上nEEP解：解：無限無限(wxin)長均勻帶長均勻帶電直線的場強具有軸對電直線的場強具有軸對稱性稱性側下上0下上側側SSEdSSdEohrhE2rEo2討論討論(toln):(toln): 無限長帶電圓筒內部無限長帶電圓筒內部 E=0, E=0, 外部外部 rEo

10、20iSqSdErhE2第12頁/共34頁第十三頁，共35頁。例例10.10.計算計算(j sun)(j sun)無限大均勻帶電平面的場強分布無限大均勻帶電平面的場強分布。 （電荷密度為（電荷密度為）解：解：oSSSdE側底2SSdE0側ES底oSES2oE2討論討論(toln)： 均勻電場；均勻電場； 為負，場強方向垂直指向平面為負，場強方向垂直指向平面S第13頁/共34頁第十四頁，共35頁。平面平面(pngmin)之之間：間：oBAEEE內平面平面(pngmin)之之外：外：0BAEEE外02BAEE討論討論(toln)(toln)：（：（3 3）兩無限大均勻帶異號電荷平面的場強）兩無限大

11、均勻帶異號電荷平面的場強分布分布第14頁/共34頁第十五頁，共35頁。例例11.11.兩同心均勻兩同心均勻(jnyn)(jnyn)帶電球面，半徑分別為帶電球面，半徑分別為R1R1和和R2R2，帶電量分別為帶電量分別為+q1+q1和和-q2-q2，求其電場強度分布。，求其電場強度分布。解解: :r 場強分布球對稱(duchn)，由高斯定理求解rRrR1 1SSdSESdE0ESSdSESdE0R R1 1R R2 2+q+q1 1-q-q2 2R R1 1rRrRrR2 2SSdSESdE20214rqqE042rE0124qrE02124qqrE0iSqSdE第15頁/共34頁第十六頁，共35

12、頁。例例12.12.無限長的同軸圓柱與圓筒均勻帶電。圓柱的半徑為無限長的同軸圓柱與圓筒均勻帶電。圓柱的半徑為R1R1，其電荷體密度為，其電荷體密度為1 1，圓筒的內外半徑分別為，圓筒的內外半徑分別為R2R2和和R3R3（R1R1R2R2R3R3）其電荷體密度為）其電荷體密度為2 2，求空間，求空間(kngjin)(kngjin)任一點任一點的電場強度？的電場強度？R1R3R2 1 2解：解：場強具有場強具有(jyu)軸對稱性，由高斯軸對稱性，由高斯定理解題，取圓柱面為高斯面。定理解題，取圓柱面為高斯面。 r rR R1 1SlrESdE2SlrESdE2rRE02112012rE R R1 1

13、r rR R2 2lr0iSqSdE1201lr12101lR第16頁/共34頁第十七頁，共35頁。SlrESdE2SlrESdE2222231210)(21RRRrE22221210)(21RrRrE R R2 2 r rR R3 3 rR rR3 322221210)(1lRrlRR1R3R2 1 2lr22223121)(lRRlR第17頁/共34頁第十八頁，共35頁。例例13.13.已知兩點電荷電量分別為已知兩點電荷電量分別為q1 = 3.0q1 = 3.010 -8C q2 = -10 -8C q2 = -3.0 3.0 10 -8 C10 -8 C。A A 、B B、C C、D D

14、為電場中四個點，圖中為電場中四個點，圖中a=8.0cm, r=6.0cma=8.0cm, r=6.0cm。（。（1 1）今將電量）今將電量q q為為2.02.010-9 C10-9 C的點的點電荷從無限遠處移到電荷從無限遠處移到A A點，電場力作功多少？電勢點，電場力作功多少？電勢(dinsh)(dinsh)能增加多少？能增加多少？ （2 2）將此電荷從）將此電荷從A A點移到點移到B B點，點，電場力作多少功？電勢電場力作多少功？電勢(dinsh)(dinsh)能增加多少？（能增加多少？（3 3）將此）將此點電荷從點電荷從C C點移到點移到D D，電場力作多少功？電勢，電場力作多少功？電勢(

15、dinsh)(dinsh)能能增加多少？增加多少？解解(1)222144arqrqVooA)(106 .36JqVEAPA)(106 . 3)(6JEEWPPAA)(106 . 36JEP0PEABCDrrra/2a/2q1q2)()(BAPAPBABVVqEEW第18頁/共34頁第十九頁，共35頁。04421rqrqVooB解（解（2 2）)(106 . 3)(6JEEWPAPBAB0BPBqVE)(106 . 36JqVEAPA)(106 . 36JEEEPAPBP例例14.14.已知兩點電荷電量分別已知兩點電荷電量分別(fnbi)(fnbi)為為 q1 = 3.0 q1 = 3.010

16、-8C 10 -8C q2 = -3.0 q2 = -3.0 10 -8 C10 -8 C。 圖中圖中a=8.0cm, r=6.0cma=8.0cm, r=6.0cm。 （2 2）今將電量今將電量q q為為2.02.010-9 C10-9 C的點電的點電荷從荷從A A點移到點移到B B，電場力作多少功，電場力作多少功？電勢能增加多少？電勢能增加多少？ABCDrrra/2a/2q1q2222144arqrqVooA第19頁/共34頁第二十頁，共35頁。例例15.15.已知兩點電荷電量已知兩點電荷電量(dinling)(dinling)分別為分別為q1 = 3.0q1 = 3.010 10 -8C

17、 q2 = -3.0 -8C q2 = -3.0 10 -8 C10 -8 C。 圖中圖中a=8.0cm, r=6.0cma=8.0cm, r=6.0cm。 （3 3）今將）今將電量電量(dinling)q(dinling)q為為2.02.010-9 C10-9 C的點電荷從的點電荷從C C點移到點移到D D，電場力作，電場力作多少功？電勢能增加多少？多少功？電勢能增加多少？ABCDrrra/2a/2q1q2解（解（3 3）)(1800442221VrqraqVooC024240201aqaqVD)(106 . 3)()(6JVVqEEWDCPCPDCD)(106 . 36JEEEPCPDP第

18、20頁/共34頁第二十一頁，共35頁。例例16.16.均勻帶電圓環，帶電量為均勻帶電圓環，帶電量為q q，半徑為，半徑為R R，求軸線，求軸線(zhu xin)(zhu xin)上與環心上與環心O O相距為相距為x x處點處點P P的電勢。的電勢。PxrxRO解：解：dlRqdldq2RrqdlrdqdVoo284RrRqdlRrqdVVoLo228282244RxqrqVoo利用利用(lyng)(lyng)方法方法 求解。求解。討論討論(toln)： X X X=0 X=0 xqV04第21頁/共34頁第二十二頁，共35頁。xRor rdrrxP例例17. 17. 利用上述結果，計算均勻利用

19、上述結果，計算均勻(jnyn)(jnyn)帶電帶電Q Q圓盤軸線上任一圓盤軸線上任一點的點勢。點的點勢。 取一半徑(bnjng)為r，寬為dr的小圓環。rdrdq22RQRRrxrdrrxdqV0220022024141Rrxrdr02202當當xRxR時，時，xRxRx2222xQxRxRV00202444解：解：224RxqVo)(2220 xRx討論討論(toln)：相當一點電荷相當一點電荷該圓環的電荷為該圓環的電荷為224rxdqdVo第22頁/共34頁第二十三頁，共35頁。OR例例18. 18. 半徑為半徑為R R的均勻帶電的均勻帶電(di din)(di din)球殼，帶電球殼，帶

20、電(di (di din)din)量為量為Q Q。試求（。試求（1 1）球殼外任意點電勢；（）球殼外任意點電勢；（2 2）球殼）球殼內任意點電勢；（內任意點電勢；（3 3）球殼上電勢；（）球殼上電勢；（4 4）球殼外兩點間）球殼外兩點間電勢差。電勢差。解：解：利用利用(lyng)(lyng)方法方法(2)(2)求求解解均勻帶電均勻帶電(di din)球殼內外場強球殼內外場強0內E（1 1）設）設0VP204rdrQrdEVPrP（2 2）204rdrQrdErdEVRPRRP外內204rdrQrdEVRRR外（3 3）rerQE204外rPrrQ04RQ04RQ04第23頁/共34頁第二十四頁

21、，共35頁。orArABrBRQ04rQ04(4)(4)BABAABrdEVVU外)11(44020BArrrrQrdrQBA討論討論(toln)：（1 1）球殼外一點的電勢）球殼外一點的電勢(dinsh)(dinsh)，相當于電荷集中，相當于電荷集中于球心的點電荷的電勢于球心的點電荷的電勢(dinsh)(dinsh)。（2 2）球殼內各點電勢相等）球殼內各點電勢相等(xingdng)(xingdng)，都等于球殼，都等于球殼表面的電勢表面的電勢 等勢體。等勢體。orRVrQV04RQV04PrPORrP第24頁/共34頁第二十五頁，共35頁。例例19.19.半徑為半徑為R R的均勻帶電的均勻

22、帶電(di din)(di din)球體，帶電球體，帶電(di (di din)din)量為量為q q，求電勢分布。，求電勢分布。解：解：qRr利用方法利用方法(fngf)(2)(fngf)(2)求解求解由高斯定理求球體內由高斯定理求球體內(t ni)、外場、外場強強ioSqSdRqrEo球內球內314RqrEo球外球外224rqEo第25頁/共34頁第二十六頁，共35頁。qRrRrorCdrrqldEV224r=RRoRBdrrqldEV224oAoBCr球內球內314RqrEo球外球外224rqEorqo4Rqo4第26頁/共34頁第二十七頁，共35頁。例例20.

23、 20. 求兩均勻帶電同心球面求兩均勻帶電同心球面(qimin)(qimin)的電勢差。的電勢差。設內球面設內球面(qimin)(qimin)半徑半徑RARA，帶電，帶電+q+q；外球面；外球面(qimin)(qimin)半徑半徑RBRB，帶電，帶電-q-q。解：解：oRARB+q-q內球面內球面(qimin)(qimin)上電荷上電荷+q+q在內外球面在內外球面(qimin)(qimin)上的電勢上的電勢AARqV04BBRqV04外球面外球面(qimin)(qimin)上電荷上電荷-q-q在內外球面在內外球面(qimin)(qimin)上的電勢上的電勢BARqV04 BBRqV04 內球面

24、電勢內球面電勢)11(444000BABAAAARRqRqRqVVV 04400 BBBBBRqRqVVV外球面電勢外球面電勢兩球面電勢差兩球面電勢差)11(40BABAABRRqVVU第27頁/共34頁第二十八頁，共35頁。例例21. 21. 求無限長均勻帶電直線外任一點求無限長均勻帶電直線外任一點P P的電勢的電勢(dinsh)(dinsh)。( (電荷線密度為電荷線密度為) )Prr0A解：解：rEo2 因電荷分布在無限(wxin)遠處，則不能選無限(wxin)遠處為電勢零點。可選A點為電勢零點。drrldEVoorrorrP2)ln(ln2ln20rrrrooo第28頁/共34頁第二十九頁，共35頁。例例22.22.均勻帶電圓環，帶電量為均勻帶電圓環，