1、第七章第七章 平面彎曲桿件平面彎曲桿件 本章內容：本章內容： 第一節第一節 截面的幾何性質截面的幾何性質 第二節第二節 平面彎曲桿件的內力平面彎曲桿件的內力 第三節第三節 彎曲應力和強度彎曲應力和強度 第四節第四節 拉壓與彎曲組合變形桿件的應力和拉壓與彎曲組合變形桿件的應力和強度強度第一節第一節 截面的幾何性質截面的幾何性質 一、截面的靜矩和形心位置一、截面的靜矩和形心位置 dAxyOyxCxC yC 靜矩靜矩(面積矩面積矩)： 如果將微面積看作力如果將微面積看作力, 則則ydA和和xdA就相當于力矩就相當于力矩, 由合力矩定理知由合力矩定理知形心位置：形心位置：靜矩也可表達為靜矩也可表達為:

2、 Sx=AyC, Sy=AxC 靜矩也可表達為靜矩也可表達為: Sx=AyC, Sy=AxC 當坐標軸通過截面的形心時當坐標軸通過截面的形心時, 則該軸稱為此截面的形則該軸稱為此截面的形心軸心軸, 此時此時, 截面形心軸的靜矩為零；反之截面形心軸的靜矩為零；反之, 若截面對某軸的靜若截面對某軸的靜矩為零矩為零, 則該軸必為截面的形心軸。則該軸必為截面的形心軸。 有對稱軸的截面，對稱軸一定是截面的形心軸。有對稱軸的截面，對稱軸一定是截面的形心軸。 組合截面（由若干個簡單圖形組合而成的截面）對某組合截面（由若干個簡單圖形組合而成的截面）對某軸的靜矩等于其所有組成部分對該軸靜矩的代數和軸的靜矩等于其

3、所有組成部分對該軸靜矩的代數和: Sx=Sxi=AiyCi， Sy=Syi=AixCi組合截面形心位置：組合截面形心位置： 例例7-1 計算半徑為計算半徑為r的半圓形對其直徑軸的半圓形對其直徑軸x的靜矩及其形的靜矩及其形心坐標心坐標yC。 解：平行于解：平行于x軸取一窄長條軸取一窄長條作為微面積作為微面積dA, 其面積為其面積為dyyr則則: 形心坐標：形心坐標： yCC 例例7-2 計算圖示截面的形心位置。計算圖示截面的形心位置。 解：由對稱性可知解：由對稱性可知, xC=0(即形心一定在即形心一定在y軸上軸上, 只需求只需求yC)。方法一方法一：將此圖形看成是由將此圖形看成是由、三部分組成

4、三部分組成。A1=A2=30300=9000mm2 A3=30250=7500mm2 yC1=yC2=150mm yC3=300mm+15mm=315mm 例例7-2 計算圖示截面的形心位置。計算圖示截面的形心位置。 解：由對稱性可知解：由對稱性可知, xC=0(即形心一定在即形心一定在y軸上軸上, 只需求只需求yC)。 方法二方法二：將此圖形看成是由一個：將此圖形看成是由一個250330的矩形的矩形減去減去一個一個190300的矩形的矩形組成。組成。A1=250330=82500mm2 A2=190300=57000mm2 yC1=165mm yC2=150mm 二、截面的慣性矩、慣性積和慣

5、性半徑二、截面的慣性矩、慣性積和慣性半徑 dAxyOyx慣性矩：慣性矩： 慣性積：慣性積： 在有些問題中在有些問題中, , 為了應用的方為了應用的方便便, , 將截面的慣性矩表示為截面面將截面的慣性矩表示為截面面積積A A與慣性半徑平方的乘積與慣性半徑平方的乘積, ,即：即：慣性半徑：慣性半徑： 例例7-3 計算圖示矩形截面對計算圖示矩形截面對x軸和軸和y軸的慣性矩和慣性積。軸的慣性矩和慣性積。 因為因為x、y軸均為對稱軸，所以：軸均為對稱軸，所以：Ixy=0 慣性矩：慣性矩： 慣性積：慣性積： 二、截面的慣性矩、慣性積和慣性半徑二、截面的慣性矩、慣性積和慣性半徑 三、平行移軸公式和組合截面的

6、慣性矩三、平行移軸公式和組合截面的慣性矩 兩個坐標系內的坐標有以下關系：兩個坐標系內的坐標有以下關系： 可得：可得： 同理同理, 可得：可得： 組合截面對某坐標軸的慣組合截面對某坐標軸的慣性矩等于所有組成部分對該軸性矩等于所有組成部分對該軸慣性矩之和慣性矩之和, 即即: 例例7-4 計算圖示截面對形心軸的慣性矩。計算圖示截面對形心軸的慣性矩。 解：解： 計算形心位置。計算形心位置。 計算對形心軸的慣性矩。計算對形心軸的慣性矩。 計算對形心軸的慣性矩。計算對形心軸的慣性矩。 第二節第二節 平面彎曲桿件的內力平面彎曲桿件的內力 一、彎曲的概念與梁的計算簡圖一、彎曲的概念與梁的計算簡圖 外力作用線與

7、桿軸線垂外力作用線與桿軸線垂直直, , 桿軸線將由直線變成曲桿軸線將由直線變成曲線線, , 這種變形稱為這種變形稱為彎曲彎曲。AB對稱軸對稱軸縱向對稱面縱向對稱面梁變形后的軸線與梁變形后的軸線與外力在同一平面內外力在同一平面內梁的軸線梁的軸線FByF1F2FAy平面彎曲平面彎曲 梁的計算簡圖梁的計算簡圖 梁的計算簡圖就是梁的力學模型的簡化。由于所研究的梁的計算簡圖就是梁的力學模型的簡化。由于所研究的是等截面直梁是等截面直梁, 且外力均作用在梁的縱向對稱平面內且外力均作用在梁的縱向對稱平面內, 所以通所以通?？梢杂昧旱妮S線來代替梁?？梢杂昧旱妮S線來代替梁, 將荷載和支座直接加在軸線上將荷載和支座

8、直接加在軸線上, 構成梁的計算簡圖。構成梁的計算簡圖。靜定梁靜定梁 僅用靜力平衡方程即可求出全部未知量的梁。僅用靜力平衡方程即可求出全部未知量的梁。超靜定梁超靜定梁 僅用靜力平衡方程不能求出全部未知量的梁。僅用靜力平衡方程不能求出全部未知量的梁?？缍瓤缍?梁在兩支座之間的長度。梁在兩支座之間的長度。單跨梁單跨梁 只有一跨的梁。只有一跨的梁。多跨梁多跨梁 兩跨及兩跨以上的梁。兩跨及兩跨以上的梁。本章僅討論本章僅討論單跨靜定梁單跨靜定梁。 二、梁的彎曲內力二、梁的彎曲內力 剪力剪力與與彎矩彎矩（截面法截面法） 求支座反力：求支座反力： 求求m-m截面的內力：截面的內力： 二、梁的彎曲內力二、梁的彎

9、曲內力 剪力剪力與與彎矩彎矩（截面法截面法） 求支座反力：求支座反力： FSdxmmFS+dxmmFSFSmm+MM+；mm（受壓）（受壓）MM例例7-5 計算圖示簡支梁計算圖示簡支梁1-1和和2-2截面上的剪力和彎矩。截面上的剪力和彎矩。 FA FB 11.5kN FS1 M1解解: 求支座反力求支座反力; 求求1-1截面的內力截面的內力: 10.5kN FS1 例例7-5 計算圖示簡支梁計算圖示簡支梁1-1和和2-2截面上的剪力和彎矩。截面上的剪力和彎矩。 FA FB 解解: 求支座反力求支座反力; 求求2-2截面的內力截面的內力: M2三、梁的剪力圖與彎矩圖三、梁的剪力圖與彎矩圖 xFS

10、(x)FS 圖的坐標系圖的坐標系OM 圖的坐標系圖的坐標系xOM(x)剪力圖為正值畫在剪力圖為正值畫在 x 軸上側軸上側, ,負值畫在負值畫在x 軸下側軸下側 彎矩圖為正值畫在彎矩圖為正值畫在 x 軸上側軸上側, ,負值畫在負值畫在x 軸下側軸下側 例例7-6 作圖示簡支梁在均布荷載作圖示簡支梁在均布荷載q作用下的剪力圖和彎矩圖。作用下的剪力圖和彎矩圖。 解解: 求支座反力求支座反力 由對稱性知由對稱性知: 作剪力圖和彎矩圖作剪力圖和彎矩圖 例例7-7 作圖示懸臂梁的剪力圖和彎矩圖。作圖示懸臂梁的剪力圖和彎矩圖。 解解: 建立剪力方程和彎矩方程建立剪力方程和彎矩方程 作剪力圖和彎矩圖作剪力圖和

11、彎矩圖 例例7-8 作圖示簡支梁的剪力圖和彎矩圖。作圖示簡支梁的剪力圖和彎矩圖。 解解: 求支座反力求支座反力 列剪力方程和彎矩方程列剪力方程和彎矩方程 例例7-8 作圖示簡支梁的剪力圖和彎矩圖。作圖示簡支梁的剪力圖和彎矩圖。 列剪力方程和彎矩方程列剪力方程和彎矩方程 例例7-9 用疊加法作圖示梁的彎矩圖。用疊加法作圖示梁的彎矩圖。 疊加法疊加法：即梁在多個荷載作：即梁在多個荷載作用下所產生的內力用下所產生的內力, , 可以由各個可以由各個荷載單獨作用下所產生的內力疊荷載單獨作用下所產生的內力疊加而得到。加而得到。解解: 先作出由集中力先作出由集中力F單獨單獨作用下所產生的彎矩圖。作用下所產生

12、的彎矩圖。 再作出由均布荷載再作出由均布荷載 q 單單獨作用下所產生的彎矩圖。獨作用下所產生的彎矩圖。 然后由上面兩個圖的縱然后由上面兩個圖的縱坐標疊加得最終彎矩圖。坐標疊加得最終彎矩圖。 注意注意：這里所說的兩個彎這里所說的兩個彎矩圖疊加不是簡單地將兩個圖矩圖疊加不是簡單地將兩個圖形拼在一起，而是將兩個圖形形拼在一起，而是將兩個圖形中相同截面處的縱坐標相疊加中相同截面處的縱坐標相疊加。四、剪力、彎矩與荷載集度的微分關系四、剪力、彎矩與荷載集度的微分關系 四、剪力、彎矩與荷載集度的微分關系四、剪力、彎矩與荷載集度的微分關系 xFS(x)OxOM(x)四、剪力、彎矩與荷載集度的微分關系四、剪力、

13、彎矩與荷載集度的微分關系 xFS(x)OxOM(x)OM(x)x四、剪力、彎矩與荷載集度的微分關系四、剪力、彎矩與荷載集度的微分關系 例例7-10 作圖示外伸梁的內力圖。作圖示外伸梁的內力圖。 解解: 求支座反力求支座反力 判斷各段判斷各段FS、M圖形狀圖形狀: CA和和BD段段: q=0, FS為水平線為水平線, M為斜直線為斜直線; AB段段: q0, FS為向右下斜直線為向右下斜直線, M為下凸拋物線。為下凸拋物線。例例7-10 作圖示外伸梁的內力圖。作圖示外伸梁的內力圖。 CA和和BD段段: q=0, FS為水平線為水平線, M為斜直線為斜直線; AB段段: q0, FS為向右下斜直線

14、為向右下斜直線, M為下凸拋物線。為下凸拋物線。 作剪力圖作剪力圖 CA段只需一個控制點段只需一個控制點: AB段需兩個控制點段需兩個控制點: BD段只需一個控制點段只需一個控制點: 例例7-10 作圖示外伸梁的內力圖。作圖示外伸梁的內力圖。 CA和和BD段段: q=0, FS為水平線為水平線, M為斜直線為斜直線; AB段段: q0, FS為向右下斜直線為向右下斜直線, M為下凸拋物線。為下凸拋物線。 作彎矩圖作彎矩圖 CA段兩個控制點段兩個控制點: (上拉上拉) AB段需三個控制點段需三個控制點: BD段需一個控制點段需一個控制點: 第三節第三節 彎曲應力和強度彎曲應力和強度 mmMmm

15、mmM 一、純彎曲時梁橫截面上的正應力一、純彎曲時梁橫截面上的正應力 FFaaCDAB+FFFS圖圖 CADBFaM圖圖CADB中性軸中性軸中性軸中性軸 中性層與橫截面的交線稱中性層與橫截面的交線稱為中性軸為中性軸, , 梁發生彎曲變形時梁發生彎曲變形時, , 橫截面繞中性軸轉動。橫截面繞中性軸轉動。 dxyzxO d dyzyxOObbybbOO 由于梁的縱向纖維處于單向拉伸或壓縮，在彈性范圍內，由于梁的縱向纖維處于單向拉伸或壓縮，在彈性范圍內，由胡克定律可得正應力：由胡克定律可得正應力：yzxOMzyFNMzMy= 0 (c) = 0 (d) = M (e) = 0 (c) = 0 (d)

16、 = M (e) 梁的彎曲正應力強度條件為：梁的彎曲正應力強度條件為： 例例7-11 試校核圖示試校核圖示T形截面鑄鐵梁的正應力強度。形截面鑄鐵梁的正應力強度。 解解: 作出梁的彎矩圖作出梁的彎矩圖, 其最大值為其最大值為 分別進行彎曲抗拉分別進行彎曲抗拉(梁截面的梁截面的下邊緣下邊緣)、抗壓強度、抗壓強度(梁截面的上邊梁截面的上邊緣緣)校核校核由例由例7-4知知: 最大拉應力最大拉應力: 滿足！滿足！ 最大壓應力最大壓應力: 例例7-11 試校核圖示試校核圖示T形截面鑄鐵梁的正應力強度。形截面鑄鐵梁的正應力強度。 解解: 作出梁的彎矩圖作出梁的彎矩圖, 其最大值為其最大值為 分別進行彎曲抗拉

17、分別進行彎曲抗拉(梁截面的梁截面的下邊緣下邊緣)、抗壓強度、抗壓強度(梁截面的上邊梁截面的上邊緣緣)校核校核由例由例7-4知知: 滿足！滿足！ 例例7-12 試校核圖示工字鋼梁試校核圖示工字鋼梁(l=1m)的許用均布荷載的許用均布荷載q。 已知已知: 解解: 作出梁的彎矩圖作出梁的彎矩圖, 其最大值為其最大值為 根據正應力強度確定荷載根據正應力強度確定荷載 q=28330N/m=16.66kN/m 二、梁的切應力和強度二、梁的切應力和強度 矩形截面梁矩形截面梁 工字形截面梁工字形截面梁 圓形截面梁圓形截面梁 薄壁圓環形截面：薄壁圓環形截面： 例例7-13 矩形截面梁矩形截面梁, 截面的高寬比截

18、面的高寬比h/b=3/2, 確定梁的截面尺寸。確定梁的截面尺寸。 解解: 作剪力圖和彎矩圖作剪力圖和彎矩圖 根據正應力強度確定截面根據正應力強度確定截面 例例7-13 矩形截面梁矩形截面梁, 截面的高寬比截面的高寬比h/b=3/2, 確定梁的截面尺寸。確定梁的截面尺寸。 再根據切應力強度進行校核再根據切應力強度進行校核 解解: 作剪力圖和彎矩圖作剪力圖和彎矩圖 滿足！滿足！ 三、提高梁強度的措施三、提高梁強度的措施 FlF0.02ql2 0.02ql2 三、提高梁強度的措施三、提高梁強度的措施 lqaalq三、提高梁強度的措施三、提高梁強度的措施 zDzaaa12a1z三、提高梁強度的措施三、提高梁強度的措施 bhbh第四節第四節 拉壓與彎曲組合變形桿件的應力和強度拉壓與彎曲組合變形桿件的應力和強度 一、拉壓與彎曲組合變形的概念一、拉壓與彎曲組合變形的概念 二、梁的正應力和強度二、梁的正應力和強度 = + 在截面的左右兩邊緣處正