1、本課內容本節內容2.5 如圖是兩組形狀、大小完全相同的圖形如圖是兩組形狀、大小完全相同的圖形. 用透明紙描出每組中的一個圖形，并剪下來用透明紙描出每組中的一個圖形，并剪下來與另一個圖形放在一起，它們完全重合嗎與另一個圖形放在一起，它們完全重合嗎？做一做做一做（1）（2）（1）（2）我發現它們可以完全重合我發現它們可以完全重合結論結論 我們把能夠完全重合的兩個圖形叫我們把能夠完全重合的兩個圖形叫作作全等圖形全等圖形.動腦筋動腦筋 如圖，如圖，ABC分別通過平移、旋轉、軸反分別通過平移、旋轉、軸反射后得到射后得到 ，問，問ABC與與 能完能完全重合嗎全重合嗎？ A B C A B C 根據平移、旋

2、轉和軸反射的性質，可知根據平移、旋轉和軸反射的性質，可知分別通過上述三個變換后得到的分別通過上述三個變換后得到的 與與ABC都可以完全重合，因此它們是全等圖都可以完全重合，因此它們是全等圖形形. A B C結論結論能完全重合的兩個三角形叫作能完全重合的兩個三角形叫作全等三角形全等三角形. 全等三角形中，互相重合的頂點叫作全等三角形中，互相重合的頂點叫作對對應頂點應頂點， 互相重合的邊叫作互相重合的邊叫作對應邊對應邊， 互相重互相重合的角叫作合的角叫作對應角對應角.ABCABCA( (A) )B( (B) )C( (C) )例如，圖例如，圖（1）中的中的ABC和和 全等，全等， A B C其中其

3、中A與與A，B與與B，C與與C是是對對應頂點；應頂點；記作：記作： ABC . A B CAB與與 ，BC與與 ，CA與與 是是對對應邊；應邊； A B B C C AA與與A，B與與B，C與與C是是對對應角應角.（1）小提示 全等用符號全等用符號“ ”表示，讀作表示，讀作“全等全等于于”. 在表示兩個三角形全等時，通常把表示在表示兩個三角形全等時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應位置上對應頂點的字母寫在對應位置上.結論結論 全等三角形全等三角形的對應邊相等的對應邊相等； 全等三角形的全等三角形的對應角相等對應角相等. 我們知道，能夠完全重合的兩條線段是相等的，我們知道，能夠完全重合的兩條線段

4、是相等的，能夠完全重合的兩個角是相等的，由此得到：能夠完全重合的兩個角是相等的，由此得到： 例如例如，A=A B=B C=C . , , , , AB=A B BC=B C CA=C A ., , ,舉舉例例例例1 如圖，已知如圖，已知ABC DCB，AB=3， DB=4，A=60.（1）寫出寫出ABC和和DCB的對應邊和對應角的對應邊和對應角；（2）求求AC，DC的長及的長及D的度數的度數.解解（1）AB與與DC，AC與與DB，BC與與CB是對應邊；是對應邊；A與與D，ABC與與DCB，ACB與與DBC是對應角是對應角. AC = DB = 4， DC = AB =3.（2） AC與與DB，

5、 AB與與DC是全等三角形的對應邊，是全等三角形的對應邊，A與與D是全等三角形的對應角，是全等三角形的對應角，D =A = 60.練習練習 如圖，已知如圖，已知ADF CBE，AD=4，BE=3，AF=6，A=20，B=120.（1）找出它們的所有對應邊和對應角；找出它們的所有對應邊和對應角；（2）求求ADF的周長及的周長及BEC的度數的度數.解解（1）AF與與CE，AD與與CB，DF與與BE是對應邊；是對應邊；A與與C，AFD與與CEB，D與與B是對應角是對應角. （2）ADF的周長是的周長是13，BEC=40. 兩個三角形滿足什么條件就能全等呢兩個三角形滿足什么條件就能全等呢？下面我們就來

6、探討這個問題下面我們就來探討這個問題. 每位同學在紙上的兩個不同位置分別畫一個每位同學在紙上的兩個不同位置分別畫一個三角形，它的一個角為三角形，它的一個角為50，夾這個角的兩邊分，夾這個角的兩邊分別為別為2cm，2.5cm. 將這兩個三角形疊在一起，它將這兩個三角形疊在一起，它們完全重合嗎們完全重合嗎？由此你能得到什么結論由此你能得到什么結論？探究探究502cm2.5cm502cm2.5cm502cm2.5cm 我發現它們完全重我發現它們完全重合，我猜測：有兩邊和合，我猜測：有兩邊和它們的夾角分別相等的它們的夾角分別相等的兩個三角形全等兩個三角形全等. 下面，我們從以下這幾種情形來探討這個下面

7、，我們從以下這幾種情形來探討這個猜測是否為真猜測是否為真. 設在設在ABC和和 中中， ， A B C ABC=A B C AB=A BBC=B C, , . .（1）ABC和和 的位置關系如圖的位置關系如圖. A B C 將將ABC作平移，使作平移，使BC的像的像 與與 重合，重合，ABC在平移下的像為在平移下的像為 . B C B C A B C 由于平移不改變圖形的形狀和大小，因此由于平移不改變圖形的形狀和大小，因此ABC . .A B C 因為因為 ， ABC=A B C =A B C AB=A B =A B , ,所以線段所以線段AB與與 重合，重合， A B因此點因此點 與點與點

8、重合，重合， AA那么那么 與與 重合，重合， A C A C A B C A B C所以所以 與與 重合，重合， 因此因此 ， A B C A B C 從而從而 ABC A B C . .（2）ABC和和 的位置關系如圖的位置關系如圖（頂點頂點B 與頂點與頂點 重合重合）. . A B C因為因為 ，將將ABC作繞點作繞點B的旋轉，旋轉角等于的旋轉，旋轉角等于 ，所以線段所以線段BC的像與線段的像與線段 重合重合. 因為因為 ，所以所以( (A) )B( (C) )由于旋轉不改變圖形的形狀和大小，由于旋轉不改變圖形的形狀和大小，又因為又因為 ， BA=B A所以在上述旋轉下，所以在上述旋轉下

9、，BA的像與的像與 重合，重合，從而從而AC的像就與的像就與 重合，重合，于是于是ABC的像就是的像就是 因此因此 ABC A B C .( (A) )B( (C) )（3）ABC和和 的位置關系如圖的位置關系如圖. A B C根據情形根據情形（1），（2）的結論得的結論得將將ABC作平移，使頂點作平移，使頂點B的像的像 和頂點和頂點 重合，重合，BB A B C A B C因此因此 ABC A B C . A B C（4）ABC和和 的位置關系如圖的位置關系如圖.將將ABC作關于直線作關于直線BC的軸反射，的軸反射，ABC在軸反射下的像為在軸反射下的像為 A BC .由于軸反射不改變圖形的形

10、狀和大小，由于軸反射不改變圖形的形狀和大小，因此因此 ABC A BC .A根據情形根據情形（3）的結論得的結論得 ， A BC A B C因此因此 ABC A B C .由此得到判定兩個三角形全等的基本事實：由此得到判定兩個三角形全等的基本事實：結論結論兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等.通常可簡寫成通常可簡寫成“邊角邊邊角邊”或或“SAS”.”.例例2 已知：如圖，已知：如圖，AB和和CD相交于相交于O，且，且AO=BO， CO=DO. 求證：求證：ACO BDO.舉舉例例證明：證明：在在ACO和和BDO中，中， ACO BDO.（SAS）AO = B

11、O，AOC =BOD，（對頂角相等對頂角相等）CO = DO，練習練習1. 如圖，將兩根鋼條如圖，將兩根鋼條AA和和BB的中點的中點O連在一起，連在一起， 使鋼條可以繞點使鋼條可以繞點O自由轉動，就可做成測量工件內自由轉動，就可做成測量工件內 槽寬度的工具槽寬度的工具（卡鉗卡鉗）. .只要量出只要量出 的長，就得的長，就得 出工件內槽的寬出工件內槽的寬AB. 這是根據什么道理呢這是根據什么道理呢？ A B解解 ABOABO，AB= AB.2. 如圖，如圖，ADBC，AD=BC. 問：問：ADC和和CBA 是全等三角形嗎是全等三角形嗎？為什么為什么？解解 ADBC ADCCBA.DAC=BCA，

12、又又 AD=BC，AC公共公共 3. 已知：如圖，已知：如圖，AB=AC，點，點E，F分別是分別是AC， AB的中點的中點. 求證：求證：BE=CF.解解 AB=AC, 且且 E，F分別是分別是 AC，AB中點中點， ABEACF，AF=AE，又又 A公共公共， BE=CF.動腦筋動腦筋 如圖，在如圖，在ABC和和 中，如果中，如果BC = ，B=B，C=C，你能通過平移、旋轉和軸反射，你能通過平移、旋轉和軸反射等變換使等變換使ABC的像與的像與 重合嗎重合嗎？那么那么ABC與與 全等嗎全等嗎？ A B C B C A B C A B C 類似于基本事實類似于基本事實“SAS”的探究，同的探究

13、，同樣地，我們可以通過平移、旋轉和軸反射樣地，我們可以通過平移、旋轉和軸反射等變換使等變換使ABC的像與的像與 重合，因重合，因此此ABC A B C A B C .結論結論由此得到判定兩個三角形全等的基本事實：由此得到判定兩個三角形全等的基本事實：兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等. 通常可簡寫成通常可簡寫成“角邊角角邊角”或或“ASA”.”.舉舉例例例例3 已知：如圖，點已知：如圖，點A，F，E，C在同一條直線上，在同一條直線上， ABDC，AB=CD，B=D. 求證：求證：ABE CDF.證明證明 ABDC， A=C.在在ABE和和CDF中，中， A

14、BE CDF （ASA）.A=C，AB = CD，B=D，例例4 如圖，為測量河寬如圖，為測量河寬AB，小軍從河岸的，小軍從河岸的A點沿著和點沿著和 AB垂直的方向走到垂直的方向走到C點，并在點，并在AC的中點的中點E處立一處立一 根標桿，然后從根標桿，然后從C點沿著與點沿著與AC垂直的方向走到垂直的方向走到D 點，使點，使D，E，B恰好在一條直線上恰好在一條直線上. 于是小軍于是小軍 說：說：“CD的長就是河的寬的長就是河的寬.”你能說出這個道理嗎？你能說出這個道理嗎？舉舉例例圖圖3-35ABECD解：解：在在AEB和和CED中，中，A =C = 90，AE = CE，AEB =CED (

15、(對頂角相等對頂角相等) ) AEB CED.（ASA） AB=CD .( (全等三角形的對應邊相等全等三角形的對應邊相等) )因此，因此，CD的長就是河的寬度的長就是河的寬度.練習練習1. 如圖，工人師傅不小心把一塊三角形玻璃打碎如圖，工人師傅不小心把一塊三角形玻璃打碎 成三塊，現要到玻璃店重新配一塊與原來一樣成三塊，現要到玻璃店重新配一塊與原來一樣 的三角形玻璃，只允許帶其中的一塊玻璃碎片的三角形玻璃，只允許帶其中的一塊玻璃碎片 去去. 請問應帶哪塊玻璃碎片去請問應帶哪塊玻璃碎片去？為什么為什么？答：應帶玻璃碎片答：應帶玻璃碎片去去;只有這塊玻璃具備決定全只有這塊玻璃具備決定全等三角形的幾

16、個條件等三角形的幾個條件:在在直角三角形中已知一個銳直角三角形中已知一個銳角和一條直角邊，由角和一條直角邊，由AAS判定定理即可確定兩個三角形全等，故應帶判定定理即可確定兩個三角形全等，故應帶這塊玻璃去這塊玻璃去.2. 已知：如圖，已知：如圖，ABC ，CF， 分別是分別是ACB和和 的平分線的平分線. 求證：求證： A B C C F A C B CF=C F .證明：證明： ABC ABC， A =A , ACB =ACB. AC=AC證明：證明： CF=CF. 又又CF，CF分別是分別是ACB和和ACB的平分線的平分線， ACF=ACF. ACF ACF動腦筋動腦筋 如圖，在如圖，在AB

17、C和和 中，如果中，如果A=A， B= B， ，那么，那么ABC和和 全等嗎全等嗎？ A B C BC=B C A B C 根據三角形內角和根據三角形內角和定理，可將上述條件轉定理，可將上述條件轉化為滿足化為滿足“ASA”的條的條件，從而可以證明件，從而可以證明ABC A B C .在在ABC和和 中，中， A B C A = A，B = B， C =C.又又 ，B=B， BC=B C ( (ASA) ). ABCA B C結論結論由此得到判定兩個三角形全等的定理：由此得到判定兩個三角形全等的定理： 兩角分別相等且其中一組等角的對邊兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等相等的兩個

18、三角形全等.通常可簡寫成通常可簡寫成“角角邊角角邊”或或“AAS”.”.例例5 已知：如圖，已知：如圖，B=D，1=2， 求證：求證：ABC ADC.舉舉例例證明證明 1 =2，ACB=ACD（同角的補角相等同角的補角相等）. .在在ABC和和ADC中，中， ABC ADC （AAS）.B =D，ACB =ACD，AC = AC，例例6 已知：如圖，點已知：如圖，點B，F，C，E在同一條直線上，在同一條直線上， ACFD，A=D，BF=EC. 求證：求證：ABC DEF.舉舉例例證明證明 ACFD，ACB =DFE. BF= EC， BF+FC=EC+FC，即即 BC=EF .在在ABC 和和

19、DEF中，中， ABC DEF（AAS）.A =D，ACB =DFE，BC = EF，練習練習1. 已知：如圖，已知：如圖，1=2，AD=AE. 求證：求證：ADC AEB. ADC AEB（AAS）.1 =2，A = A，AD = AE，證明證明 在在ADC 和和AEB中，中，2. 已知：在已知：在ABC中，中，ABC =ACB， BDAC于點于點D，CEAB于點于點E. 求證：求證：BD=CE.證明證明 由題意可知由題意可知BEC和和BDC均為直角三角形均為直角三角形， 在在RtBEC和和RtCDB中，中，ABC =ACB ，BC = BC ， RtBEC RtCDB（AAS）.BEC =

20、CDB=90 ，探究探究 如圖，在如圖，在ABC和和 中，如果中，如果 ， ， ，那么，那么ABC與與 全等嗎全等嗎？ A B CBC = B C AB=A B A B C 如果能夠說明如果能夠說明A=A，那么就可，那么就可以由以由“邊角邊邊角邊”得出得出ABC. A B C CA=CA 將將ABC作平移、旋轉和軸反射等變換，使作平移、旋轉和軸反射等變換，使BC的的像像 與與 重合，并使點重合，并使點A的像的像 與點與點 在在 的的兩旁，兩旁，ABC在上述變換下的像為在上述變換下的像為 B C B CAA B C A B C . 由上述變換性質可知由上述變換性質可知ABC ， A B C則則

21、， AB=A B =A B AC=A C =A C .連接連接 A A . 1=2，3=4.從而從而1+3=2+4， ， ， A B =A B A C =A C即即 B A C =B A C .在在 和和 中，中， A B C A B C （SAS）. . A B C A B C ABC . A B C ， A B =A B B A C =B A C， A C =A C，結論結論由此可以得到判定兩個三角形全等的基本事實：由此可以得到判定兩個三角形全等的基本事實：三邊分別相等的兩個三角形全等三邊分別相等的兩個三角形全等.通常可簡寫成通常可簡寫成“邊邊邊邊邊邊”或或“SSS”.”.舉舉例例例例7

22、已知：如圖，已知：如圖，AB=CD ，BC=DA. 求證：求證： B=D.證明：證明：在在ABC和和CDA中，中， ABC CDA. ( (SSS) )AB=CD，BC=DA，AC=CA，( (公共邊公共邊) ) B =D.舉舉例例例例8 已知：如圖，在已知：如圖，在ABC中，中，AB=AC，點，點D，E 在在BC上，且上，且AD=AE，BE=CD. 求證：求證：ABDACE.證明證明 BE = CD， BE- -DE = CD- -DE.即即 BD = CE.在在ABD和和ACE中，中， ABD ACE （SSS）.AB = AC，BD = CE，AD = AE，結論結論 由由“邊邊邊邊邊邊

23、”可知，只要三角形三邊的長可知，只要三角形三邊的長度確定，那么這個三角形的形狀和大小也就固度確定，那么這個三角形的形狀和大小也就固定了，三角形的這個性質叫作定了，三角形的這個性質叫作三角形的穩定性三角形的穩定性.結論結論 三角形的穩定性在生產和生活中有廣泛的應用三角形的穩定性在生產和生活中有廣泛的應用. 如日常生活中的定位鎖、房屋的人字梁屋頂等都如日常生活中的定位鎖、房屋的人字梁屋頂等都采用三角形結構，其道理就是運用三角形的穩定性采用三角形結構，其道理就是運用三角形的穩定性. .練習練習1. 如圖，已知如圖，已知AD=BC，AC=BD. 那么那么1與與2相等嗎相等嗎？答：相等答：相等. 因為因

24、為 AD=BC， AC=BD， AB公共公共， 所以所以ABD BAC ( (SSS) ). 所以所以1 =2 ( (全等三角形對應角相等全等三角形對應角相等).).2. 如圖，點如圖，點A，C，B，D在同一條直線上，在同一條直線上， AC=BD，AE=CF，BE=DF. 求證：求證：AECF，BEDF.證明證明 AC=BD， AC+ +BC=BD+ +BC ，即即 AB=CD .所以所以 AECF，BEDF.又又 AE=CF，BE=DF，所以所以 ABE CDF ( (SSS) ).所以所以 EAB =FCD, EBA =FDC ( (全等三全等三角形對應角相等角形對應角相等).).議一議議

25、一議根據下列條件，分別畫根據下列條件，分別畫ABC和和 A B C .（1） ， ， B=B= 45； 3cmAB=A B = 2.5cmAC=A C = 滿足上述條件畫出的滿足上述條件畫出的ABC和和 一一定全等嗎定全等嗎？由此你能得出什么結論由此你能得出什么結論？ A B C 滿足條件的兩個三角形滿足條件的兩個三角形不一定全等，由此得出：兩不一定全等，由此得出：兩邊分別相等且其中一組等邊邊分別相等且其中一組等邊的對角相等的兩個三角形不的對角相等的兩個三角形不一定全等一定全等.（2） A=A= 80，B=B= 30， C=C=70. 滿足上述條件畫出的滿足上述條件畫出的ABC和和 一一定全等

26、嗎定全等嗎？由此你能得出什么結論由此你能得出什么結論？ A B C 滿足條件的兩滿足條件的兩個三角形不一定全個三角形不一定全等，由此得出：三等，由此得出：三角分別相等的兩個角分別相等的兩個三角形不一定全等三角形不一定全等.舉舉例例例例9 已知：如圖，已知：如圖，AC與與BD相交于點相交于點O， 且且AB= DC，AC = DB. 求證：求證：A =D.證明證明 連接連接BC.在在ABC和和DCB中，中， ABC DCB （SSS）. A =D.AB = DC，BC = CB （公共邊公共邊），），AC = DB ，舉舉例例例例10 某地在山區修建高速公路時需挖通一條隧道某地在山區修建高速公路時需挖通一條隧道. 為估測這條隧道的長度為估測這條隧道的長度（如圖如圖），需測出這，需測出這 座山座山A，B間的距離，結合所學知識，你能給間的距離，結合所學知識，你能給 出什么好方法