1、1第七章第七章 FIRFIR濾波器設計濾波器設計 2FIRFIR濾波器設計濾波器設計本章的主要內容為： 7.1 數字濾波器設計的基本要求 7.2 線性相位濾波器的特性 7.3 設計FIR濾波器的窗函數法 7.4 設計FIR濾波器頻率樣本法 7.5 FIR濾波器的最優設計法 7.6 FIR濾波器設計的一些深入問題 3濾波器設計概述濾波器設計概述 從本章起將著重研究信號分析的逆問題，那就是給定了輸入輸出指標，設計系統。這種可以人為調整參數來滿足給定要求的硬件或軟件系統，稱為濾波器。這種問題沒有唯一的解，因為可能有多種類型的濾波器都能滿足給定的要求。要人為地進行選擇，就要考慮更多的因素,所以設計比之

2、分析更加接近與工程實際。 有兩種類型的數字濾波系統。本章將討論FIR數字濾波器的幾種基本設計算法；下一章討論IIR數字濾波器的設計問題。4濾波器設計概述濾波器設計概述本書中的設計大多數是針對選頻型的濾波器。從幅頻特性的要求而言，有低通、高通、帶通和帶阻濾波器；從相頻特性來說，往往要求線性相位。在FIR濾波器設計中，還會涉及到像微分器或希爾伯特變換器之類的系統，盡管它們不是選頻濾波器，但是也遵循選頻濾波器的設計技術。在計算技術高度發展的今天，幾乎所有的電子設計軟件中都把濾波器設計作為其模塊之一。那種用查表、手工計算的方法在工程實踐中已經瀕于淘汰。 5濾波器設計概述濾波器設計概述 數字濾波器的設計

3、要經過三個步驟：確定指標確定指標：在設計一個濾波器前，必須有一些指標。這些指標要根據應用確定。模型逼近模型逼近：一旦確定了技術指標，就可利用前面學習過的基本原理和關系式，提出一個濾波器模型來逼近給定的指標體系。這是濾波器設計所要研究的主要問題。實現實現：上面的兩步的結果得到的濾波器，通常是以差分方程、系統函數或脈沖響應來描述的。根據這個描述，可以如第六章所討論的那樣，用硬件或計算機軟件來實現它。 6濾波器設計概述濾波器設計概述數字濾波器的主要指標：數字濾波器的主要指標： 在很多實際應用，象語音或音頻信號處理中，數字濾波器用來實現選頻功能。因此，指標的形式通常為頻域中的幅度和相位響應。 幅度指標

4、幅度指標可以兩種方式給出。第一種，叫做絕對指標，它提出了對幅度響應函數|H(j)|的要求。這些指標一般可直接用于FIR濾波器。第二種方法叫做相對指標，它以分貝(dB)值的形式提出對幅頻特性的要求。其值定義為：7FIRFIR濾波器設計概述濾波器設計概述相對幅度指標：由于定義中所包含的歸一化，濾波器的相對幅頻特性最高處的值為0dB，又由于定義中的負號，幅頻特性小的地方，其dB值反而是正的。為了說明這些指標，以低通濾波器為例進行討論。首先看下面兩種指標圖，它們分別用絕對指標和相對指標表示。0(log20max10）值jjeHeHdB8FIRFIR濾波器設計概述濾波器設計概述 圖 7.1.1 FIR

5、濾波器技術指標：(a) 絕對指標 (b) 相對指標 9FIRFIR濾波器設計概述濾波器設計概述絕對指標：絕對指標：圖a是典型的低通幅特性絕對指標：0,p段叫做通帶，1是在理想通帶中能接受的振幅波動（或容限）,011。s,段叫做阻帶，2是阻帶中能接受的振幅波動（或容限）， 021。p,s叫做過渡帶，在此段上對幅度響應通常沒有限制，也可以給些弱限制。相對指標（相對指標（dB）：）：低通的典型相對技術指標如圖b所示，三種頻帶的定義不變，只是1 ，2 換成了Rp，As。其中 Rp是通帶波動的dB數; As是阻帶衰減的dB數；10FIRFIR濾波器設計概述濾波器設計概述絕對指標和相對指標間的變換關系：可

6、以用MATLAB語句fgp711準確地求出絕對指標和相對指標的對應數值。并畫出如圖中所示曲線。1101120log0,1pR 11log201210sA201201 10,1 10RpRp2020121010)1 (AsAs11FIRFIR濾波器設計概述濾波器設計概述圖 7.1.2 濾波器絕對和相對指標之間的數據曲線 12FIRFIR濾波器設計概述濾波器設計概述相位指標相位指標主要是線性相位條件。理想的濾波器相位應該和頻率成正比，也就是()= -。因此滿足此式的系統對信號中所有的頻率分量都具有相同的時間延遲 (無量綱)，因此無波形失真。 略低一點的要求是相位和頻率成線性關系，即()= 0-。I

7、IR濾波器無法做到線性相位，通常用群遲延g()來評價。其定義為相位對頻率的導數 ，它愈接近常數愈好。( )( )gdd 13FIRFIR濾波器設計概述濾波器設計概述 上述指標是針對低通濾波器的，其他類型的選頻濾波器，像高通和帶通濾波器，它們的技術指標可作類似的規定，并且可以由低通濾波器演化而得。 本章討論FIR數字濾波器的設計和逼近。FIR濾波器在設計和實現上具有如下的優越性： (a). 相位響應可為嚴格的線性； (b). 不存在穩定性問題；(c). 只包含實數算法，不需要遞推運算。 147.2 7.2 線性相位濾波器的特性線性相位濾波器的特性 線性相位條件要求濾波器分子系數bn滿足對稱性條件

8、。設濾波器的系數長度為N，則這些系數應關于中心點=n0=(N-1)/2對稱。偶對稱時，h(n)=h(N-n-1)；而奇對稱時，h(n)=-h(N-n-1)。再考慮到N可以為奇數或偶數，總共有四種類型的線性相位FIR濾波器。在討論線性相位濾波器頻率響應時需要引進幅特性正負號的概念。以往常設幅特性(Magnitude Response)為正數，因為幅特性的反號可以用相特性加減來補償。當相位特性要求線性，不得隨便增減時，幅特性就必須分出正負,稱為符幅特性(Amplitude Response)。 15線性相位濾波器的特性線性相位濾波器的特性為了計算符幅特性，需要直接作解析計算，求出頻率特性的解析式，

9、并將它分解為幅度和相位特性，即 ，如果()滿足線性相位條件，這時的A()就是符幅特性。對于長度為N的序列h(n)，先考慮兩個對稱的系數h(n)和h(N-1-n)，它們的傅立葉變換為（注意運用樣本值相等的條件使兩項合一）：)()()(jeAH(1)(1)/2(1)/2()( )(1)2 ( )cos( (1)/2)( )jj njNnnjNjNnHeh n eh Nn eh nNneAe 16I I型線性相位濾波器的特性型線性相位濾波器的特性下面分別四種類型進行推導：下面分別四種類型進行推導：1 1類型類型I I，系數對稱，系數對稱，N N奇數奇數序列h的下標n從0起算，到N-1為止，中點位置是

10、L=(N-1)/2。h(L)是一個孤項，其他可配成L對系數。將它們的符幅特性加起來，得到：1(1)/200()( )( )2 ( ) cos()( )( )LjjNnnLjjnH eAh Leh nnh LeAe 17I I型線性相位濾波器的特性型線性相位濾波器的特性為了使四種類型濾波器的公式簡明統一，引進兩個參數。一個是令 ，它就是(7.1.5)式中的值，用以反映延遲的樣本數或群延遲，它可以是分數。另一個是 。即把值向下取整，因為要把L用作下標，它必須是整數。當N為奇數時，=L。在推導中，還注意前一個求和號是從0到L-1,后一個求和號是從0到L,那是把孤項也當成成對項求和，然后再減去一個孤項

11、h(L)。這樣做的目的也是使四種類型濾波器的公式統一。2/ ) 1( N2/ ) 1(NL18I I型線性相位濾波器的特性型線性相位濾波器的特性顯然， 為相角項，相角-,它與成嚴格的線性關系；A()就是符幅項。可見，其符幅特性由L+1個余弦項疊加組成。n=0時的符幅項為2h(0)cos(L)，在=02頻段間波動L個周期；余弦函數在=0，和2處都不等于零，因此類型I線性相位濾波器既可以用作低通濾波器(在=0處，幅特性不為零)；也可以用作高通濾波器(在=處，幅特性不為零)；且可用作帶通和帶阻濾波器。 je0( )2 ( ) cos()( )0 2LnAh nnh L 19IIII型線性相位濾波器的

12、特性型線性相位濾波器的特性類型類型IIII，系數對稱，系數對稱，N N偶數偶數如果N為偶數，那末全部系數都可以配對，不會出現中心點的單項，一共有N/2組對稱出現的系數，頻率特性就成為 此時=(N-1)/2將不是整數, 也就是說，對稱中心將在兩個樣本點的中間。其相角特性仍為()= -,它仍與成嚴格的線性關系。 /2 1(1)/20(1)/2()2 ( ) cos(1)/2)( )NjjNnjNH eh nNneAe20IIII型線性相位濾波器的特性型線性相位濾波器的特性用整數 來表示求和號的上限。得出其符幅特性的表達式可見，它的符幅特性也由L+1個余弦分量構成。這樣，不管N為奇數或偶數時，L都是

13、整數，求和的項數都是L+1。由于=(N-1)/2是分數，所有余弦分量cos(-n) 中都含一個0.5。在=處，就會出現符幅特性必定為零的情況。所以類型II不能用作高通和帶阻濾波器。 12/2/ ) 1(NNL0( )2 ( ) cos(),0 2 LnAh nn 21IIIIII型線性相位濾波器的特性型線性相位濾波器的特性3 3類型類型IIIIII，系數反對稱，系數反對稱，N N奇數奇數當系數序列反對稱時，在(7.2.1)式的推導過程中，h(N-1-n)項將反號而有h(N-1-n) = -h(n)，兩個反對稱項合成的結果是： 所以只要把類型I 結果中的cos換成sin，得到：xexjeejjx

14、jxsinsin22/1( /2(1)/2)0( /2(1)/2)()2 ( ) sin(1)/2)( )( )LjjNnjNH eh nNnh LeAe22IIIIII型線性相位濾波器的特性型線性相位濾波器的特性當N為奇數時，=L=整數。相特性為()= /2-(N-1)/2=/2 -,它雖然仍與成線性關系，但多了一個常數項/2。注意反對稱序列的對稱中心n=L處，序列的值h(L)=0。所以可以放入求和號中，得到它的符幅特性為：正弦函數在=0，和2處都等于零，因此類型III線性相位濾波器的符幅特性在=0，和2處都等于零。它不能用作低通，也不能用作高通濾波器。故不宜用于選頻濾波器。 0( )2 (

15、 ) sin(),02 LnAh nn 23IVIV型線性相位濾波器的特性型線性相位濾波器的特性4 4類型類型IVIV，系數反對稱，系數反對稱，N N偶數偶數與類型II濾波器相仿，若N為偶數，則共有N/2組數值相同反對稱出現的系數，不出現單項，頻率特性式就成為此處仍有=(N-1)/2，因此將不是整數,帶有小數部分0.5。故對稱中心將在兩個樣本點的中間。它的相角特性為()= /2-,雖然仍與成線性關系，但多了常數項/2，故不通過原點。 )2/(0)()(sin)(2)(jjLnjeAennheH24IVIV型線性相位濾波器的特性型線性相位濾波器的特性類型IV的濾波器符幅特性為：因為L是整數，它的

16、符幅特性也由L+1=N/2個正弦分量構成。因為sin(0)=0，在=0處，符幅特性必定為A(0)=0。這樣的特性顯然不能用作低通和帶阻濾波器。實際上這種類型的濾波器也不適用于選頻濾波。把這四種類型的線性相位濾波器的相角特性和符幅特性用對比的方法畫在一張圖上如表7.2.1。 0( )2 ( ) sin() ,0 2 LnAh nn 25 2627符幅特性的計算舉例符幅特性的計算舉例7.2.17.2.1例7.2.1 設系統的系數向量為b=-1,2,4,2,-1，a=1，求其幅頻特性及符幅特性，并作比較。解：先用手工計算，因為a=1,說明這是一個FIR濾波器，觀察系數向量b，其長度N=5，階次為M=

17、N-1=4，傳遞函數為H(z) = -1+2z -1+ 4z -2 +2 z -3 z 4注意h(n)=bn，其頻率響應為：調用abs(H)函數只能求出常為正的幅特性。432402421)()(jjjjnnjjeeeeenheH28幅特性和符幅特性的算法對比幅特性和符幅特性的算法對比要求出符幅特性，必須把對稱系數配對計算。將n=0,4組成一對，n=1,3組成一對，n=2處是對稱中心，h(2)獨立計算，于是有： 由于對稱配置，的高次和低次項搭配成為余弦，合成后的相位項都是 ，故其符幅特性是這三個幅度項的代數和：把本題的幅特性和符幅特性畫成曲線如下圖222222222)(4)cos(4)2cos(

18、24)(2)()(jjjjjjjjjjjjeAeeeeeeeeeeeHjne2je4)cos(4)2cos(2)(A29幅特性和符幅特性的結果對比幅特性和符幅特性的結果對比左上是幅特性，右上是符幅特性；可見符幅特性取絕對值，就得幅特性。下方是相特性，右圖是線性相位，左圖的第二個突跳與幅特性反號對應。圖 7.2.1 例 7.2.1 的幅頻、相頻特性（左）和符幅特性（右） 30計算符幅特性的計算符幅特性的MATLABMATLAB程序程序本書編了一個通用的程序，它能自動判別濾波器的類型并能在(7.2.2a)(7.2.5a)四個公式中，自動選擇正確的符幅特性公式進行計算。把這個函數程序命名為amplr

19、es.m，其調用方法：A,w,type,tao=amplres(h) 其中： h=FIR濾波器的脈沖響應或分子系數向量 A濾波器的符幅特性 w取的頻率向量，在0到pi之間取501個點 type線性相位濾波器的類型 tao符幅特性的群遲延31計算符幅特性的通用子程序子程序amplres.m的核心語句為：N=length(h);tao=(N-1)/2;L=floor(n-1)/2); n=1:L+1;w=0:500*pi/500; % 濾波器頻率向量if all(abs(h(n)-h(N-n+1)1e-10) % 若系數對稱 A=2*h(n)*cos(N+1)/2-n)*w) - mod(N,2)

20、*h(L+1); % 對稱條件下計算A（兩種類型）elseif all(abs(h(n)+h(N-n+1)1e-10)&(h(L+1)*mod(N,2)=0) % 系數為反對稱條件下計算A （兩種類型）A=2*h(n)*sin(N+1)/2-n)*w); end 32線性相位濾波器的特性在閱讀這個程序時，注意以下幾點：（1）。首先要注意程序中的n比公式中的n大1，這是因為MATLAB下標從1開始，而公式中的下標從零開始；公式中的求和指標從n=0到L在程序中是n=1到L+1，依此類推。 （2）。關于判斷序列對稱和反對稱的條件語句，似乎該用all(h(n)-h(N-n+1)= =0，程序中

21、則采用了all(abs(h(n)-h(N-n+1)1e-10)。這是因為生成h(n)和h(N-n+1)中會有計算誤差，為了防止造成誤判，要允許兩者有一點差別； 33線性相位濾波器的特性（3）。計算符幅特性時，用行向量2h(n)與列向量cos(-n)相乘，實現求和號下的相乘累加運算。（4）。程序中采用了mod(N,2)函數，來區分奇偶的不同效果，避免用多個條件轉移語句。在N為奇數時它等于0，而在N為偶數時它等于1。用mod(N,2)去乘一個變量，相當于在N為偶數時把這項變量取消。所以使適用于四種情況的計算程序程序變得如此簡練。34符幅特性算例7.2.2給出由序列h0=3,-1,2,-3 構成的四

22、種類型的系數向量：(a), h1=3,-1,2,-3,5,-3,2,-1,3; (b), h2= 3,-1,2,-3,-3,2,-1,3;(c), h3=3,-1,2,-3,0, 3, -2, 1,-3;(d), h4=3,-1,2,-3,03, -2, 1,-3;分別求出它們的符幅特性曲線，進行比較。解：對(a)的語句如下，其余類推。h1=3,-1,2,-3,5,-3,2,-1,3; A1,w1,typea,tao1=amplres(h1);typea 35符幅特性算例7.2.2的結果運行程序得到typea=1, typeb=2, typec=3 和typed=4，相應的符幅特性曲線見圖7.

23、2.2。可驗證表7.2.1: 類型I幅特性關于=對稱，在=0和=處可以取任何值； 類型II幅特性關于=反對稱，在=0可以取任何值，在=處必定為零； 類型III幅特性關于=反對稱，在=0和=處都必定為零； 類型IV幅特性關于=對稱，在=0處必定為零，而=處可以取任何值； 36線性相位濾波器的特性線性相位濾波器的特性 37線性相位濾波器的零極點分布線性相位濾波器的零極點分布零極點應該從FIR濾波器正冪傳遞函數來判斷。所以它具有與零點數目相同的M個極點，它們集中在z平面的原點處，成為M重極點。可以證明，對于具有對稱性的系數向量，如果z1是(7.2.13)的分子多項式的根，那末它的倒數q1=1/z1也

24、是這個多項式的根。MMMMMMzbzbzbzbzbb11011038線性相位濾波器的零極點分布線性相位濾波器的零極點分布如果z1是復數零點，根據實系數多項式的性質，它的共軛數z1*也是復數零點；現在又證明了它的倒數1/z1也是零點，因而倒數的共軛數z1*也是復數零點。四個復數零點必成組出現，如圖。 圖 7.2.3 線性相位濾波器的極點和成組的四個復零點 397.3 7.3 設計設計FIRFIR濾波器的窗函數法濾波器的窗函數法第五章中研究了理想低通濾波器的頻率特性應為：振幅(符幅)特性在通帶內為1，阻帶內為0；在通帶內的相位特性與成線性關系。即 對應的理想單位脈沖響應(濾波器系數向量)為理想濾波

25、器之所以不能實現，因為(1)其長度是無限的;(2)它是非因果序列。ccnjjdeeH, 01)(0000sin()1( )2()ccjnjncdnnh neednnn 40設計設計FIRFIR濾波器的窗函數法濾波器的窗函數法為了構造特性接近理想低通濾波器的實際濾波器，應當使它具備如下特性：(1).因果序列，在n0處無樣本，起點在n=0處；(2).有限長度，長度為N(階次為N-1),系數下標從0到N-1;(3).系數對稱，以保證線性相位。對稱中心應在n0=(N-1)/2處；也即把理想脈沖響應右移n0;用長N對稱中心在n0=(N-1)/2的矩形窗RN(n)與hd(n)相乘，截取出的實際系數序列h(

26、n)，如下圖)()()(nRnhnhNd41矩形窗截取實際濾波器系數矩形窗截取實際濾波器系數42矩形窗截取的頻率特性計算矩形窗截取的頻率特性計算上圖為理想濾波器的脈沖響應hd(n)和其頻譜；中圖為矩形窗函數RN(n)和其頻譜；下圖時域為hd(n)和RN(n)的乘積，其頻譜為上兩頻譜的卷積。出現波動。 圖 7.3.1 理想低通濾波器的單位脈沖響應及矩形窗頻域卷積 43矩形窗截取的頻率特性計算矩形窗截取的頻率特性計算求理想脈沖函數加窗后的頻譜特性(圖7.3.1(f)可以利用頻域卷積定理。時域相乘h(n)= hd(n)RN(n),對應于頻域卷積，做卷積必須考慮函數的正負號，所以其頻譜需要用符幅特性來

27、表示：其中Hd(j)為hd(n)的頻譜WRN(j)為RN(n)的頻譜，用符幅特性表示。()1()()()2jjjdRNH eHeWed ()()1jjdHee (1)/2sin(/2)()( )sin(/2)jj NjRNRNNWeeAe 44矩形窗截取的頻率特性計算矩形窗截取的頻率特性計算分析其幅度，可得截斷后濾波器的頻率特性這一積分的幾何意義見圖7.3.2。實際的H()和理想的Hd()有兩點差別：（1）通帶內增加了波動，最大的峰值在=c-2/N處。阻帶內產生了余振，最大的負峰在=c+2/N處；（2）在理想特性不連續點=c附近形成過渡帶。過渡帶的寬度近似等于ARN()主瓣寬度。1sin()/

28、2)( )( )2sin()/2)dNHHd45(a).理想濾波器頻譜；(b).矩形窗函數符幅特性；此時相當于=0，它與(a)卷積的結果為矩形窗截斷區的正面積減負面積，設為1。(c ).=c時卷積輸出應為陰影面積的積分，此處應為0.5。(d). c時少一塊負面積，卷積輸出大于1；(e) L+1，即方程數比未知數的數目多，形成了所謂超定方程組。那就不可能找到精確滿足這些方程組的系數d(n)，只能找到最近似地滿足這些方程的最小二乘解。人們總想用最少的系數，在盡量多的頻點上近似逼近預期幅特性。這所以種情況是最常見的。 如果K0的頻段引入90度相移，而對0的頻段引入90度相移，所以也稱它為90度相移器

29、。想把信號帶寬減小一半，可以利用希爾波特變換器的這個特性。 00)(jjeHjd138希爾波特變換器設計希爾波特變換器設計設x(n)的頻譜為 ，讓它通過希爾波特變換器，則輸出信號y(n)的頻譜為：然后把x(n)和y(n)組成復數信號z(n)=x(n)+jy(n)，則z(n)的頻譜函數為: ( )( )0( )( )( )( )( )0reimdreimjXXYHXjXX( )( )( )reimXXjX000)(2)()()(jjjjeXejYeXeZ139希爾波特變換器設計希爾波特變換器設計它在0的頻段內的頻譜.，所以其頻帶寬度減小了一半。由于頻譜的共軛對稱性，它也保留了原來頻譜中的所有信息，可以在接收端完全恢復原來的信號內容。同樣由于非因果和非絕對可加的問題，理想希爾波特變換器是無法實現的。先按因果性的要求，把脈沖序列移后-0.5(N-1)拍， 0.5(N-1)必須是整數，以避免x(n)+jy(