1、淺談初中數學概念的教學方法東莞市 鐘靜【摘要本文從引入概念、形成概念、運用概念三個方面探討了數學概念教學的多種教學 方法以及應注意的問題，并結合實例加以論述?！娟P鍵詞】 數學概念；引入概念；形成概念；運用概念；教學方法數學概念是數學教材結構的最基本的因素，正確理解數學概念，是掌握數學基礎知識的 前提，學生如果不能正確地理解數學中的各種概念，就不能很好地掌握各種法則、公式、定 理，也就不能應用所學知識去解決實際問題，因此，抓好數學概念的教學，是提高數學教學 質量的關鍵。1概念的概述事物都有許多性質和屬性，我們把事物的性質和事物間的關系，統稱為事物的屬性1。 決定該事物z所以成為該事物并區別于其他

2、事物的屬性稱為事物的本質屬性，它是事物存在 的根據，是與其他事物區別的標志。而非本質屬性則是對事物的存在及與其他事物的區別不 起決定性作用的屬性1。概念就是反映事物本質屬性的一種思維方式。數學概念是揭示現實 世界空間形式與數量關系本質屈性的思維形式。它的產生一般說有兩種情形：一種是冑接從 客觀事物的空間形式或數量關系的反映而得到；另外-種是在己有的數學概念的基礎上，經 過多層次的抽象概括而成的1。概念是思維的單位，反映一類事物的特征，是整個數學知識 結構的基礎,是判斷、選擇、推理的重要依據，所以概念教學在整個數學教學屮山冇重要地 位。2數學概念教學的基本要求數學屮有各種各樣的概念，但各種概念的

3、具體內容及在數學中的地位和作用各不相同。 因此，對各個數學概念的具體教學要求也應冇所區別。一般來說，對數學中的一些重要概念 的教學耍求，應使學牛得到較系統的知識。即使學牛了解概念的產牛和發展間的關系、掌握 概念的內涵和外延及表達形式（包括定義、名詞、符號）、能止確運用概念解決有關數學問題, 達到理解、鞏固、系統、會用的概念教學要求。3數學概念的教學方法3. 1引入概念的教學概念的引入是概念教學的第一步，它是形成概念的基礎。引入這個環節設計、組織得好, 后而的教學活動就能順利展開，學生就會對教師所提供的感性材料進行分析、比較，繼而順 利地形成概念。3. 1. 1引入概念的方法3.1.1.1實例引

4、入列寧指出：“從生動的直觀到抽象的思維，并從抽象的思維到實踐；這是認識的真理， 認識客觀實在的辨證途徑2。”概念教學也是這樣，從直觀形象引入概念、充分利用模型、 實物、圖畫、圖表等，尤其是幾何，冇了實物、圖虺，使學生更容易的獲得鮮明的鬪、全等 圖形等概念。實例引入是指利用學牛的牛活實際和所熟悉的事物及實例，從具體的感知引出 概念。如初三引入圓的概念，収一定長的線段，固定一個端點在黑板上，另一端點繃緊筆尖, 然后將線段繞著固定端點旋轉一周，它的另一端點筆尖所畫出的封閉曲線就是岡。畫圖的過 程，形成生動的直觀；畫圖時，引導學生觀察圖的形成有什么特點；再引導學生抽象出惻的 定義，這樣直觀演示，引導學

5、生觀察、抽象得出概念，不僅使學生豐富了感性認識，形成正確的概念，而口培養、提高了學牛的觀察能力和思維能力。3. 1. 1.2舊知引入iri知引入是指利用學生已寧握的概念引出新概念。數學概念z間冇著井常密切的聯系， 許多新概念是建立在已有概念的棊礎上，是舊概念的延仲和發展。利用學生已有概念引申、 推導出新概念，可以強化新門知識間的內在聯系，幫助學生弄清知識的來龍去脈和前因后果, 幫助學牛建立概念體系，使學牛學到的知識是系統的、完整的。利用這種方法引入，還能充 分調動學生學習的積極性、主動性。如講授一元二次方程概念時，首先復習一元一次方程的 概念的特點,并解釋“元”和“次”的意義,然后引導學生觀察

6、方程x（x+5）=150并與一元一 次方程作對比，強調其異同點，可以引導學生得出一元二次方程的定義。這樣以i口帶新、由 己知到未知，符合認知規律，給學生留下深刻卬彖，同吋，有助于學生區別兩個有密切聯系 的概念。3.1.1.3計算引入計算引入是指通過計算發現問題，通過計算引出概念。教材中有些概念既不便用實例引 入，乂與已有概念聯系不大，就可以通過對運算的觀察分析，發現其屮蘊含的本質特征，揭 示數量或形的本質屬性，達到引出概念的h的。如教學“余角和補角”時，可以先給出如下 幾個和是90。的兩個角相加的算式，如“30° +60° ； 45° +45° ； 21

7、° +69° ； 15° +75° ”, 讓學生計算出結果，再觀察、分析，從中發現規律，繼而引出“余角”定義，類似的，教學 “補角”和“相反數”時也可以用此引入法。3.1.1.4聯想引入聯想引入是指依據客觀事物z間的相互聯系，由一事物想到另一事物的引入方法。由于 數學知識間存在著類似、平行、遞進、対比、從屬、因果等關系，這就使學牛的大腦能將兩 個看似互不相及的知識聯系起來，使學生的思維像展翅的雄謄在知識的天空中翱翔。教學中 啟發學生展開豐富的想象，引發多端的聯想，會使學生的創造性思維能力在自由聯想的天地 中獲得更大發展。如從相反意義的量引入正數利負數的概

8、念，從平方根的概念引入算術平方 根的概念，從平行四邊形的概念引入矩形、菱形、正方形的概念等。又如從單項式的次數的 概念引入多項式的次數的概念，從弦的概念引入直徑的概念，從圓周角的概念引入弦切角的 概念等。這樣引入，既可提高學生的學習興趣，又能使學生的創造性思維得到發展。3.1.2引入概念的教學中應注意的問題3. 1.2. 1要注意概念的內涵不能把數學概念等同于政治、歷史科h屮的詞語解釋，例如概念“相反數”，若只注垂符號相反，那么對于“已知代數式x+1與3互為相反數”就感到不可理解了。3. 1.2.2要適當的運用變式變式就是變換概念的非木質屬性，突出木質屬性，從而促進學生對概念的正確理解2。 在

9、進行概念的引入教學時，往往由于教師所提供的感性材料的某些片面性，會使學生忽略對 事物本質屬性的認識，影響學生數學概念的形成。這就要求教師在舉例或使用教具時，要適 當的運用變式。例如，對于“同位角，內錯角，同旁內角”，我們不但要照教材圖形（1）去 建立概念，而且還應通過圖（2）、（3）中的變式圖形給學生作練習，不然今厲位置一變，學生 就不會找同位介，內錯角，同旁內角了。j一 d圖形(1)圖形(2)圖形(3)所以教師要采取變式的方法，引導學生分析不同事物的各種性質，找出同類事物的共同的本 質特征，這樣學生才不易受事物的非木質屬性(如方位等不同)的影響，正確的理解和掌握 概念。3. 2形成概念的教學

10、形成概念的教學是整個概念教學過程中至關重耍的一步。概念的形成是通過対具體事物 的感知、辨別而抽象、概扌舌出概念的過程，因此學生形成概念的關鍵就是發現事物或形的本 質屬性或規律。3.2. 1形成概念的方法3.2. 1.1比較發現比較發現是指通過比較事物z間的相同點和不同點，從而總結岀本質屬性或規律。這種 方法是針對事物之間的界同點進行探索，能提供對事物較為全面的認識，是一種重要的科學 發現方法。運用這種方法可以使學生正確認識數學知識間的異同和關系，防止知識間的割裂 與混淆，使學生更好的理解和學握數學概念。如教學“中心對稱”時，先給出多組有關旋轉 對稱的建筑圖片和數學圖形，讓學生分別觀察每組圖的特

11、點，接著教師用多媒體演示圖形以 旋轉角0°180。旋轉的動態過程，讓學生比較不同旋轉角下圖形的特點，最后從旋轉角為 180°時圖形的特點，得出中心對稱的概念。3. 2. 1.2數形結合因為數學是研究客觀世界的空間形式與數量關系的一門科學。它的產生與發展是形與數 的相互依存、相互促進的過程。因此在數學概念的教學中，借助與“形”使概念理解得更直 觀、更具體、更準確。例如，在不等式組的解集概念的教學中，幾個不等式的解集的公共部 分，學生普遍感到“虛無飄渺”。然而，借助于數軸“形”的克觀性，將幾個不等式解集在同 一數軸上表示出來，公共部分就很容易找了，通過如此“數”與“形”的結合，

12、幾個不等式 的解集的公共部分神秘的而紗就被揭開了。這樣不等式組的解集的概念在學生的頭腦中就有 了立足z地。3.2. 1.3歸納發現歸納發現指的是引導學生對大量的個別材料進行觀察、分析、比較、總結，從特殊中歸 納出一般的帶有普遍性的規律或結論。教學中可以引導學生通過對具體實例的直接觀察，進 行歸納推理，得出結論；也可以讓學生對實際例子進行分析，歸納出結論。例如講解“單項 式”概念吋，列代數式： .邊長為a的正方體的表面積為，體積為 ； 鉛筆的單價為x元，圓珠筆的單價為鉛筆的25倍，圓珠筆的單價為； .一輛汽車的速度是v千米/時，它t小時行駛的路程為千米； 數n的相反數是。觀察以上式子，以上幾個式

13、子有什么共同特征？(提示：從數據和運算兩個角度來考慮) 由學牛觀察的結果讓學?？偨Y單項式的概念。這一例子說明，概念的形成是學牛根據實例, 觀察分析特征，概括出概念的木質屬性：由數與字母的乘積組成的代數式稱為單項式。特別 的，單獨一個數或一個字母也叫做單項式。3. 2.1.4嘗試發現嘗試發現是指在教學過程中，教師不直接把現成的結論告訴學生，而是在教師的指導下, 讓學牛進行嘗試活動，使學牛在嘗試中學習，在嘗試中發現，在嘗試中成功。嘗試是人們認 識客觀事物尤其是未知事物的一種方式，許多發明創造都是通過嘗試血成功的。教學中讓學 生嘗試著去進行發現，成功了可以使學生了解知識的產生發展過程，更好的理解和掌

14、握概念; 如果火敗，則可引導學牛發現口己的錯誤，使學牛了解錯誤產牛的根源，為下一步的嘗試成 功打下基礎。如上“科學記數法”這節課時，教師先讓兩位學生上講臺用數字在黑板上表示“光的速度大約是30萬千米/秒”，“太陽的半徑大約是69萬6千千米”，學牛容易出錯，教 師接著又舉例：在日常生活中，常常會遇到像這樣的比較大的數，如地球離太陽約有一億五 千萬千米，如此人的數使讀、寫都很困難，而數學強調簡潔而準確的美，怎么辦呢？然厲讓 學生翻開書本，尋找答案。這樣，明確了發現的id標和中心，喚起學生的注意，激發了學生 探求的愿望和學習興趣，充分調動學生學習的積極性和主動性，學習任何知識的最冇效途徑 便是由口己

15、去發現。這種“發現”學牛垠深刻，也授容易拿握內在規律和性質。因此，教師 在講授新課時，當學生自學完課本后，讓學生試用科學記數法axl°n形式表示300000000, 學生會寫：300000000 = 3x 100000000 = 3x 10% 教師提問，如來不寫 3x100000000 這 -步， 能否直接寫出答案。學生猜想：0前而是3, “x ”前面寫3； 0的個數是& 10的指數就是& 依此推測685000 = 685 x 103,學生發現不對,“x”前面的數應為6.85,即a是一個整數位數 只有一位的數，應是685000=6. 85x103嗎？又將685000寫

16、成6.85x100000驗證,應為685 x105；再猜想10的指數到底山什么來確定呢？學生猜想：山原數的位數減1嗎？又依次類推 680005 與 68000. 5 的表示法,發現 68 0 0 05 = 6. 80 0 05 x 105,而 68000.5=6. 80005 x104,不是 105,所以指數n應是原數的整數位數減1。這樣，學生在教師的啟發引導下，積極思考，進 行分析、綜合，并展開不同觀點的討論，直到發現結論。學生得出結論后，運用練習，對不 同的情況進行分析,如中間有小數點的：7032.6008,是負數的：一42000.1005。學生鞏固后, 又讓學生將用科學記數法農示的數還原

17、，學生總結規律：10的指數是n,整數位數就為n+1, 將“x”前面的數寫完,不足用0補足,如2. 00503x 10s還原為200503000,共9位。此節課 教師并不擔心學生出錯，學習本身就是一個不斷嘗試的過程，關鍵在于能不能抓住學生的注 意力，他們是不是愿意參與進來，充分地表達自我，從而提升對數學的熱愛，更好地學習數 學。3.2.2形成概念的教學中應注意的問題3.2.2. 1注意學生的參與在數學概念的形成過程中，不僅要讓學生明確概念引入的必要性，而且還要讓學生參與 對冇關感性材料的認識、分析、抽象和概括的過程，這是因為概念的形成總是由具體到抽象, 由特殊到一般，經過分析與綜合去掉非本質特征

18、，保留本質屬性，從而形成概念的。為此， 要注意概念在現實生活中的發生過程的教學。例如，教學“零指數”幕的概念時，教師可以4444先提出3=?,學牛一方面町以根據除法知識得出a -a =i；另一方而仍|h形式上使用同底數幕相除的法則，把法則a “ 一 a “ = anvn使用的范圍擴展到m a n來計算，得到 a -a二a ,為使兩者一致，顯然，只冇規定a =i（axo）,這樣就產生了定義零指數的 概念，經檢驗這樣的定義對于正整數指數幕的法則也都適介，從而說明這種規定的介理性。3. 2. 2. 2要揭示數學概念的形成過程讓學生從概念的現實原型、概念的抽象過程、數學思想的指導作用、形式表述和符號化

19、 的運用等多方位理解一個數學概念，使之符合學生的主動建構的教育原理。美國的杜賓斯基 等人在數學教育研究實踐中發展起來一種ap0s理論4（以函數概念為例）：action （活動）階段理解函數需要活動或操作，例如對s=60t,當t取一個確定的值 如t=2,則s就隨z確定了一個值120,當t=3時，s=180o通過操作活動，理解函數的意義。process （過程）階段把上述的操作活動綜合為一個函數過程，一般地有當這兩個變 量屮的某一個變量有確定的值時，另一個變量有唯一確定的值與之相對應。object （對象）階段一一然厲可以把函數過程當作一個獨立的對象來處理，在一個變化 過程中都有兩個變量，我們可以

20、用x和y來表示，對于x的每一個值，y都有唯一確定的值與 z相對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數。scheme （圖式）階段一一此時的函數概念，以一種綜合的心理圖式存在于腦海里，在數 學知識休系中占有特定的地位。這一心理圖式含有具休的函數實例性質、抽象的過程、完整 的定義，乃至和其他概念的區別和聯系（方程、圖像等等）。其中的“活動”階段是學生理解概念的一個必要條件，通過“活動”讓學生親身體驗、 感受直觀背景和概念間的關系；“過程”階段是學生對“活動”進行思考，經歷思維的內化、 概括過程，學牛在頭腦中對活動進行描述和反思，抽彖出概念所特有的性質；“對彖”階段是 通過前面的抽象認識到了概念本

21、質，對其進行“壓縮”并賦予形式化的定義及符號，使其達 到糟致化，成為一個思維中的具體的對象，在以厲的學習中以此為對象去進行新的活動；“圖 式”的形成是要經過長期的學習活動進一步完善，起初的圖式包含反映概念的特例、抽彖過 程、定義及符號，經過學習，建立起與其他概念、規則、圖形等的聯系，在頭腦中形成綜合 的心理圖式。3. 2. 2. 3要適當運用對比對于容易混淆的概念，要通過分析、對比找出它們的異同點，既要找到它們的內在聯系, 乂要找到它們的根木區別。例如，在學習“直線、射線、線段”時，需要引導學生對比，找 出它們的聯系和區別，聯系：直線、射線、線段是整體與部分的關系，線段和射線是直線的 部分，它

22、們都是由無數的點構成的，在直線上収一點，則直線可分成兩條射線；取兩點則 可以分成一條線段和兩條射線。把線段兩方延長或把射線反向延長就會得到冑線。區別：直 線無端點，長度無限，表示直線的字母無序；射線有一個端點，長度無限，表示射線的字母 有序；線段有兩個端點，可以測量t度，表示線段的字母無序。這樣學生就能清晰地建立“直 線、射線、線段”的概念，而不會產生混淆。3. 2. 2. 4要及時做出言語概括數學中的有些概念是給予了科學的定義，而有些概念則不給定義，是通過描述或舉例說 明的方法給出的。在形成概念的教學過程中，需要把所學概念準確、精煉、及時地概括出來, 使其條理化，便于學生記憶。在進行言語概括

23、時，注意要讓學生動腦總結，教師不要包辦代 替；總結準確的要加以肯定，予以表揚，不準確的要及時糾正，予以鼓勵。進行言語概括還 要注意適時，要根據知識的內在聯系和學牛的認知水平，在學牛豐富'了感性認識后，順水推 舟地揭示概念，如過早地概括出概念，學生就會對概念死記硬背，使概念的掌握流于形式； 過晚則起不到組織、整理概念的作用，達不到傳授知識、培養能力的目的。3.3運用概念的教學概念的形成是一個由個別到-般的過程，而概念的運用則是一個由一般到個別的過程， 它們是學牛學握概念的兩個階段。通過運用概念解決實際問題，町以加深、豐富和鞏固學牛 對數學概念的掌握，并且在概念運用過程中也有利于培養學生思

24、維的深刻性、靈活性、敏捷 性、批判性和獨創性等等，同時也有利于培養學生的實踐能力。3.3. 1運用概念的方法3.3. 1.1復述概念或根據概念填空例如： 什么叫做圖形的全等？ 如果一個數的平方等于a,那么這個數叫做a的（）。3. 3.1.2運用概念進行判斷例如：判斷正謀：a. 尿的平方根是±4。b. 32+x=69 是方程。試判斷以如下的a、b、c為邊長的三角形是不是直角三角形？如來是，那么哪一邊所對的 角是直角？（1）滬25, b二20, c=15（2） a=l, b=2, c=33. 3. 1.3運用概念進行推理例如：己知jx + 2 + | y-8 | =0,則xy的值為多少？

25、若i a-10 | + (b-6) 2+-8 =0,則由a. b、c為邊長所組成的三角形是什么三角 形？3.3.2運用概念的教學中應注意的問題教學中主要是通過練習達到運用概念的目的。練習是使學生掌握基礎知識和技能，培養 和發展學生思維能力的重要手段。練習時需要注意以下兒點：3.3.2. 1練習的目的要明確在練習時必須明確每項練習的h的，使每項練習都突出重點，充分體現練習的意圖，做 到有的放矢，使練習真正有助于學生理解新學概念，有利于發展學生的思維。如為了幫助學 生鞏固新學概念和形成基本技能，可以設計針對性練習；為了幫助學生克服處式的干擾，進 步明確概念的內涵和外延，可以設計變式練習；為了幫助學

26、生分清容易混淆的概念，可以 設計對比練習；為了幫助學生擴展知識的應用范圍，加深學生對新學概念的理解，培養學生 的創造性思維，可以設計開放性練習；為了幫助學生疏通新學概念與其他知識的橫向、縱向 聯系，促進概念系統的形成，培養學牛綜合運用知識的能力，可以設計綜合性練習等。3. 3. 2. 2練習的層次要清楚學生認識事物不能一次完成，需要一個逐步深化和提高的過程。因此練習時要按照由簡 到繁、由易到難、由淺入深的原則，逐步加深練習的難度。如學過“二次函數”后，可以安2排以下三個層次的練習： 已知二次函數y = ax ,當x = -2時，y =【。求此二次函數的 解析式。 已知00的半徑為1，周長為1,

27、面積為s。求：1與r、s與i的函的關系式；在 這兩個函數屮哪個是二次函數？這一層是基本練習，它是剛學完新課之后的單項的、帶有模 仿性的練習，它可以幫助學生鞏固知識，形成正確的認知結構。 當m為何值時，函數 y = (m l)x,n +1是二次函數？如果y = (k -3)xk '3k+2 + kx +1是二次函數，求k的值和函 數解析式。這一層是發展練習，它是在學生已基木掌握了概念和初步形成一定的技能之片的 練習，它可以幫助學生形成熟練的應用技能技巧。已知：如下圖(1)所示，正方形abcd 邊長為4, e是bc上一點，f是cd上一點，且ae=af,設zaef的而積為，ec的長為x,求關于x的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍。 如下圖(2)所示，aabc的面 積為等于12, bc=6,點p在bc邊上滑動，pdab交ac于