1、數學文化期末考試重點（僅供參考）切記：數學老師喜歡美的事物，so字跡工整很重要！題型：選擇、填空題、計算題、簡答題、論述題（不超過300字，闡述主要觀點）課本知識：一、數學是什么（至少說7、8種）：結合自我體會1、萬物皆數說：畢達哥拉斯“數字統治著宇宙”2、符號說：伽利略、希爾伯特；數學是一個符號化的世界3、哲學說：亞里士多德、歐幾里得4、科學說：馮·諾依曼；學科的相對獨立性5、邏輯說：懷特黑德、羅素、費雷爾；形式邏輯與辯證邏輯；演繹與歸納推理6、集合說：康托爾；集合論；全部數學都能夠從公理集合論推導出來 集合說是現代數學的基礎。如有序對、關系、等價關系、線序、良序、函數、自然數等等

2、。7、結構說：張景中 三種結構：代數結構、序結構、拓撲結構。數學是研究相互結構的關聯，這種關聯反映在變量關系上，如正變化和逆變化、加速變化、收斂變化、周期變化、階梯變化等。張奠宙8、模型說：懷特黑德、雷尼 數學理論常常是某種具體問題的抽象模型，體現了思維對現實的反應。 加法做合并或移入的模型，減法做拿走比較或逆運算的移出模型；微積分是物理運動的模型；概率論是偶然與必然的模型；歐氏幾何是現實空間的模型；非歐幾何是超維空間的模型。9、工具說：扎德、開爾文、康德、懷特黑德 數學成就了一切科學：歐氏幾何的作用，繪畫；經濟數學、數量經濟學、工程數學、生物數學醫學；環境污染防治，數值天氣預報10、直覺說：

3、布勞威爾 直覺是數學家在進行深入研究時候的一種感受，雖感覺常常“不合”邏輯，但在開創性的研究中，“感覺”更加重要。仿生學、“紅移”、復數的發現。11、精神說：M·克萊因 精神說認為數學是一種精神，特別是理性精神，能夠使人類的思維得以運用到最完美的程度。指人的品格：專業的陶冶；理性優雅。指對于專業的追求：嚴謹、刻苦，有的人終生獻身于數學。古希臘的很多優美文學、哲學、建筑學都得益于數學精神。12、審美說：亞里士多德、馮·諾依曼、羅素、龐加萊從論證的嚴密性體會數學的嚴肅美 例：幾何、代數命題的證明從表達的簡潔性體會數學的簡約美 例：牛頓定律、質能互變定律從表達的對稱性體會數學的和

4、諧美 例：橢圓、雙曲線、拋物線方程等奇異美 例：奇點理論13、活動說：彼賽爾 職業、興趣 數學起源于人類的各種各樣的實踐活動。 是一種人文意識、社會意識。14、藝術說：哈代、A·波萊爾 要能鑒賞數學，欣賞數學，能對一個很特殊的思維世界里的種種概念在精神上的雅與美有一種獨特的感受力。15、另外還有：技術說、語言說、游戲說 綜上所述：數學是研究現實世界中數與形之間各種模型的一門結構性科學。2、 什么叫做“元”概念： 數學概念中的一些”原始概念”，是一種初始設定，是一種不需要證明的內容。比如點、線、面，我們只須指出它的所指意義就行了。3、 什么叫做“三元結構”：數學文化的“三元結構”指的是

5、用如下的“三元結構”的價值體系來確定出一個比較完全的數學文化的體系結構。所謂數學文化的自在價值，是使數學成為一門學科的那部分實實在在的東西，這部分內容是用概念去界定的，是諸多概念的集合。三原結構：自在價值（概念）、工具價值（方法）、應用價值（模型）數學文化的”三元結構“圖四、數學文化的外延性有哪幾種？舉例子，至少四個。（1） 數學與文學。如用數學思維編寫詩歌、文學作品，表現一部好作品中井然有序的結構，準確簡潔的敘述；運用統計學研究紅樓夢作者；對紅樓夢進行統計分析和風格分析；運用頻譜分析判斷作品的作者。（2） 數學與史學。把數學方法引入到史學研究中產生了一門新學科史衡學，是史學研究中的加工、整理

6、更加科學化、準確化，排除較多人為主觀因素。如1986年在上海陸家嘴發現的元朝玉褂中含有一個魔方，這個魔方雖是4階，卻遠遠超過西安安王府的6階魔方，改變過去世界上只認為印度才有這種”完全魔方“的說法。（3） 數學與哲學。同宗同源（4）數學與經濟。比如：交換；數學的極大極小定理成就了“對策論”；“一般均衡理論”；控制理論和遞度法。運用數學建立經濟模型；運用數學方法組織、調度、控制生產過程，從數據處理中獲取經濟信息等。（5）數學與語言。如把演繹方法引人語言學，建立代數語言學；借助計算機，對語言進行整理，編纂辭書；計算機風格學被成功應用于”作者考證“的研究中。朱斯突破關于語言符號“連續性”的傳統觀念，

7、引入“離散性”。（6）數學與高科技。蒸汽機與微積分、定積分與面積計算、微分方程與水土保持；高科技的發展賴于對數學基礎的支持與運用。如在石油勘探中，美國人在數據處理中運用Wiener濾波，在一條河流直下的930km處，探明一個儲量超過10億桶的大油田；在飛機制造中運用有限元分析結構強度和穩定性；最優法使飛機既省油又提高速度；用概率論解釋色盲分布的平穩性等。五、數學文化的哲學思維有哪幾種？具體內容？舉例子、體會（1） 抽象思維。是數學思維中最根本、最基礎的內容之一，是數學文化中哲學觀的靈魂，所謂抽象，就是把同類事件中最關鍵、最根本的本質性的東西提取出來，并加以歸納，使其具有更大的推廣性和普適性。抽

8、象思維必須是在一個抽象概念中涵蓋那個概念所涉及的所有物理現象的本質內容。例如，七橋問題的解決與運用；又如老師為了更好地使學生理解概念幫掌握概念，往往會采取用具體的例證幫助學生形成概念，從而使學生學會從具體到抽象的思維過程。比如在集合概念的教學中，抓住集合中元素的確定性，互異性和無序性等內涵，舉出定量的實例(包括對象定數、式、圖形，人或其他任何事物)讓學生對一定數量現象分析比較，抓住事物的屬性，歸納出抽象集合概念，使學生容易把握集合概念的內涵，容易形成集合概念。在學習空集概念時，一定要用實例幫助學生建立空集的定義。例如舉例A=X=X2 +1=0,XR,B=XX2 =0,XR并予以比較，學生就比較

9、容易接受，再加深對空集概念的理解。此外，等學到交集運算時，再選擇有關例子與習題，進一步充實學生對空集概念的理解。 ª抽象思維中的“七橋問題”：歐拉將兩岸及兩島想象為四個點，把七橋想象為七條線，七橋圖變成了一個簡單的連接四個點的七條線的點線圖，七橋問題就成為能否一筆畫成此點線圖的問題。除始、終點外，過中間點的線條數是偶數，是一筆畫成的一個必要條件，若是奇數，畫不成。最本質-組合拓撲的性質。（2） 邏輯思維。邏輯思維是人們在認識過程中借助概念、判斷、推理等思維反映現實的過程，具有抽象概括、間接反映、借助語言等特征。邏輯思維作為數學的重要基礎始終占據著數學哲學最重要的位置。數學文化中的邏輯

10、思維具有典型的形式化特征，這種形式化的特征是以一種特殊語言符號的形式出現的，邏輯思維對于推動數學學科的發展具有重要作用。 ª邏輯思維的作用：A、邏輯思維可以用來檢驗、證明數學真理。這種檢驗和證明，主要是借助演繹與歸納的方法鑒別真偽，通過演繹把數學真理從一般推到個別，推到特殊。通過歸納把個別在推廣到一般。B、邏輯思維可以使數學文化系統化、體系化、科學化。C、邏輯思維對數學的發展起著重要的作用。比如數學史上出現的非歐幾何、非結合代數、非線性非奇異矩陣等，都是在一種反叛中形成的新的學科點，新的方向。邏輯思維最大的特點就是在已知條件下獲得新的推論。非歐幾何、非結合代數。（3） 形象思維。&#

11、170;數學中的形象思維有四個層次：第一個層次為幾何思維。這是最直接的形象思維。幾何圖形的點、線、面、空間非常直觀、形象。第二個層次是類幾何思維，也就是借助幾何空間進行的較為間接的形象思維。比如非歐空間、高維空間、泛函空間、愛因斯坦的相對論等。第三個層次是數學思維，亦即對各種數量關系的形象化的感覺，它是一種直觀上的想象。這種數學思維類似于古詩中的”飛流直下三千尺，疑是銀河落九天”等。第四個層次是數學觀念的直覺，它類似于第個三層次，但更強調對數學觀念性質、相互聯系以及重新組合過程的形象化感覺。數學文化的形象思維，在其過程中主要借助數學想象，這種想象包括視覺想象、聽覺想象和觸覺想象。射影幾何中著名

12、的帕斯卡“神秘的六線形”定理就是一個典型的形象思維的過程。 充分利用典型，引進聯想，產生想象，誘發靈感和直覺，是構思新假設、新理論和新設想不可缺少的重要思維形式。是從現象到本質，從感性到理性的一種認識過程。象形法、直述法，“白發三千丈”等等 （4）直覺思維。是指對一個問題未經初步分析，僅依據內因的感知迅速地對問題答案作出判斷、猜想、設想，或者在對疑難百思不得其解之中，突然最問題有“靈感和頓悟”，甚至對未來事物的結果有“預感”等直覺思維。直覺思維是一種心理現象，也是數學研究的一種重要方法。許多重大的發現都是基于直覺。歐幾里得幾何學的五個公設都是基于直覺，從而建立起歐幾里得幾何學這棟輝煌大廈；哈密

13、頓在散步的路上迸發了構造四元素的火花；阿基米德在浴室里找到了辨別王冠真假的方法；凱庫勒發現苯分子環狀結構更是一個直覺思維的成功典范。（阿基米德-洗澡-阿基米德原理；牛頓蘋果落地萬有引力）ª直覺思維的特點：A、 是非邏輯的，不是靠推理和演繹獲得的。B、 是突發性，亦即未預料性。C、 極富感情色彩的。 ª數學直覺的一般原則：A、 簡單性原則B、 統一性原則C、 對稱性原則D、 奇異性原則ª體會： 數學被人們形容為“思維的體操”。數學離不開思維，數學所有的結論都是思維的結果。思維包含邏輯思維、形象思維、空間思維、直覺思維等方面。許多數學家綜合運用這些思維方式和研究方法，

14、在數學領域不斷創新，解決數學危機，同時，摧毀和構建了諸多宗教教義，為政治學說和經濟理論提供了依據。6、 數學文化的對思維有哪幾種？舉例子、體會例子。1、 宏觀與微觀。對認識世界來說，哲學往往是著眼于大范圍的宏觀武器，是望眼鏡，它可以無限制的任思維自由飛翔。數學屬于哲學范疇，但如果從對世界的理解與解決問題，從方法上講，數學學科屬于精密科學，屬于一種精密性的學問。數學源于實踐，不像哲學那么宏觀抽象。數學學科細致入微，非常容易進入到一些成熟學科中，并從中獲得足夠豐富的營養基，以拓寬自己的思路，發揮自己的作用。如果說哲學是望遠鏡的話，那么數學對于這些學科來說就是顯微鏡。數學一旦成功進入到一門學科中，它

15、就無可爭辯的獲得了對該學科的支配權。哲學在很大程度上是注重形而上的，數學不僅注重形而上也關心形而下，這種形而下是以社會實踐為對象，以求解為目的，然后在基礎上演繹、歸納、抽象，形成所謂的形而上。另外，相對數學本身而言，以函數為例，初中和高中的函數概念有變量說和對應說之分，其實是宏觀描述和微觀刻畫的區別。初中的變量說，實際上是宏觀觀察，主要考察它的變化趨勢和性態。高中的對應則是微觀的分析。 2、 抽象與具體 抽象：對概念而言，概念是從實踐和具體中抽象出來的，抽象的結果具有一種普遍性，歐幾里得的“公設”、“公理”都具有這樣的意義，再如點、線； 具體：解決問題是具體的，推演過程是具體的。數學源于時間，

16、又發展于抽象，數學的定義、定理、公設，是基于社會實踐的，但卻又是高度抽象的。數學源于實踐，但又發展于抽象。數學的定義、定理、公設，是基于社會實踐的，但卻又高度抽象的。如“點”是什么？“線”是什么？這樣的問題看似抽象，但如果老師在黑板上點一個“點”，畫一根“線”，那么“點”與“線”有是很具體的。數學的本質就在于它的嚴密性、精確性和抽象性。數學中的抽象一般是對概念而言的，概念是從時間和具體中抽象出來的，一旦這種抽象完成，其抽象的結果就具有一種普遍性。歐幾里得的“公設”、“公里”都具有這樣的意義。3、 證明與非證明。數學是研究結構的。這種研究有個條件，比如對某一結構關系，通常情況下，如果他受什么條件

17、制約的話，則必須有什么性質，加入具備什么條件的話，則必然有什么結果。例如：兩個三角形三條邊對應成比例，則這兩個三角形相似。對應成比例是條件，相似是結論。數學從不先肯定“是什么”，它總是先看前提，然后才得出結論。證明重要性、可靠性、科學性。思想實驗是數學證明最古老的模式。哥德巴赫猜想。哲學命題很難證實，不能證偽。4、 有限與無限。對無限的問題，一直有兩種概念，一是“潛無限”，意思是把無限只看做一種過程，一種永無止境的生成過程；二是“實無限”與“潛無限”相反，它認為無限是一種已經生成了的或者說現實存在的東西。說到底，就是把實無限看作是有限的現實。從數學意義上講，有限和無限是對立的統一，它們既是對立

18、的，有區別的，又是相互聯系的。它們有著辯證的關系并在一定條件下相互轉化的。無限由有限構成、無限不能脫離有限而獨立存在 。有限是對自身的超越，包含著無限 ，體現著無限。舉一個數學中的例子吧，整數集是一個無限集合，人們無法得到一個完成了的整數集。但每個整數又都是有限的。我們可以得到任意的整數。任意給出一個數學的對象，我們立即就能判定它是否屬于整數集，這樣看問題，整數集又是一個完成了的集合，是一個有限的概念。因此整數集本身就是一個無限和有限的對立統一。 從有限到無限是認識世界的廣度和深度的變化，是處理問題的方法的變化。為解決無限問題，由歐氏幾何產生了非歐幾何；從常量到變量，產生了微積分；集合論的產生

19、完善了數學大廈的基礎。 潛無限：瞬時速度、圓與直線的對應。5、 先天知識與后天經驗所謂先天知識，就是不需要經過實踐檢驗的東西；而所謂后天經驗，從最廣泛的意義上講，經驗是指一種認知態度，從專門意義上講，它是由兩個相互聯系又有區別的哲學意義組成的。一是理念的意義，必定與事物已有的經驗和可能經驗有關；二是哲學的認識論、信念，歸根到底是由經驗來驗證。數學的概念源于經驗，存在決定意識，客觀事物作用于人的感官，使人產生相應的概念。比如關于數學對象的點、線、面、數這些概念與它們所代表的事物，誰先誰后？事實上是客觀事物的數量關系和空間形式在人的頭腦中抽象為數學概念，而后人們又用這些概念創造出數學對象。 數學概

20、念大多源于經驗，不過一旦被抽象出來之后，就往往以自己的方式去發展，以致超過經驗科學，但它不能說是一門完全的經驗科學，它從根本上講是一種理性科學，它主要是思維方式的創造。數學如果長期遠離實踐或者經驗，將容易走向它的反面。遠離經驗來源，一直處于“抽象的”近親交配之中，一門數學學科將會有退化的危險。所以數學不能離開實踐，不能離開經驗，不能只寄托于抽象，否則將失去生命活力。今天，數學與經濟，與新媒體、與社會，都會從中獲得不竭的學科源泉。 概念形成后，未必依賴于經驗。例：橢圓、橢圓性條件、橢圓型方程、“正交”。數學建模：一方面，數學向形式化、美學化、藝術化方向發展，另一方面，數學離不開科學技術和生產實際

21、的問題。6、 必然性與偶然性 數學的偉大使命就是在混沌中發現有序。概率論就是一門研究事情發生可能性的學問，其目的在與從偶然中探求必然的規律，它是機遇的模型，這種模型面對的是自然界的必然現象和隨機現象。7、 量變與質變7、 數學文化的社會化功能 例：連續與“飛矢不動”之間的矛盾 近代學科介紹：分叉與混沌.曲線y=1/2x2與y=0在x=0處分叉。再如在數軸上，設定從正數到負數的變化過程的變量為X，可看做是對常溫下的水進行冷凍的過程。若水從20向0逐漸靠近，當X穿越這個表示0的點時，X即為負數。1、 作為社會資源的功能：其一，與人民生活的關聯性，比如為解決人口危機問題，需運用數學找到一個好的人口政

22、策和生育模型。還有資源的開采和利用問題，環境治理。社會生活需要數學，生活質量、存錢取息，天氣預報、統計等等其二，數學推廣、開發的意義，比如關于數的推廣、關于空間的數學表示。2、 作為符號的功能（語言） 作為交流的語言，便于表達，從古到今，數學符號的使用：象形，英文縮寫，抽象，數學運算符號。數學用符號表示數量關系和空間形式。ª數學文化的符號意義：其一，建立了一個公共話語空間，使得在一種可交流的情況下共同討論問題。其二，字母可以使人在變換文字表達式時便于操作，從而把任何陳述都變為許多等價的形式，而這種變形能力，使代數超出了方便的速記水平。其三，符號可是數學語言更加簡潔、明了、嚴格、準確。

23、其四，符號可以帶來新的創造。3、作為模型的功能。投鉛球模型、人口模型：馬爾薩斯定律便于人口統計、蛛網模型八、數學文化是先進生產力有哪幾種說法？1、數學文化與信息傳播。2、數學文化與和諧社會。3、數學文化與效益最大化。優選法、線性規劃、非線性規劃、最優控制4、數學文化與科技轉化。5、數學文化與可持續發展。九、數學文化的辯證法有哪幾種？（注重具體與抽象、分析與綜合。并會舉例說明）1、具體與抽象。舉例：全部數學概念，從最初等的、原始的自然數、整數，最基本的點、線、面等圖形，以及在此基礎之上形成的有理數、無理數、復數、函數、微積分等一系列高度抽象的概念，都來源于非常實在的、具體的現實“原型”。如“點”

24、是什么？“線”是什么？這樣的問題看似抽象，但如果老師在黑板上點一個“點”，畫一根“線”，那么“點”與“線”有是很具體的。2、 演繹與歸納演繹法是由一般到特殊的推理，它有三段論的表現形式，由一般的判斷，特殊判斷，結論三部分組成。歸納與演繹不同，歸納是這樣一種推理：其中所得到的結論超越了經驗材料所提供的東西的一種經驗猜想。看起來歸納與演繹很有區別的，事實歸納與演繹是相依而存、互為發展、對立統一的。恩格斯在自然辯證法中說：“我們用世界上的一切歸納法都永遠不能把歸納過程弄清楚，只有對這個過程的分析才能做到這一點歸納與演繹，正如分析與綜合一樣是必然相互聯系著的，不應當犧牲一個而把另一個捧上天，應當把每一

25、個用到該用的地方，而要做到這一點，就只有注意它們的相互聯系，它們的相互補充。”例如:直角三角形內角和是180度；銳角三角形內角和是180度；鈍角三角形內角和是180度；直角三角形，銳角三角形和鈍角三角形是全部的三角形；所以，一切三角形內角和都是180度。 這個例子從直角三角形，銳角三角形和鈍角三角形內角和分別都是180度這些個別性知識，推出了"一切三角形內角和都是180度"這樣的一般性結論，就屬于歸納推理。 演繹推理是由普通性的前提推出特殊性結論的推理。例子：一個三角形，或者是銳角三角形，或者是鈍角三角形，或者是直角三角形。這個三角形不是銳角三角形和直角三角形，所以，它是個

26、鈍角三角形。3、 發現與證明 規律的發現常以猜測為前提，提出一個假說，證明是對提出的假說進行確認，沒有發現就無需證明。 發現實際上就是定律的發現和理論地提出問題，最主要是通過假說，猜想。猜想是提出新思想，一個猜想可以帶出或生出一個新的學科方向。比如，對歐氏第五公設的證明產生了非歐幾何理論，四色猜想對開辟數學研究新途徑有重要意義。在數學史上有很多有名猜想，人們熟悉的費馬猜想，曾是一個懸賞10萬馬克的定理，實際上，它是源于幾千年前的勾股定理。德國數學家曾宣稱：當n大于2時，不存在一個整數n次冪是另外兩個整數n次冪之和。數學家韋爾斯花了34年心血來解這道難題，并獲得沃爾夫獎。許許多多數學猜想是由簡單

27、到復雜無休無止地產生出來。一個猜想解決了，又猜想出來了，數學家們總有解決不完的猜想。許多重要猜想，總能吸引眾多數學家為此皓首窮經。在證明各個猜想的過程中，數學們會取得一系列重要理論成果。4、 分析與綜合分析是由未知去推導已知，在假定的前提下導出結論，而這一結論恰恰是已給出的條件或已知的命題。綜合是由已知命題開始，通過演繹、歸納能一連串來導出未有的命題，或解決所要給出的問題的解。善于結合運用這些數學方法可以更好的來解決數學問題和體會數學的內涵。當確定了問題可解后，就要進一步對問題的本質進行分析，加深對問題的認識。例如，從數據流和數據結構出發，逐步細化所有的軟件功能，找出軟件系統各元素之間的聯系、

28、接口特性和設計上的約束，分析它們是否滿足功能要求。通過分析，最后綜合形成系統的雛形求解方案。得到的方案可能會暴露出原有需求中的問題，再修改需求，如此反復地進行，使之更加符合實際需要。從中國古代的五行學說到亞里士多德的三段論，由猜測分析進入具體分析。10、 數學文化的一般方法有哪七種？什么叫做歸納法？什么叫做迭代法？什么叫做逐步逼近法？舉例。（上述三種必考）1、類比法。類比的基礎是數學對象形式結構的相似或接近，通過對兩個以上的類似對象的比較，去獲得新思路和新發現。由已知事實或已知定義、定理出發，通過類比引出新的想法和結論。2、歸納法：基于特殊到一般的推理方法 例如：在代數恒等式方面的問題的應用，

29、有不少的代數恒等式，它的嚴格證明需要用到數學歸納法。例1、數列的第項，可以用公式 表示，這里是它的首項，是公差證明：當時，式成立假設當時，式成立，那么當時，有：當時，式也成立由此可知，對于所有的自然數，式均成立3、 化歸法 其過程是首先把要解決的問題都化歸為數學問題，然后把任何數學問題化歸為代數問題，再把任何代數問題歸結為方程式的求解。不先與問題正面交鋒，而從側面，借助轉換、變形，將其變成一個已知問題或已明確的方法和思路。 化歸法是一種分析問題解決問題的基本思想方法在數學中通常的作法是：將一個非基本的問題通過分解、變形、代換，或平移、旋轉、伸縮等多種方式，將它化歸為一個熟悉的基本的問題，從而求

30、出解答如學完一元一次方程、因式分解等知識后，學習一元二次方程我們就是通過因式分解等方法，將它化歸為一元一次方程來解的后來我們學到特殊的一元高次方程時，又是化歸為一元一次和一元二次方程來解的對一元不等式也有類似的作法又如在平面幾何中我們在學習了三角形的內角和、面積計算等有關定理后，對n邊形的內角和、面積的計算，也是通過分解、拼合為若干個三角形來加以解決的再如在解析幾何中，當我們學完了最基本、最簡單的圓錐曲線知識以后，對一般圓錐曲線的研究，我們也是通過坐標軸平移或旋轉，化歸為基本的圓錐曲線(在新坐標系中)來實現的其它如幾何問題化歸為代數問題，立體幾何問題化歸為平面幾何問題，任意角的三角函數問題化歸

31、為銳角三角函數問題來表示的例子就更多了 4、約定法：科學家用各種科學定律來約定5、迭代法。按同樣的法則，無限次的重復做下去，可從一個已知的首項開始，產生一個序列。迭代法是一種求解非線性方程的數值方法, 將求解方程組轉化為構造一個無限序列, 其極限就是方程的解, 在有限步內是得不到精確解的。6、論證法。 論證是一個檢驗確認的過程和方法，其基礎和前提是提出問題。通過論證確認結論正確與否。最常見的論證方法有歸納法和反證法。7、 逐步逼近法。 對于一些數學難題，人們常常設法先證明它的一種減弱命題，然后一步一步地向它逐漸逼近。十一、什么叫做美學觀？世界上無人不愛美！ 美學觀點是人們對客觀感性形象的美學屬

32、性的能動反映。包括人的審美感覺、情趣、經驗、觀點和理想等。 12、 什么是數學美的評價尺度？以何為美？ 美是形式的和諧，雅致、對稱、平衡，井然有序、統一協調。在數學定理的評價中，審美標準既重于邏輯的標準，也重于實用的標準。十三、數學美的實質莫里斯·克萊因在西方文化中的數學里所指出的大氣磅礴與精巧美好：“在最廣泛的意義上說，數學是一種精神，一種理性的精神。正是這種精神，試圖決定性地影響人類的物質、道德和社會生產；試圖回答有關人類自身存在提出的問題；努力去理解和控制自然；盡力去探求和確立已經獲得知識的最深刻的和最完美的內涵。”美是推動人們前進的力量，審美是人們普遍的追求。美是先進生產力。

33、數學美，包括真、善、美。不僅如此，數學美是一種大美、大善、大真。數學美，是像馬克思講的“一切社會關系的總和”，這種大美、大真，是超越時空的，體現了人與物的交流性。從深層的哲學意義上講，從數學美的價值追求上講，數學審美說到底是一種方法美、境界美，是一種理性精神。恰恰是這種精神，是的人類思想得以運用到至善至美的程度。正是這種精神，從一定程度上影響了人類的物質、道德和社會生活，并試圖回答有關人類自身提出的一些問題。正是這種精神，使得人們盡可能去理解、了解、控制自然，掌握客觀世界的規律。正是這種精神，是人們有可能去探求和確立已經獲得知識的最深刻、最完美的學科內涵。14、 數學中的和諧美：三種美各舉一例

34、 數學的和諧美一般體現在以下方面：一是作為一門學科的高度一致性、協調性，也就是高度的統一性。二是通過函數關系反映出來的部分定理的對稱性和曲線的對稱性。統一性與對稱性，構成和諧美最主要的內容。 1、統一美：所謂統一美，是指部分與部分、部分與整體之間的和諧一致。這種美是邏輯的統一性、一致性，是抽象與現實的一致性。在數學中有好多數學統一性的例子。例如，如，像算術-幾何平均值不等式、柯西不等式、三角形不等式等等看似差別很大,但是都有深刻的聯系，從本質上將都可統一在一個概括性更強、結論更具普遍意義的不等式琴生不等式中。引入負數，有了相反數的概念之后，有理數的加法和減法得到統一，它們可以統一為代數和的形式

35、。有了倒數的概念，除以一個不等于零的數等于乘上它的倒數，于是乘法與除法得到了統一。例如平面幾何中的相交弦定理、割線定理、切割線定理和切線長定理均可統一到圓冪定理之中。在體積計算中有所謂的“萬能計算公式”，它能統一地應用于棱（圓）柱、棱（圓）錐及棱（圓）臺的體積計算統一美反映的是審美對象在形式或內容上的某種共同性、關聯性或一致性,它能給人一種整體和諧的美感。數學對象的統一性通常表現為數學概念、規律、方法的統一,數學理論的統一,數學和其它科學的統一。 2、協調美：著名的美學規律“黃金分割”把一條線段分成長短兩節，使短節和長節的比恰好等于長節與全長的比。實踐表明這一比例是最美妙的比例。美神維納斯的美

36、，關鍵一點是她的身材比例恰好符合黃金分割律。韻律美 美是恰到好處，黃金分割法0.618 埃及的金字塔，古希臘的巴特農神殿等 3、對稱美：數學中的對稱美反映的是自然界的和諧性，在幾何形體中，最典型的就是軸對稱圖形。圖形對稱 圓形，球形 函數圖形對稱：拋物線、雙曲線。概念和公式的對稱。15、 數學的符號美數學符號作為一種特殊的數學語言，在數學的學習中有著不可替代的作用，它具有簡潔、靈活、方便、形象的特點。符號的三種美：1、簡潔美 數學公式就是最好的例子。數學公式經常用符號表示，如梯形的面積表示為：S梯形=(a+b)h/2,顯然比文字表達要簡潔的多。我們在做數學題目時直接應用符號公式，解題思路會顯得

37、明朗很多，演算起來也覺得快捷很多。 2、統一美 如，為了表達絕對值的幾何意義，我們利用了距離這個概念，借助了數軸來理解，在意義上達到了統一。又如，在數軸上表示不等式的解集。在數軸上用空心表示“”或“”，用實心表示“”或“”，數與形得到了統一。 3、含蓄美 如，幾何中的垂直符號很明顯把兩直線的垂直關系體現出來，而平行符號體現了兩直線的平行關系，又如三角形的符號和三角形的形狀一樣，一看便知。16、 數學中的奇異美有哪幾種1、 形“奇”：黑洞、神奇的數字寶塔2、 意義“奇”。克萊因瓶與麥比烏斯3、數字“奇”。如成語中的數字：“1”萬物之始，希望之光。（一心一意、一帆風順）；“2”雙喜臨門、梅開二度；

38、古代詩詞中的數字“飛流直下三千尺”。十七、什么是數學文化的原創性特點 數學的創新特點主要是兩個方面：一是原創性（發明和發現）；二是繼承性（亦即創造性地去完善）錢偉長：變分法。另外還有其個人化傾向，這種個人化的傾向集中體現在個人興趣和直覺上。原創性是指數學文化在其形成過程中的一些最基本的原理和內容，這些內容不是由其他學科延伸發展而來的，而是由人們在生產實踐中直接發明或發現的。我們講的數學的原創性特色，是就它的思想源而言的。比如眾所周知的歐式幾何的公設、定義、定理，都具有典型的原創性，關于點、線（直線）、面、圓等概念，就充分反映這種原創性。從根本上說來，數學文化的原創性，集中體現了兩個特點：一是發

39、現，二是發明。發現從觀察入手，作為客觀事物，它本來就在那個地方了，人們只是去”找到“它。而發明則是對人們已經知曉的東西給予解釋和說明，或者用已經知曉的道理從事一種制造，加工成某種產品。十八、數學對其他新興學科的支撐作用（了解一下）：1、數學與愛因斯坦的相對論（愛因斯坦的相對論有賴于數學中的歐式幾何 ）2、數學與麥克斯韋方程組 3、數學與量子力學 4、數學成就了牛頓 十九、數學創新的基本方法（著重看擴張法），各舉一例。1、擴張法。其主要內容是從已知的概念和定理出發，在原有的基礎上建立起一些新的或者更為特殊和更為廣泛的概念與定理。比如，例：數的概念的擴張（自然數-整數-有理數-實數-復數-超復數）

40、；函數概念的擴張（1.解析函數，代數函數，超越函數2.歐拉、傅里葉的貢獻3.柯西函數的定義4.黎曼、狄利克雷的函數定義5.取消自變量變換的限制6.維布倫及倫內的函數定義7.集合函數）；積分的概念（連續函數的積分-不連續的函數積分-如今豐富的積分概念和積分內容。2、發現法3、科學發現的精神狀態二十、數學思想史：四段路、四次思想解放（填空題）（這部分最好要把書本的具體內容看一看。）1、5000年數學走過的四段路： 第一階段（公元前30世紀公元前6世紀）：萌芽階段（準學科階段） 數學還沒發展成為一門有明確結構的、獨立的、理性的學科，還不具備抽象和概括，還沒有方法論，沒有證明和推理，沒有歸納和演繹。

41、在這一時代的杰出代表是古巴比倫數學、中國數學、埃及數學、印度數學等。萌芽時期的世界數學文化呈現一種多元發展的態勢。第二階段(公元前5世紀-公元16世紀) 形成時期，常數學階段（也就是數學學科完成了以常量為主要內容的框架體系。它的開始以希臘人的出場為典型標志的，結束于公元16世紀，也就是在變量數學產生之前。第三階段(17-19世紀) 變量數學階段，牛頓時代第四階段(19世紀下半葉至今) 2、數學史上的四次思想解放 （1）承認“無理數”是第一次思想解放 （2）微積分的產生是第二次思想解放 （4）羅素悖論引出的數學基礎研究是第四次思想解放 其他方面：1、 計算題1、 求極值(1) lim(n+) (

42、3n+1)/(4n2+1) 同除以n2 = lim(n+) (3/n)+(1/n2)/4+(1/n2) =0(2) lim(n+) (3n+1)/(4n+1) 同除以n= lim(n+) (3+1/n)/(4+1/n) =3/42、 平面二次曲線與空間二次曲面 作圖 P151 P152（1）拋物線與拋物柱面 y=x2 拋物線y=x2 (zR) 拋物柱面（2）橢圓與橢圓柱面 橢圓方程 x2/a2+y2/b2=1 P152 圖6-3 橢圓柱面 x2/a2+y2/b2=1(zR)二、1、 什么叫相似三角形？對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。互為相似形的三角形叫做相似三角形。2、 什

43、么叫全等三角形？當兩個三角形的對應邊及角都完全相對時，該兩個三角形就是全等三角形。在同一平面內能夠完全重合（大小，形狀都相等的三角形）的兩個三角形稱為全等三角形。3、 什么叫直角三角形勾股定理？在任何一個直角三角形（Rt）中（等腰直角三角形也算在內），兩條直角邊的長度的平方和等于斜邊長度的平方，這就叫做勾股定理。即勾的長度的平方加股的長度的平方等于弦的長度的平方。（直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，數學公式中常寫作a2+b2=c2）4、 如何證明直角三角形中30°角所對的邊是斜邊的一半？已知，在RtABC中，A=30°，ACB=90°求證：BC=1 /2

44、 AB證明：證法一：如答圖所示，延長BC到D，使CD=BC，連接AD，易證AD=AB，BAD=60°ABD為等邊三角形，AB=BD，BC=CD=1 /2 AB，即BC=1/ 2 AB證法二：如答圖所示，取AB的中點D，連接DC，有CD=1/ 2 AB=AD=DB，DCA=A=30°，BDC=DCA+A=60°DBC為等邊三角形，BC=DB=1 /2 AB，即BC=1 /2 AB證法三：如答圖所示，在AB上取一點D，使BD=BC，B=60°，BDC為等邊三角形，DCB=60°，ACD=90°-DCB=90°-60°=

45、30°=ADC=DA，即有BC=BD=DA=1/ 2 AB，BC=1/ 2 AB證法四：如圖所示，作ABC的外接圓D，C=90°，AB為O的直徑，連DC有DB=DC，BDC=2A=2×30°=60°，DBC為等邊三角形，BC=DB=DA=1/ 2 AB，即BC=1/ 2 AB5、 利用數列的歸納法證明一個數列 1/(1*3)+1/(3*5)+ +1/(2n-1)*(2n+1)=n/(2n+1)證明：當n=1時，明顯有1/(1×3)=1/(2×1+1)成立，則原式成立。假設當n=k時，有1/1×3+1/3×

46、5+.+1/(2k-1)(2k+1)=k/2k+1成立，則當n=k+1時， 1/1×3+1/3×5+.+1/(2k-1)(2k+1）+1/(2(k+1)-1)(2(k+1)+1)=k/2k+1 + 1/(2k+1)(2k+3)=k(2k+3)/(2k+1)(2k+3)+1/(2k+1)(2k+3)=(2k²+3k+1)/(2k+1)(2k+3)=(2k+1)(k+1)/(2k+1)(2k+3)=(k+1)/(2(k+1)+1)= n/2n+1綜上，由數學歸納法可知，1/1×3+1/3×5+.+1/(2n-1)(2n+1)=n/2n+1（n=1，2，3，）成立6、 論述：（300字以下）（1） 什么叫演繹與歸納？P118-123歸納法是用科學家觀察到的特殊或特定例子得出一般性結構或通則的方法，這種利用數據資料或證據得出的一般性原理的方法，通常被稱為經驗論，相反，演繹法是基于抽象的原理，并將其應用于特殊的例子，通常被稱為邏輯法或唯理論的方法。演繹法是由一般到特殊的推理，有三段論的表現形式。三段論是由一