1、淘寶店鋪：漫兮教育第一節(jié)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理兩個(gè)原理分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理(1)理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理(2)會(huì)用分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理分析和解決一些簡單的實(shí)際問題知識(shí)點(diǎn)兩個(gè)原理1分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有nmn種不同的方法2分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有nm×n種不同的方法易誤提醒(1)分類加法計(jì)數(shù)原理在使用時(shí)易忽視每類做法中每一種方法都能完成這件事情，類

2、與類之間是獨(dú)立的(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理在使用時(shí)易忽視每步中某一種方法只是完成這件事的一部分，而未完成這件事，步與步之間是相關(guān)聯(lián)的自測練習(xí)1從0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字中，任取兩個(gè)不同數(shù)字相加，其和為偶數(shù)的不同取法的種數(shù)有()a30 b20 c10 d6解析：從0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)字中，任取兩數(shù)和為偶數(shù)可分為兩類，取出的兩數(shù)都是偶數(shù)，共有3種方法；取出的兩數(shù)都是奇數(shù)，共有3種方法，故由分類加法計(jì)數(shù)原理得共有n336種答案：d2用0,1，9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為()a243 b252 c261 d279解析：0,1,2，9共能組成9×10×1

3、0900(個(gè))三位數(shù)，其中無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有9×9×8648(個(gè))，有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有900648252(個(gè))答案：b考點(diǎn)一分類加法計(jì)數(shù)原理|1a，b，c，d，e共5個(gè)人，從中選1名組長1名副組長，但a不能當(dāng)副組長，不同選法的種數(shù)是()a20b16c10 d6解析：當(dāng)a當(dāng)組長時(shí)，則共有1×44種選法；當(dāng)a不當(dāng)組長時(shí)，又因?yàn)閍也不能當(dāng)副組長，則共有4×312種選法因此共有41216種選法答案：b2有4位教師在同一年級(jí)的4個(gè)班中各教一個(gè)班的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)檢測時(shí)要求每位教師不能在本班監(jiān)考，則監(jiān)考的方法有()a8種 b9種c10種 d11種解析：法一：設(shè)四位監(jiān)

4、考教師分別為a，b，c，d，所教班分別為a，b，c，d，假設(shè)a監(jiān)考b，則余下三人監(jiān)考剩下的三個(gè)班，共有3種不同方法，同理a監(jiān)考c，d時(shí)，也分別有3種不同方法，由分類加法計(jì)數(shù)原理共有3339(種)法二：班級(jí)按a，b，c，d的順序依次排列，為避免重復(fù)或遺漏現(xiàn)象，教師的監(jiān)考順序可用“樹形圖”表示如下：共有9種不同的監(jiān)考方法答案：b3在某校舉行的羽毛球兩人決賽中，采用5局3勝制的比賽規(guī)則，先贏3局者獲勝，直到?jīng)Q出勝負(fù)為止若甲、乙兩名同學(xué)參加比賽，則所有可能出現(xiàn)的情形(個(gè)人輸贏局次的不同視為不同情形)共有()a6種 b12種c18種 d20種解析：分三種情況：恰好打3局(一人贏3局)，有2種情形；恰好打

5、4局(一人前3局中贏2局，輸1局，第4局贏)，共有2c6(種)情形；恰好打5局(一人前4局中贏2局，輸2局，第5局贏)，共有2c12(種)情形所有可能出現(xiàn)的情形共有261220(種)答案：d利用加法原理解決問題時(shí)的注意點(diǎn)(1)根據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個(gè)合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，不能遺漏；(2)分類時(shí)，注意完成這件事件的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復(fù)考點(diǎn)二分步乘法原理|有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙、丙各需1人承擔(dān)，從10人中選派4人承擔(dān)這項(xiàng)任務(wù)，不同的選法有()a1 260種b2 025種c2 520種 d5 040種解析第一步，從10人中選派2人承擔(dān)任務(wù)甲，有c種選派方法；第

6、二步，從余下的8人中選派1人承擔(dān)任務(wù)乙，有c種選派方法；第三步，再從余下的7人中選派1人承擔(dān)任務(wù)丙，有c種選派方法根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，知選法為c·c·c2 520種答案c利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問題時(shí)應(yīng)注意(1)要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步驟都完成才算完成這件事 從1,0,1,2這四個(gè)數(shù)中選三個(gè)不同的數(shù)作為函數(shù)f(x)ax2bxc的系數(shù)，則可組成_個(gè)不同的二次函數(shù)，其中偶函數(shù)有_個(gè)(用數(shù)字作答)解析：一個(gè)二次函數(shù)對(duì)應(yīng)著a，b，c(a0)的一組取值，a的取法有3種，b的取法有3種，c的取法有2種，由分步乘法計(jì)

7、數(shù)原理知共有3×3×218個(gè)二次函數(shù)若二次函數(shù)為偶函數(shù)，則b0，同上可知共有3×26個(gè)偶函數(shù)答案：186考點(diǎn)三兩個(gè)原理的應(yīng)用|兩個(gè)原理的應(yīng)用類型主要有：1涂色問題2幾何問題3集合問題探究一涂色問題1.(2015·湖南十二校聯(lián)考)用紅、黃、藍(lán)三種顏色去涂圖中標(biāo)號(hào)為1,2，9的9個(gè)小正方形(如圖)，使得任意相鄰(有公共邊)小正方形所涂顏色都不相同，且標(biāo)號(hào)為1,5，9的小正方形涂相同的顏色，則符合條件的所有涂法共有_種123456789解析：第一步，從紅、黃、藍(lán)三種顏色中任選一種去涂標(biāo)號(hào)為“1、5、9”的小正方形，涂法有3種；第二步，涂標(biāo)號(hào)為“2、3、6”的小

8、正方形，若“2、6”同色，涂法有2×2種，若“2、6”不同色，涂法有2×1種；第三步：涂標(biāo)號(hào)為“4、7、8”的小正方形，涂法同涂標(biāo)號(hào)為“2、3、6”的小正方形的方法一樣因此符合條件的所有涂法共有3×(2×22×1)×(2×22×1)108(種)答案：108探究二幾何問題2如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“平行線面組”，在一個(gè)長方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個(gè)數(shù)是()a60b48c36 d24解析：長方體的6個(gè)表面構(gòu)成的“平行線面組”有6×636

9、個(gè)，6個(gè)對(duì)角面構(gòu)成的“平行線面組”有6×212個(gè)，共有361248個(gè)，故選b.答案：b探究三集合問題3(2015·保定市高三調(diào)研考試)已知集合m1,2,3,4，集合a，b為集合m的非空子集若對(duì)xa，yb，x<y恒成立，則稱(a，b)為集合m的一個(gè)“子集對(duì)”，則集合m的“子集對(duì)”共有_個(gè)解析：當(dāng)a1時(shí)，b有231種情況，當(dāng)a2時(shí)，b有221種情況，當(dāng)a3時(shí)，b有1種情況，當(dāng)a1,2時(shí)，b有221種情況，當(dāng)a1,3，2,3，1,2,3時(shí)，b均有1種情況，所以滿足題意的“子集對(duì)”共有7313317個(gè)答案：17用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問題時(shí)，關(guān)鍵是明確需要分類還是分步(1)分類

10、要做到“不重不漏”，分類后再分別對(duì)每一類進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后用分類加法計(jì)數(shù)原理求和，得到總數(shù)(2)分步要做到“步驟完整”，只有完成了所有步驟，才完成了任務(wù)，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)(3)對(duì)于復(fù)雜問題，可同時(shí)運(yùn)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理或借助列表、畫圖的方法來幫助分析21.分類不當(dāng)致誤【典例】(2016·沈陽模擬)一生產(chǎn)過程有四道工序，每道工序需要安排一人照看，現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人，則不同的安排方案共有_種解析按甲先分類，再分步若甲在第一道工序，則第四道工序只能是

11、丙，其余兩道工序的安排方法有4×312種，若乙在第一道工序，則第四道工序從甲、丙兩人中選一人有2種方法，其余兩道工序有4×312種方法，所以共有12×224種方法綜上可知，共有的安排方法有122436種答案36易錯(cuò)點(diǎn)評(píng)本題解題時(shí)分類不當(dāng)易致誤，分類時(shí)可按甲在第一道工序與乙在第一道工序分類防范措施利用兩個(gè)原理解題時(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)要完成的事件恰當(dāng)?shù)剡x擇唯一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，切勿標(biāo)準(zhǔn)不統(tǒng)一，導(dǎo)致多解或少解，從而失誤跟蹤練習(xí)如圖所示，在連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有_個(gè)解析：分兩類：有一條公共邊的三角形共有8×432(個(gè))；有兩條公

12、共邊的三角形共有8個(gè)故共有32840(個(gè))答案：40a組考點(diǎn)能力演練1如果把個(gè)位數(shù)是1，且恰好有3個(gè)數(shù)字相同的四位數(shù)叫作“好數(shù)”，那么在由1,2,3,4四個(gè)數(shù)字組成的有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，“好數(shù)”共有()a9個(gè)b3個(gè)c12個(gè) d6個(gè)解析：當(dāng)重復(fù)數(shù)字是1時(shí)，有c·c；當(dāng)重復(fù)數(shù)字不是1時(shí)，有c種由分類加法計(jì)數(shù)原理，得滿足條件的“好數(shù)”有c·cc12個(gè)答案：c2我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”(如2 013是“六合數(shù)”)，則“六合數(shù)”中首位為2的“六合數(shù)”共有()a18個(gè) b15個(gè)c12個(gè) d9個(gè)解析：依題意，這個(gè)四位數(shù)的百位數(shù)、十位數(shù)、個(gè)位數(shù)之和為4.由4,0,0組

13、成3個(gè)數(shù)分別為400,040,004；由3,1,0組成6個(gè)數(shù)分別為310,301,130,103,013,031；由2,2,0組成3個(gè)數(shù)分別為220,202,022；由2,1,1組成3個(gè)數(shù)分別為211,121,112.共計(jì)：363315個(gè)答案：b3從2,3,4,5,6,7,8,9這8個(gè)數(shù)中任取2個(gè)不同的數(shù)分別作為一個(gè)對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則可以組成不同對(duì)數(shù)值的個(gè)數(shù)為()a56 b54c53 d52解析：在8個(gè)數(shù)中任取2個(gè)不同的數(shù)共有8×756個(gè)對(duì)數(shù)值；但在這56個(gè)對(duì)數(shù)值中，log24log39，log42log93，log23log49，log32log94，即滿足條件的對(duì)數(shù)值共有564

14、52(個(gè))答案：d4(2015·遼寧五校聯(lián)考)甲、乙、丙三位志愿者安排在周一至周五參加某項(xiàng)志愿者活動(dòng)，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面，不同的安排方案共有()a20種 b30種c40種 d60種解析：可將安排方案分為三類：甲排在周一，共有a種排法；甲排在周二，共有a種排法；甲排在周三，共有a種排法，故不同的安排方案共有aaa20種故選a.答案：a5從集合1,2,3,4，10中，選出5個(gè)數(shù)組成的子集，使得這5個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的和都不等于11，則這樣的子集有()a32個(gè) b34個(gè)c36個(gè) d38個(gè)解析：先把數(shù)字分成5組：1,10，2,9，3,8，4,7，5,

15、6，由于選出的5個(gè)數(shù)中，任意兩個(gè)數(shù)的和都不等于11，所以從每組中任選一個(gè)數(shù)字即可，故共可組成2×2×2×2×232(個(gè))答案：a6從0,1,2,3,4這5個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)組成三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)是_解析：從1,3中取一個(gè)排個(gè)位，故排個(gè)位有2種方法；排百位不能是0，可以從另外3個(gè)數(shù)中取一個(gè)，有3種方法；排十位有3種方法，故所求奇數(shù)的個(gè)數(shù)為3×3×218.答案：187.如圖，用6種不同的顏色把圖中a，b，c，d四塊區(qū)域分開，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則涂色方法共有_種(用數(shù)字作答)解析：從a開始涂色，a有6種涂色方法，b有5種涂色方法

16、，c有4種涂色方法，d有4種涂色方法由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有6×5×4×4480(種)涂色方法答案：4808形如45132的數(shù)稱為“波浪數(shù)”，即十位數(shù)字，千位數(shù)字均比與它們各自相鄰的數(shù)字大，則由1,2,3,4,5可構(gòu)成不重復(fù)的五位“波浪數(shù)”的個(gè)數(shù)為_解析：由題意可得，十位和千位只能是4、5或者3、5.若十位和千位排4、5，則其他位置任意排1、2、3，則這樣的數(shù)有aa12(個(gè))；若十位和千位排5、3，這時(shí)4只能排在5的一邊且不能和其他數(shù)字相鄰，1、2在其余位置上任意排列，則這樣的數(shù)有aa4(個(gè))，綜上，共有16個(gè)答案：169標(biāo)號(hào)為a，b，c的三個(gè)口袋，a袋中有1

17、個(gè)紅色小球，b袋中有2個(gè)不同的白色小球，c袋中有3個(gè)不同的黃色小球，現(xiàn)從中取出2個(gè)小球(1)若取出的兩個(gè)球顏色不同，有多少種取法？(2)若取出的兩個(gè)球顏色相同，有多少種取法？解析：(1)若兩個(gè)球顏色不同，則應(yīng)在a，b袋中各取一個(gè)或a，c袋中各取一個(gè)或b，c袋中各取一個(gè)應(yīng)有1×21×32×311(種)(2)若兩個(gè)球顏色相同，則應(yīng)在b或c袋中取出2個(gè)應(yīng)有134(種)10現(xiàn)有4種不同顏色對(duì)如圖所示的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有多少種？解：先給最上面的一塊著色，有4種方法，再給中間左邊一塊著色，有3種方法，再給中間右邊一塊著

18、色，有2種方法，最后再給下面一塊著色，有2種方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有4×3×2×248種方法b組高考題型專練1(2014·高考大綱全國卷)有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小組，則不同的選法共有()a60種 b70種c75種 d150種解析：從中選出2名男醫(yī)生的選法有c15種，從中選出1名女醫(yī)生的選法有c5種，所以不同的選法共有15×575種，故選c.答案：c2(2014·高考廣東卷)設(shè)集合a(x1，x2，x3，x4，x5)|xi1,0,1，i1,2,3,4,5，那么集合a中滿足條件“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”的元素個(gè)數(shù)為()a60 b90c120 d130解析：設(shè)t|x1|x2|x3|x4|x5|，t1說明x1，x2，x3，x4，x5中有一個(gè)為1或1，其他為0，所以有2·c10個(gè)元素滿足t1；t2說明x1，x2，x3，x4，x5中有兩個(gè)為1或1，其他為0，所以有c×2×240個(gè)元素滿足t